文档文本内容
第04 讲 复数
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................5
考点一 复数的四则运算..............................................................................................................5
考点二 求复数的实部与虚部......................................................................................................6
考点三 复数相等..........................................................................................................................6
考点四 复数的分类及纯虚数概念考查......................................................................................7
考点五 复数的几何意义..............................................................................................................7
考点六 复数的模长及与模相关的轨迹问题..............................................................................8
考点七 复数的三角形式..............................................................................................................8
考点八 欧拉公式..........................................................................................................................9
考点九 复数多选题综合探究......................................................................................................9
三阶突破训练...............................................................................................................10
基础过关......................................................................................................................................10
能力提升......................................................................................................................................11
真题感知......................................................................................................................................12
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年全国一卷，第1 题,5 分
求复数的实部与虚部
复数代数形式的乘法运算
无
2025 年全国二卷，第2 题,5 分
复数的除法运算
无
2024 年新I 卷，第2 题，5 分
复数的四则运算
无
2024 年新Ⅱ卷，第1 题，5 分
复数的模
无
2023 年新I 卷，第2 题，5 分
复数的四则运算、共轭复数
无
2023 年新Ⅱ卷，第1 题，5 分
复数的四则运算、复数的几
何意义
无
2022 年新I 卷，第2 题，5 分
复数的四则运算、共轭复数
无
2022 年新Ⅱ卷，第2 题，5 分
复数的四则运算
无
2021 年新I 卷，第2 题，5 分
复数的四则运算、共轭复数
无
2021 年新Ⅱ卷，第1 题，5 分
复数的四则运算、复数的几
何意义
无
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5 分
【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、
及纯虚数
2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数
3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意
义，题型较为简单。
知识点1 复数的定义
复数：一般地，当a 与b 都是实数时，称a+bi为 ，复数一般用小写字母z 表示，即
z =a+bi(a,b∈R)，其中a 称为z 的 ，b 称为z 的 . 任意一个复数都由它的实部与虚部唯一
确定。
知识点2 虚数单位与周期
i 叫做虚数单位，规定i
2= ；虚数单位可以与实数进行
特别地，i
4 n+1= ，i
4 n+2= ，i
4 n+3= i
4 n= ，其中n∈Z．
知识点3 复数的分类
对于复数z =a+bi(a,b∈R)， 复数z =a+bi(a,b∈R)，z为实数⇔ ；z为虚数⇔
；z为纯虚数⇔ ；z为非纯虚数数⇔ ．
即复数z =a+bi(a,b∈R)
知识点4 复数相等
如果a，b，c，d都是实数，那么a+bi=c +d i ⇔ ．特别地，当a，b都是实数时，a +bi=0
的充要条件是a=0且b=0．
知识点5 共轭复数及其性质
如果两个复数的实部 ，而虚部 时，则称这两个复数互为共轭复数．复数z 的共轭复
数用z表示，即如果z =a+bi,a,b∈R，那么z = ．
共轭复数的性质
设z的共轭复数为z，则
（1）z z = =| z|
2．
（2）z
2=( z)
2．
（3）z1 z2= z1 z2．
知识点6 复平面及复数的几何意义
复平面： 叫做复平面，这里的x轴叫做 ，y轴叫做 .
注意：（1）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0.
（2）每一个复数，在复平面内有唯一的点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，都有唯一的一个复
数和它对应，即复数集中的元素和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的.
复平面上两点P，Q 关于x轴对称⇔它们所对应的复数相互 ．
知识点7 复数的向量表示
复平面内的点Z(a,b)表示复数z =a+bi（a、b∈R），连接OZ，向量⃗OZ由点Z 唯一确定；反过来，点
Z 也可以由向量⃗OZ唯一确定.这样，复数集C中的元素和复平面上以原点为起始点的向量⃗OZ也是
对应的（实数0 与零向量对应）.
知识点8 复数的模
复数z =a+bi（a、b∈R）在复平面上所对应的点Z(a,b)到原点的距离 叫做复数z 的模
（或绝对值），记作| z|，由模的定义可知| z|=|a+bi|= .
