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第06 讲 函数的图象
目录
01 常考题型过关练
型
题
01 函数的图象变换
型
题
02 由解析式选择图象
型
题
03 由图象
解析式
选择
型
题
04 解析式含参数图象问题
型
题
05 函数图象的
用
应
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
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01 函数的图象变换
1．将抛物线
先向右平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，所得到的抛物线解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】二次函数图象应用平移的规律：左加右减，上加下减求函数解析式.
【详解】抛物线
先向右平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，
所得到的抛物线解析式为
，即
，
故选：D.
2．函数
的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【分析】利用函数图象的对称变换和平移变换可得结果.
【详解】先将函数
的图象关于原点对称，可得出函数
的图象，如下图所示：
再把所得函数图象向左平移个单位长度，即可得出图②所示图象，
故图②所示图象对应的函数为
.
故选：D.
3．将函数
的图象向下平移1 个单位长度，再向右平移1 个单位长度，得到函数
的图象，
则
．
【答案】
【分析】根据函数的图象的平移变换法则可得答案.
【详解】将函数
的图象向下平移1 个单位长度，
可得函数
的图象，
再向右平移1 个单位长度，可得函数
的图象，
所以
．
故答案为：
4．若函数
的图象经过点
，则函数
的图象一定经过点 .
【答案】
【分析】根据题意对
合理赋值即可求出其经过的定点.
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【详解】函数
的图象经过点
，即
，
对于函数
，令
得
，
所以函数
经过定点
，
故答案为：
5．作出下列各函数的图象：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）化简
可得
，根据函数图象的平移规律即可得其图象；
（2）根据图象的翻折变换得到图象；
（3）根据图象的翻折变换得到
的图象，再由平移变换得解.
【详解】（1）原函数解析式可化为
，
所以函数图象可由函数
上的图象向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到，如图所示．
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（2）
的图象可由函数
的图象保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分翻
折到x 轴上方得到，
如图所示．
（3）
，其图象可看作由函数
的图象向右平移1 个单位长度，再向下平移1 个单位长
度得到，
而
，其图象可由
的图象保留
时的图象，然后将该部分关于y 轴对称得
到，
所以
的图象如图所示．
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02 由解析式选择图象
6．已知函数
，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由函数
的奇偶性得出加减函数是非奇非偶函数判断A，B，再代入计算
特殊值排除D.
【详解】函数
，定义域为
，
是偶函数，
是奇函数，
对于A，B，
及
为非奇非偶函数，与函数图象不符；
对于D，当
时，
，分母为0，不存在函数值，排除D，
故选:C．
7．函数
的图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【分析】根据奇偶性可排除CD，根据单调性可排除B.
【详解】
的定义域为
，
，
为奇函数，关于原点对称，排除C，D；
又
，
在
上单调递增，
在
单调递增，
在
单调递增，排除
，
故选：A
8．函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【分析】应用奇偶性定义判断函数奇偶性，结合
的函数符号，应用排除法即可得.
【详解】令
且定义域为R，
，即
为奇函数，排除C、
D；
当
时，
恒成立，排除B.
故选：A
9．曲线
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
结合诱导公式得出
或
，化简曲线方
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程，可得合适的选项.
【详解】由
可得
或
，
即
或
，
所以，曲线
由一族同心圆
与
直线
以及两族等轴双曲线
、
构成.
故选：D.
03 由图象选择解析式
10．已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据图象上特殊点代入可排除BCD，得解.
【详解】由图象过点
可知，AC 选项满足，BD 选项不满足，故排除BD；
对A，
，而对于C，
，故排除C.
故选：A
11．已知函数
的部分图象如图所示、则
的解析式可能为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用奇偶性和取自变量接近于0 的函数值来判断正负即可得到选项.
【详解】由奇偶性判断可知：
是偶函数，
是奇函数，
是偶函数，
是奇函
数，
而函数图象是关于
轴对称，必然是偶函数，所以BD 错误；
再当
时，可知
，故A 错误；
所以C 正确，
故选：C.
