文档文本内容
第01 讲 平面向量的概念及线性运算
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 向量的有关概念...................................................................................................4
知识点2 向量的线性运算...................................................................................................5
知识点3 向量共线定理.......................................................................................................5
知识点4 平面向量的数量积...............................................................................................6
题型破译.........................................................................................................................................7
题型1 平面向量的概念与表示...........................................................................................7
题型2 向量的几何表示.......................................................................................................9
题型3 相等向量与共线向量.............................................................................................12
题型4 向量的加减运算
..............................................................................................15
题型5 向量的数乘运算
..............................................................................................16
题型6 向量的数量积
...................................................................................................18
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................20
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................25
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）平面向量线性运算的坐
标表示
（2）平面向量线性运算的坐
标表示
（3）平面向量线性运算的坐
标表示
（4）向量加法的法则
（5）向量减法的法则
单选题
多选题
填空题
解答题
上海卷，12
题，5 分
天津卷，14
题，5 分
新课标I 卷，第3 题，5
分
天津卷，14 题，5 分
北京卷，第5 题，4 分
新课标I 卷，第3 题，5
分
新课标II 卷，第13 题，5
分
甲卷理科，第4 题，5 分
考情分析：本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5 分
一般考查平面向量的基本概念、线性运算，易理解，易得分，需重点复习
复习目标：
1 了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示
2 掌握向量的加、减运算并理解其几何意义
3 掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义
4 理解向量的线性运算性质及其几何意义
知识点1 向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1 个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
自主检测（多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A．若
与
是共线向量，则点
、
、
、
共线
B．若
为非零向量，则
与
同向
C．若
，则
D．若
，
，则
【答案】BCD
【分析】根据共线向量的概念判断A，根据向量的线性运算判断B，由特殊向量判断C，根据向量相等判
断D.
【详解】
与
是共线向量，则
所在直线不一定重合，故点
、
、
、
不一定共线，故A
错误；
为非零向量，则
与
方向相同，故B 正确；
若
，则
成立，故C 正确；
若
，
，根据向量相等的定义知
成立，故D 正确.
故选：BCD
知识点2 向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a 与b 的相反向量
－b 的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ 与向量a 的
积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0 时，
λa 与a 的方向相同；当
λ<0 时，λa 与a 的方向
相反；当λ＝0 时，λa＝
0
λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a
＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
自主检测下列结果不是零向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A 中，由
，所以A 不符合题意；
对于B 中，由
，所以B 符合题意；
对于C 中，由
，所以C 不符合题意；
对于D 中，由
，所以D 不符合题意.
故选：B.
知识点3 向量共线定理
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝
λ a .
向量共
定理可以解决一些向量共
，点共
，也可由共
求参数；
于
段的定比分点
，用
线
线
线问题
线
对
线
问题
向量共
定理求解
更加
．
线
则
简洁
（1）若OA＝λOB＋μOC(λ，μ
常数
为
)，则A，B，C 三点共
的充要条件是
线
λ＋μ＝1.
（2）P
段
为线
AB 的中点⇔OP＝(OA＋OB)．
自主检测已知向量
，
，
，
，
，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D
B．A，B，C
C．A，C，D
D．B，C，D
【答案】A
【分析】利用向量的共线定理一一判断即可.
【详解】因为
，故A，B，D 三点共线，A 对；
因为
，
，故
，
不一定共线，B 错；
因为
，
，所以
，
不一定共线，C 错；
因为
，
，则
，
不一定共线，D 错.
故选：A.
知识点4 平面向量的数量积
1.向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O 是平面上的任意一点，作⃗OA＝a，⃗OB＝b，则∠
AOB
＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a
与b 的夹角.
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，我们把数量| a || b |cos
θ 叫做向量a 与b 的数量积，记作a · b .
3.平面向量数量积的几何意义
设a，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，⃗AB＝a，⃗CD＝b，过⃗AB的
起点A 和终点B，分别作⃗CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到⃗A1B1，我们称上述变换为向
量a 向向量b 投影，⃗A1B1叫做向量a 在向量b 上的投影向量.记为| a |cos
θ e .
4.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b · a .
(2)(λa)·b＝λ ( a · b ) ＝a ·( λ b ) (λ∈R).
(3)(a＋b)·c＝a · c ＋
b · c .
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b 的夹角为θ.