复数的模与该复数所对应的向量的模是 的，复数的模为该复数在复平面上所对应点到
的距离.
知识点9 复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi，z2=c +d i (a,b,c ,d ∈R)，则
（1）加法：z1+ z2=(a+bi)+(c +d i)= ．
（2）减法：z1−z2=(a+bi)+(c +d i)= ．
（3）乘法：z1⋅z2=(a+bi)⋅(c +d i)= ．
（4）除法：z1
z2
= a+bi
c +d i = (a+bi)(c−d i)
(c +d i)(c−d i) = ac +bd
c
2+d
2 + bc−ad
c
2+d
2 i(c +d i≠0)．
知识点10 复数乘法的运算律
（1）对任意复数z1，z2，z3，有
交换律
z1 z2=
结合律
(z1 z2)z3=
乘法对加法的分配律
z1(z2+ z3)=
（2）n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作z
n，即z
n= z× z×⋯× z
⏟
n个
．可以验
证，当m，n均为正整数时，z
m z
n= ，(z
m)
n= ，(z1 z2)
n= ．
知识点11 复数的三角形式
定义：任何一个复数z =a+bi都可以表示成 的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负
半轴为始边，向量⃗OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z =a+bi的 ． 叫
做复数z =a+bi的三角表示式，简称三角形式．
乘法运算法则
设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1 z2= ．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的 ，积的辐角等于各复数的辐角的
．
除法运算法则
设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+)isinθ2)，且z2≠0，则
z1
z2
= ．
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的 ，商的辐角等于被除数
的辐角减去除数的辐角所得的 ．
知识点12 一元二次方程的根及韦达定理
实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0（a、b、c∈R，a≠0）中的Δ=b
2−4 ac为根的判别式，那么
（1）Δ>0⇔方程有两个不相等的实根−b± ❑√Δ
2a
；
（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实根（二重根）−b
2a；
（3）Δ<0⇔方程有一对共轭虚根−b± ❑√−Δi
2a
．
在（3）的情况下，方程的根与系数的关系（韦达定理）仍然成立，即 ．
考点一 复数的四则运算
典例1．（2025·浙江宁波·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·湖南娄底·模拟预测）若复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·海南儋州·模拟预测）
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·浙江杭州·模拟预测）设为虚数单位，若复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 求复数的实部与虚部
典例1．（2025·广西柳州·模拟预测）复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·河北·模拟预测）设
，则
的实部和虚部分别为（ ）
A．1，
B．1，
C．
，
D．1，3
跟踪训练1．（2025·江西新余·模拟预测）若
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知复数
满足
（i 为虚数单位），则
的实部与虚部
和为（ ）
A．0
B．
C．
D．2
考点三 复数相等
典例1．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知复数
满足
（i 为虚数单位），则
的实部与虚部和为
（ ）
A．0
B．
C．
D．2
典例2．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·湖南·三模）若
（a，
，i 为虚数单位），则
的值为
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
跟踪训练2．（2025·安徽·模拟预测）若复数
，实数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．4
考点四 复数的分类及纯虚数概念考查
典例1．（2025·江西吉安·模拟预测）已知复数
为纯虚数，（为虚数单位），则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
典例2．（2025·湖南娄底·模拟预测）设
，则“
”是“复数
为实数”的
（ ）
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
跟踪训练1．（2025·湖南·一模）若复数
为实数，则实数a 等于（ ）
A．
B．
C．1
D．2
跟踪训练2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知
为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数
（ ）
A．
B．2
C．1
D．
考点五 复数的几何意义
典例1．（2025·广东东莞·模拟预测）已知复数
满足
，则复数
在复平面对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
典例2．（2025·海南海口·模拟预测）若复数
在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·河南·三模）已知复数
，
在复平面内对应的点分别为A，B，则“A 在第二象限”是
“B 在第三象限”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
跟踪训练2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数
满足
（为虚数单位），则复数
在复
平面上不可能位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
考点六 复数的模长及与模相关的轨迹问题
典例1．（2025·江苏泰州·模拟预测）若
，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数
的模为
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
典例2．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·山东泰安·模拟预测）若复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·广东·模拟预测）若复数z 满足
，那么
的最大值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
考点七 复数的三角形式
典例1．（2025·海南·模拟预测）已知复数
（为虚数单位），则
等于（ ）
A．1
B．
C．
D．
跟踪训练1．棣莫弗公式
（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－
