文档文本内容
【循环
组合
概率与统计
v s
三角函数
v s
立体几何】
训练专项01：概率与统计+三角函数+立体几何
训练专项02：三角函数+立体几何+概率与统计
训练专项03：立体几何+概率与统计+三角函数
训练专项04：概率与统计+立体几何+三角函数
训练专项05：立体几何+三角函数+概率与统计
训练专项06：三角函数+概率与统计+立体几何
■→训练专项01：概率与统计+三角函数+立体几何
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. [2026·陕西渭南模拟,13 分，★★]人工智能技术（简称
技术）已成为引领世界新一轮科技革命
和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调
查本市中学教师使用
技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120 名中学教师，统计了他们一周内使用
技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用
技术帮助制作课件的节次不少于4 次的认定为喜欢使
用
技术，否则认定为不喜欢使用
技术，经统计得到如下列联表．
年龄
是否喜欢使用
技术
合计
是
否
不超过45 岁
46
14
60
超过45 岁
32
28
60
合计
78
42
120
（1）依据小概率值
的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用
技术与年龄有关；
（2）将频率视为概率，现从所抽取的120 名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用
技术的教
师的条件下，求此人年龄超过45 岁的概率．
附：
，其中
．
0.1
0.01
0.001
必刷小卷3 解答题强化练[3] 15+16+17 43 分练
2.706
6.635
10.828
【解析】（1）零假设
该市中学教师是否喜欢使用
技术与年龄无关，
而
，
依据小概率值
的独立性检验，推断不成立，
即认为该市中学教师是否喜欢使用
技术与年龄有关.
（2）设事件
为从所抽取的120 名中学教师中随机抽取一人，抽中喜欢使用
技术的教师，
事件
为从所抽取的120 名中学教师中随机抽取一人，此人年龄超过45 岁，
由题意，
，
则
.
16. [2026·山东德州一模.15 分，★★]已知
为锐角三角形，
.
（1）求
；
（2）求
；
（3）若
外接圆的周长为
，求
的面积.
【解析】（1）因为
， 所以
，
又
，所以
，
联立得
；
（2）因为
，且三角形为锐角三角形，所以
，
，
由（1）可得
，即
，
所以
，
所以
，解得
或
，
因为角
为锐角，所以
，
（3）因为
外接圆的周长为
.即
.
由
，得
，
因为
，所以
，解得
，
由（2）可知
，且角
为锐角，所以
，
,
所以
的面积为
17. [2026·内蒙古包头模拟,15 分，★★★]如图，在棱长为
的正四面体
中，
为棱
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）记
为正四面体
内切球的球心.
（ⅰ）求内切球
的半径
；（写出推导过程，直接写结果不给分）；
（ⅱ）设
是球
的球面上一点，且
平面
，当
最小时，求二面角
的正
弦值.
【解析】（1）因为
均为等边三角形，且
为棱
的中点，
所以
,
又
,
平面
，
所以
平面
.
（2）（ⅰ）设点
是底面正
的中心，连接
,
则
为正四面体的高，
由题知，在
中，
，
在
中，由勾股定理可得
，
由等体积法得，
，则
，
即
，则内切球的半径为3.
（ⅱ）因为
平面
，所以点
在
上，且在球面上,
所以，当
最小时，则
,
以
为坐标原点，过
作
平行线为
轴，以
为
轴，
为
轴，建立如图所示空间直角坐
标系
，
则
，
所以
，
设平面
的法向量为
，则
；
设平面
的法向量
，
则
，令
，则
，
设二面角
大小为
，
则
，所以
.
即二面角
的正弦值为
.
■→训练专项02：三角函数+立体几何+概率与统计
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. [2026·山东烟台一模.13 分，★★]已知
的内角
的对边分别为
，
，且
的面积为
．
（1）求
；
（2）若
为锐角三角形，
，求
的值．
【解析】（1）由余弦定理得
，因为
，所以
.
由三角形面积公式得
，
又因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
.
（2）由（1）知，
，得
，
而
，得
，又
，
得
为等边三角形，得
，
故
.
