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专题01 力与物体的平衡
模型一 静态平衡问题
1.对物体进行受力分析
2.处理平衡问题常用的方法
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，
方向相反
分解法
按效果分解：物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的作用效果分解，
则其分力和其他两个力分别满足平衡条件
正交分解法：物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂
直的两组，每组力都满足平衡条件
矢量三
角形法
对受三个共点力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移，使三个力组成一个首尾依
次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知
力
【例题精讲】
1．为了喜迎2026 年元旦，营造喜庆氛围，某同学将两个完全相同的灯笼（可视为质点）通过等长的两根轻
绳连在一起，挂在天花板上，如图所示。现有一同学对灯笼1 施加一水平向右、大小为3F 的恒力，同时
另一同学对灯笼2 施加一水平向左、大小为F 的恒力，待灯笼重新平衡后正确的场景大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：设下面的绳子和竖直方向夹角为α，每个灯笼重力为mg，灯笼2 受重力、外力F 和绳子拉
力T2，三力平衡，根据平衡条件有tanα = F
mg
对灯笼1 和2 整体，受重力2mg、外力2F 和绳子拉力T1，三力平衡，上面的绳子和竖直方向夹角为β，
根据平衡条件有tanβ= 2 F
2mg = F
mg ，可得 α＝β 因为绳子长度相等，
由几何关系可知灯笼2 正好处于悬点正下方，故C 正确，ABD 错误。
故选：C。
2．如图（a）所示，用一根光滑细线将6 个质量为m 的小球通过沿直径的孔道等间距地串成一个环，并将
其套在一个静置在水平面上的顶角为α 的光滑圆锥体上，其俯视图如图（b）所示。已知小球间的细线与
每个小球的孔道方向成θ 角，重力加速度为g，则细线上的张力大小为（ ）
A．
2mgsinθ
tan α
2
B．
mg
2sinθ⋅tan α
2
C．2mg⋅tan α
2
sinθ
D．2mg⋅sinθ⋅tan α
2
【答案】B
【解答】解：对小球受力分析，构建矢量三角形如图所示：
有T 合
= mg
tan α
2
，
绳子对小球拉力如图所示：
由平行四边形法则可知T 合＝2Tsinθ，代入数据可得T=
mg
2sinθ⋅tan α
2
，故B 正确，ACD 错误。
故选：B。
3．建筑工地上工程自卸车通过缓慢增加车厢倾角来实现自动卸货，如图所示，在倾角增加到θ0时，车厢中
的石块开始滑下．则在倾角增加到θ0之前的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．车厢对石块弹力变大
B．车厢对石块的静摩擦力变小
C．石块与车厢间的动摩擦因数大于tanθ0
D．车厢对石块的弹力和静摩擦力的合力不变
【答案】D
【解答】解：A、车厢对石块弹力变大由N＝mgcosθ 可知，随着θ 增大，cosθ 减小，因此N 变小，故A
错误；
B、车厢对石块的静摩擦力变小由fs＝mgsinθ 可知，随着θ 增大，sinθ 增大，因此fs变大，故B 错误；
C、石块与车厢间的动摩擦因数大于tanθ，当θ＝θ0时，石块刚好开始滑动，说明此时静摩擦力达到最大
值fsmax＝μsN＝μsmgcosθ0。此时fs＝mgsinθ0，所以有：μsmgcosθ0＝mgsinθ0，两边约去mg，得：μs＝
tanθ0，由于动摩擦因数μk＜μs，所以μk＜tanθ0，故C 错误；
D 、车厢对石块的弹力和静摩擦力的合力不变弹力N 和静摩擦力fs 的合力为：
F =
❑√N
2+ f s
2=
❑√(mgcosθ)
2+(mgsinθ)
2=mg，无论θ 如何变化，合力始终等于重力mg，方向竖直向上，
大小和方向都不变，故D 正确。
故选：D。
4．图甲为石林景观，可简化为如图乙所示的模型，所受重力大小为G 的石块B 被A、C 两石块夹住，B 左
侧面竖直，右侧面的倾角为60°。若不计摩擦，则C 对B 的支持力大小为（ ）
A．2G
B．2❑√3
3
G
C．G
D．1
2 G
【答案】A
【解答】解：如图所示，B 受到重力G、A 对B 水平向右的支持力NA、C 对B 垂直B 右侧面的支持力
NC，根据物体的平衡条件可得N C =
G
cos60° =2G，故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
5．将相同的两本书均分成质量相等的两部分，之后将它们交叉对叠起来。已知书与书之间及书与水平桌面
之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。如图甲所示，下面一本书用水平轻质细绳固
定在左边墙面上，上面的书在水平拉力F1作用下恰好能将两本书分开；如图乙所示，上面一本书用水平
轻质细绳固定在右边墙面上，下面的书在水平拉力F2作用下恰好能将两本书分开。则F1：F2为（ ）
A．1：1
B．2：3
C．3：4
D．3：5
【答案】D
【解答】解：两本书恰好分开时，书间的静摩擦力恰好达到最大，甲图中，对上面的书，由平衡条件知，
拉力F1= μ⋅1
