专题8.5 椭圆（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 椭圆的定义及其应用】..............................................................................................................................4
【题型2 椭圆的标准方程】......................................................................................................................................4
【题型3 曲线方程与椭圆】......................................................................................................................................5
【题型4 轨迹问题——椭圆】..................................................................................................................................5
【题型5 椭圆的焦距与长轴、短轴】......................................................................................................................6
【题型6 椭圆中的焦点三角形问题】......................................................................................................................6
【题型7 求椭圆的离心率或其取值范围】..............................................................................................................7
【题型8 与椭圆有关的最值问题】..........................................................................................................................8
【题型9 椭圆的实际应用】......................................................................................................................................8
1、椭圆
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解椭圆的定义、几何
图形、标准方程
(2)掌握椭圆的简单几何性质
(范围、对称性、顶点、离心
率)
(3)掌握椭圆的简单应用
2023 年新高考I 卷：第5 题，5 分
2023 年全国甲卷（理数）：第12
题，5 分
2023 年北京卷：第19 题，15 分
2024 年新高考I 卷：第16 题，15
分
2024 年新高考Ⅱ卷：第5 题，5
分
2025 年全国一卷：第18 题，17
分
2025 年全国二卷：第16 题，15
分
2025 年北京卷：第19 题，15 分
椭圆的方程及其性质是圆锥曲
线中的重要内容，是高考命题的重
点内容.从近几年的高考情况来看，
主要考查椭圆的定义、标准方程及
其简单几何性质，主要以选择、填
空题的形式出现，难度不大；对于
解答题中椭圆的考查，椭圆方程的
求解往往在解答题的第一小问中考
查，复习时要加强这方面的训练.
与向量等知识结合综合考查也
是高考命题的一个趋势，需要学会
灵活求解.
知识点
1 椭圆的方程及其性质
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点
的距离的和等于常数(大于
)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作
椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
(2)椭圆定义的集合表示P={
}.
2．椭圆的标准方程
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
椭圆在坐标
系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c 的关系
3．椭圆的顶点与长轴、短轴
以椭圆的标准方程
(a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a.
这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x 轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y 轴的两个交点.因为x 轴、y
轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段
，
分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长
=2a，短轴长
=2b，a 和b 分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
4．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比
称为椭圆的离心率.用e 表示，即e=
.
(2)离心率的范围：0<e<1.
(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.
当e 越接近于1 时，c 越接近于a，从而b=
越小，因此椭圆越扁；当e 越接近于0 时，c 越接近于
0，从而b=
越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形
变为圆，它的方程为
.
知识点
2 椭圆方程的求解方法
1．椭圆方程的求解
(1)用定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义，确定
的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系
数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b 的值，从而确定方程（注意焦点的位
置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x
轴上和焦点在y 轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程
为
=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
知识点
3 椭圆的焦点三角形
1．椭圆的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设M 是椭圆上一点，F1,F2为椭圆的焦点，当点M,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，
如图所示.
(2)焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长 L=2a+2c.
②在
中，由余弦定理可得
.
③设
，
，则
.
知识点
4 椭圆离心率或其范围的解题策略
1．求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a, b, c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式，常用方法如下:
(1)直接求出a, c，利用离心率公式
求解.
(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式
求解.
(3)构造a, c 的齐次式.离心率e 的求解中可以不求出a, c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e.