16. [2026·山东临沂一模.15 分，★★]如图，多面体
中，四边形
为正方形，四
边形
为矩形，
，
为
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）当平面
平面
时，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：如图所示，连接
交
于点
，
因为四边形
为正方形，所以
为
的中点，
又因为
为
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为四边形
为矩形，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
，且
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
.
（2）因为四边形
为矩形，所以
，
又因为平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
因
平面
，所以
，
，
又因为四边形
为正方形，所以
，
以
为坐标原点，以
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，设
，则
，
可得
，
所以向量
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，可得
，所以
，
设直线
与平面
的夹角为
，
可得
，
所以直线
与平面
的夹角的正弦值为
.
17．[2026·河南实验中学模拟.15 分，★★]随着国内人均收入的增加，居民的健康意识也不断增加，健
身器材行业发展迅速，下面为
年中国健身器材市场规模（单位：百亿元）.
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码
1
2
3
4
5
市场规模
4.1
4.4
4.8
5.5
6.3
(1)由上面数据可知，可用指数型函数模型
拟合
与
的关系，请建立
关于
的回归方程（
，
的值精确到
）；
(2)数据显示2024 年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为
，用频率估计概率，
现从2024 年购买过体育用品类的中国消费者中国随机抽取3 人，记购买过运动防护类的消费者人数为
，
求
的分布列与数学期望
.
参考数据：
其中
.
参考公式：对于一组数据
，
，
，
，其经验回归直线
的斜率与截距的最
小二乘法公式为：
，
.
【解析】（1）由
，则模型线性化为：
，
，
，
，
由
，
，得：
，
由
，
，得：
，
代入最小二乘法估计公式，得：
，
，
，
故
关于
的回归方程为：
.
（2）由题意知：
服从二项分布，即
.由二项分布的概率计算公式得：
，
，
，
，
故
的分布列为：
0
1
2
3
数学期望
.
■→训练专项03：立体几何+概率与统计+三角函数
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. [2026·浙江强基联盟3 月联考,13 分，★★]如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，E 为
的中点．
（1）证明：
；
（2）求平面
与平面
夹角的余弦值．
【解析】（1）因为
，
为
的中点，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
，
又因为
，
、
平面
，
所以
平面
，又因为
平面
，所以
；
（2）法一：如图，过
作
于
，连接
，
由（1）知
，又因为
，
、
平面
，
所以
平面
，所以
就是平面
与平面
的夹角，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
则
，
，则
，
则
，
所以，平面
与平面
夹角的余弦值为
．
法二：以
为原点建立如图所示的坐标系，
则
，
，
，
，
由
轴
平面
，则平面
的一个法向量为
，
设平面
的一个法向量为
，
由题意
，可得平面
的一个法向量为
，
所以
，
所以，平面
与平面
夹角的余弦值为
．
16．[2026·广东汕头一模.15 分，★★]某中学的两位学生A 与B 为研究高三年级学生的性别和身高
是否大于170cm 的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A 同学调查了所有高三学生，并整理得
到等高堆积条形图，如图（一）；B 同学从所有高三学生中获取容量为40 的有放回简单随机样本，也
整理得到列联表，如表（一）.
表（一）单位：人
性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
女
14
7
21
男
8
11
19
合计
22
18
40
（1）请根据A 同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结
论是有关联，解释它们之间如何相互影响；
（2）根据B 同学的列联表，依据
的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关
联，并解释所得结论的实际含义；
（参考公式及数据：
，临界值
）
（3）请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因.
【解析】（1）有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170 cm 的比例明显高于男生，
而男生中身高不低于170 cm 的比例明显高于女生，
故该中学高三年级学生的性别与身高有关联．具体表现为女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向
于身高不低于170 cm．
（2）由题意得，零假设
：该中学高三年级学生的性别与身高无关联，
由列联表可得
，
根据小概率值
的
独立性检验，没有充分证据推断
不成立，
因此可以认为
成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没有关联，
实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm 有显著影响，二者可视为相互独立.
（3）（1）与（2）的结论不一致，A 同学调查了所有高三学生，能真实反映总体状况，
若总体中确实存在关联，则其结论可靠；B 同学仅从所有高三学生中获取容量为40 的有放回简单随机
样本，样本量较少，并且抽样具有随机性，而独立性检验受样本容量影响较大，
当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性.
