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专题06 解三角形培优归类
题型1 三角形形状判断
正余弦定理：化角为边型
若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
正余弦定理：化边为角型
若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”
1．（24-25 高三·江苏阶段练习）在
中，已知
，则
的形状为
【答案】等腰或直角三角形
【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可.
【详解】在
中，由
及余弦定理，得
，
整理得
，即
，
而
，因此
或
，
所以
或
，即
为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形
2．（24-25 高三江苏徐州·阶段练习）在
中，若
，则该三角形为 三角
形．
【答案】直角
【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到
，进而求得
，得到
，即可得到答案.
【详解】在
中，因为
，
由正弦定理，可得
，
又因为
，可得
，
且
，
所以
，
所以
，
因为
，
，可得
，所以
，
又因为
，所以
，所以
为直角三角形.
故答案为：直角.
3．（21-22 高一下·北京·阶段练习）已知△
的三个内角
所对的边分别为
，则下列条件能
推导出△
一定为锐角三角形的是 ．
①
；②
；③
；④
.
【答案】②④
【分析】利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理逐项判断即可求解.
【详解】对于①，若
，由余弦定理可知
，
即角
为锐角，不能推出其他角均为锐角，故①错误；
对于②，因为
，则
，
由正弦定理得
，设
，
，
，
，
可得为最大边，
为三角形最大角，
根据余弦定理得
，
则
为锐角，可得
一定是锐角三角形，故②正确；
对于③，因为
，
则
，整理可得
，
由正弦定理可得
，可得
为直角，故③错误；
对于④，因为由于
，
则
，
故
，
由于
，故
，
故
，
，
均为锐角，
为锐角三角形，故④正确．
故答案为：②④．
4．（24-25 高三·上海·阶段练习）在
中，
（a、b、c 分别为角A、B、C 的
对边），则
的形状为 .
【答案】等腰或直角三角形
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简推理即得.
【详解】在
中，
及正弦定理得
，
而
，则
，
于是
，则
或
，而
，因此
或
，
所以
为等腰或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形
题型2 三角形几解的判断
判断三角形解的个数有2 种：
画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。
①若无交点，则无解；
②若有一个交点，则有一个解；
③若有两个交点，则有两个解；
④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。
公式法：运用正弦定理进行求解。
①a＝bsinA，△＝0，则一个解；
②a＞bsinA，△＞0，则两个解；
③a＜bsinA，△＜0，则无解。
1．（22-23 高一下·湖北襄阳·期中）在
中，
边上的高为2，则满足条件的
的个数为 .
【答案】2
【分析】根据正弦定理计算出三角形外接圆半径，求得A 到
的距离的最大值，和
边上的高为2 比较，
即可确定答案.
【详解】因为
中，
，
所以
的外接圆半径为
,
即A 位于以2 为半径的圆弧
上，
如图，当
为正三角形时，此时顶点A 到
的距离的最大值为
,
如图当A 位于
处时，此时
为外接圆直径，则
,
则
，满足
边上的高为2，
故满足条件的
的个数为2 个，
故答案为：2
【点睛】方法点睛：解答本题判断符合条件的三角形个数问题，采用作图分析即数形结合，即可判断得出
结论.
6．（22-23 高三上海阶段练习）在
中，角
所对的边分别为
已知
要使
该三角形有唯一解，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用正弦定理得出
，根据
的度数和三角形只有一解，可得
只有一个值，根据正
弦函数的图象与性质得到
的范围，从而得到
的范围.
【详解】因为
由正弦定理可得：
，
又
，且三角形只有一解，可得A 只有一个值，
或
，
或
，
，或
又
，
的取值范围为
，
故答案为
【点睛】本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，特殊角的三角函数值，属于中档题.
2．（24-25 高三·北京阶段练习）在△ABC 中，
请给出一个
值 ，使该三角形有两解.
【答案】3（答案不唯一）
【分析】先由正弦定理得到
，由三角形有两个解，可得
且
，进而可得答案.
【详解】根据正弦定理得到
，
因为三角形有两个解，
且
，
即
且
，可得
所以
时，三角形有两个解.
故答案为：3（答案不唯一）.
4．（24-25 高三吉林·模拟）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
，若
有两解，则的一个可能整数值为 .
【答案】
/
【分析】根据正弦定理可得
，由
有两解可得
，根据不等式的性质即可求解.
【详解】由正弦定理
及题中条件可得
.
∵
有两解，∴
，即
，
∴
，即
.
∴的一个可能整数值为
（或）.
故答案为：
（或）.
题型3 解三角形求角度（范围最值）
求三角形角度，要涉及到角的锐钝的判断，可以通过余弦值的正负判断。如果不能直接判断，那么借
助其他角来判断。如涉及到锐角三角形，则三个角都要转化判断锐钝。
1．（25-26 高三上·北京·开学考试）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，
则
的最大值是 .
【答案】
/
【分析】由余弦定理及基本不等式求出
的范围，再根据三角形内角范围及余弦函数的单调性求出
范
围.