1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点八 欧拉公式
典例1．（2025·陕西·模拟预测）欧拉公式
（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现
的．若复数
，则
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
跟踪训练1．欧拉公式
建立起了复数、三角函数和指数函数的桥梁，在解析几何中具有重大
意义，在复变函数论中占有重要的地位．根据欧拉公式，以下命题正确的个数是（ ）
命题1：
命题2：
命题3：
的共轭复数为
命题4：
为实数
A．1
B．2
C．3
D．4
考点九 复数多选题综合探究
典例1．（2025·江苏南通·模拟预测）设
为复数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·江西·三模）在复数范围内关于x 的实系数一元二次方程
的两根为
，
，其
中
，则下列选项正确的是（）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·湖北黄冈·三模）已知复数
，下列等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·广东茂名·二模）已知
为关于
的方程
在复数范围内的一
个根，则（ ）
A．
B．
C．
为纯虚数
D．
为关于
的方程
的另一个根
单选题
1．（2025·重庆·三模）已知为虚数单位，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河南·模拟预测）已知复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．4
4．（2025·吉林长春·模拟预测）
（ ）
A．－i
B．i
C．1+i
D．－1+i
5．（2025·江苏宿迁·模拟预测）在复平面内，复数
满足
(i 为虚数单位)，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．1
D．
7．（2025·河北秦皇岛·一模）已知复数
在复平面内对应的点为
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·全国·模拟预测）已知复数
，其共轭复数为
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．1
9．（2025·重庆九龙坡·三模）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·湖北·模拟预测）复数
在复平面内对应的点在第二象限，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
11．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若复数
为纯虚数，i 为虚数单位，则
的虚部为（ ）
A．1
B．
C．
D．
12．（2025·河南·模拟预测）在复平面内，复数z 对应的点与
对应的点关于实轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数
与复数
对应的点关于实轴对称，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
14．（2025·广西南宁·模拟预测）已知i 为虚数单位，复数
，复数z 的共轭复数为
，则
的虚部为（ ）
A．
B．3
C．
D．
15．（24-25 高一下·云南大理·阶段练习）若
是关于
的方程
的一个根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·浙江绍兴·二模）已知虚数数列
，则其前4n 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z 满足
（为虚数单位），则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
18．（2025·安徽六安·模拟预测）已知复数
,
，并
且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
19．（2025·河南·一模）已知
为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．
20．（24-25 高一下·河南郑州·期末）设
，在复平面内z 对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z
的集合对应的图形正确的是（ ）．
A．若
，则点Z 的集合是圆
B．若
，则点Z 的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界）
C．若
，则点Z 的集合是y 轴所在的直线
D．若
，则点Z 的集合是一、三象限角平分线
一、单选题
21．（2025·全国二卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
22．（2025·北京·高考真题）已知复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．8
23．（2025·全国一卷·高考真题）
的虚部为（ ）
A．
B．0
C．1
D．6
24．（2024·北京·高考真题）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
25．（2024·全国甲卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
26．（2024·全国甲卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．10
D．
27．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
28．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数
对应的点的坐标是
，则
的共轭复数
（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（2023·全国乙卷·高考真题）
（ ）
A．1
B．2
C．
D．5
31．（2023·全国甲卷·高考真题）
（ ）
A．
B．1
C．
D．
32．（2023·全国甲卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
33．（2023·全国乙卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
34．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
35．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，
对应的点位于（ ）．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
二、填空题
36．（2025·天津·高考真题）已知i 是虚数单位，则
．
37．（2025·上海·高考真题）已知复数z 满足
，则
的最小值是 ．
38．（2024·上海·高考真题）已知虚数
，其实部为1，且
，则实数
为 ．
39．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数
．
40．（2023·上海·高考真题）已知当
，则
；
41．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简
的结果为 ．