17．[2026·河北唐山一模.15 分，★★]记
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知
.
（1）证明：
；
（2）若
，求A.
【解析】（1）证明：因为
，
所以
，
整理得
，由正弦定理得：
.
（2）由（1）得
，由余弦定理得：
，
，
因为
，所以
，
整理得
，所以
，
整理得
.因为
所以
.
■→训练专项04：概率与统计+立体几何+三角函数
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. [2026·重庆联盟一模.13 分，★★]某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100 名学生的物理成
绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前
的学生选科报物理方向，试估计报物理方
向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数）
（2）从成绩位于区间
和
的答卷中，采用分层抽样随机抽取7 份，再从这7 份中随机
抽取3 份，设成绩在
的答卷份数为随机变量
，求
的分布列及数学期望．
【解析】（1）由题意
，解得
，
成绩在
的频率为0.1，在
的频率为0.25，在
的频率为0.3，
因为
，
所以选报物理方向的最低分
在
内，则
，
解得
，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72 分．
（2）由题可知，成绩在区间
的频数为
，
成绩在区间
的频数为
，
利用分层抽样，从中抽取7 份，成绩在
的频数为
，
成绩在
的频数为
，
再从这7 份答卷中随机抽取3 份，
的所有可能取值为
，
，
故
的分布列为：
0
1
2
所以
的数学期望为：
．
16．[2026·江苏扬州一模.15 分，★★]如图，P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面的圆心，AB 为底面直
径，四边形POBC 是梯形，且
，
，
，D 为圆O 上一点．
(1)若点M 在线段AD 上，且
，求证：
∥平面CDB；
(2)当直线PD 与平面PAB 所成的角为30°时，求二面角
的正弦值．
【解析】（1）解法一：取线段OB 的中点N，连接MN，PN．
因为
，
，所以
且
，
因此四边形PCBN 是平行四边形，所以
．
又
平面CDB，
平面CDB，所以
平面CDB．
因为
，
，所以
．
又
平面CDB，
平面CDB，所以
平面CDB．
而
平面PMN，
所以平面
平面CDB，
又
平面PMN，所以
平面CDB．
解法二:在线段BD 上取点E，使得
，连接CE，ME，
又
，所以
，且
，
又
，且
，所以
，且
．
所以四边形PCEM 是平行四边形，所以
，
又
平面CDB，
平面CDB，所以
平面CDB．
（2）由圆锥的对称性不妨取点D 为如图所示位置，在圆锥底面内过点D 作
于点F，连接
PF，
因为平面
平面ABD，平面
平面
，所以
平面PAB，
所以
就是直线PD 与平面PAB 所成的角，所以
，
因为
，
所以
．
连接OD，则
，即点F 为OB 的中点．
以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，
则
，
于是
．
设平面APD 的法向量为
，则
，得
，
取
，可得
．
设平面PDB 的法向量为
，则
，得
，
取
，可得
．
所以
，
故二面角
的正弦值为
．
17. [2026·湖北武汉模拟.15 分，★★]
设点
沿
的圆周按逆时针方向旋转角
后到点
．
（1）当
时，求
的值；
（2）若
，求
的取值范围．
【解析】（1）设射线
与x 正半轴的夹角为
，则
，
，
由三角函数定义可知
，
，
因为
，则
，
所以
．
（2）由题知
，
由
，
，可知初始位置，即
，
得
，
终边位置，即
，即
，
由（1）知
，所以
，所以当
，
取得最小值
，
所以n 的取值范围为
，
因为
在
上单调递增，
上单调递减，
所以当
时，
，
由
，
可知
时，
所以
的取值范围为
．
■→训练专项05：立体几何+三角函数+概率与统计
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. [2026·山东德州一模,13 分，★★]如图，边长为2 的正方形
所在的平面与平面
垂直，
且
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）当
时，求平面
与平面
所成角的正弦值.
【解析】（1）因为平面
平面
，交线为
平面
，
所以
平面
，又
平面
，故
.
又因为
平面
，
所以
平面
，而
平面
，
故平面
平面
.