【详解】由余弦定理得
，当且仅当
时取等号，
因为
，
在
单调递减，所以
，即
的最大值是
．
故答案为：
2．（2025 高一·全国·专题练习）已知
是
的重心，
，其中内角
的对
边分别为
，则
．
【答案】
/
【分析】三角形重心的性质以及向量的线性运算，将已知向量等式转化为边的关系，再利用余弦定理求出
角
.
【详解】解法1：因为
为
的重心，所以
，
从而
，将其代入已知条件中，可得
．
又因为
与
不共线，所以
，即
，所以
，即
．
解法2：（以
，
为基底）因为
，
，
，所以
可化为
，即
．
因为
与
不共线，所以
解得
所以
，即
．故答案为：
或
3．（2025 高三·全国·专题练习）若
的内角
满足
，则当角
取最大值时，角
的
大小为 ．
【答案】
【分析】首先得
，然后由基本不等式得角
取最大值时，角
、角
的值即
可.
【详解】由条件得
，因此
，
所以
，由此可知
，
，
，
从而
，当且仅当
，即
时，
，
的最大值为
，
所以角
的大小为
．故答案为：
.
4．（2025 高三·全国·专题练习）在
内，内角
的对边分别为
，若
，且
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据余弦定理和已知条件得
，进而利用正弦定理边角互化得
，由余弦的和差角公式可得
，即可代入化简求解.
【详解】由余弦定理
得
，
由正弦定理，得
，
因为
，
又
，所以
，
所以
，即
，
化简得
,解得
．又
,故
所以
的取值范围是
．故答案为：
题型4 复合型三角函数最值
复合型角或者三角函数范围最值，
1.
以给了函数值的角度为基角来拆角。
2.
讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号
3.
所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度
1．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，内角
的对边分别为
，已知
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及余弦函数性质建立不等式求出范围.
【详解】在
中，由
及正弦定理得
，即
，则
，
令
，由
，得
，由余弦定理得
，由
，得
，因此
，
整理得
，解得
，所以
的取值范围为
.
故选：C
2．（24-25 高一下·湖南永州·期末）在锐角
中，角A，B，C 所对应边分别为a，b，c，
的面
积为S，若
，则
的可能取值为（ ）
A．
B．3
C．4
D．
【答案】C
【分析】使用面积公式以及正弦定理化简得到
，并结合余弦定理求得
，根据锐角三角形
可得
，然后化简式子并使用对勾函数的性质可得结果.
【详解】在锐角
中，
，
所以
，即
，
由正弦定理有
，又由余弦定理
，
，
由正弦定理有
，
，
，所以
，即
，
又锐角
中，
，
，
，故
的可能取值为4，
答案选：C.
3．（24-25 高三江苏无锡·阶段练习）
的内角
的对边分别为
，已知
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到
，再利用基本不等式即可得解.
【详解】由余弦定理得
①，
②,
由
得，
,
故
，
因为
，所以
，
由正弦定理得
，
即
，
所以
，
则
，
因为在
中，
不同时为
，
故
，所以
，
又
，所以
，则
，故
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，此时
.
故答案为：
.
4．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，内角
的对边分别为
，已知
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理边角互化可得
，进而根据余弦定理可得
，结合三角函数的性
质即可求解.
【详解】由题知
，由正弦定理得
．
设
，由三边关系可得
，所以
．
由余弦定理得
．
因为
，所以
，则有
，
整理得
，解得
，
故选：B．
题型5 边角互化：面积最值型
三角形面积 ，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下：
①S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝
②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r 是切圆的半径)
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
内接于单位圆，且
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依据条件可得
，然后根据正弦定理、余弦定理以及面积公式可知结果.
【详解】
，
，
，
，
.
又
的外接圆为单位圆，其半径
，
由正弦定理可得
，
由余弦定理可得
，
代入数据可得
，
当且仅当时
时，“
”成立，
，
的面积
，
的最大值为
.
故选：D.
2．（24-25 高三·江苏苏州·模拟）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
，则
的面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理将角化边得到
，再由余弦定理得到
，从而表示出
，最
后由面积公式及二次函数的性质计算可得.
【详解】因为
，由余弦定理可得
，
所以
，所以
，又
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
所以当
，即
时，
取得最大值，且
.
故选：D
3．（2024·陕西·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．12
D．15.
【答案】C
【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出
的关系，再利用余弦定理求出
，进而可得出
，再
根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】由
，由正弦定理得
，即
，
所以
，
由余弦定理得
，
所以
，
所以
，
当
，即
时，
取得最大值
.
故选：C.
4．（23-24 高三·福建泉州·阶段练习）在锐角
中，
、
、分别是角
、
、
所对的边，已知
且
，则锐角
面积的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理求出角
，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变
换转化为三角函数求范围即可.
【详解】
且
，
,
根据正弦定理得，
,
即
，
整理得
，
，
，
，解得
，
，
，
，
,
的面积
为锐角三角形，
，
，
，
，
，
.故选：C.