2 mg+ μ⋅2× 1
2 mg+ μ⋅3× 1
2 mg=3 μm
乙图中，对下面的书，由平衡条件知F2= μ⋅1
2 mg+ μ⋅2× 1
2 mg+ μ⋅3× 1
2 mg+ μ⋅4，
代入数据得F1：F2＝3：5，故D 正确，ABC 错误。
故选：D。
（多选）6．如图所示，一粗糙斜面体静止在水平地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，
其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M 相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动
N，直至悬挂N 的细绳与竖直方向成45°，已知物块M 和斜面体均始终保持静止，则在此过程中
（ ）
A．水平拉力一直增大
B．斜面体对地面的压力一直增大
C．斜面体对地面的摩擦力一直增大
D．M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增大
【答案】ACD
【解答】解：A.对物块N 进行受力分析，根据三角形法则作图，如图所示：
物块N 的重力mNg 与水平拉力的合力F 和细绳的拉力T 是一对平衡力，由图可知，水平拉力F 和M 所受
细绳的拉力T 大小都一直增大，故A 正确。
B.对物体M、N 和斜面整体分析，竖直方向整体只受重力和支持力，所以斜面体与地面间的正压力一定
不变，故B 错误。
C.地面对斜面体的摩擦力与水平拉力F 始终相等，水平拉力F 一直增大，所以地面对斜面体的摩擦力增
大，由牛顿第三定律可知斜面体对地面的摩擦力一直增大，故C 正确。
D.设斜面倾角为θ，初始时T＝mNg。当mNg＝mMgsinθ 时，初始时M 所受摩擦力f＝0；随着T 逐渐增大，
为确保M 静止，应满足T＝mMgsinθ+f，f 沿斜面向下且增大。当mNg＞mMgsinθ 时，初始时对M 有T＝
mMgsinθ+f，f 沿斜面向下；随着T 逐渐增大，为确保M 静止，应增大且沿斜面向下。当mNg＜mMgsinθ
时，初始时对M 有T+f＝mMgsinθ，f 沿斜面向上；随着T 逐渐增大，为确保M 静止，f 应先减小且方向
沿斜面向上；当减小至零以后，随着T 的继续增大，为确保M 静止，对M 有T＝mMgsinθ+f，f 沿斜面向
下且增大。即M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加，故D 正确。
故选：ACD。
（多选）7．2019 年12 月17 日，我国第二艘航母“山东舰”正式入列我国海军，此舰为首艘国产航母，标
志着我国的军舰建造技术进入新时代。为使舰载机在几秒内迅速停在航母上，需要利用阻拦索将舰载机
高速拦停（如图1），此过程可简化为如图2 所示模型，设航母表面为一平面，阻拦索两端固定，并始终
与航母平面平行。舰载机从正中央钩住阻拦索，实现减速。阻拦索为弹性装置（遵循胡克定律），刚刚
接触阻拦索就处于绷紧状态，下列说法正确的是（ ）
A．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，阻拦索对舰载机的弹力在变大
B．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，舰载机所受摩擦力一直在变大
C．当阻拦索被拉至夹角为60°时，设阻拦索的张力为F，则阻拦索对舰载机的拉力大小为F
D．当阻拦索被拉至夹角为120°时，设阻拦索的张力为F，则阻拦索对舰载机的拉力大小为F
【答案】AD
【解答】解：A、舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，阻拦索形变量逐渐增大，故阻拦索对舰载
机的弹力在变大，故A 正确；
B、舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，舰载机所受滑动摩擦力有f＝μFN，所受支持力为FN＝mg
可知甲板对舰载机的支持力不变，舰载机所受摩擦力不变，故B 错误；
C、当阻拦索被拉至夹角为60°时，设阻拦索的张力为F，则阻拦索对舰载机的拉力大小为
F ′ =2 Fcos 60°
2
代入数据解得F ′ = ❑√3 F，故C 错误；
D、当阻拦索被拉至夹角为120°时，设阻拦索的张力为F，则阻拦索对舰载机的拉力大小为
F ″ =2 Fcos 120°
2
代入数据解得F″＝F，故D 正确。
故选：AD。
模型二 动态平衡问题
1.三力作用下的动态平衡
2.四力作用下的动态平衡
(1)在四力平衡中，如果有两个力为恒力，或这两个力的合力方向恒定，为了简便，可用这两个力的合力
代替这两个力，转化为三力平衡，例如：如图甲所示，qE<mg，把挡板沿逆时针方向缓慢转至水平的过
程中，可以用重力与静电力的合力F 合=mg-qE 代替重力与静电力。
(2)对于一般的四力平衡及多力平衡，可采用正交分解法。
甲 乙
(3)在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”
将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图乙所示，物体在拉力F 作用下做匀速直
线运动，改变θ 大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，
Fmin=mgsin θ，其中FN与Ff的合力方向一定，“摩擦角”θ 满足tan θ= Ff
F N
。