12．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的
特征.我们从这个商标
中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据
不成立排除选项C，即可得正确选项.
【详解】因为函数
的定义域为
，
函数
的定义域为
，
函数
与
的定义域均为
，
由图知
的定义域为
，排除选项A、D，
对于
，当
时，
，不符合图象
，所以排除选项C.
故选：B.
13．如图是下列选项中某个函数的部分图象，则该函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
时，
，可排除B，D；再由
可排除C.
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【详解】由图可知当
时，
，故排除B，D；
设
，则
，故排除C．
故选：A．
14．若曲线
的部分图象如图所示，则
的解折式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用排除法，根据函数值的符号以及函数单调性分析判断.
【详解】由图象可知
，
对于选项A：因为
，故A 错误；
对于选项B：因为
，故B 错误；
由图象可知：存在
，使得
在
内单调递减，
对于选项C：因为
在
内单调递增，且
在
内单调递增，
可知
在
内单调递增，故C 错误；
故选：D.
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04 解析式含参数图象问题
15．（多选）函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】求导，分
四种情况讨论求解即可.
【详解】
，
当
时，若
，得
，即函数
在
上单调递减，
若
，得
，即函数
在
上单调递增，
此时函数
有最小值为
，且
，故B 符合题意，A 不符合题意；
当
时，若
，得
，即函数
在
上单调递减，
若
，得
，即函数
在
上单调递增，
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此时函数
有最小值为
，故C 符合题意；
当
时，若
，得
，即函数
在
上单调递减，
若
，得
，即函数
在
上单调递增，
此时函数
有最小值为
，且
，故D 符合题意；
当
时，
恒成立，则函数
在
上单调递增.
故选：BCD
16．已知
是单调递增函数，则函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
在R 上为增函数，可得
，再求出函数
的正负即可判断.
【详解】因为函数
在R 上为增函数，且
是单调递增函数，
所以
，
又因为函数
定义域为
，
且
时，
，排除A；
当
时，
；当
时，
；
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所以C，D 选项错误；
故选：B
17．已知二次函数
的图象如图所示，则一次函数
与反比例函数
的图象可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】二次函数图象得到
的符号，由此可知一次函数
和反比例函数
的图象，结合
图象即可确定正确选项.
【详解】观察二次函数图象可知：
，
一次函数
的图象经过第一、三、四象限，反比例函数
的图象在第二、四象限．
故选：C．
18．（多选）函数
（
）的大致图象可能为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】先求得
，根据判别式对
进行分类讨论，由此确定正确答案.
【详解】因为
的定义域为
，
．
当
，即
时，
对任意
恒成立，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
当
，即
或
时，
设方程
的两根为
，且
，
可知
，可知
同号，
令
，得
；令
，得
或
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
故A，B 正确，D 错误.
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故选：ABC.
05 函数图象的应用
19．（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
处取得极小值
B．当
时，方程
有两个不同的实根
C．
D．若点
在
的图象上运动，则点
到直线
距离的最小值为
【答案】AD
【分析】对于A，对
求导，利用极值点的定义可求；对于B，作出
的图象，利用数形结合思想
可解；对于C，注意
，构造函数
，利用
单调性即可判断
与
的大小，结合
的单调性即可判断；对于D，根据条件，过点
的切线与
平行时距离的
最小，利用导数几何意义求出切点即可.
【详解】对于选项A，因为
，则
，
当
时，
，当
时，
，且
，
所以
是
的极小值点，
又
，所以选项A 正确，
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对于选项B，由选项A 知，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
又当
时，
，当
时，
，
的图象如图，
令
，由图知，当
时，
与
有两个交点，
当
时，
与
只有一个交点，所以选项B 错误，
对于选项C，由
，
联想到构造函数
，
在
上为正，在
上为负，
上
上为增函数，在
上为减函数
由
，可得
由
在
上为增函数，可得
故C 错误，
（对于选项C 也可先估算出
，再结合
的单调性判断出C 错误）
对于选项D，设点
，易知当曲线在
处的切线与
平行时，
点
到直线
的距离最小，又
，
则
，令
，则
，
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易知，当
时，
，当
时，
，
所以
在区间
上单调递减，
在区间
上单调递增，且
时，
，又
，所以
，
又
，得到
，所以
到直线
的距离为
，故选项D 正确，
故选：AD.