题型6 边角互化：周长最值型
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与
角度有关的范围问题，
常用处理思路：
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限
制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
．
1．（2025·广东广州·模拟预测）记锐角三角形
的内角
所对的边分别为
，已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和得
，结合正弦定理计算
，利用两角和的正弦公
式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得
的取值范围．
【详解】因为
，所以
．
由正弦定理
，有
所以
．
因为
．
又
，
所以
．
因为
是锐角三角形，所以
所以
，所以
．
所以
，即
的取值范围是
，
故选：D．
2．（24-25 高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在
中，已知
，
，
则
周长最大值为（ ）
A．4
B．6
C．
D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理角化边，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】在
中，由
及正弦定理，
得
，整理得
，而
，
因此
，解得
，当且仅当
时取等号，
所以当
时，
周长取得最大值6.
故选：B
3．（24-25 高三·贵州贵阳·阶段练习）在锐角三角形
中，角
、
、
的对边分别为
、
、、，
若
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理结合辅助角公式和正弦函数的性质可求
的取值范围.
【详解】因为
，故
，
由正弦定理可得
，而
为三角形内角，故
，
故
，而
为三角形内角，故
为锐角，
故
，故
，故
即
，
故
（
为外接圆半径），故
，
因为
，
，所以
，则
.
故
，
其中
，且
，
由锐角三角形
可得
，故
，
故
，
因为
，且
，故
，则
，
，
所以
时，
，
取得最大值.
当
时，
，
当
时，
，
故
，
故选：C.
4．（24-25 高二上·河北张家口·开学考试）在
中，角
所对的边分别为
，若
，且
，则
周长的最大值为（ ）
A．
B．
C．6
D．9
【答案】D
【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求出角
，再利用余弦定理及基本不等式求解即得.
【详解】在
中，由
及正弦定理，
得
，而
，
则
，而
，整理得
，
又
，解得
，由余弦定理
，得
，解得
，当且仅当
时取等号，
所以
周长的最大值为9.故选：D
题型7 边角互化：比值范围型
最值范围：分式比值型
化边为角型
1. 通过正余弦定理，把边转化为角。
2. 利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式
3. 对单变量（单角）求最值。
角化变型：
主要用余弦定理，然后再借助均值不等式进行转化
1．（23-24 高三·陕西咸阳·期中）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理边角互化得
，进而将问题转化为
，根据锐角三角形得
角的范围，即可根据三角函数的性质求解.
【详解】由正弦定理以及
可得
,故
，
又
,由于
为锐角三角形，故
,故
，
因此
，故
，故选：A
2．（24-25 高一下·重庆万州·期中）在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，为
的面积，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，利用三角形面积公式与余弦定理，可得
，再根据同角三角
函数的平方关系可得
，
，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得
，结合条件可得
取值范围，进而求得
的取值范围.
【详解】在
中，由余弦定理得
，且
的面积
，
由
，得
，化简得
，
又
，
，联立解得
，
，
所以
，
为锐角三角形，有
，
，得
，
则有
，可得
，所以
.
故选：C
3．（24-25 高三·山东枣庄·阶段练习）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到
，再由正弦定理将边化角，转化为
的三角函数，由
的范围计算可得.
【详解】因为
，则由正弦定理得
，
又
，
所以
，
则
，
又
，
，则
所以
或
，即
或
（舍去），
所以
，解得
，则
，
所以
因为
，
所以
因为
，所以
，所以
，
即
的取值范围是
．
故选：D．
4．（24-25 高三上·河北·期中）已知
是锐角三角形，角
、
、
所对的边分别为
、
、，
为
的面积，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用三角形的面积公式结合余弦定理化简得出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的值，
根据
是锐角三角形求出角
的取值范围，可求出
的取值范围，再利用正弦定理结合两角和的正
弦公式可求得
的取值范围.
【详解】因为
，由三角形的面积公式和余弦定理可得
，
整理可得
，
因为
，则
，可得
，所以，
，
因为
为锐角三角形，则
，即
，解得
，
所以，
，则
，
所以，
.
故选：B.
题型8 边角互化：四边形面积最值型
四边形面积最值型
四边形面积最值型，一般用某一条对角线，把四边形分为两个三角形，有公共边的两个三角形个再各自
用余弦定理，构建数量关系。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补这个隐形条件
1．（2025·浙江杭州·三模）如图，在三角形
中，若
，
，
，则四边形
的面积的最大值为 .
【答案】
【分析】首先由条件等式，结合正弦定理，余弦定理，基本不等式，以及三角函数的有界性，确定
的形状，再以
为自变量表示四边形
的面积，根据三角函数的性质，即可求解.
【详解】由正弦定理可知
可化为
，
由余弦定理
（当且仅当
时等号成立）得
，
所以
，即
，
即
（当且仅当
时等号成立）
，
整理为
，即
，又
，
所以
，又
，
所以
，即
，
同理，条件等式也可化简为
和
，可得
，
所以
是等边三角形，
设
，
，在
中，
，
，
，
，
当
时，四边形
的面积取得最大值
.