3.数学知识在力学中的应用
数学知识
图示
公式
注意事项
cos θ+μsin θ=❑√1+ μ
2
sin(α+θ)
其中sin α=
1
❑√1+ μ
2，
cos α=
μ
❑√1+ μ
2
即tan α=1
μ
物体受4 个共点力，合力恒定，当F
方向变化时，求F 的极小值
正弦定理
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2
R(R 为△ABC 外接圆的
半径)
物体受三个共点力平衡，把表示三个
力的有向线段作闭合矢量三角形，求
某一个力或分析力的变化
拉密定理
当三个共点力的合力为
0 时，其中任意一个力
与其他两个力的夹角正
弦的比值相等F1
sin α =
F2
sin β
= F3
sin γ
其实质为正弦定理的变
形
直接画出三个合力为0 的共点力，应
用拉密定理，比正弦定理更加便捷
【例题精讲】
1．如图所示，轻质细线OA、OB、OC 系于O 点。A 端固定于天花板上，B 端与水平桌面上的物块乙相连，
C 端系有物块甲。初始时OA 与竖直方向的夹角为θ，OB 与水平方向平行。现对物块甲施加水平向右的
外力F，在保持O 点位置不变的情况下，使物块甲缓慢向右上方移动少许，在移动过程中，下列说法正
确的是（ ）
A．物块乙所受合力逐渐增大
B．细线OA 上的弹力不变
C．细线OC 上的弹力逐渐减小
D．外力F 逐渐减小
【答案】B
【解答】解：A、依题意，保持O 点位置不变，物块乙始终静止不动，处于平衡状态，则物块乙所受合
力始终为零，故A 错误；
B、设物块甲缓慢向右上方移动时，使得细线OC 与竖直方向的夹角为α。对结点O 受力分析，竖直方向
根据平衡条件得
TOAcosθ＝TOCcosα
对物块甲受力分析，竖直方向根据平衡条件得
TOCcosα＝m 甲g
可得T OA = m甲g
cosθ
所以，细线OA 上的弹力不变，故B 正确；
C、由B 选项可得TOCcosα＝m 甲g
则T OC = m甲g
cosα
在移动过程中，α 逐渐增大，m 甲g 不变，则细线OC 上的弹力逐渐增大，故C 错误；
D、对物块甲受力分析，水平方向根据平衡条件得
TOCsinα＝F
与TOCcosα＝m 甲g 联立，解得：F＝m 甲gtanα
在移动过程中，α 逐渐增大，m 甲g 不变，则外力F 逐渐增大，故D 错误。
故选：B。
2．飞机逃生滑梯是飞机的安全设备之一，当飞机发生紧急迫降时，充气滑梯从舱门侧翼释放，并在10 秒内
充气后与地面构成倾斜滑道（滑道可近似为平直滑道），保证乘客可以安全撤离。某机组在一次安全测
试中，让一名质量为m 体验者静止在滑道上，然后改变滑道与水平面之间的夹角θ，当θ＝30°时体验者
刚好沿轨道下滑，忽略轨道的形变量，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法
正确的是（ ）
A．θ 从0°增大到30°的过程，体验者所受的摩擦力逐渐增大
B．θ 从0°增大到30°的过程，体验者所受的压力逐渐增大
C．体验者与轨道间的动摩擦因数为0.5
D．θ＝45°时，轨道所受的摩擦力为
❑√2
2 mg
【答案】A
【解答】解：体验者受到重力mg、轨道支持力N 与摩擦力f 作用。在垂直轨道方向，N＝mgcosθ。
AB、在θ 从0°增大至30°的过程中，体验者相对轨道静止。
根据平衡条件，轨道受到的压力（大小等于支持力）N＝mgcosθ 逐渐减小，静摩擦力f＝mgsinθ 逐渐增
大，故A 正确，B 错误；
C、当θ＝30°时体验者恰好开始下滑，表明此时重力沿轨道向下的分力等于最大静摩擦力，即mgsin30°
＝μmgcos30°，解得动摩擦因数μ= tan30° =
❑√3
3 ≈0.58，故C 错误；
D 、当θ ＝45° 时，由于θ ＞30° ，体验者已下滑，此时所受摩擦力为滑动摩擦力
f = μmgcos 45° =
❑√3
3 ⋅mg⋅
❑√2
2 =
❑√6
6 mg，故D 错误。
故选：A。
3．如图所示为一简易起重装置，AC 是上端带有滑轮的固定支架，BC 为质量不计的轻杆，杆的一端C 用铰
链固定在支架上，另一端B 悬挂一个质量为m 的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A 连接在卷扬机上。开始时，
杆BC 与AC 的夹角∠BCA＞90°，现使∠BCA 缓缓变小，直到∠BCA＝30°。在此过程中，（不计一切阻
力）（ ）
A．钢丝绳上的拉力逐渐增大
B．钢丝绳对滑轮A 的作用力变小
C．杆BC 对B 点的作用力先减小后增大
D．杆BC 对B 点的作用力变小
【答案】B
【解答】解：CD．使∠BCA 缓缓变小，直到∠BCA＝30°，对结点B 受力分析，由平衡条件可画出力的
示意图
由相似三角形可得
mg
AC = N
BC = T
AB
可得杆BC 对B 点的作用力大小为
N = BC
AC ⋅mg
在∠BCA 变小的过程中，由于AC、BC 长度不变，故N 不变，故CD 错误；
A．同理可得钢丝绳上的拉力大小为
T = AB
AC ⋅mg
在∠BCA 变小的过程中，由于AC 不变，AB 缩短，故T 减小，故A 错误；
B．设滑轮两边钢丝绳的夹角为θ，根据几何关系可知θ 变大，根据平行四边形法则可得钢丝绳对滑轮A
的作用力为
F =2Tcos θ
2，T 变小，cosθ 变小，则F 变小，故B 正确。
故选：B。
4．如图所示，一台空调外机通过两个三角形支架固定在外墙上，现把两个支架看作一个整体，空调外机的
重心恰好在支架水平横梁OA 和斜梁OB 的连接点O 的上方。横梁对O 点的拉力沿OA 方向，大小为