（2）以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
.
因为
，由题设得
，
，
设
是平面
的法向量，则
，即
，令
，可得
又
是平面
的法向量，
设平面
与平面
所成角为
，
，所以
，
所以平面
与平面
所成角的正弦值是
.
16．[2026·宁夏银川三校一模.15 分，★★]在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
．已知
（1）求
；
（2）若
，
的面积为
，求
，
．
【解析】（1）
中，已知
，
由正弦定理可得
，
∵
，∴
，△ABC 中，
，∴
，
∴
（2）a=2，△ABC 的面积为
∴
，解得bc=4.
由余弦定理可得：
化为
.
联立
，解得
，∴
.
17. [2026·山东临沂一模.15 分，★★]某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，
两个游戏均有3 局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下：
游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币
第1 局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100 元奖金；第2 局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，
得500 元奖金；第3 局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900 元奖金；
游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6 的骰子）.
第1 局，抛两颗，向上
数字相同则获胜，得300 元奖金；第2 局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，
得600 元奖金；第3 局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900 元奖金.
（1）求游戏Ⅰ第2 局获胜的概率；
（2）若销售部门
3 位员工均选择游戏Ⅰ，设X 为前两局均未获胜的人数，求X 的分布列和数学期望；
（3）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.
【解析】（1）由题意知，游戏Ⅰ第
局获胜的概率
.
（2）易知
,
游戏Ⅰ第局获胜的概率为
，第
局获胜的概率为
，则第局和第
局均未获胜的概率为
，因此可知
,
随机变量
的分布列为
0
1
2
3
随机变量
的期望
或
.
（3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下：
记
分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额，
游戏Ⅰ第局获胜的概率为
，第
局获胜的概率为
，第
局获胜的概率为
，
,
游戏Ⅱ第局获胜的概率为
，第
局获胜的概率为
，第
局获胜的概率为
，
,
从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ.
■→训练专项06：三角函数+概率与统计+立体几何
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. [2026·福建莆田第二次调研.13 分，★★]已知函数
（
）的图象过点
.
（1）求
的单调递增区间；
（2）当
，且
时，证明：
.
【解析】（1）将点
代入函数解析式，得
，即
，
则有
，解得
，
，
因为
，令
，则
，所以
，
由
，
，解得
，
，
故
的单调递增区间为
，
.
（2）由（1）知
，
则
，
，
依题意，有
，即
，
因为
，即
，
代入
得
，
所以
，即
，
则有
，得证.
16. [2026·河北石家庄模拟,15 分，★★]随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来
越广泛.某AI 科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成
答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为
85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的
概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立.
（1）求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率；
（2）在某次试验中，用户输入
（
）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为
，事件
（
）的概率为
.当
取何值时，
的值最大？
【解析】（1）记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件
，
“用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件
，
由题意可得
，
，
，
，
.
所以用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8.
（2）由（1）知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8，
则
，
，
令
，
则
，
令
，则
；令
，则
；令
，则
；
所以
或
时，
取最大值.
17. [2026·陕西渭南中学模拟,15 分，★★]如图，在三棱锥
中，
是等腰直角三角形，
且斜边
，E 在棱
上，
，
，
，
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）若点P，A，B，C 均在球M 的表面上．
（i）求球M 的表面积；
（ii）求直线
与直线
所成角的余弦值．
【解析】（1）因为
，
，所以
，
，
在
中：
，
由勾股定理的逆定理得：
，
因为
是等腰直角三角形，且斜边
，
所以
，
，
在
中，由余弦定理可得
，
又
，
，
，
因此
，
在
中：
，
由勾股逆定理得：
，
因为
，且
平面
，所以
平面
，
又
平面
，故平面
平面
.
（2）（i）以
原点，
为
轴，
为
轴，平面
内垂直于
方向为
轴建立空间直角
坐标系：则
，
，
，
；
，
设外接球的球心
，球半径为
，
因为球心到各顶点距离相等，
所以
，
解方程得：
，
，
，即球心
，且
，
因此外接球的表面积
；
（ii）设直线
与直线
所成角为
，又
，
，
，
所以直线
与直线
所成角的余弦值为
.