故答案为：
2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，平面四边形
中，
，
则四边形
面积的最大值为 .
【答案】10
【分析】设
，利用余弦定理求出
，进而可求出
，再根据
换元，结合三角函数的性质即可得解.
【详解】设
，
则
，
而
，
则
，
所以
，
令
，则
，
则
，其中
，
当且仅当
时取等号，
此时
，即
，
所以四边形
面积的最大值为10.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
3．（2023·新疆阿克苏·一模）在如图所示的平面四边形ABCD 中，
，
，记
△ABD，△BCD 的面积分别为
，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】利用余弦定理表示出
，可得到
，结合同角三角函数平方关系，代入三角形
面积公式中，可得
，由二次函数性质可求得最大值.
【详解】在
中，由余弦定理得：
，
在
中，由余弦定理得：
，
，整理可得：
，
，
，
，
则当
时，
.故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的最值问题的求解；本题求解最值的关键是能够将所求面积平
方和表示为关于变量
的二次函数的形式，进而利用二次函数最值的求法来求得最大值.
4．（21-22 高一下·福建三明·期中）如图，平面四边形ABCD 中，
，
则四边形ABCD 的面积的最大值为
【答案】
【分析】设
，由余弦定理可得
，再根据
为等腰直角三角形，可得
，最后根据
及辅助角公式计算可得；
【详解】解：因为
，
，所以
为等腰直角三角形，
所以
，
设
，
，则由余弦定理
，
即
，
所以
所以当
，即
时
；
故答案为：
题型9 射影定理型
射影定理
1．（24-25 高三·河南·阶段练习）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理求出
，再利用余弦定理求解.
【详解】在
中，由射影定理得
，而
则
，解得
，而
，因此
，
由余弦定理，得
，
则
，
，所以
.
故选：A
2．（2024·陕西西安·模拟预测）等边
的边长为5，点
在平面
上，点
在
的同一侧，且边
在
上的射影长分别为3，4，则边
在
上的射影长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
在平面
上的射影长分别为3，4，得点
，
到
的距离分别为4,3，再利用勾股定理
即可.
【详解】因为
，且边
在平面
上的射影长分别为3，4，所以点
，
到
的距离分别
为4，3.
因
在
同一侧，
在
上的射影长为
.
故选：D
3．（21-22 高三·吉林长春·阶段练习）在
中，角
所对的边分别为
，表示
的面积，
若
，
，则
（ ）
A．90
B．60
C．45
D．30
【答案】B
【分析】利用三角形射影定理求出角A，再利用面积定理求出角C 即可计算作答.
【详解】在
中，由射影定理
及
得：
，解得
，
而
，则
，由余弦定理
及
得：
，
而
，因此，
，即
，又
，则
，
所以
.
故选：B
4．（24-25 高三·广东佛山·阶段练习）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】C
【分析】由射影定理以及
可得的值，根据
可计算出
的值，结合已知条
件可求解出
的值.
【详解】因为
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，所以
，
又因为
，
，所以
是等边三角形，所以
.
故选：C.
【点睛】本题考查解三角形中射影定理的应用以及二倍角公式的化简，难度一般.三角形中的射影定理：
，
，
.
题型10 图形解析型：中线型
中线的处理方法
1.向量法：
2. 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
1．（25-26 高三上·河北衡水·开学考试）设
的内角
的对边分别是
，已知
，且
.
(1)求角C；
(2)若D 为
的中点，求线段
长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）将正弦差转化为边长差，建立关于边
的方程，再结合余弦定理求解；
（2）利用向量法，结合三角形三边关系和余弦定理，确定中线
长度的取值范围.
【详解】（1）因为
，
所以
，即
，
所以
.
因为
，所以
.
（2）因为
为
的中点，所以
，
所以
.
又
，所以
，
所以
，即
.
由
，得
，
则
，解得
，即线段
长的取值范围是
.
2．（25-26 高三上·河北·开学考试）在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角
；
(2)若
边
上的中线
的长度为
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用诱导公式和两角和的正弦公式化简得
，再利用辅助角公式求角
即
可；
（2）由
是
中点可得
，两边平方结合数量积公式和运算律可得
，再
利用均值不等式求出
的最大值，代入三角形的面积公式即可.
【详解】（1）在
中，
，
代入
整理得
，
又因为
，
，所以
，
所以
，解得
，
因为
，所以
，解得
.
（2）因为
是
中点，所以
，
两边平方得
，
所以
，即
，
又由均值不等式可得
，
当且仅当
时等号成立，所以
，
所以
，即
面积的最大值为
.
3．（24-25 高三·陕西西安·阶段练习）在
中，内角
，
，
所对的边分别是
，
，，且
，
.
(1)求角
；
(2)若
，求边AC 上的角平分线BD 长；
(3)若
为锐角三角形，求边
上的中线
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用和角的正弦公式展开整理，求出
，结合角的范围即得；
（2）先由余弦定理结合条件，求得
，再由三角形面积相等列方程求解即得；
（3）利用线段中点的向量表达式推得
，由（2）结论
代入可得
，利用正弦定理和三角恒等变换化简可得
，结合锐角三角形中
及正弦函数的图象性质求得
，即可得到
的取值范围.