几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋
y 1y2
模
|a|＝❑√a·a
|a|＝❑√x1
2＋y1
2
夹角
cos θ＝
a·b
|a||b|
cos θ＝
x1 x2＋y1 y2
❑√x1
2＋y1
2❑√x2
2＋y2
2
a⊥b 的充要条件
a·b＝0
x1x2＋
y 1y2＝
0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
❑√( x1
2＋y1
2)( x2
2＋y2
2)
自主检测已知
，
，
，则
．
【答案】
【分析】将
平方，再根据向量的数量积进行运算即可.
【详解】根据题意，
.
故答案为：1.
题型1 平面向量的概念与表示
例1-1 下列说法中，正确的是（ ）
A．模为
的向量与任意向量共线
B．单位向量只有一个
C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
【答案】A
【分析】根据零向量的定义可判断A 选项；利用单位向量的定义可判断B 选项；利用向量不能比大小可判
断C 选项；利用向量的定义可判断D 选项.
【详解】对A，模为
的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故A 正确；
对B，单位向量的模为，但方向为任意方向，故B 错误；
对C，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故C 错误；
对D，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故D 错误．
故选：A．
例1-2 以下命题中正确的是（ ）
A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】根据向量平行与相等概念判断A，根据特例判断B，利用数量积的运算判断C，取特例判断D.
【详解】对于A，若两个单位向量平行，则这两个单位向量为相等向量或相反向量，故A 不符合题意；
对于B，当
时，则
不一定成立，故B 不符合题意；
对于C，
，两边平方可得
，则
与
的夹角为0，则
，故C 正确；
对于D，若
，则
与不一定相等，例如
，故D 不符合题意.
故选：C．
方法技巧
解决向量的概念问题要注意两点：
一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向；
二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
【变式训练1-1·变考法】（多选）下列选项中，正确的是（ ）
A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同
B．若向量
，则
C．若向量
，
满足
，则
或
D．若非零向量
与
共线，则
，
，
三点共线
【答案】BD
【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；若向量
，则根据向量的运算法则可得
，即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据共线向量的定义即可判断
选项D.
【详解】由相等向量定义可得：若两个相等的非零向量的起点相同，其终点一定相同，故选项A 错误；
若向量
，则
，所以
，故选项B 正确；
由向量的定义可得向量
，
满足
时，向量
，
可能共线也可能不共线，故选项C 错误；
若非零向量
与
共线，则
，
，
三点共线，故选项D 正确.
故选：BD.
【变式训练1-2】（多选）下列四个命题为假命题的是（ ）
A．若
，则
B．若四边形
中有
，则四边形
为平行四边形
C．若
，
，
，
，则
，
可以作为平面向量的一组基
D．若向量
，
，则向量
在向量
上的投影数量为
【答案】AC
【分析】对于A，向量不能比较大小；对于B，由相等向量的概念可判断B；不共线的两个向量可作为一
组基地，只需判断
，
是否共线即可；对于D，向量
在向量
上的投影数量为
.
【详解】对于选项A，
，则
与
不能比较大小，故A 错误；
对于选项B，四边形
中有
，由平行四边形判定定理可得，四边形
为平行四边形，故
B 正确；
对于选项C，
，
，则
，即
，
则
，
不能作为平面向量的一组基，故C 错误；
对于选项D，向量
，
，则
，
，
故向量
在向量
上的投影数量为
，故D 正确.
故选：AC.
题型2 向量的几何表示
例2-1（2025·河南·三模）若点A 在点O 的正北方向，点B 在点O 的南偏西
方向，且
，
则向量
表示（ ）
A．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
B．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
C．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
D．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
【答案】C
【分析】以O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，
标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出
即可.
【详解】以O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立如图所示的平面直
角坐标系，
依题意可得
，
设
，因为
，所以四边形OACB 为菱形，
则
，则
为正三角形，所以
，
故向量
表示从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km.
故选：C
例2-2 如图，四边形
是边长为3 的正方形，把各边三等分后，共有16 个交点，从中选取两个交点作
为向量的起点和终点，与向量
同向且长度为
的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向
量）
【答案】4 个．
【分析】利用平面向量的定义结合给定条件求解即可.
