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专题六 不等式、函数与导数
第2 讲 函数的图象与性质
【探究真题.明确方向】
1.(2024·全国甲卷，理T7)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x 在区间[-2.8，2.8]的图象大致为( )
2.(2025·全国Ⅰ卷，T5)已知f(x)是定义在R 上且周期为2 的偶函数，当2≤x≤3 时，f(x)=5-2x，则f (−3
4)
等于( )
A.-1
2
B.-1
4
C.1
4
D.1
2
3.(多选)(2022·新高考全国Ⅰ卷，T12)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x).若f
(
3
2 −2 x)，g(2+x)均为偶函数，则( )
A.f(0)=0
B.g(−1
2)=0
C.f(-1)=f(4)
D.g(-1)=g(2)
4.(2023·全国甲卷文，T14)若f(x)=(x-1)2+ax+sin(x + π
2)为偶函数，则a= .
【命题预测】本讲是历年高考命题必考的内容，高中低档题目都有考查，主要以选择题或填空题的形式进
行考查，分值约为10~12 分.
【考向预测】一是函数的性质，主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及其性质的综合应用；
二是基本初等函数，主要考查幂指对函数的图象与性质；三是函数的图象，主要考查画图、识图以及图象
的应用.
考点一 函数的性质
【典例】1 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)={
−x
2−2ax−a，x<0，
e
x+ ln( x +1)，x ≥0
在R 上单调递增，则a 的取值
范围是( )
A.(-∞，0]
B.[-1，0]
C.[-1，1]
D.[0，+∞)
(2)(多选)(2025·银川模拟)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=-f (x + 3
2)，f(-1)=1，f(0)=-2，且f
(x−3
4)为奇函数，则( )
A.f(x)为奇函数
B.f(x)为偶函数
C.f(x)是周期为3 的周期函数
D.f(0)+f(1)+…+f(30)=-2
【变式训练】1 (1)(2025·黄冈模拟)已知函数f(x)=sin x+ex-e-x，若a=f(-2)，b=f (
1
2)，c=f(ln 2)，则(
)
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a
(2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则( )
A.f(0)=2
B.f(3-x)=f(3+x)
C.f(x)是周期函数
D.f(x)的解析式可能为f(x)=2sinπ
6 x
考点二 基本初等函数
【典例】2 (1)(多选)已知幂函数f(x)=(8m2-5)x
m
2，则( )
A.m=±
❑√3
2
B.f(x)的定义域为R
C.f(x)为非奇非偶函数
D.不等式f(2x+1)>f(5-x)的解集为(
4
3 ，+∞)
(2)(2025·全国Ⅰ卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z 的大小关系不可能为( )
A.x>y>z
B.x>z>y
C.y>x>z
D.y>z>x
【变式训练】2 (1)已知函数f(x)=2
a x
2−x +1的值域为M.若(1，+∞)⊆M，则实数a 的取值范围是( )
A.(−∞，1
4]
B.[0，1
4]
C.(−∞，−1
4]∪[
1
4 ，+∞)
D.[
1
4 ，+ ∞)
(2)(2025·北京)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位：
小时)，其中k 为常数.在此条件下，已知训练数据量N 从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练
时间增加20 小时；当训练数据量N 从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单
位：小时)( )
A.2
B.4
C.20
D.40
考点三 函数的图象
【典例】3 (1)(2025·成都模拟)函数f(x)=sin π x
e
x+e
−x 的部分图象大致为( )
(2)已知函数f(x)={
|ln x|，x>0，
2
x，x ≤0，
若a<b<c，且f(a)=f(b)=f(c)，则cf(c)的取值范围为( )
A.(0，e]
B.(0，e)
C.[e，+∞)
D.(e，+∞)
【变式训练】3 (1)(2025·天津)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=
x
1−|x|
B.f(x)=
x
|x|−1
C.f(x)= |x|
1−x
2
D.f(x)= |x|
x
2−1
(2)已知a>0，且a≠1，则函数y=loga(x + 1
a)的图象一定经过( )