F1；斜梁对O 点的支持力沿BO 方向，大小为F2。如果把斜梁变短一点，仍保持连接点O 的位置不变（B
点位置上移），则（ ）
A．F1变大，F2变大
B．F1变小，F2变小
C．F1变大，F2变小
D．F1变小，F2变大
【答案】A
【解答】解：以O 点为研究对象，分析受力，O 点受到空调机的压力、OA 和OB 的作用力，如图所示：
空调机对O 点的压力大小等于空调机的重力，保持不变，OA 的作用力方向不变，若斜梁变短一点，则
F2与外墙的夹角θ 变大，根据平衡条件可得
F1＝mgtanθ，F2= mg
cosθ
则当θ 变大时，tanθ 变大，cosθ 变小，则F1和F2均变大，故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
5．如图所示，细线的一端固定在竖直墙面上的O 点，另一端连接一小球，由于水平外力F 的作用，小球静
止在图示位置。现改变水平外力的大小，使小球缓慢向墙面靠近，则在该过程中（ ）
A．水平外力F 变小，细线的拉力变小
B．水平外力F 变大，细线的拉力变小
C．水平外力F 变小，细线的拉力变大
D．水平外力F 变大，细线的拉力变大
【答案】A
【解答】解：小球缓慢向墙面靠近，细线与墙面的夹角变小，作出力的矢量三角形，如图所示
由力的矢量合成可知，随着小球靠近墙面，水平外力F 变小，细线的拉力变小。故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
（多选）6．如图所示，一表面光滑的半球形物体固定在水平面上，一光滑小环D 固定在半球形物体球心O
的正上方，一轻绳穿过小环D 一端与放在半球形物体上的小球P 相连，另一端与一轻弹簧连接，用手拿
着弹簧的另一端A，DA 始终水平．现手拿着弹簧A 端向右缓慢移动一段距离（小球P 未到达半球最高
点），在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧形变量减小
B．弹簧形变量增大
C．半球形物体对小球P 的支持力大小不变
D．半球形物体对地面的压力逐渐变小
【答案】AC
【解答】解：ABC、以小球P 为研究对象，受重力G、轻绳的拉力T 和半球形物体的支持力N，作出
N、T 的合力F，如图所示，
由平衡条件可知F＝G，由△NFP∽△PDO 得N
PO = F
DO = T
PD ，可得N= PO
DO G，T = PD
DO G，弹簧A 端
向右缓慢移动的过程中，DO、PO 不变，PD 变小，故N 的大小不变，T 变小，则弹簧的伸长量减小，故
AC 正确，B 错误；
D、对半球形物体受力分析，分析如图
地面对半球形物体的支持力N＝G+NPcosα，α 逐渐减小，cosα 逐渐增大，故地面对半球形物体的支持力
逐渐增大，根据牛顿第三定律可知，半球形物体对地面的压力逐渐变大，故D 错误；
故选：AC。
（多选）7．拖把是由拖杆和拖把头构成的清洁工具。如图，某同学保持拖杆与竖直方向的夹角θ 不变，并
用沿拖杆方向的推力F 推拖把头，发现无论推力F 多大，拖把一直保持静止状态，设拖把头质量为m，
忽略拖杆质量，拖把头与地板之间的动摩擦因数为µ，下列说法正确的是（ ）
A．增大推力F，拖把头所受合力增大
B．拖把保持静止状态的原因是μ≥tanθ
C．增大推力F，地面对拖把头的作用力可能先减小后增大
D．若要推动拖把，可增大拖杆与竖直方向的夹角θ
【答案】BD
【解答】解：A、增大推力F，拖把一直保持静止状态，则拖把头所受合力一直为零，故A 错误；
B、无论推力F 多大，拖把一直保持静止状态，忽略拖把头的重力时，则有Fsinθ≤f＝μFcosθ，可得拖把
保持静止状态的原因是μ≥tanθ，故B 正确；
C、忽略拖把头的重力时，根据平衡条件知，地面对拖把头的作用力与推力等大反向，则增大推力F 时，
地面对拖把头的作用力增大，故C 错误；
D、对照B 项分析，可知若要推动拖把，可增大拖杆与竖直方向的夹角θ，使得μ＜tanθ 时，可以推动拖
把，故D 正确。
故选：BD。
模型三 平衡中的临界、极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好
不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等.临界问题常见的种类：
（1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力.
（2）绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
（3）刚好离开接触面，支持力FN＝0.
2.极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.
3.解题方法
（1）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边
形定则进行动态分析，确定最大值与最小值.
（2）数学分析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时利用数学知识求极值.通常用到的数学知识
有二次函数求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等.
（3）极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在
变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大或极小.