【详解】如图，我们标注一些点，
由图得与向量
同向且长度为
的向量有
，共4 个．
【变式训练2-1·变考法】一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东
方向行驶2km 到D 地，
然后从D 地沿北偏东
方向行驶6km 到达C 地，从C 地又向南偏西
方向行驶2km 才到达B 地．
(1)在如图所示的坐标系中画出
，
，
，
；
(2)求B 地相对于A 地的位移．
【答案】(1)答案见解析
(2)B 地相对于A 地的位移为“北偏东
，相距6km”．
【分析】（1）根据题意，直接画出向量图；
（2）先得到四边形ABCD 为平行四边形，即可得B 地相对于A 地的位移.
【详解】（1）向量
，
，
，
，如图所示：
（2）由题意知
．所以
，且
，
则四边形ABCD 为平行四边形．
所以
，
则B 地相对于A 地的位移为“北偏东
，相距6km”．
【变式训练2-2】如图所示的方格纸是由若干个边长为1 的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定
点A，B，点C 为小正方形的顶点，且
．
(1)画出所有满足条件的向量
；
(2)求
的最大值与最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)最大值为
，最小值为
．
【分析】根据向量的模的定义和勾股定理来确定点C 的位置，从而画出符合要求的向量
，再通过观察
图形计算
的最大值和最小值.
【详解】（1）画出所有满足条件的向量
，即
（
，2，…，8），如图所示．
（2）由（1）所画的图知，当点C 位于点
或
的位置时，
取得最小值
；
当点C 位于点
或
的位置时，
取得最大值
，
故
的最大值为
，最小值为
．
题型3 相等向量与共线向量
例3-1 如图所示，四边形
是平行四边形，四边形
是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向
量中，写出（不含
）：
(1)与向量
相等的向量；
(2)与向量
共线的向量．
【答案】(1)
，
(2)
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可.
【详解】（1）因为四边形
是平行四边形，四边形
是矩形，
所以
，又
，所以
，
与向量
相等的向量有
，
.
（2）与
共线的向量有
，
，
，
，
，
，
．
例3-2 设
，
，
，
为平面内的四点，且
，
，
.
(1)若
，求
点的坐标；
(2)设向量
，若
与
平行，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据平面向量的坐标运算以及相等向量、共线向量的坐标运算即可得解.
【详解】（1）设点
，则
,
.
因为
，
所以
，即
得
.
所以点
的坐标为
.
（2）由题意得
，
所以
，
.
因为
，所以
，
解得
.
方法技巧
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.
(2)若a 与b 不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)已知O，A，B 是不共线的三点，且⃗OP＝m⃗OA＋n⃗OB(m，n∈R)，则A，P，B 三点共线的充要条件是m
＋n＝1.
【变式训练3-1·变载体】如图，点O 是正六边形
的中心，分别写出图中
(1)与
相等的向量；
(2)与
平行的向量；
(3)与
模相等的向量；
(4)
的负向量．
【答案】(1)
(2)
(3)
，
，
，
；
(4)
【分析】（1）根据相等向量的定义即可找出与
相等的向量；
（2）根据平行向量的定义即可找出与
平行的向量；
（3）根据向量模的定义即可找出与
模相等的向量；
（4）根据相反向量的定义即可找出
的负向量．
【详解】（1）与
相等的向量为：
；
（2）与
平行的向量为：
；
（3）与
模相等的向量为：
，
，
，
；
（4）
的负向量为：
．
【变式训练3-2】如图，
为正方形
对角线的交点，四边形
，
都是正方形.在图中所示
的向量中：
(1)分别写出与
，
相等的向量；
(2)写出与
的相反向量；
(3)写出与
模相等的向量.
【答案】(1)
，
(2)
，
(3)
，
，
，
，
，
，
【分析】（1）根据相等向量的定义直接求解即可；
（2）根据相反向量的定义直接求解即可；
（3）根据模相等向量的定义求解即可.
【详解】（1）由题意
，
．
（2）由题意，与
的相反向量为：
，
．
（3）由题意，与
模相等的向量为：
，
，
，
，
，
，
．
题型4 向量的加减运算
例4-1 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则⃗
OA ＋⃗OB＋⃗OC ＋⃗OD等于( )
A.⃗OM
B.2⃗OM
C.3⃗OM
D.4⃗OM
【答案】D
【解析】如
，
接
图连
OM，
在△OAC 中，M 为AC 的中点，所以⃗OA ＋⃗OC＝2⃗OM，
在△OBD 中，M 为BD 的中点，所以⃗OB＋⃗OD＝2⃗OM，所以⃗OA ＋⃗OB＋⃗OC ＋⃗OD＝4⃗OM.
