第04 讲 解三角形
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................4
考点一 正弦定理..........................................................................................................................4
考点二 面积公式..........................................................................................................................8
考点三 余弦定理........................................................................................................................11
考点四 正、余弦定理在几何中的应用....................................................................................15
考点五 正、余弦定理的实际应用............................................................................................20
考点六 最值问题（基本不等式法）........................................................................................25
考点七 最值问题（三角函数法）............................................................................................29
考点八 解三角形综合解答题....................................................................................................33
三阶突破训练...............................................................................................................39
基础过关......................................................................................................................................39
能力提升......................................................................................................................................45
真题感知......................................................................................................................................55
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年新Ⅱ卷，第5 题,5 分
余弦定理
无
2025 年北京卷，第16 题,10 分
正弦定理与余弦定理
三角恒等变换
2024 年上海卷，第11 题,5 分
正弦定理
两角和差公式
2024 年北京卷，第16 题,10 分
正弦定理与余弦定理
三角恒等变换
2024 年新I 卷，第15 题,5 分
正余弦定理与面积公式
同角三角函数关系
2024 年新Ⅱ卷，第15 题,10 分
正弦定理与余弦定理
三角恒等变换
2023 年甲卷，第11 题,5 分
余弦定理和面积公式
无
2023 年乙卷，第6 题,5 分
余弦定理
平面向量
2023 年乙卷，第4 题,5 分
正弦定理
诱导公式
2023 年北京卷，第10 题,5 分
正弦定理与余弦定理
无
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5 分
【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系
2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn 图、数轴等工具解决集合的计算问题
4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指
对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后
通过集合的运算得出答案。
1 正弦定理
① 正弦定理
a
( ) =
b
( ) =
c
( ) =2 R (其中R是三角形外接圆半
径)
② 变形
(1)
a+b+c
sin A + sinB+sin C =
a
( ) =
b
( ) =
c
( )
(2) 化边为角
a= ， b= ， c =
.
a : b : c =
a
b = ， b
c = ， a
c =
.
(3)化角为边
sin A = ，sin B = ，sin C = .
③三角形解的个数问题
已知两边a、b和其中一边的对角A，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解.
A是锐角
A是直角或钝角
a≥b
a<bsinA
a=bsinA
bsinA <a<b
a≥b
a<b
一解
无解
一解
两解
一解
无解
2 面积公式
S∆ABC = = =
3 余弦定理
① 余弦定理
a
2= , b
2= , c
2=
② 变形
cos A = ，cos B = , cos C =
③ 三角形类型的判断
∠A = π
2 ⇒ ；
∠A > π
2 ⇒ ；
∠A < π
2 ⇒ .
考点一 正弦定理
典例1．（2025·安徽合肥·模拟预测）在△ABC中，内角A ,B ,C所对的边分别是a,b,c，若b=1，
tanC = 1
2，4 c
2+b
2= 4 absinC ，则△ABC的面积为（ ）
A．1
8
B．1
4
C．1
2
D．1
典例2．（2025·浙江绍兴·二模）在等腰直角三角形ABC 中，B =π
2 ．P 为其内部一点，满足
∠APC = 3π
4 ，∠APB = 2π
3 ，则∠PAB的正切值为（ ）
A．6- ❑√3
11
B．1
2
C．7 - ❑√7
11
D．6- ❑√3
12
典例3．（2025·浙江·二模）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c．已知A ,B ,C成等差数列，
a,c , 4
❑√3 b成等比数列，则cos A =（ ）
A．1
4
B．1
2
C．
❑√3
3
D．
❑√3
2
【总结】
1 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
(2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.
2 正弦定理的“齐次角边互换”
等式(*)中含有三个式子(a⋅sinB、c⋅sinC、b∙sinC)，每个式子中都有一个sin值，并且它们的次数都是
1，则可以把sinB、sinC直接转化为对应的边b、c！
同理a⋅sinB+c⋅sinC =b∙sinC ⇒ sinA ⋅sinB+ sinC ⋅sinC = sinB⋅sinC.