【例题精讲】
1．如图所示，小球a 质量为m，用细线相连并悬挂于O 点，现用一轻质弹簧给小球a 施加一个拉力F，使
整个装置处于静止状态，且Oa 与竖直方向的夹角θ＝45°，已知弹簧的劲度系数为k，则弹簧形变量不可
能是（ ）
A．
❑√2mg
k
B．
❑√2mg
2k
C．4 ❑√2mg
3k
D．mg
2k
【答案】D
【解答】解：以小球a 为研究对象，分析受力，作出F 在几个方向时整体的受力图（如右图），
根据平衡条件得知：F 与T 的合力与重力mg 总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F 与绳子
oa 垂直时，F 有最小值，即图中2 位置，F 的最小值为：
Fmin=mgsinθ =
❑√2
2 mg
根据胡克定律：Fmin＝kxmin，所以：
xmin=
❑√2mg
2k
A．
❑√2mg
k
大于最小值
❑√2mg
2k
正确，不符合题意；
B．
❑√2mg
2k
与最小值相等，正确，不符合题意；
C． 4 ❑√2mg
3k
大于最小值
❑√2mg
2k
正确，不符合题意；
D． mg
2k 小于最小值
❑√2mg
2k
错误，符合题意。
故选：D。
2．如图所示，质量为m 的木块放在倾角为а＝30°的斜面体上，在斜向上拉力F 的作用下沿斜面体向上匀速
运动，木块与斜面体的动摩擦因数μ=
❑√3
2 ，则拉力F 的最小值为（ ）
A．5 ❑√7
14 mg
B．
❑√21+ ❑√7
7
mg
C．mg
D．3
4 mg
【答案】A
【解答】解：对物体受力分析，受重力、拉力、支持力和摩擦力，如图所示：
根据平衡条件，有：
平行斜面方向：Fcosθ﹣f﹣mgsin30°＝0（θ 为拉力与斜面的夹角）
垂直斜面方向：Fsinθ+N＝mgcos30°
其中：f＝μN
解得：F=
❑√3 μmg+mg
2(cosθ+ μsinθ) =
2.5mg
2cosθ+ ❑√3 sinθ =
2.5mg
❑√7sin(α +θ)；
tanα= 4 ❑√3
3
；
故最小拉力为5 ❑√7
14 mg；
故选：A。
3．如图所示，用轻绳吊一个重为G 的小球，欲施一力F 使小球在图示位置平衡（θ＜30°），下列说法不正
确的是（ ）
A．力F 最小值为Gsin θ
B．若力F 与绳拉力大小相等，力F 方向与竖直方向必成θ 角
C．若力F 与G 大小相等，力F 方向与竖直方向可能成θ 角
D．若力F 与G 大小相等，力F 方向与竖直方向可能成2θ 角
【答案】C
【解答】解：A、小球受到三个力，由于三个力中重力大小方向都一定，绳子拉力方向一定，大小未知，
拉力F 大小方向都未知，将重力按照另外两个力 的反方向分解，如图，由图象可知，当拉力F 与绳子垂
直时，拉力最小，有最小值Gsinθ，故A 正确；
B、若力F 与绳拉力大小相等，拉力与力F 的合力必然在两个力的角平分线上，同时还要与重力方向相反
并在一条直线上，故B 正确；
C、D、若力F 与G 大小相等，则两力的合力必须与绳子在一条直线上，并且在两个力的角平分线上，故
力F 方向与竖直方向成2θ 角，故C 错误，D 正确；
本题选错误的，故选C。
4．如图所示，将质量为m 的小球p 用细线悬挂于O 点，用拉力F 拉住小球P 使其处于静止状态，要求悬线
与竖直方向成θ＝37°角，拉力F 的最小值为（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（ ）
A．3
4 mg
B．mg
C．4
5 mg
D．3
5mg
【答案】D
【解答】解：以物体为研究对象，根据作图法可知，当拉力F 与细线垂直时最小。
根据平衡条件得
F 的最小值为Fmin＝Gsin37°= 3
5mg
故选：D。
5．如图所示，一个重为5N 的大砝码，用细线悬挂在O 点，现在用力F 拉砝码，使悬线偏离竖直方向30°时
处于静止状态，此时所用拉力F 的最小值为（ ）
A．5.0N
B．2.5N
C．8.65N
D．4.3N
【答案】B
【解答】解：以物体为研究对象，根据作图法可知，当拉力F 与细线垂直时最小。
根据平衡条件得
F 的最小值为Fmin＝Gsin30°＝5×0.5N＝2.5N
故选：B。
（多选）6．如图所示，作用于O 点的三个力合力为零，其中一个力大小为F1，沿﹣y 方向．大小未知的力
F2与+x 方向夹角为θ，则下列说法正确的是（ ）
A．力F3只能在第二象限
B．力F3可能在第二象限的任意方向上
C．力F3与F2夹角越小，则F3与F2的合力越大
D．力F3与F2夹角变化时，F3与F2的合力不变
【答案】BD
【解答】解：A、B：三个力平衡时，合力必须为零，任意两个力的合力与第三力必须大小相等、方向相
反，所以可知：力F3可能在第二象限的任意方向上，也可能在第三象限。故A 错误，B 正确。
C、由几何知识知，当F2⊥F3时，即虚线位置时，F3有最小值，且最小值为F1sin（90°﹣θ）＝F1cosθ．
故C 错误。
D、根据平衡条件得知：F3与F2的合力与F1大小相等、方向相反，F1大小不变，所以力F3与F2夹角越小
时，F3与F2的合力不变。故D 正确。
故选：BD。
（多选）7．如图所示，用轻绳吊一个重为G 的小球，欲施一力F 使小球在图示位置平衡（θ＜30°），下列
说法正确的是（ ）
A．力F 最小值为Gsinθ
B．F 大小可能与G 大小相同
C．F 大小不可能比G 大
D．若力F 与绳拉力大小相等，力F 方向与竖直方向必成θ 角
【答案】ABD
【解答】解：A、小球受到三个力，由于三个力中重力大小方向都一定，绳子拉力方向一定，大小未知，