例4-2 化简⃗AB＋⃗BD－⃗AC －⃗CD等于( )
A.⃗AD
B.0
C.⃗BC
D.⃗DA
【答案】B
【解析】⃗AB＋⃗BD－⃗AC －⃗CD＝⃗AD－(⃗AC ＋⃗CD)＝⃗AD－⃗AD＝0.
方法技巧
求差用向量减法的几何意义
【变式训练4-1】已知ABCD 为平行四边形，E 为BC 的中点，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合图象，由向量的加法法则可得.
【详解】
.
故选：C.
【变式训练4-2】在
中，
，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据条件
确定点
的位置然后利用向量的线性运算用
表示
即可.
【详解】因为
，所以
为线段
的三等分点，如图所示，
.
故选：A
题型5 向量的数乘运算
例5-1 已知
，
为两个不共线的向量，
，
，则
（用
，
表示）
【答案】
【分析】根据向量的加减、数乘法则进行计算即可.
【详解】因为
，
所以
.
故答案为：
.
例5-2 如图，在平行四边形
中，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解．
【详解】在平行四边形
中，
，
，
所以
，
若
，则
，所以
．
故选：A．
方法技巧
在△ABC 中，D 为BC 上一点，若B D
DC ＝m
n ，则⃗AD＝
n
m＋n⃗AB＋
m
m＋n⃗AC
【变式训练5-1·变考法】已知向量
与
的夹角为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算公式，以及数量积的运算律，即可求解.
【详解】因为向量
与
的夹角为
，且
，可得
，
则
，
所以
.
故选：B.
【变式训练5-2·变考法】若非零向量
，
满足
，则
在
方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用投影公式计算即可得出结果．
【详解】根据题意
，
则
在
方向上的投影向量为
.
故选：A
【变式训练5-3】在平行四边形
中，
，
，记
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可.
【详解】
，
其中
，
故
．
故选：B．
题型6 向量的数量积
例6-1 在长方形ABCD 中，
，P，Q 分别为BC，CD 的中点，则
．
【答案】38
【分析】以
为原点，
为
轴的正方向，
为
轴的正方向建立平面直角坐标系，求出
的坐标，利用向量数量积的坐标运算求解.
【详解】以
为原点，
为
轴的正方向，
为
轴的正方向建立平面直角坐标系，
则有
，
，
故
，
，
故
.
故答案为：38.
例6-2 已知向量
，
满足
，
，且
，则
.
【答案】
【分析】根据模长定义及向量的数量积运算即可求解.
【详解】由
，可得
，
即
，得
，
所以
.
故答案为：
.
方法技巧
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
【变式训练6-1·变考法】已知向量
，
满足
，
，则
，
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对
进行平方，化简可得
，结合
即可求解.
【详解】由
，可得
，
即
，
整理得
，即
因为
，即
，
又
，所以
.
故选：B.
【变式训练6-2】平面向量a，b 满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则b 在a 上的投影向量为( )
A.
❑√15
12 a
B.1
4 a
C.3
8a
D.
❑√15
8
a
【答案】C
【解析】由|a＋b|＝❑√(a＋b)
2
＝❑√|a|
2＋2a·b＋|b|
2
＝❑√13＋2a·b＝4 可得a·b＝3
2，
而b 在a 上的投影向量为
|b|cos〈a，b〉
|a|
a＝a·b
|a|
2 a＝
3
2
4
a＝3
8a.
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系
中，
，
.设
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据
，求出
，进而可以用向量
表示出
，即可解出．
【详解】因为
，
，
由
平方可得，
，所以
．
，
，
所以，
，
又
，即
，
所以
，即
，
故选：D.
2．（2023·北京·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量
满足
，
所以
.
故选：B
3．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
【答案】B
【分析】方法一：以
为基底向量表示
，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求
，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以
为基底向量，可知
，
则
，
所以
；
方法二：如图，以
为坐标原点建立平面直角坐标系，
则
，可得
，
所以
；
方法三：由题意可得：
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以
.
故选：B.