【详解】（1）由
可得
，
因为
，
所以
，
由
，得
，又
，则
.
（2）如图：
由余弦定理，
，因为
，
，
所以
，又
，所以
.
由
，得
，
整理得：
.
（3）因为
是边
上的中线，则
，
两边取平方，
，
由（2）已得
，代入可得
，
由正弦定理，
，
则
，
所以
，
因为
为锐角三角形，则有
，解得
，
则
，
由正弦函数的图象性质，可得
，
故得
，从而
，
故边
上的中线
的取值范围为
.
4．（24-25 高三·江苏常州·阶段练习）如图，在平面四边形
中，
，若
是
上一点，
．记
，
．
(1)证明：
；
(2)若
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求线段
长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)（Ⅰ）
; （Ⅱ）
【分析】（1）结合图形，先找到
的数量关系式，再运用诱导公式推理即得；
（2）（Ⅰ）在
中，运用正弦定理得到
，结合（1）结论，联立解方程即可求得
；
（Ⅱ）在
中，分别运用正、余弦定理得到
，
两式，
结合
式，在
中，利用余弦定理将
用
的三角函数表示，并运用辅助角公式化
成正弦型函数，利用三角函数的值域即得.
【详解】（1）证明：∵
，∴
，
在
中，
，可得
，
∴
，即
.
（2）（Ⅰ）在
中，由正弦定理得
，
可得
，∴
，
∵
，∴
，
可得
，即
，
解得
或
（舍去），
∵
，∴
.
（Ⅱ）在
中，由正弦定理得
，
即
，
由余弦定理得
，
∵
，
，∴
，∴
，
在
中，由余弦定理得
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，解得
.
题型11 图形解析型：角平分线型
三角形角平分线的处理方法：
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
1．（24-25 高三·重庆渝北·期中）在锐角
中，内角
所对的边分别为
，且满足
.
(1)求角
；
(2)求
的取值范围；
(3)当
时，角
的平分线交
于
，求
长度的最大值.
【答案】(1)
;
(2)
;
(3)
.
【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到
，再利用余弦定理，求得
，进而求
得
的大小；
（2）由正弦定理结合三角恒等变换，可得
，根据
为锐角三角形，求得
，利用三角函数的性质，即可求解；
（3）由三角形面积公式，求得
，由
变形可得
，令
，
则
，利用正弦定理结合三角函数性质可求得
，进而利用函数单调性求得长度的
最大值.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理，可得
，整理得
，
又由余弦定理，可得
，
又因为
，所以
.
（2）由（1）可知，
，所以
，
由正弦定理，可得
，
因为
为锐角三角形，且
，则
，解得
，
则
，可得
，则
，
所以
，即
.
（3）
如图，由
，
可得
①
因为
，所以
，
所以①式：
，可得
，
由（1）可得
，
则
，即
，
所以
，
令
，则
，
因为
，
由（2）可知，
，则
，
所以
，
因为
在
上单调递增，
所以
时，
为最大值，
所以
长度的最大值为
.
2．（24-25 高三·吉林长春·阶段练习）已知
的内角A，B，C 的对边为a，b，c，且
(1)求角A；
(2)若
的面积为
.
①已知E 为BC 的中点，且
，求
中线AE 的长；
②求内角A 的角平分线AD 长的最大值.
【答案】(1)
(2)①
，②
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到
，求出
；
（2）①由三角形面积求出
，从而得到
，
或
，
，根据中线得到
，两边平方，结合向量数量积运算法则求出
；②根据
求出
，由基本不等式求出
长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理得
，即
.
由余弦定理得
.
因为
，所以
.
（2）①
，
.
且
，解得
，
或
，
.
由于
，
所以
，
；
②由
，
得
.
解得
，
由于
，当且仅当
时，取等号，
故
,当且仅当
时，取等号，即
的最大值为
.
3．（24-25 高三·河南平顶山阶段练习）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求C；
(2)已知CD 为
的平分线，且CD 交AB 于点D.
（ⅰ）若
，求
的取值范围；
（ⅱ）若点E 满足
，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
.
【分析】（1）先将题设转化得到
，再结合余弦定理即可求解；
（2）（ⅰ）先在
中由正弦定理得到
，再结合和差角公式以及半角公
式计算转化得到
即可求解；（ⅱ）先由角平分线定理依次求出
和
即可由
计算求解.
【详解】（1）因为
，所以
即
，
所以由余弦定理得
，
又
，所以
.
（2）（ⅰ）在
中，由正弦定理得
，
即
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
；
（ⅱ）因为
，所以
，因为
为
的平分线，
所以
，则
，
又
，
，
所以
，
所以
，
，
所以
.
4．（24-25 高二下·贵州六盘水·期末）在
中，记内角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
且
.