思考以下转化是否正确
(1) a⋅sinB+c⋅sinC =b⇒a⋅b+c⋅c =b (错)，
(2) sinA ⋅sinB+ sinB⋅sinC =sin
2 A ⇒a⋅b+b⋅c =a
2 (对)
跟踪训练1．（2025·浙江·模拟预测）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，
atan B+atan A =-2ctan A，则B =（ ）
A．π
3
B．2π
3
C．π
6
D．5π
6
跟踪训练2．（2025·陕西安康·模拟预测）已知△ABC中，角A，B，C 与sin A，sin B，sin ( A + B)分别成
等差数列，若△ABC外接圆的面积为4 π，则△ABC的周长为（ ）
A．6 ❑√3
B．6
C．2❑√3+ 4
D．4 ❑√3+2
跟踪训练3．（2025·山东聊城·二模）△ABC中，BC =2❑√3, A =60°，则⃗BA ⋅⃗BC的最大值为（ ）
A．6
B．3+2❑√3
C．12
D．6+ 4 ❑√3
跟踪训练4．（2025·四川成都·三模）在△ABC中，∠BAC = 2π
3 ，∠BAC的角平分线AD 交BC 于点D，
若CD = ❑√6 AB，则tan∠ABC =（ ）
A．1
2
B．2
3
C．1
D．❑√2
考点二 面积公式
典例1．（2025·湖南·三模）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知A =π
4 ，b=3，三角
形ABC 的面积为6，则a=（ ）
A．65
B．17
C．❑√17
D．❑√65
典例2．（2025·河北邯郸·二模）在正三棱锥P - ABC中，∠APB=30
°, PA =2, M 、N分别在PB , PC上，
当△AMN周长最小时，△PMN的面积等于（ ）
A．❑√6- ❑√3
B．4 -2❑√3
C．❑√6- ❑√2
D．❑√3-1
【总结】
面积公式S∆ABC = 1
2 absinC = 1
2 bcsinA = 1
2 acsin B，往往题中涉及到哪个角就用那个角的公式；
跟踪训练1．（2025·山东青岛·模拟预测）已知三角形ABC的三个内角A，B，C所对边为a，b，c，若
B =π
3 ，且acosC =b，c =1，则三角形ABC的面积为（ ）
A．❑√3
B．
❑√3
2
C．
❑√3
4
D．1
跟踪训练2．（2025·湖南邵阳·三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4 a= ❑√5c，
cosC = 3
5，且b=22，则此△ABC的面积为（ ）
A．176
B．88
C．44
D．22
跟踪训练3．（2025·海南海口·模拟预测）在△ABC中，∠BAC =60
∘，∠BCA = 45
∘，∠BAC的角平分线
交BC于D，AD =2，则（ ）
A．BC =2❑√2
B．BD = ❑√6- ❑√2
C．S△ADC = ❑√3+1
D．S△ABD=2
考点三 余弦定理
典例1．（2025·河北·模拟预测）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin(B - A)= 1
3，
c
2
2 =b
2-a
2，则sinC的值为（ ）
A．
❑√7
4
B．1
4
C．2
3
D．
❑√7
3
典例2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b= ❑√7，
2sin A =3sinC，B =π
3 ，D是AC中点，则BD =（ ）
A．2
B．
❑√17
2
C．❑√5
D．
❑√19
2
【总结】
1 余弦定理a
2=b
2+c
2-2bccos A , b
2=a
2+c
2-2accos B , c
2=a
2+b
2-2abcosC，往往题中涉
及到哪个角就用那个角的公式；
2 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1) 已知三边，可求三个角；(2) 已知两边和一角，求第三边和其他两个角.