4．（2025·天津·高考真题）
中，D 为AB 边中点，
，则
（用
，
表示），若
，
，则
【答案】
；
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为
，所以
，所以
．
因为D 为线段
的中点，所以
；
又因为
，所以
，
，所以
所以
，
所以
．
故答案为：
；
.
5．（2025·上海·高考真题）已知
，
是平面内三个不同的单位向量．若
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得
，再根据数量积关系设出
坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若
，则
，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量
两两垂直，显然不成立；
故
.
不妨设
，则
，
不妨设
，
，
则
，则
，
则
，
由
，
，
则
，
故
.
故答案为：
.
6．（2024·天津·高考真题）已知正方形
的边长为1，
若
，其中
为实
数，则
；设
是线段
上的动点，
为线段
的中点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】解法一：以
为基底向量，根据向量的线性运算求
，即可得
，设
，求
，结合数量积的运算律求
的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求
，即
可得
，设
，求
，结合数量积的坐标运算求
的最小值.
【详解】解法一：因为
，即
，则
，
可得
，所以
；
由题意可知：
，
因为
为线段
上的动点，设
，
则
，
又因为
为
中点，则
，
可得
，
又因为
，可知：当
时，
取到最小值
；
解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则
，
可得
，
因为
，则
，所以
；
因为点
在线段
上，设
，
且
为
中点，则
，
可得
，
则
，
且
，所以当
时，
取到最小值为
；
故答案为：
；
.
1．若
，
，且
，则
与
的夹角为 ；
【答案】
/
/
【分析】根据已知结合数量积的运算律可推得
，然后即可求出
，进而得出答案.
【详解】由已知可得，
，
所以，
，
所以，
.
又
，所以
.
故答案为：
.
2．飞机从A 地向西北飞行200km 到达B 地后，又从B 地向东飞行
km 到达C 地，再从C 地向南偏东
60°飞行
km 到达D 地，求飞机从D 地飞回A 地的位移．
【答案】大小为
，方向为南偏西
【分析】作图，根据已知结合几何关系，即可得出答案.
【详解】
如图，飞机从
运动到
的过程，
由已知可得，
，
，且
，
所以，
，
.
过点
作
，
因为
，
所以
，
，
所以，
.
由勾股定理可得，
，
，所以
.
所以，飞机从D 地飞回A 地的位移大小为
，方向为南偏西
.
3．已知非零向量
，
不共线．
(1)如果
，
，
，求证：
，
，
三点共线；
(2)欲使
和
共线，试确定实数
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【分析】（1）根据平面向量基本定理用
，
分别表示出
，
，有
，且都过点
，进而可
证
，
，
三点共线；
（2）根据已知条件有
，求得
，解出
即可.
【详解】（1）证明：因为
，
，
所以
，
共线，且有公共点
，所以
，
，
三点共线.
（2）因为
与
共线，所以存在实数
，使
，
则
，又由于向量
，
不共线，只能有
，
解得：
4．已知
，
，当
，
满足下列条件时，分别求
的值．
(1)
；
(2)
；
(3)
与
的夹角为
．
【答案】(1) 或
(2)
(3)
【分析】根据数量积的定义计算可得.
【详解】（1）因为
，所以
与
的夹角为
或
，又
，
，
当
与
的夹角为
时
，
当
与
的夹角为
时
.
（2）因为
，所以
与
的夹角为
，
所以
.
（3）因为
与
的夹角为
，
所以
.
5.如图，在细绳l 上作用着一个大小为200N 的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细
绳的另一端与水平面平行，求物重G 的大小．
【答案】
【分析】作图，进行力（向量）的分解，即可得出答案.
【详解】
设细绳作用力为
，则
，
如图，对力
进行分解，可得
.
根据力的平衡可知，物重G 的大小为
.
6.如图，在倾角为
、高
m 的斜面上，质量为5kg 的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜
面压力的
倍，
N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参
考数据
，
）．
【答案】答案见解析
【分析】首先分析物体的受力，再计算各个力所做的功.
【详解】物体受三个力，重力
，斜面对物体的支持力
，摩擦力
，
且重力
可分解为沿斜面向下的分力
和垂直斜面的分力
，则重力
与位移之间的夹角
，
则重力对物体做的功
，
支持力
与位移方向垂直，做功为
，
摩擦力
与位移方向相反，对物体做功
．