知识点
5 椭圆中的最值问题的解题策略
1．椭圆中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何
法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一
个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及
三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型1 椭圆的定义及其应用】
【例1】（2025·广西南宁·二模）已知F1, F2分别是椭圆M : x
2
16 + y
2
5 =1的左、右焦点，P为M上一点，若
| P F1|=3，则| P F2|=（ ）
A．2
B．3
C．5
D．6
【变式1-1】（2025·山西晋城·二模）已知F1, F2分别为椭圆C : x
2
9 + y
2
5 =1的左、右焦点，点P为C上一
点，若|P F1)−|P F2)=2，则（ ）
A．|P F2)=2|F1 F2)
B．|P F1)=2|F1 F2)
C．|P F2)=|F1 F2) D．|P F1)=|F1 F2)
【变式1-2】（2024·江西·模拟预测）已知F1, F2是椭圆C : x
2
4 + y
2=1的左、右焦点，过F1的直线交C于
A ,B两点，若|A F2)+|B F2)=5，则|AB)=（ ）
A．2❑√3
B．3
C．2❑√2
D．2
【变式1-3】（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆C : x
2
4 + y
2
m =1(0<m<4)的左、右焦点分别为F1，F2，
右顶点为M，点N在椭圆C上，且∠N F1 F2=60
∘，若|N F2)=2|M F2)，则m=（ ）
A．1
B．2
C．❑√3
D．3
【题型2 椭圆的标准方程】
【例2】（2025·陕西安康·模拟预测）已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2
，点M在
椭圆上，且满足∠F1 M F2=90
°,M F2
延长线交椭圆于另一点C，|M F2)=2|F2C)=2，则椭圆的方程为
（ ）
A．x
2
9 + y
2=1
B．x
2
5 + y
2=1
C．x
2
9 + y
2
4 =1
D．x
2
18 + y
2
2 =1
【变式2-1】（2025·广西南宁·二模）已知A ,B分别是椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右顶点，直线
x = a
2
c
（c为椭圆E的半焦距）上存在点C，使得△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且△ABC的面积为
4 ❑√3，则椭圆E的方程为（ ）
A．x
2
3 + y
2
2 =1
B．x
2
4 + y
2
3 =1
C．x
2
4 + y
2
2 =1
D．x
2
5 + y
2
4 =1
【变式2-2】（2024·山西太原·三模）已知点F1, F2 分别是椭圆 C的左、右焦点，P(4,3)是C上一点，
△P F1 F2的内切圆的圆心为I (m,1)，则椭圆 C的标准方程是（ ）
A．x
2
24 + y
2
27 =1
B．x
2
28 + y
2
21 =1
C．x
2
52 + y
2
13 =1
D．x
2
64 + y
2
12 =1
【变式2-3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆C : y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1, F2
，
离心率为2
3
，过点F1作直线l（与y轴不重合）交椭圆C于M , N两点，△MN F2的周长为12，则椭圆C的
标准方程是（ ）
A．x
2
3 + y
2=1
B．y
2
3 + x
2=1
C．x
2
9 + y
2
5 =1
D．y
2
9 + x
2
5 =1
【题型3 曲线方程与椭圆】
【例3】（2025·甘肃庆阳·二模）已知方程x
2
k −2 −
y
2
k −4 =1表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是
（ ）．
A．(2,3)
B．(3,4)
C．(2,4)
D．(2,3)∪(3,4)
【变式3-1】（2025·湖北黄冈·二模）设abc≠0，“曲线a x
2+b y
2=c为椭圆”是“ac>0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3-2】（2024·河南·模拟预测）若方程(m+1) x
2+(1−m) y
2=1−m
2表示焦点在x轴上的椭圆，则
（ ）
A．−1<m<1
B．0<m<1
C．−1<m<0
D．−1<m<0或0<m<1
【变式3-3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线C :
x
2
m−1 +
y
2
3−m =1，则“1<m<3”是“曲线C表示椭
圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【题型4 轨迹问题——椭圆】
【例4】（2025·四川成都·三模）已知动圆C与圆( x +1)
2+ y
2=1外切，同时与圆( x−1)
2+ y
2=25内切，则
动圆C的圆心轨迹方程为（ ）
A．x
2
9 + y
2
8 =1
B．x
2
9 + y
2=1
C．x
2
25 + y
2
24 =1
D．x
2
25 + y
2=1
【变式4-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知曲线x
2+ y
2
2 =1，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足
为P
′，且⃗PN = 1
3⃗P P
′，则点N的轨迹方程为（ ）
A．9 x
2
4 + y
2
2 =1
B．x
2
4 + y
2
2 =1
C．9 x
2
4 + y
2=1
D．x