20．（多选）如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正三角形
，沿着
轴连续滚动（滚动时无滑
动），若滚动中，顶点
恰好经过坐标原点，设顶点
满足
，则下列判断正确的有（ ）
A．
B．函数
的对称轴方程为
C．函数
的单调增区间为
D．函数
恰有3 个零点，则
或
【答案】ABD
【分析】画出图形，结合周期性和对称性以及单调性可判断ABC，由直线与圆的位置关系可得D.
【详解】如图，
在图中一段一段的扇形上运动，
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对于A，初始时
在原点，当
时，
即为正三角形的高，故A 正确；
对于B，
的一条对称轴为
，周期为6，每经过半个周期均为
的对称轴，
所以函数
的对称轴方程为
，故B 正确；
对于C，函数
的单调增区间为
，故C 错误；
对于D，当
时，
直线
与圆
相切，此时
；
当直线
与圆
相切，此时
，经检验切点恰在所在圆弧上，
，
；
当
与圆
相切时，可得
，
结合图象要使
与
恰有3 个交点，则
或
，故D 正确.
故选：ABD.
21．已知函数
，若函数
有两个实数解，则实数
的取值范围
．
【答案】
【分析】将问题转化为
与直线
有两个交点，由对勾函数性质可得
大致图象，据此
可得答案.
【详解】因
，则0 不是
的解.
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时，
.
令
，
依题意函数
的图象与直线
有两个公共点.
时，
时，
，
于是得
，
由对勾函数知，
在
上递减，在
上递增，且
.
又
在
上递减，在
上递增，且
.
如图：
直线
与
的图象有两个公共点，
；
直线
与
的图象有两个公共点，
.
从而得函数
的图象与直线
有两个公共点时
或
.
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
22．已知曲线
与
和
分别交于
两点，设曲线
在
处的切线斜率为
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在
处的切线斜率为
，若
，则
．
【答案】
【分析】根据题意结合对称性可设
，结合导数的几何义求得
，即可得结
果．
【详解】因为
和
互为反函数，其图象关于直线
对称，
且反比例函数
的图象也关于直线
对称，
可知点
关于直线
对称，
设
，则
，
设
，则
，
由题意可得：
，解得
或
(舍去)，
可得
，代入
可得
，所以
．
故答案为：
．
23．若函数
满足
，且
时，
，已知函数
，则函数
在区间
内的零点个数有 个
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【答案】12
【分析】根据题意，作出函数
的图象，即可得到交点个数，从而得到结果.
【详解】因为
，
所以函数
是周期为2 函数，
因为
时，
，
所以作出它的图象，则
的图象如图所示．
再作出函数
的图象，
容易得出交点为12 个．
故答案为：
1．
已知函数
为奇函数，
，且
与
图象的交点为
，则
（ ）
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A．9
B．6
C．18
D．12
【答案】C
【详解】
与
图象的交点
两两关于点
对称，所以
，
故
．
2．
已知函数
，若方程
的实数解恰有两个，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数
的取值范围.
【详解】当
时，函数
在
上单调递减，函数值集合为
，
在
上单调递增，函数值集合为
；
当
时，
在
上递增，函数值集合为R，
在直角坐标系内作出函数
的图象与直线
，
由图象知，当
或
时，直线
与函数
的图象有两个交点，
即方程
有两个实数解.
故选：C.
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3．函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】计算可得
，从而知
为偶函数，再由
，得解．
【详解】解：函数的定义域为
，
，所以
为偶函数，排除选项D，
因为
，所以选项C 正确，AB 错误．
故选：C.
