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专题四 概率与统计
微专题1 排列组合与二项式定理专项训练
一、单选题
1.(2025·重庆市·模拟)“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之
一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组
成.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些
组成的四位数中，大于5700的偶数个数是( )
A. 66
B. 75
C. 78
D. 90
2．（25-26 高三上·四川成都·月考）已知
，
，若
，
，则
（ ）
A．1
B．13
C．12
D．2
二、多选题
3．（25-26 高三上·江西上饶·月考）设函数
，且记
，则（ ）
A．数列
的首项为1 B．数列
的前8 项和为1
C．数列
的前8 项和为-2187 D．数列
的前8 项和为0
4．（25-26 高三上·山东·开学考试）设
，则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为
D．若
且当
时,
则有
三、填空题
5.(2025·福建省龙岩市·模拟)一组数据按照从小到大的顺序排列为2,3,4,5,6,9，记这组数据
的下四分位数为n，则二项式(2 x−1
√x)
n展开式的常数项为 ．
6.(2025·湖北省襄阳市·模拟)如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处
于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻(上、下或左、右相
邻)的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不
同灯区，则B ,G灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ．
7.(2025·湖北省省直辖县级行政区划·模拟)已知(ax−1)( x −2)
5的展开式中x
3项的系数为
60，则实数a的值为 ．
8．（2025·广东·模拟预测）数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制.二
进制是“逢二进一”的进制，例：二进制
转化成十进制数为
.若正整数n 可以用
位二进制数
表示，
其中
，记
.已知关于x 的多项式
，则该多项式中x 的奇次项系数和为 .
四、解答题
9．（2025·山东济宁·二模）将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第1 行 1 2 3 …… 7 8 9
第2 行 10 11 12 …… 97 98 99
第3 行 100 101 102 …… 997 998 999
第4 行 1000 1001 1002 …… 9997 9998 9999
…………
(1)将数列
与数列
的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列
，试确定
在
该数阵中的位置；
(2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12 的所有正整数去掉并保持顺序不变，得
到一个新数阵，记新数阵第
行中正整数的个数为
.
（i）求
，
，
；
（ii）求
.