跟踪训练1．（2025·云南昭通·模拟预测）在△ABC中，已知AB =10，BC =6，CA =8，则⃗AB⋅⃗BC =
（ ）
A．36
B．18
C．-18
D．-36
跟踪训练2．（2025·全国·模拟预测）已知△ABC的周长为6，BC =2，∠ACB的平分线交AB于D，
BD =CD，则cosB =（ ）
A．1
2
B．2
3
C．3
4
D．4
5
跟踪训练3．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，
bcos A +acosB =3a，cosB = 2
3，若△ABC的面积为2❑√5，则△ABC的外接圆的面积为（ ）
A．15π
2
B．27π
5
C．54π
5
D．18π
5
跟踪训练4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知梯形ABCD的外接圆直径为4 ❑√21
3
，AB =6，AD>2，
∠ABC =π
3 ，则梯形ABCD的内切圆半径为（ ）
A．❑√2
B．❑√3
C．2
D．2❑√2
跟踪训练5．（2025·云南丽江·模拟预测）设椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2，P
是椭圆C 上一点，若点F2关于∠P F1 F2的角平分线l 的对称点恰好是点P，且⃗F1 P⋅⃗F1 F2=- 4
9 a
2，则C
的离心率为（ ）
A．1
3
B．2
3
C．1
2
D．3
7
考点四 正、余弦定理在几何中的应用
典例1．（2025·河北秦皇岛·三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B =2C，
b= ❑√2a，则（ ）
A．△ABC为直角三角形
B．△ABC为锐角三角形
C．△ABC为钝角三角形
D．△ABC的形状无法确定
典例2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠ADB =∠DCA = 45
∘，∠BDC =30
∘，
∠BCA =15
∘，AB =5 ❑√5，则CD的长为（ ）
A．5 ❑√3
B．5 ❑√5
C．10 ❑√3
D．10 ❑√5
【总结】
1 三角形类型的判断
∠A = π
2 ⇒ b
2+c
2=a
2；∠A > π
2 ⇒ cosA = b
2+c
2-a
2
2bc
<0 ⇒ b
2+c
2<a
2；
∠A < π
2 ⇒ cos A = b
2+c
2-a
2
2bc
>0⇒ b
2+c
2>a
2.
2 在多边形中解三角形，常见方法有利用邻补角互补使用两次余弦定理，利用公共角在两个三角形中使用
余弦定理，利用公共边在两个三角形中使用正余弦定理等等。
跟踪训练1．（2025·陕西渭南·三模）已知△ABC中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若
bcosC +c cos B =b，且a=c cos B，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
跟踪训练2．（2025·青海·一模）在梯形ABCD 中，AD // BC，AD =6，BC =8，AB = 4，CD =5，E，
F 分别为AD，BC 的中点，则EF =（ ）
A．
❑√78
2
B．
❑√77
2
C．❑√19
D．
❑√71
2
跟踪训练3．（2025·广西·模拟预测）某园区有一块三角形空地△ABC（如图），其中AB =10 ❑√3 m，
BC = 40 m，∠ABC = π
2 ，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求∠APB = 2π
3 ，则CP
的最小值为（ ）
A．(10 ❑√19-10)m B．(10 ❑√21-10)m C．25 m
D．130 m
跟踪训练4．（2025·四川成都·模拟预测）在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，且
2bcosC =2a-c．
(1)求角B的大小；
(2)如图，若△ABC为锐角三角形，点H为△ABC的垂心，BH =6，设∠HBC =α，
（i）α =π
6 ，求△ABC的面积；（ii）求AH +CH的取值范围．
考点五 正、余弦定理的实际应用
典例1．（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的
《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度AB，
他首先在C处，测得楼顶A的仰角为60°，然后沿BC方向行走22.5 米至D处，又测得楼顶A的仰角为30°，
则楼高AB为 米．
典例2．（2025·河南南阳·一模）如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上一点A 处有一个水
声监测点，另两个监测点B，C 分别在A 的正东方20km 和54km 处.某时刻，监测点B 收到发自静止目标P
的一个声波，8s 后监测点A，20s 后监测点C 相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播
速度是1.5km/s.