拉力F 大小方向都未知，将重力按照另外两个力的反方向分解，如图。
由图象可知，当拉力F 与绳子垂直时，拉力最小，最小值为Gsinθ，故A 正确；
B、若拉力与力F 的合力在两个力的角平分线上，同时还要与重力方向相反并在一条直线上，则力F 与绳
拉力大小相等，故B 正确；
C、分力可以比合力大，故F 的大小可能比G 大，故C 错误；
D、若力F 与绳拉力大小相等，则两个力的合力必须与重力等大反向，并且在两个力的角平分线上，故力
F 方向与竖直方向成θ，故D 正确。
故选：ABD。
课时精练
一．选择题(共8 题）
1．超市内部配货运输系统，利用轨道运输货物，如图所示。该装置携带货物在空中沿水平轨道做匀速直线
运动，轻绳M 端和N 端系住货物，轻绳中点O 通过缆绳与装置连接。已知MO、NO 与竖直方向的夹角
均为45°，MN 水平，货物质量为m，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则NO 的弹力大小为
（ ）
A．1
2 mg
B．
❑√2
2 mg
C．mg
D．❑√2mg
【答案】B
【解答】解：以货物为研究对象进行受力分析，如图所示：
根据数学知识和平衡条件mg＝2FONsin45°
代入数据解得FON=
❑√2
2 mg
故ACD 错误，B 正确。
故选：B。
2．四个小朋友玩“东西南北跑比赛”，他们被围在一个弹力绳中，从中心向外沿各自的方向移动，去拿外
围的游戏道具，谁先拿到谁就能赢得比赛。假设弹力绳上的力大小处处相等。某时刻四个小朋友处于如
图所示的僵持状态（俯视图），则此时受到弹力绳的弹力最小的是（ ）
A．1 号小朋友
B．2 号小朋友
C．3 号小朋友
D．4 号小朋友
【答案】C
【解答】解：绳子张力大小相等，设两绳间的夹角为θ，所以小朋友受到绳的弹力大小为F弹=2 Fcos θ
2
由图可知，3 号小朋友的两绳间的夹角最大，弹力最小。故C 正确，ABD 错误。
故选：C。
3．如图所示，M、N 两物体放在一起，两物体质量均为m，梯形物体右下角为θ，所有接触面间的动摩擦
因数均为μ，在竖直向上的恒力F 作用下，两物体一起沿竖直方向向上做匀速直线运动。下列说法正确
的是（ ）
A．物体N 受到M 的作用力为mg
B．物体N 受到的摩擦力为μmgcosθ
C．物体M 受到墙面给的摩擦力为F﹣2mg
D．物体M 受到墙面给的支持力为mgcosθsinθ
【答案】A
【解答】解：A．物体N 做匀速直线运动，受力平衡，合力为零，则物体N 受到M 的作用力与重力等大
反向，即为mg，故A 正确；
B．物体N 受竖直向下的重力和垂直M 的支持力，沿斜面向上的静摩擦力，根据正交分解，受到的摩擦
力为静摩擦力，大小为f＝mgsinθ，故B 错误；
CD．MN 整体匀速向上运动，对MN 整体受力分析，整体受到竖直向下的重力，竖直向上的F，水平方
向不受墙壁的弹力和摩擦力，故CD 错误。
故选：A。
请阅读下述文字，完成第4 题、第5 题、第6 题。
如图甲所示，水平地面上堆放6 根完全相同的原木，可将原木看成圆柱体，截面图如图乙所示。已知原
木之间的动摩擦因数为μ，每根原木的质量为m，重力加速度为g。
4．原木6 的受力个数为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【解答】解：圆木处于静止状态，受到重力、圆木4 和圆木5 的支持力，共受到3 个力的作用。故ABD
错误，C 正确。
故选：C。
5．原木4 对原木6 的支持力大小为（ ）
A．mg
B．
❑√3
3 mg
C．mg
2
D．
❑√3
2 mg
【答案】B
【解答】解：圆木受到两支持力以及重力处于平衡状态，依据力的合成法则画出平行四边形如图
根据共点力平衡则有：G＝2Ncos30°
则原木4 对原木6 的支持力大小N=
❑√3
3 G，故B 正确，ACD 错误。
故选：B。
6．若将原木6 沿轴线方向匀速拉出，水平拉力F 大小为（ ）
A．μmg
B．2μmg
C．2❑√3
3
μmg
D．
❑√3
2 μmg
【答案】C
【解答】解：将圆木受到两支持力、重力处于平衡状态，依据力的合成法则，则两支持力的合力大小与
重力平衡
再依据滑动摩擦力公式f＝μN
为使圆木沿轴线方向匀速拉出，沿轴线的拉力F 应跟圆木在两侧面上所受的摩擦力是平衡力，由矢量的
合成法则，与几何关系，及三角知识，则有：G＝2Ncos30°
水平拉力大小F＝2f＝2μN
联立解得F= 2❑√3
3
μG，故ABD 错误，C 正确。
故选：C。
7．如图甲所示为烤肠机，香肠放置在两根水平固定的平行金属杆中间，其截面图如图乙所示。现将香肠可
视为质量为m 的均匀圆柱体，烤制过程中香肠的质量不变，半径变大。忽略一切摩擦及金属杆的热胀冷
缩，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．香肠烤熟后与烤熟前相比，两根金属杆对其合力变大
B．香肠烤熟后金属杆1 和2 对其支持力的夹角比烤熟前变大
C．香肠烤熟后金属杆1 对其支持力比烤熟前变大
D．香肠烤熟后金属杆1 对其支持力比烤熟前变小
【答案】D
【解答】解：A、根据题意分析可知，香肠烤熟后与烤熟前相比，两根金属杆对其合力大小均等于其重
力大小，故大小不变，故A 错误；
BCD、根据题意分析可知，对香肠进行受力分析如图所示，根据对称性有N1＝N2
根据平衡条件有mg＝2N1cosθ＝2N2cosθ
解得N 1= N 2=
mg
2cosθ
令金属杆之间的距离为d，金属杆半径为r，则sinθ =
d
2(r + R)