2+ y
2
2 =1
【变式4-2】（2025·江苏南京·三模）已知曲线C : x
2+ y
2=8( y >0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段P P
′
，P
′为垂足，则线段P P
′的中点M的轨迹方程为（ ）
A．x
2
8 + y
2
2 =1( y >0)
B．x
2
8 + y
2
4 =1( y >0)
C．y
2
8 + x
2
2 =1( y >0)
D．y
2
8 + x
2
4 =1( y >0)
【变式4-3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B 两点的坐标分别为(−2,0),(2,0)，直线AM，BM 相交
于点M，且它们的斜率之积是−3
4
，则点M 的轨迹方程为（ ）
A．x
2
16 + y
2
12 =1( x≠±2)
B．x
2
16 −y
2
12 =1( x≠±2)
C．x
2
4 + y
2
3 =1( x≠±2)
D．x
2
4 −y
2
3 =1( x≠±2)
【题型5 椭圆的焦距与长轴、短轴】
【例5】（2025·福建泉州·二模）若椭圆x
2
a
2 + y
2
3 =1(a>0)的离心率为❑√2
2
，则该椭圆的焦距为（ ）
A．❑√3
B．❑√6
C．2❑√6或❑√3
D．2❑√3或❑√6
【变式5-1】（2025·云南红河·三模）已知椭圆C : x
2
m
2 + y
2
6 =1的右焦点为F (2,0)，则C的长轴长为（ ）
A．❑√10
B．2❑√10
C．❑√2
D．2❑√2
【变式5-2】（2025·海南·三模）若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆C : x
2
m
2 + y
2=1上，则C的焦距
为（ ）
A．2
B．2❑√6
3
C．2❑√3
3
D．2❑√2
3
【变式5-3】（2025·河北·模拟预测）已知椭圆C1: x
2+ y
2
b
2 =1(0<b<1)与椭圆C2: x
2
m
2 + y
2
n
2 =1(m>n>0)离
心率相同，过C1左顶点A与上顶点B的直线与椭圆C2交于M , N两点，若A ,B恰为线段MN的两个三等分
点，则C2的长轴长为（ ）
A．5
B．2❑√5
C．2❑√6
D．2❑√3
【题型6 椭圆中的焦点三角形问题】
【例6】（2025·广西柳州·模拟预测）已知椭圆E: x
2
16 + y
2
12 =1的左右焦点分别为F1, F2，上顶点为A，过
F1且垂直于A F2的直线与E交于B、C 两点，则△ABC的周长为（ ）
A．12
B．16
C．20
D．24
【变式6-1】（2025·广东深圳·模拟预测）设F1，F2为椭圆C : x
2
36 + y
2
20 =1的两个焦点，M为C上一点且在
第一象限，若△M F1 F2为等腰三角形，则△M F1 F2的面积为（ ）
A．3 ❑√15
B．12
C．4 ❑√15
D．16
【变式6-2】（2025·湖南永州·三模）已知椭圆E：x
2
4 + y
2
3 =1，点F (−1,0)，若直线x + λy −1=0（λ∈R
）与椭圆E 交于A，B 两点，则△ABF的周长为（ ）
A．2❑√3
B．4
C．4 ❑√3
D．8
【变式6-3】（2025·湖南永州·模拟预测）设F1
、F2
分别是椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点，过
点F2
作x 轴的垂线交C 于A、B 两点，其中点A 在第一象限，且|A F1)=2|A F2).若P 是C 上的动点，则满
足△P F1 F2是直角三角形的点P 的个数为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【题型7 求椭圆的离心率或其取值范围】
【例7】（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线y =kx (k ≠0)与椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)交于A , B两
点，椭圆的左、右焦点分别为F1
、F2
，四边形A F1B F2
为矩形，若|F2 A)=2|F2B)，则椭圆C的离心率
是（ ）
A．
❑√3
2
B．1
2
C．
❑√5
3
D．5
9
【变式7-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）设椭圆M : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2
，上
顶点为A，直线A F1
交M 于另一点B，△AB F2
的内切圆与AB相切于点C，若|BC |=|F1 F2)，则椭圆M
的离心率为（ ）
A．3
4
B．1
4
C．1
3
D．1
2
【变式7-2】（2025·云南丽江·模拟预测）设椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2
，P
是椭圆C 上一点，若点F2关于∠P F1 F2的角平分线l 的对称点恰好是点P，且⃗F1 P⋅⃗F1 F2=−4
9 a
2，则C
的离心率为（ ）
A．1
3
B．2
3
C．1
2
D．3
7
【变式7-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知P为椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左顶点，M、N是椭圆
上的点.若四边形OPMN满足⃗OM =⃗OP+⃗ON，∠PON ∈(
2π
3 , 5π
6 )，则椭圆离心率的取值范围是
（ ）
A．(0,
❑√2
3 )
B．(0, 2
3
❑√2)
C．(0,
❑√3
2 )
D．(
❑√6
3 ,1)
【题型8 与椭圆有关的最值问题】
【例8】（2025·山东威海·一模）已知F为椭圆C : y
2
9 + x
2
5 =1的上焦点，P为C上一点，Q为圆
M : x
2+ y
2−8 x +15=0上一点，则|PQ)+|PF)的最大值为（ ）
A．1+2❑√5
B．3+2❑√5
C．5+2❑√5
D．7+2❑√5