(1)求
；
(2)求
的最大值；
(3)若
的角平分线交
于点
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理求得答案；
（2）由
，利用基本不等式求得答案；
（3）由
，可得
，结合
可得
，
，令
，求导判断单调性求得答案.
【详解】（1）由
，得
，
即
，
所以
，而
，
所以
.
（2）由（1），
，即
，
，
，即
，当且仅当
时，取等号.
所以
的最大值为
.
（3）由（1），
，
，
，即
，
，
由
，得
，
所以
，
由
，令
，
设
，则
，
所以
在
上单调递增，
，即
，
所以
的取值范围为
.
题型12 图形解析型：三角形的高
三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
1．（24-25 高一下·河南鹤壁·期末）已知在
中，内角
的对边分别为
且
.
(1)求C；
(2)若AB 边上的高为h，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再用内角和消元化简，即可得
，从而得解；
（2）利用等面积法把
转化为边的关系，再利用余弦定理结合不等式即可求最大值.
【详解】（1）由
及正弦定理得
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，又因为
，所以
.
（2）因为
，AB 边上的高为h，
由三角形的面积公式得
，所以
.
由余弦定理得
，
当且仅当
时取等号，所以
，
即
的最大值为
.
2．（24-25 高一下·河南郑州·期末）如图，在
中，内角
所对的边分别是
，且
．
(1)求角
的大小．
(2)若
，
是
边的中点，
为边
上一点，且
，
与
交于点
．
（i）求
的长度；
（ii）求
．
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）利用余弦定理即可；
（2）（i）利用
即可求出；
（ii）先利用数量积的运算性质化简
，再利用
即可.
【详解】（1）由余弦定理和条件可得，
，
，∴
．
（2）（i）因
是
边的中点，则
，
∴
，
∴
．
（ii）∵
，
，∴
，
则
，
则
，
又
，则
．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．且
，
(1)求角C；
(2)如图，边AB 的垂直平分线ED 交AB 于E，交边AC 于D，
，
，求AD 长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和三角形面积公式化简可得
，利用余弦定理计算即可求得结果；
（2）由已知可得
，在
中，由正弦定理可求得
，在
中，由
计算即可求得结果.
【详解】（1）已知
，
由三角形面积公式可得
.
由正弦定理可得：
，即
.
由余弦定理
.
又因为
，所以
.
（2）因为
，所以
是等腰三角形，且
是一个底角，
故
为
的中点，则
，
在
中，
，
由正弦定理得
，
故
，
所以在
中，
.
4．（24-25 高一下·广西百色·期末）已知
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
的大小；
(2)若
，
是
边上的高，且
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求得
，即可求解；
（2）由
是
边上的高，且
，在直角
中，由正弦定理，列出方程，求得
，
，
利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为
，可得
，
由余弦定理得
，
又因为
，所以
.
（2）解：因为
是
边上的高，且
，
在直角
中，由正弦定理得
，
即
，即
，解得
，
又因为
，可得
，
所以
的面积
.
题型13 图形解析型：双余弦定比分点
三大线型引申：定比分点型
如图，若BD=tBC 型，称D 为定比分点，可以从以下思维入手：
1. 双三角形余弦定理：
（1）
ABD 中，AB2=BD2+AD2-2BD ADcos
（2）
ACD 中，AC2=CD2+AD2-2CD ADcos(Π-
）
2.向量法：
1．（24-25 高一下·湖北·期末）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
的面积
，且有
．
(1)求角A 和角C；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由题设
列式求出角A，法一：由余弦定理角化边结合题设
求得
，再由正弦定理即可求出角C；法二：先由正弦定理边化角结合内
角和关系和两角和与差的正切公式求出
的关系即可求解；
（2）由（1）可得角
，进而由面积公式和正弦定理可求出
，再由结合和
即
向量运算性质即可求解.
【详解】（1）由已知得
，两式相除得
，
又
；
又已知
，
解法一：根据余弦定理有
，化简得
由正弦定理得，
，
又
．
解法二：由正弦定理得
，
，
代入
得
，化简得
．
又
．
（2）
，
；
又由（1）得
，
，化简得
，即
；
，
两边同时平方有
，
化简得
.
2．（24-25 高一下·云南昭通·期末）已知
中，三个内角分别为
，且
．
(1)若
，求
的外接圆面积；
(2)若
的面积为
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）应用诱导公式及二倍角余弦公式计算求出
，再应用正弦定理求解即可；
（2）结合向量关系及面积公式得出边长
，再应用余弦定理求解.
【详解】（1）由题意可得：
，则
，
故
，
因为
，且
，故
，则
，
故
的外接圆半径
，
故
的外接圆面积
．
（2）由
，由（1）知，
，
又
，则
，
所以
，则
，故
．
由
的面积为
，则
，代入
，可得
，
又
，则
，解得
，
由余弦定理
，
故
的周长为
．
3．（24-25 高一下·河南南阳·期末）已知
的内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，向量
，
，且
．
(1)求A；
(2)若
，求
面积的最大值；
(3)若
为锐角三角形，且
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的坐标运算以及正余弦定理即可求出；
（2）用
表示
，再根据
得出
，再结合基本不等式即面积公式即可；
（3）利用正弦定理得出
，
，进而化简得出
，再结合锐角三角
形的信息即可求出.