可知当香肠半径R 变大时，则θ 减小，由分析可知，N1、N2均减小，故BC 错误，D 正确。
故选：D。
8．如图所示，一物块在两根轻绳AO、BO 的作用下，处于静止状态。绳子BO 与竖直方向的夹角为θ，绳
AO 处于水平状态。若改变绳子长度，悬点B 缓慢向左移动，使夹角θ 增大，绳AO 仍保持水平状态。若
绳AO 的张力为F1，绳BO 的张力为F2，则（ ）
A．F1增大，F2减小
B．F1增大，F2增大
C．F1减小，F2增大
D．F1减小，F2减小
【答案】B
【解答】解：根据题意分析可知，对结点O 与物块整体进行分析，根据平衡条件有F1＝mgtanθ，
F2= mg
cosθ
可知当夹角θ 增大时，F1增大、F2增大，故B 正确，ACD 错误；
故选：B。
二．多选题（共3 小题）
（多选）9．关于下列日常生活情景，其中描述正确的是（ ）
A．轻推放在粗糙地面上的课桌，课桌未被推动，课桌对手的力大于手对课桌的力
B．轻推放在粗糙地面上的课桌，课桌已被推动，课桌对手的力等于手对课桌的力
C．小孩从倾斜滑梯上匀速滑下，滑梯对小孩的作用力竖直向上
D．小孩从倾斜滑梯上匀速滑下，滑梯对小孩的作用力垂直滑梯斜向上
【答案】BC
【解答】解：AB．轻推放在粗糙地面上的课桌，不管桌子被推动还是没动，课桌对手的力和手对课桌的
力互为相互作用力，两个力大小相等，方向相反，故A 错误，B 正确；
CD．小孩从倾斜滑梯上匀速滑下，小孩受重力、支持力和摩擦力合力为零，支持力和摩擦力的合力与小
孩所受的重力大小相等，方向相反，滑梯对小孩的作用力方向竖直向上，故C 错误，D 正确。
故选：BC。
（多选）10．如图所示，清洗楼房玻璃的工人常用一根绳索将自己悬停在空中，工人及其装备的总质量为
80kg，悬绳与竖直墙壁的夹角为37°，悬绳对工人（含装备）的弹力大小为FT，墙壁对工人（含装备）
的弹力大小为FN，忽略一切摩擦，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g 取10m/s2。下列说法正确的
是（ ）
A．FT＝1000N
B．FN＝480N
C．若缓慢减小悬绳的长度，FT和FN都增大
D．若缓慢减小悬绳的长度，FT与FN的合力增大
【答案】AC
【解答】解：AB、工人受重力、支持力和拉力三个力的作用，如图所示：
根据平衡条件得：FT=
mg
cos37° = 80×10
0.8
N =1000N
FN＝mgtan37°＝80×10×0.75N＝600N，故A 正确，B 错误；
C、根据FT= mg
cosθ ，FN＝mgtanθ，若缓慢减小悬绳的长度，悬绳与竖直墙壁的夹角将增大，则拉力FT、
支持力FN都增大，故C 正确；
D、根据平衡条件，无论悬索的长度增加或减小，FT 与FN 的合力始终等于重力，大小和方向都不变，
故D 错误。
故选：AC。
（多选）11．关于摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．静摩擦力的大小与正压力无关
B．滑动摩擦力的大小与正压力成正比
C．摩擦力的方向总是与物体运动方向相反
D．最大静摩擦力略大于滑动摩擦力
【答案】BD
【解答】解：A、静摩擦力的大小与正压力无关静摩擦力的大小由外力决定，只要不超过最大静摩擦力，
静摩擦力的大小就与正压力无关，而最大静摩擦力与正压力有关，故A 错误；
B、滑动摩擦力的大小与正压力成正比根据滑动摩擦力公式 f＝μN（μ 为动摩擦因数，N 为正压力），
滑动摩擦力的大小确实与正压力成正比，故B 正确；
C、摩擦力的方向总是与物体运动方向相反摩擦力的方向是与相对运动（或相对运动趋势）的方向相反，
而非与物体的运动方向相反，故C 错误；
D、最大静摩擦力略大于滑动摩擦力是实验事实，故D 正确。
故选：BD。
三．解答题（共5 小题）
12．某同学用量角器、细线和小钢球制作了一个测量水平恒定风力的仪器。如图所示，他用细线将小钢球
悬挂于量角器的圆心O。某次测量中，他将测量仪置于水平路面上，调整量角器处于竖直平面内，并使
量角器的直径边与风力方向平行，观察到细线在一段时间内稳定在60°刻度线的位置（如图示位置）。已
知小钢球的质量为m，量角器和底座的总质量为19m，当地重力加速度为g。求：
（1）水平风力；
（2）测量仪对地面的压力。
【答案】（1）水平风力大小为
❑√3
3 mg，方向水平向右；
（2）测量仪对地面的压力大小为20mg，方向竖直向下。
【解答】解：（1）对钢球受力分析，构建矢量三角形如图所示：
有F＝mgtan30°=
❑√3
3 mg，方向水平向右；
（2）对整体受力分析，竖直方向受力平衡，有N＝mg+19mg＝20mg，由牛顿第三定律可知，测量仪对
地面压力大小为20mg，方向竖直向下。
答：（1）水平风力大小为
❑√3
3 mg，方向水平向右；
（2）测量仪对地面的压力大小为20mg，方向竖直向下。
13．挂红灯笼是我国的传统文化，用来表达喜庆。如图所示，一小灯笼用轻绳连接并悬挂在O 点，在稳定
水平风力F 作用下发生倾斜，轻绳与竖直方向的夹角为37°，灯笼的重力为4N，不计空气浮力，sin37°＝
0.60，cos37°＝0.80。
（1）求水平风力F 和悬绳拉力T 的大小；
（2）分析说明随着风力的增大，绳子拉力T 大小如何变化。
【答案】（1）水平风力F 大小为3N，悬绳拉力T 的大小为5N；
（2）随着风力的增大，绳子拉力T 增大。
【解答】解：（1）灯笼处于平衡状态，受重力、轻绳的拉力、水平风力，其受力示意图如图所示：
根据受力分析示意图，由平衡条件可得：
水平风力为：F＝mgtan37°＝4×0.75N＝3N
悬线的拉力为：T=