【变式8-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F (1,0)，且过点
P(−3
2 ,
❑√21
4 )
，Q为C上一动点，则|PQ)+|QF)的最大值为（ ）
A．11
2
B．13
2
C．19
4
D．21
4
【变式8-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1的左､右焦点为F1, F2, M是椭圆C上一动
点，直线l: y =k (x−1)+2经过的定点为N，则|M F1)−|MN )的最大值为（ ）
A．❑√2
B．2
C．2❑√2
D．6
【变式8-3】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知F 为椭圆C : x
2
4 + y
2=1的右焦点，P 为C 上一点，Q 为圆
M : x
2+( y −3)
2=1上一点，则|PQ)+|PF)的最大值为（ ）
A．5
B．5+2❑√3
C．3+2❑√3
D．6
【题型9 椭圆的实际应用】
【例9】（2025·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁
重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要
交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平
面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，AB = 44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率
为（ ）
A．1
3
B．2
5
C．2
3
D．4
5
【变式9-1】（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近
一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为
一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道III 绕月飞行，若
用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴的长，则（ ）
A．a1−c1<a2−c2
B．a1+c1<a2+c2
C．c2
a1
> c1
a2
D．c1
a1
> c2
a2
【变式9-2】（2025·江西景德镇·二模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的
一个焦点F1发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F2，且在P点处的切线
垂直于法线（即∠F1 P F2
的角平分线）．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，坐标原点O到点P处切线的
距离为a
2
，且|P F1)⋅|P F2)=ab，则C的离心率为（ ）
A．
❑√7
4
B．3
4
C．
❑√15
4
D．7
8
【变式9-3】（2024·陕西西安·一模）已知农历每月的第t +1天（0≤t ≤29，t ∈N）的月相外边缘近似为
椭圆的一半，方程为
x
2
r
2cos
2(
2π
29 t)
+ y
2
r
2 =1，其中r为常数.根据以上信息，下列说法中正确的有（ ）
A．农历每月第d（1≤d ≤30，d ∈N
*）天和第30−d天的月相外边缘形状相同
B．月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为2r
C．月相外边缘的离心率与t无关
D．农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间(
❑√3
2 ,1)
内
一、单选题
1．（2025·湖南·三模）已知曲线C : x
2
6−t + y
2
t −2 =1，设p:2<t <3，q：曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则
p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025·湖南永州·三模）已知椭圆E：x
2
4 + y
2
3 =1，点F (−1,0)，若直线x + λy −1=0（λ∈R）与椭圆
E 交于A，B 两点，则△ABF的周长为（ ）
A．2❑√3
B．4
C．4 ❑√3
D．8
3．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x 轴上的椭圆 x
2
9 + y
2
b
2 =1，其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B
构成面积为4 ❑√2的三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．1
3
B．
❑√2
3
C．1
2
D．
❑√2
2
4．（2025·江苏南京·三模）已知曲线C : x
2+ y
2=8( y >0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段P P
′，P
′为垂
足，则线段P P
′的中点M的轨迹方程为（ ）
A．x
2
8 + y
2
2 =1( y >0)
B．x
2
8 + y
2
4 =1( y >0)
C．y
2
8 + x
2
2 =1( y >0)
D．y
2
8 + x
2
4 =1( y >0)
5．（2025·河南·三模）已知△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，D 为BC 边上一点，且
AD = BD =1，CD =2，当∠ADB在变化时，点(b,c)总在椭圆x
2
m + y
2
n =1(m>0,n>0)上，则该椭圆的
长轴长为（ ）
A．6
B．6 ❑√2
C．3 ❑√2
D．3