(1)设A 到P 的距离为xkm，求x 的值；
(2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离（结果精确到0.01km）.
【总结】
1 实际问题中的基本概念
（1） 仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯
角（如图①）．
（2） 方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α 到达目标方向（如图③）．
②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α 到达目标方向．
③南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ 为坡角）．
②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡度）．坡度又称为坡比．
2 在实际问题中，先要把其转化为解三角形模型再求解.
跟踪训练1．（2025·全国·模拟预测）某人在C点观察河对岸的建筑物PB（B ,C在同一水平面上，P , A ,B
在同一铅垂线上），已知在C点观察建筑物上的A点和P点的仰角分别为15°和60°，AP =200，则BC =
（ ）
A．100 ❑√3
B．50 ❑√3
C．100(❑√3+1)
D．50(❑√3+1)
跟踪训练2．（2025·湖北荆州·模拟预测）如图，A ,B ,C为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山
顶P的仰角分别为α , β ,γ，计划沿直线AC开通隧道DE，设AD , EB ,BC的长度分别为a,b,c.为了测出隧
道DE的长度，还需直接测出（ ）的值.
A．a和b
B．b和c
C．a和c
D．a,b,c三者
跟踪训练3．（2025·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内
的两个测量基点C与D.现测得∠BCD =75°，∠BDC = 45°，CD =30米，在点C测得塔顶A的仰角
∠ACB =60°，则塔高AB约为（ ）（单位：米，❑√2≈1.414）
A．30.42
B．42.42
C．50.42
D．60.42
跟踪训练4．（2025·上海奉贤·二模）中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影．某
数学建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三
个点：点B、点C、点O作为测量基点．设大厦的最高点为A，在点B处测得点A的仰角为
∠ABO=θ =71.5
∘，在点C处测得点A的仰角为∠ACO= 44
∘，又测得BC =221米，∠BOC =119
∘，
（见图）．现作出以下几个假设：
①直线AO垂直于平面OBC；
②平面OBC到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计；
③其它次要因素等忽略不计．根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约 米．（结果保留整
数）
考点六 最值问题（基本不等式法）
典例1．（2025•随州三模）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若asinA+2csinC＝
2bsinCcosA，则角A 的最大值为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
典例2．（2025•廊坊模拟）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
a
cosA +
b
cosB = 8c
cosC ，
则tanB+tanC 的最小值是（ ）
A．3
2
B．3 ❑√3
2
C．9
4
D．3 ❑√3
【总结】
1 若a>0 , b>0，则a+b≥2❑√ab (当且仅当a=b时，等号成立).
2 求某角的最值，可利用余弦定理把最值转化为边之间的最值，此时往往能用上基本不等式；求面积最值
实际就是求两边积的最值，此时可用基本不等式的“和定求积”。
跟踪训练1 ．（2025• 萍乡二模）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
a=2，5 sinA
1+cosA + cosA
sinA =3，则△ABC 面积的最大值为（ ）
A．3
B．3
2
C．❑√3
D．2❑√3
跟踪训练2．（2025•重庆模拟）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，（a+c）（sinA﹣
sinC）+bsinB＝asinB，b+2a＝4，CA
→
=3CD
→
-2CB
→，则线段CD 长度的最小值为（ ）
A．2
B．2❑√2
3
C．3
D．2❑√3
3