4．
（多选）关于函数
的下列说法中正确的是（ ）
A．最小值为0
B．只有一个极值点
C．
可能有三个根
D．有三个单调区间
【答案】ACD
【分析】讨论当
，
时，求导函数
确定函数的单调性，即可判断D 选项；根据单调性确定
函数的取值情况得函数
的大致图象，根据图象判断A、B、C 选项即可得结论.
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【详解】当
时，
，
，
令
得
，所以当
时，函数
单调递增，
时，函数
单调递减，
当
时，
，
恒成立，则
在
上单调递减，
故
的增区间为
，减区间为
，
，共三个单调区间，故D 正确；
又
，则
的图象大致如下：
由图象可得：
函数
的最小值为0，故A 正确；
函数
有两个极值点为
，故B 不正确；
当
时，方程
有三个根，故C 正确.
故选：ACD.
5．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性，并代入特值可得解.
【详解】从四个选项中可以看出，函数奇偶性、函数值的正负无法排除任意选项，
但满足
，
因此
的图象关于直线
对称，可排除AB，
又
，排除D，
故选：C.
1．（2023·天津·高考真题）已知函数
的部分图象如下图所示，则
的解析式可能为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B 中函数的奇偶性，再判断A、C 中函数在
上的
函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且
，
由
且定义域为R，即B 中函数为奇函数，排除；
当
时
、
，即A、C 中
上函数值为正，排除；
故选：D
2．（2022·天津·高考真题）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在
上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选
项.
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【详解】函数
的定义域为
，
且
，
函数
为奇函数，CD 选项错误；
又当
时，
，B 选项错误.
故选：A.
3．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间
的大致图象，则该函数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数图象的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设
，则
，故排除B;
设
，当
时，
，
所以
，故排除C;
设
，则
，故排除D.
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故选：A.
4．（2022·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令
，
则
，
所以
为奇函数，排除BD；
又当
时，
，所以
，排除C.
故选：A.
5．（2023·北京·高考真题）设
，函数
，给出下列四个结论：
①
在区间
上单调递减；
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②当
时，
存在最大值；
③设
，则
；
④设
．若
存在最小值，则a 的取值范围是
．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】先分析
的图象，再逐一分析各结论；对于①，取
，结合图象即可判断；对于②，分段
讨论
的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图象可知
的范围；对于④，取
，结合图象
可知此时
存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意，
，
当
时，
，易知其图象为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当
时，
，易知其图象是，圆心为
，半径为
的圆在
轴上方的图象（即半
圆）；
当
时，
，易知其图象是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取
，则
的图象如下，
显然，当
，即
时，
在
上单调递增，故①错误；
对于②，当
时，
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当
时，
；
当
时，
显然取得最大值
；
当
时，
，
综上：
取得最大值
，故②正确；
对于③，易知当
时，在
，
且接近于
处，
的距离最小，
当
时，
，当
且接近于
处，
，
此时，
，
当
时，
且接近于
处，
的距离最小，
此时
；故③正确；
对于④，取
，则
的图象如下，
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因为
，
结合图象可知，要使
取得最小值，则点
在
上，点
在
，
同时
的最小值为点
到
的距离减去半圆的半径
，
此时，因为
的斜率为，则
，故直线
的方程为
，
联立
，解得
，则
，
显然
在
上，满足
取得最小值，
即
也满足
存在最小值，故
的取值范围不仅仅是
，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得
的图象，特别是当
时，
的图
象为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
6．（2023·全国甲卷·高考真题）设
，函数
．
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(1)求不等式
的解集；
(2)若曲线
与
轴所围成的图形的面积为2，求
．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）分
和
讨论即可;
（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.
【详解】（1）若
,则
,
即
,解得
,即
,
若
,则
,
解得
,即
,
综上,不等式的解集为
.
（2）
.
画出
的草图,则
与
轴围成
,
的高为
,所以
,
所以
,解得
.
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