【详解】（1）由题意得
，
由正弦定理得
，即
，
由余弦定理得
，
因为
，所以
.
（2）由题意得
，
则
，得
，
即
，
得
，等号成立时
，
的面积为
，则
的面积取得最大值
.
（3）由正弦定理
，得
，
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，得
，
则
，
，所以
，
故
周长的取值范围为
.
4．（24-25 高一下·湖南长沙·期末）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知
，
，
.
(1)求角
；
(2)若
为线段
上一点，且
，求
的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得
，由余弦定理得
，求出
；
（2）求出
，平方得
，从而得到
的长度.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理，
得
，
即
，由余弦定理得
，
而
，所以
.
（2）由
，得
，故
，
又
，
，由（1）知
.
则
，
故
，所以
的长为
.
题型14 图形解析型：外心与外接圆
三角形所在的外接圆的处理方法：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三
角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R 为 外接圆半径
1．（24-25 高三·四川南充·模拟）已知
、
、分别为
三个内角
、
、
的对边，且
.
(1)求
的值；
(2)若
，
，
的面积为
，求
的值；
(3)若
，
，
为
垂心，
为
的外心，求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的值；
（2）利用三角形的面积公式、余弦定理可得出关于
、的方程组，结合
可得出
、的值，再利用
正弦定理求出
的值即可；
（3）设
，根据
，
，可得出关于
、
的方程组，解出这两个未知
数的值，可得出
关于
、
的表达式，推导出
，
，再利用平面向量
数量积的运算性质可求得
的值.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
即
，
即
，
即
，
因为
、
，故
，可得
，
所以
，因此，
.
（2）因为
，可得
，
因为
，由余弦定理可得
，
故
，所以
，解得
，
由正弦定理可得
，故
，
因此，
.
（3）由平面向量数量积的定义可得
，
设
，则
，
因为
，则
，
即
①，
，
因为
，则
，
即
②，
联立①②得
，
，故
，
取线段
的中点
，连接
，则
，如下图所示：
，
同理可得
，
因此
.
2．（23-24 高三·广东广州·期末）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，.且满足
.
(1)求角
；
(2)已知
的外接圆的圆心为
，半径
.
（i）作角
的平分线交
于
，
，求
的面积；
（ii）若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）在
中，由三角形内角和定理及诱导公式可得
，结
合两角和的余弦公式整理化简可得
，进而
，即可求解.
（2）（i）由（1）知
.由正弦定理
可得
的值.根据角平分线的性质及三角形面积公式可得
.结合余弦定理求出
的值即可求解；
（ii）由（1）知
.由
的外接圆的性质可知
，
，
.根据向
量数量积的运算可得
，化简整理得
，故
，根据三角恒
等变换及角
的范围即可求解.
【详解】（1）在
中，∵
，∴
，
∴
，即
，
即
，
∴
，即
.
∵
，∴
.∵
，∴
.
∵
，∴
.
（2）（i）由（1）知
.由正弦定理
可得
.
∵
是角
的角平分线，∴
.
∵
，∴
，∴
，即
.
由余弦定理可得
，整理可得
.
又
，∴
，即
，∴
，解得
或
（舍去）.
∴
.
（ii）由（1）知
.∵点
为
的外接圆的圆心，∴
，
，
.
∵
，
，
∴
，即
，
即
，∴
，∴
，
∴
.
∵
，∴
，∴
，∴
，
即
的取值范围为
.
3．（24-25 高三广东肇庆·阶段练习）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
，求b；
(3)已知
的外接圆半径为
，
的平分线交
于点D，若
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理集合同角基本关系即可求解；
（2）根据已知条件先求出
，结合正弦定理求出
，根据面积公式即可求解；
（3）利用正弦定理求出
值，再利用余弦定理求出
，利用半角公式即面积公式求得
，两式联立求出
即可求解.
【详解】（1）由正弦定理
，得
，
，
，
，
，
，
，
，
，又
，
．
（2）由（1）知，
，
，则
．
．
由正弦定理得
，
，
，
．
（3）由（1）知
，
，
由正弦定理得
，
由余弦定理得
，
即
．
平分
，
．
，
．
，
，
化简得：
，
代入
，得
，
，
，
，
的周长为
．
4．（24-25 高三·湖南·阶段练习）设
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角
；
(2)若
是锐角三角形，且其外接圆的半径
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式及和差角公式以及正弦定理得到
，
进而可求得
，从而得解；
（2）由正弦定理得到
，
，即可得到
，再由内角和定理
及三角恒等变换公式将式子转化为
的三角函数，最后结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）由已知可得
即
即
则
，
，
，
，
，
，
；
（2）由正弦定理得
，
，
，
，
又由已知ABC 为锐角三角形，可得
，
，
，
的取值范围为
题型15 图形解析与计算综合型
1．（2025 高三·全国·专题练习）在四边形
中，
平分
．
(1)求
；
(2)当
取最大值时，求
．
【答案】(1)
(2)
=1
【分析】（1）解法一：将原式变形，再利用余弦定理并结合角的范围即可求出；
解法二：将原式变形，并利用正弦定理与余弦定理并结合角的范围化简求解．
（2）利用余弦定理将两边的平方用
表示出来，再利用均值不等式确定取得最大值时
的大小.