跟踪训练3 ．（2025• 黄浦区三模）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
a
cosA ，
b
cosB ，
c
cosC 成等差数列，则
sinC
cosAcosB 的最小值为（ ）
A．3
B．2❑√3
C．4
D．5
跟踪训练4．（2025•威远一模）在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若c﹣b＝
2bcosA，则下列4 个结论中正确的有（ ）个．
①B＝2A；
②B 的取值范围为(0，π
4 )；
③a
b 的取值范围为(❑√2，❑√3)；
④
1
tanB -
1
tanA +2sinA的最小值为2❑√2．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
考点七 最值问题（三角函数法）
典例1．（2025•辽宁二模）在等边三角形ABC 中，D、E、F 分别在边AB、BC、AC 上，且DE = ❑√3，DF
＝2，∠DEF＝90°，则三角形ABC 面积的最大值是（ ）
A．7 ❑√3
3
B．2❑√3
C．7 ❑√3
D．6 ❑√3
典例2．（2025•甘肃模拟）在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a2＝bcsinA+（b﹣c）
2，则2b
2+c
2
bc
的取值范围为（ ）
A．( 43
15 ，59
15 ) B．[2❑√2，43
15 )
C．[2❑√2，59
15 )
D．[2❑√2，+∞)
【总结】
求边之间关系式的最值，可利用正余弦定理把边化为角，若式子中含有两个角，利用A + B+C = π化为一
个角，再利用三角恒等变换把式子化为y = Asin(ωx +φ)的形式，此时要注意该角的取值范围。
跟踪训练1．（2023•上饶二模）在△ABC 中，A = π
6 ，BC =2，则AC - ❑√3 AB的最小值（ ）
A．﹣4
B．- ❑√3
C．2
D．2❑√3
跟踪训练2．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
c =2,B =2C，则a+b的取值范围为 （ ）
A．(2,10)
B．(2+2❑√2,10)
C．(2+2❑√2,4 +2❑√3) D．(4+2❑√3,10)
跟踪训练3 ．（2025• 浙江模拟）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2bsin B+C
2
= ❑√5asin( A +C )，则c
b 的取值范围为（ ）
A．( 2
5 ，4
3 )
B．( 2
5 ，5
3 ]
C．[ 3
5 ，4
3 )
D．( 3
5 ，5
3 )
跟踪训练4．（2025•南通模拟）在△ABC 中，若tanB = cosA
1+ sinA ，则tanA+2tanB 的最小值为 ．
考点八 解三角形综合解答题
典例1．（2025·陕西咸阳·三模）记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
❑√3c sin A cos B -asin BsinC =0．
(1)求角B；
(2)若b=2❑√3，c＝4，求△ABC 的周长；
(3)若a=2❑√2，C = 5π
12 ，求△ABC 的面积.
典例2．（2025·江西新余·模拟预测）若△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
2sin B+sin(A - B -π
6 )=sin(
5π
6 -C)．
(1)求A；
(2)若bcosC +ccosB =1，求△ABC面积的最大值．
跟踪训练1．（2025·广东惠州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知△ABC
恰好满足下面四个条件中的三个：①cos A = 1
2，②cos B =- 1
2，③a= ❑√3，④b=1
(1)问△ABC满足的是哪三个条件?请列举出来，并说明理由；
(2)求c.
跟踪训练2．（2025·海南海口·模拟预测）已知△ABC，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
1
sin A =
2cos B
2sinC +sin B ．
(1)求A；
(2)若c =3，S△ABC = 3 ❑√3
2
，D为BC边上的中点，求AD的长．
跟踪训练3．（2025·海南·模拟预测）在△ABC中，角A , B , C所对应的边分别为a, b, c且满足
c sin A
b-acosC = ❑√3．
(1)求A的大小；
(2)角A的平分线AD与边BC相交于点D，且AD = ❑√3，求2b+3c的最小值．
跟踪训练4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在平面四边形ABCD中，BC ⊥CD，AD = ❑√2，
∠ACD =30°，∠CAD = 45°.
(1)求AC的长.
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.