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.函数y=f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x 对称，则f (
1
3)+f(9)等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.(2025·天津滨海新区模拟)已知a=30.9，b=log29，c=e-ln 3，则( )
A.b>a>c
B.b>c>a
C.c>a>b
D.a>c>b
3.(2025·西安模拟)若函数f(x)=2
x
2+ax−3在(1，+∞)上单调，则实数a 的取值范围是( )
A.[-2，+∞)
B.[-1，+∞)
C.(-∞，-2]
D.(-∞，-1]
4.(2025·石家庄模拟)已知函数g(x)=ax2+bx+a-b，其中a，b 为常数，若函数f(x)=(
1
a)
x−b
的图象如图所示，
则( )
A.g(x)的图象与坐标轴有三个交点
B.g(x)的图象的对称轴在y 轴左侧
C.关于x 的方程g(x)=1 有两个不等实根
D.g(x)在区间(1，+∞)上单调递增
5.(2025·沧州模拟)已知a>0，且f(x)=ln 1+ax
1−3 x 为奇函数，则( )
A.f (
1
2a)>f (
1
3a)>0
B.f (
1
3a)>f (
1
2a)>0
C.f (
1
2a)>0>f (
1
3a)
D.f (
1
3a)>0>f (
1
2a)
6.(2025·赣州模拟)已知a=log23+log32，b=log45+log54，则下列结论正确的是( )
A.a>b>2
B.a>2>b
C.b>a>2
D.2>a>b
7.(2025·北京)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|
f(x0)|>M”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8.下列可以作为方程x3+y3=4xy 的图象的是( )
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2025·北京东城区模拟)已知f(x)={
g( x)，x>0，
−g( x)，x<0.下列选项中，不能使f(x)既是奇函数又是增函数的是(
)
A.g(x)=x
B.g(x)=x2
C.g(x)=ex
D.g(x)=ln|x|
10.(2025·白银模拟)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)+f(x+2)=6，且∀t≠0，tf(x+t)-tf(x)<0，则下列说法正
确的是( )
A.函数y=f(x+1)-3 为偶函数
B.函数f(x)为减函数
C.函数f(x)的图象关于点(1，3)中心对称
D.f(3x-2)-3>0 的解集为(1，+∞)
11.(2025·深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(f(x+y))=f(x)+f(y)，f(1)=1，则( )
A.f(0)=0
B.f(x)的图象关于点(0，0)中心对称
C.f(x)的图象关于直线x=1
2对称
D.f(2 025)=2 025
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.已知函数 f(x)=loga(3-x)+1
4 (a>0 且 a≠1) 的图象经过定点A，若幂函数y=g(x)的图象也经过该点，则g
(
1
2)= .
13.(2025·河南名校学术联盟模拟)已知定义在R 上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)满足
f(x)=f(4-x)，f(x)在区间(-∞，2)上单调递减，f(0)=0，则关于x 的不等式f ( x)
2−x <0 的解集为 .
14.(2025·镇江模拟)已知A，B，C 是函数f(x)=|log2x|的图象上的三点，且A 在x 轴上，BC∥x 轴，BC=15
4 ，
则⃗AB·⃗AC= .
【拓展训练】(每小题6 分，共12 分)
15.(多选)(2025·江西省新八校模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)+f(x-2)=f(x-1)，且f(17)>f(25)，
f(18)>f(16)，则下列结论一定正确的是( )
A.f(x)=f(x+6)
B.f(2)+f(4)=0
C.f(20)<20
D.f(30)>30
16.(多选)(2025·北京改编)关于定义域为R 的函数f(x)，以下说法正确的有( )
A.存在在R 上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x 恒成立
B.存在在R 上单调递减的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x 恒成立
C.使得f(x)+f(-x)=cos x 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个
D.使得f(x)-f(-x)=cos x 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个