【详解】（1）解法一 ：因为
，
所以
，则
，
在
中，由余弦定理得
因为
，所以
．
解法二 ：因为
，所以
，
在
中，由正弦定理和余弦定理得
，
所以
，
因为
，代入上式整理得
，
由题意可得
，所以
，因为
，所以
．
（2）由（1）可得
，因为
平分
，所以
，
因为
，则在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
此时
取最大值，即
取最大值，
故当
取最大值时，
．
2．（22-23 高三·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形
中，已知
的面积为
，记
的面积为
.
(1)求
的大小；
(2)若
，设
，
，问是否存在常数
，使得
成立，若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在
合题意
【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式，求得
的值，得
的大小；
（2）设
，利用正弦定理得关于
的代数式，解出
，利用三角形面积公式，求出
的值.
【详解】（1）在
中，由余弦定理，
，
因为
，所以
，
即
，又因为
，所以
.
（2）设
，则
，
，
，
在
中，由正弦定理，
，
在
中，由正弦定理，
，
两式作商，得
，
即
，因为
，所以
，
，
，
，
假设
，所以
，
解得
.
【点睛】方法点睛：设
，由题目中角的条件，及
，考虑在两个三角形中利用正弦定
理建立关系式进行计算.
3．（23-24 高三·福建阶段练习）现有长度分别为1，2，3，4 的线段各1 条，将它们全部用上，首尾依次
相连地放在桌面上，可组成周长为10 的三角形或四边形.
(1)求出所有可能的三角形的面积.
(2)如图，在平面凸四边形
中，
，
，
，
.
①当
大小变化时，求四边形
面积的最大值，并求出面积最大时
的值.
②当
时，
所在平面内是否存在点P，使得
达到最小？若有最小值，则求出
该值；否则，说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)①
，
；②存在，
【分析】（1）分三角形三边分别为3，3，4 和2，4，4 两种情况，利用三角形面积公式，求得三角形面
积即可；
（2）①利用余弦定理及三角恒等变换，结合已知条件计算可得；
②假设存在符合条件的点
，把
绕点
逆时针旋转
，结合图形及线段关系可得最小值．
【详解】（1）根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有可能符合情况的三角形的三边长为
，
3，4 和2，
，4，
当三角形三边为
，3，4 时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值
，
，
.
当三角形三边为2，
，4 时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值
，
，
.
（2）①连接BD，由余弦定理知
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
.
又
，
∴
.
又∵
，
∴
.
∴
.
故
，
当且仅当
时，
，
取得最大值
，
此时
，
，
∴
，
，
，
，
.
②把
绕A 逆时针旋转60°，如图，则
，
，连接
.
为等边三角形，则
，
，
，
，
∴
（当且仅当
，
，P，B 共线时取得最小值），
此刻
，
∴最小值为
.
【点睛】关键点点睛：①对
和
平方，由三角恒等变换求解面积最
值.
②将
绕A 逆时针旋转60°得
为等边三角形，利用三点共线求最值.
4．（23-24 高三·湖南阶段练习）当
的三个内角均小于
时，使得
的点
为
的“费马点”；当
有一个内角大于或等于
时，最大内角的顶点为
的“费马
点”.已知在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，P 是
的“费马点”.
(1)若
，
，
.
①求
；
②设
的周长为
，求
的值；
(2)若
，
，求实数的最小值.
【答案】(1)①
；②
(2)
【分析】（1）①利用正弦定理将题目中的条件
.转换成仅含有角的值，再利用
副助角公式求解出
；②在
中，由余弦定理得到
的关系，再结合等面积法建立
的另外一个等式关系，进而求解出所要求的等量关系.
（2）先利用角的三角函数的关系，判断出三角形是直角三角形，接着设
，
，
，仿照第一小问的思路找到
的等量关系，然后利用基本不等式求解出最值，又根据
，即有
，从而得解.
【详解】（1）①
，
则
②设
而
，
在
中，由余弦定理得:
同理有
则
在
中由余弦定理知:
即
又
则
又等面积法知：
则
，
，
故
（2）因为
所以
所以
所以
所以
为直角三角形，
点
为
的费马点，则
，
设
，
，
，
，
则由
得
；
由余弦定理得
，
，
，
故由
得
，
即
，而
，故
，
当且仅当
，结合
，解得
时，等号成立，
又
，即有
，解得
或
（舍去），
故实数的最小值为
．
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设
，
，
，从而推导出
、
，再利用基本不等式及一元二次不等式求出的取值范围.
结束