1（2025·贵州贵阳·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
A =π
3 ,a= ❑√3,c =1，则角C 的大小是（ ）
A．5π
6
B．π
6
C．π
3
D．π
6 或5π
6
2（2025·河南·三模）在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若C =π
3 ，c
2= 9
4 ab，则
sin A -sin B =（ ）
A．± 3
2
B．±
❑√15
6
C．±
❑√7
2
D．±
❑√3
2
3（2025·山西·三模）在△ABC中，A = 45
∘，BC = ❑√10，AB = 3 ❑√2
2
AC，则△ABC的面积是（ ）
A．3
4
B．3
2
C．3
D．12
4（2025·四川达州·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.下列条件中能使△ABC
唯一确定的是（ ）
A．A = 45°，B =60°，C =75°
B．b=3，c = 4，B =30°
C．b= ❑√3，c =2，B =60°
D．b=12，c =12，C =120°
5（2025·云南曲靖·二模）在△ABC中，角A ,B ,C所对边分别为a,b,c，若bcosC +ccosB =2atan A，
且a= ❑√5．则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．25
16 π
B．25
4 π
C．25π
D．100π
6（2024·内蒙古呼和浩特·一模）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c．若a= ❑√3,b=2，则B+C
的取值范围是（ ）
A．[
2π
3 , 5π
6 ]
B．[
2π
3 ,π)
C．[
5π
6 ,π)
D．(
π
2 , 5π
6 ]
7（2024·河北·模拟预测）在△ABC中，角A 、B、C的对边分别为a、b、c，若c =3,b=2,∠BAC的
平分线AD的长为4 ❑√6
5
，则BC边上的高线AH的长等于（ ）
A．4
3
B．4 ❑√2
3
C．2
D．4 ❑√3
3
8（2025·江苏南通·模拟预测）图1 是某长方体建筑，图2 长方体ABCD - A1B1C1 D1是该建筑的直观图，
点N在AB的延长线上，MN是垂直于地面的测量标杆，高为h m.现测得BC长为a m，在M处测得B1点的仰
角为α，C1点的仰角为β，则建筑物的高B B1为（ ）（单位：m）
A．h+ a⋅sin(α + β)
❑√sinα sin β
B．h+
a⋅sinα sin β
❑√sin(α + β)sin(α - β)
C．h+a ❑√
sin(α + β)
sin(α - β)
D．h+
a⋅cosα cos β
sin(α + β)sin(α - β)
9（2025·江西景德镇·三模）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它
包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．
当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长
度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景
德镇冬至正午太阳高度角为36.9°(tan36.9°≈3
4)，夏至正午太阳高度角为θ°，表高42 厘米，圭面上冬
至线与夏至线之间的距离为50 厘米，则sin(θ -36.9°)的值为（ ）
A．1
2
B．1
3
C．
❑√2
2
D．
❑√3
3
10（2025·天津·二模）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知b=2acos(C -π
3 )．
(1)求A；
(2)若b=2❑√3c，且△ABC面积2❑√3，
（ⅰ）求a的值；（ⅱ）求cos(2B - A)．
1（2025·云南玉溪·模拟预测）在△ABC中，D是边BC上的点，且AC =CD , AB =2 AC = ❑√3 AD，则
sin B =（ ）
A．
❑√2
3
B．
❑√3
3
C．
❑√6
6
D．
❑√3
6
2（2025·江西新余·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a=b，且
sin
2C
sin
2B
=2(1+ ❑√3sinC ).则c
b =（ ）
A．2❑√3
B．3 ❑√2
C．❑√3-1
D．
❑√6+ ❑√2
2
3（2025·湖南长沙·二模）已知△ABC的面积为6 ❑√3，A =60
∘，AB =3，B的内角平分线交边AC于点D，
则
S△ABD
S△CBD
的值为（ ）
A．3
7
B．2
7
C．7
2
D．7
3
4（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测
量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2 所示．已知∠ABM =30
∘，∠BAN = 45
∘，
∠MAN =60
∘，∠MBN =90
∘，AB =2❑√5，则MN =（ ）
A．5(❑√3-1)
B．5 ❑√2
C．5(❑√3+1)
D．10
5（2025·河南许昌·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
a
cos A +
b
cos B = 8c
cosC ，则tan B+ tanC的最小值是（ ）