6．（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆C : x
2
4 + y
2
m =1(0<m<4)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为
M，点N在椭圆C上，且∠N F1 F2=60
∘，若|N F2)=2|M F2)，则m=（ ）
A．1
B．2
C．❑√3
D．3
7．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆C : y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1, F2
，离心率为
2
3
，过点F1作直线l（与y轴不重合）交椭圆C于M , N两点，△MN F2的周长为12，则椭圆C的标准方程
是（ ）
A．x
2
3 + y
2=1
B．y
2
3 + x
2=1
C．x
2
9 + y
2
5 =1
D．y
2
9 + x
2
5 =1
8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F (1,0)，且过点
P(−3
2 ,
❑√21
4 )
，Q为C上一动点，则|PQ)+|QF)的最大值为（ ）
A．11
2
B．13
2
C．19
4
D．21
4
二、多选题
9．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知P 是椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上位于第二象限的一点，
F1(−2,0), F2(2,0)为C 的左、右焦点，O 为坐标原点，|OP|=2，∠F1 P F2的平分线与x 轴交与点Q，
点M 在直线PQ上，⃗P F1= λ⃗OM ( λ>0)，且|OM |=1，则（ ）
A．点P 在以F1 F2为直径的圆上
B．△P F1 F2的周长为10
C．椭圆C 的方程为x
2
7 + y
2
3 =1
D．λ =3
10．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆E：x
2
25 + y
2
9 =1的左、右焦点分别为F1, F2，点P(x0, y0)）是
椭圆E 上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆E 的长轴长为5
B．椭圆E 的离心率为4
5
C．1≤|P F1)≤9
D．恰好存在两个点P 使得⃗P F1⋅⃗P F2=0
11．（2025·广东惠州·模拟预测）动点P 在椭圆C 上，F1，F2为C 的左、右焦点，直线P F1和直线P F2分
别交C 于点A，B，若△PA F2的周长为20，且C 的左顶点和上顶点距离为❑√41，则（ ）
A．椭圆焦距为3
B．离心率e= 3
5
C．△P F1 F2面积最大值为12
D．P F1和P F2斜率乘积为定值
三、填空题
12．（2025·陕西渭南·三模）已知椭圆x
2
2m + y
2
m =1的一个焦点的坐标是(2,0)，则实数m的值为 .
13．（2025·江苏南通·模拟预测）若直线y = 2b
3
与椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)交于A，B两点，|AB)=2b
，则C的离心率为
.
14．（2025·江西新余·模拟预测）已知F1
，F2
是椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点，过F1
与y 轴的
平行线与椭圆E 交于C，D，|CD|=10，| D F2|=13，则椭圆E 的方程为 ．
四、解答题
15．（2025·广西·模拟预测）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右顶点为A (2,0)，离心率e =
❑√3
2
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l: y = x +m与椭圆C交于不同的两点M , N，点Q (4,0)，若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率互为
相反数，求实数m的值.
16．（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1
，F2
，点M (2,1)在
C上，⃗M F1⋅⃗M F2=−1，过点M作两条斜率互为相反数的直线，分别交C于不同的两点A ,B．
(1)求C的标准方程；
(2)证明：直线AB的斜率为定值，并求出该值．
17．（2025·河南·模拟预测）已知长为3 的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，动点P满足⃗
AP = 1
2⃗PB，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)若C与y轴非负半轴交于点Q，过点Q作与以点D(−❑√3,0)为圆心，r(0<r <1)为半径的圆相切的直线l1
，l2，且l1，l2分别交C于点M，N，证明：直线MN过定点.
18．（2025·福建泉州·模拟预测）矩形ABCD的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆
E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的顶点．
(1)求E的方程及离心率；
(2)若P，Q，R三点在以AC为直径的圆上，且直线PQ，PR均与E有且只有一个公共点，证明：△PQR是
直角三角形．
19．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为2❑√2
3
，下顶点为A，右顶
点为B，| AB|= ❑√10．
(1)求C 的方程；
(2)已知动点P 不在y 轴上，点R 在射线AP 上，且满足|AP)⋅|AR)=3．
（i）设P(m,n)，求R的坐标（用m，n 表示）；
（ⅱ）设O 为坐标原点，Q是C 上的动点，直线OR 的斜率为直线OP的斜率的3 倍，求| PQ|的最大值．