mg
cos37° = 4
0.8N＝5N；
（2）根据平衡条件，绳子拉力：T=
❑√F
2+(mg)
2，随着风力F 的增大，T 增大。
答：（1）水平风力F 大小为3N，悬绳拉力T 的大小为5N；
（2）随着风力的增大，绳子拉力T 增大。
14．如图所示，质量分别为0.8kg 和1kg 的A、B 物体在轻质细绳的作用下均处于静止状态，已知OP 绳与
竖直方向的夹角为37°，OA 绳沿竖直方向，OB 绳与水平方向平行，已知重力加速度g＝10m/s2，sin37°
＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）轻质细绳OP 的拉力大小；
（2）若物体B 与水平地面之间恰好不滑动，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求物体B 与水平地面间
的动摩擦因数。
【答案】（1）轻质细绳OP 的拉力大小为10N；
（2）若物体B 与水平地面之间恰好不滑动，物体B 与水平地面间的动摩擦因数为0.6。
【解答】解：（1）对结点O 受力分析，如图所示：
竖直方向受力平衡有TOPcos37°＝mAg，代入数据可得TOP＝10N；
（2）B 恰好不滑动时，对B，水平方向由平衡条件可知TOB＝μmBg，对结点O，水平方向由平衡条件可
知TOPsin37°＝TOB，代入数据可得μ＝0.6。
答：（1）轻质细绳OP 的拉力大小为10N；
（2）若物体B 与水平地面之间恰好不滑动，物体B 与水平地面间的动摩擦因数为0.6。
15．图甲为一小朋友正在放风筝，此时风筝平面与水平面的夹角为30°，细线与风筝的夹角为60°（如图乙
所示）。已知风筝的质量m＝1.5kg，该小朋友的质量M＝30kg，风对风筝的作用力与风筝平面垂直，重
力加速度g＝10m/s2。若小朋友和风筝均保持静止状态，求：
（1）风对风筝的作用力大小。
（2）地面对小朋友的摩擦力和支持力的大小。
【答案】（1）风对风筝的作用力大小为15❑√3N；
（2）地面对小朋友的摩擦力大小为15 ❑√3
2
N，支持力的大小为（300−15 ❑√3
2
）N。
【解答】解：（1）对风筝受力分析如图所示：
将力正交分解，有Fcos60°＝Tcos30°，Fsin60°＝Tsin30°+mg，代入数据可得T＝15N，F＝15❑√3N；
（2）对小朋友受力分析如图所示：
将力正交分解，有Tsin30°+N＝Mg，Tcos30°＝f，代入数据可得N＝（300−15 ❑√3
2
）N，f= 15 ❑√3
2
N。
答：（1）风对风筝的作用力大小为15❑√3N；
（2）地面对小朋友的摩擦力大小为15 ❑√3
2
N，支持力的大小为（300−15 ❑√3
2
）N。
16．如图甲所示，水平面上固定一半径为R 的光滑四分之一圆柱体。光滑轻滑轮C（可视为质点）用轻杆固
定在圆心O 的正上方，不可伸长的轻质细线一端固定在A 点，另一端跨过滑轮连接质量为m=2❑√3kg的
小球（可视为质点），小球置于四分之一圆柱体圆弧表面上D 点，CD＝R，当CD 与竖直方向成30°角，
物块B 通过光滑轻质圆环悬挂在细线上静止于P 点，AP 与竖直方向成60°角。已知A、P、C、D 在同一
竖直面内，重力加速度大小g＝10m/s2。（此题所有计算结果均可保留根式）
（1）求物块B 的质量；
（2）如图乙所示，把不可伸长的轻绳两端点固定在天花板上的a、b 两点，绳长为L。另一个物体A 通
过轻质光滑小挂钩挂在轻绳中间（小挂钩大小忽略不计），静止时轻绳的张角为120°。
①若给小挂钩一个始终垂直于纸面向外的拉力作用，使小挂钩缓慢移动，当小挂钩移动的水平距离为
0.1L 时，轻绳拉力的大小与物体A 重力大小的比值为多少；
②若给小挂钩施加一水平向左的恒力F＝mg，待A 重新稳定静止后绳子上的拉力大小与物体A 重力大小
的比值为多少。
【答案】（1）物块B 的质量是2kg；
（2）①若给小挂钩一个始终垂直于纸面向外的拉力作用，使小挂钩缓慢移动，当小挂钩移动的水平距
离为0.1L 时，轻绳拉力的大小与物体A 重力大小的比值为5 ❑√21
21
；
②若给小挂钩施加一水平向左的恒力F＝mg，待A 重新稳定静止后绳子上的拉力大小与物体A 重力大小
的比值为2❑√5
5
。
【解答】解：（1）对小球受力分析，由平衡条件可得2Tcos30°＝mg
对P 点受力分析，由平衡条件得mBg＝T
代入数据得物块B 的质量为 mB＝2kg
（2）①设轻绳的拉力为T1，则轻绳拉力的合力大小为T1，方向沿绳所在平面斜向里上方，对轻绳与小
挂钩的连接点受力分析，根据平衡条件可得
T 1
G A
=
L
2 cos60°
❑√( L
2 cos60°)
2
−(0.1 L)
2
代入数据得轻绳拉力的大小与物体A 重力大小的比值为T 1
G A
= 5 ❑√21
21
②待A 重新稳定静止后绳子上的拉力大小为T2，如图所示，根据平衡条件有T2cosα+T2cosβ＝F＝mg
由几何关系可知 α+β＝90°
lx cosβ +
❑√3
2 L=( L−lx)cosα，lxsinβ＝（L﹣lx）sinα
代入数据得cosα −sinα =
❑√3
2
以上代入数据得T x
mg = 2❑√5
5
答：（1）物块B 的质量是2kg；
（2）①若给小挂钩一个始终垂直于纸面向外的拉力作用，使小挂钩缓慢移动，当小挂钩移动的水平距
离为0.1L 时，轻绳拉力的大小与物体A 重力大小的比值为5 ❑√21
21
；
②若给小挂钩施加一水平向左的恒力F＝mg，待A 重新稳定静止后绳子上的拉力大小与物体A 重力大小
的比值为2❑√5
5
。