A．3
2
B．3 ❑√3
2
C．9
4
D．3 ❑√3
6（2025·四川成都·模拟预测）双曲线C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为
､
F1(-c ,0), F2(c ,0)，
以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与曲线C在第一象限交于点P，且S△F1 P F2= 4 a
2，则曲线C
的离心率为（ ）
A．
❑√5+1
2
B．❑√5
C．❑√5-1
D．❑√3
7（2025·四川广安·模拟预测）已知在△ABC中，角A =60
∘，边BC =a.点D在线段BC上满足⃗
AD = 1
3⃗AB+ 2
3⃗AC，则线段AD长度的取值范围是（ ）
A．(0,❑√3)
B．( a
3 , 2a
3 )
C．( a
3 , a+ ❑√3a
3
]
D．( a
2 ,a)
8（2024·全国·模拟预测）已知△ABC外接圆的半径为
❑√3 BC
3
，D为边BC的中点，AD = 1
2，∠BAC为钝
角，则2 AC - AB的取值范围是（ ）
A．(-2,2)
B．[-2,2]
C．(-1,2)
D．(-1,2]
9（2025·河北邢台·三模）在平面直角坐标系中，点A(-1,1)，B与A关于原点O对称，现以x轴为折痕，将
x轴下方部分翻折，使其与上方部分构成直二面角， A ,B两点相应变成A1，B1两点，将△A1O B1绕直线
A1B1旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ）
A．π
4
B．3π
4
C．3π
2
D．2π
10（2025·河南信阳·三模）已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直
线交C于P，Q两点（P在x轴上方)，△F1 PQ的周长为8，当∠F1 PQ =90°时，△F1 PQ的面积为8
3.
(1)求C的方程；
(2)若C的离心率不大于
❑√2
2 ，半径为r的圆M与F1 P的延长线，F1Q的延长线及线段PQ均相切.
（i）当r =2时，求cos∠F1 M F2；
（ii）求| PQ|
2
r
的最大值.
1（2025·全国二卷·高考真题）在△ABC中，BC =2，AC =1+ ❑√3，AB = ❑√6，则A =（ ）
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°
2（2023·北京·高考真题）在△ABC中，(a+c)(sin A -sinC )=b(sin A -sin B)，则∠C =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
3（2023·全国乙卷·高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则⃗EC ⋅⃗ED =（ ）
A．❑√5
B．3
C．2❑√5
D．5
4（2023·全国乙卷·高考真题）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，若acosB -bcos A =c，
且C = π
5 ，则∠B =（ ）
A．π
10
B．π
5
C．3 π
10
D．2π
5
5（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥P - ABCD的底面是边长为4 的正方形，
PC = PD =3,∠PCA = 45°，则△PBC的面积为（ ）
A．2❑√2
B．3 ❑√2
C．4 ❑√2
D．6 ❑√2
6（2024·上海·高考真题）已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC =CD,存在点A 满足
∠BAC =16.5° ,∠DAC =37°，则∠BCA = (精确到0.1 度)
7（2025·北京·高考真题）在△ABC中，cos A =- 1
3 ,asinC = 4 ❑√2．
(1)求c 的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC 边上的高．
条件①：a=6；条件②：asin B = 10 ❑√2
3
；条件③：△ABC的面积为10 ❑√2．
8（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记△ABC的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知sinC = ❑√2cos B，
a
2+b
2-c
2= ❑√2ab
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3+ ❑√3，求c．
9（2024·北京·高考真题）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，∠A为钝角，a=7，
sin 2B =
❑√3
7 bcos B．
(1)求∠A；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：b=7；条件②：cos B = 13
14 ；条件③：c sin A = 5
2
❑√3．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
10（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
sin A + ❑√3cos A =2．
(1)求A．
(2)若a=2，❑√2bsinC =c sin 2B，求△ABC的周长．
