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第7 讲 平衡中的临界、极值问题
学习目标
1.理解临界问题的含义，能够准确判断临界状态，如物体刚好离开接触面、绳子恰好绷紧等，会利用数学
的方法和物理概念相结合处理临界问题，找出临界条件。
2.掌握求解极值问题的方法，包括物理分析方法、数学分析法和极限分析法等，会根据物体的平衡条件列
出物理量之间的函数关系，并用合适的数学方法求出极值，如二次函数极值、三角函数极值等。
考点一 临界问题
1、临界问题
当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不
出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。
2、临界问题常见的几种情况
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。
【例题】如图所示，某同学将半径为R 的半球形饭碗扣在水平桌面上，之后将一个橡皮擦轻放在碗底附
近，慢慢轻推橡皮擦，当橡皮擦被推到距离桌面的高度为h 时，撤去推力，橡皮擦恰好能静止在碗上。若
滑动摩擦力等于最大静摩擦力，则橡皮擦与碗面间的动摩擦因数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】橡皮擦恰好能静止在碗上，摩擦力恰好达到最大值，对橡皮擦分析，如图所示
则有
，
根据几何关系有
，
解得
故选B。
【变式1-1】如图所示，质量为m 的物体置于倾角为θ 的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为
μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其恰能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，
也恰能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比为( )
A．cos θ＋μsin θ
B．cos θ－μsin θ
C．1＋μtan θ
D．1－μtan θ
【解析】物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力分析如图1、2 所示。
将重力mg、力F2沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得
F1＝mgsin θ＋Ff1，FN1＝mgcos θ，Ff1＝μFN1
F2cos θ＝mgsin θ＋Ff2，FN2＝mgcos θ＋F2sin θ，Ff2＝μFN2
解得F1＝mgsin θ＋μmgcos θ
F2＝
故＝cos θ－μsin θ，B 正确。故选B。
【变式1-2】如图所示，质量为m 的物体一面靠在竖直墙上，另一面受到与竖直方向成α 角的力作用而处
于静止状态，物体和墙面间的动摩擦因数为μ，则物体和墙面间的摩擦力大小不可能为( )
A．0
B．mg－Fcos α
C．Fcos α＋mg
D．μFsin α
【解析】物体受到的重力、支持力、推力如图所示，
当Fcos α＝mg 时，由平衡条件可知，物体受到的摩擦力为零，故A 正确，不符合题意；当Fcos
α<mg 时，物体受到的摩擦力竖直向上，根据平衡条件有Fcos α＋Ff＝mg，解得Ff＝mg－Fcos α，故B
正确，不符合题意；当Ff＝Fcos α＋mg 时，摩擦力不论竖直向下还是向上，物体合力都不为零，物体不
可能处于静止，故C 错误，符合题意；物体受到的滑动摩擦力为f′＝μFsin α，静摩擦力可能和滑动摩
擦力相等，故D 正确，不符合题意。故选C。
【变式1-3】如图所示，物体的质量为m＝5 kg，两根轻细绳AB 和AC 的一端固定于竖直墙上，另一端系于
物体上(∠BAC＝θ＝60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ 角的拉力F，若要使两绳都能伸
直，求拉力F 的大小范围。(g 取10 m/s2)
【解析】设AB 绳的拉力为F1，AC 绳的拉力为F2，对物体受力分析，由平衡条件有F cos θ－F2－F1cos
θ＝0，F sin θ＋F1sin θ－mg＝0，可得F＝－F1，F＝＋。若要使两绳都能伸直，则有F1≥0，F2≥0，
则F 的最大值Fmax＝＝ N，F 的最小值Fmin＝＝ N，即拉力F 的大小范围为 N≤F≤ N。
答案： N≤F≤ N
考点二 极值问题
1、极值问题
平衡中的极值问题，一般是指在力的变化过程中的最大值和最小值的问题。
2、解决平衡中极值问题的常用方法
（1）物理分析法：根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则或三
角形定则进行动态分析，确定最大值或最小值。
（2）数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件列出物理量之间的函数关系，用数学方法求
极值（如二次函数求极值、三角函数求极值等）。
（3）极限分析法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点;临界条件必
须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，要把某个物理量推向极端，即极大或极小。
【例题】(2022·浙江1 月选考)如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m 的石墩，石墩与水平地面间
的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为
θ，则下列说法正确的是( )
A．轻绳的合拉力大小为
B．轻绳的合拉力大小为
C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
【解析】设轻绳的合拉力为T，地面对石墩的支持力为N，对石墩受力分析，由平衡条件可知T cos θ＝
f，f＝μN，T sin θ＋N＝mg，联立解得T＝，A 错误，B 正确；轻绳的合拉力大小为T＝＝，可知当θ＋
φ＝90°时，轻绳的合拉力有最小值，即减小夹角θ，轻绳的合拉力不一定减小，C 错误；摩擦力大小为
f＝T cos θ＝＝，可知增大夹角θ，摩擦力一直减小，当θ 趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合
拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，D 错误。故选B。
【变式2-1】如图所示，一个重力为5 N 的物体，用细线悬挂在O 点，现在用力F 拉物体，使细线偏离竖
直方向30°保持静止状态，此时所用拉力F 的最小值为( )
A．5.0 N
B．2.5 N
C．8.65 N
D．4.3 N
【解析】如图所示，以物体为研究对象，分析受力情况，其受重力G、细线的拉力FT和拉力F，由图看
出，当F 与细线垂直时F 最小，由数学知识得F 的最小值为F＝G sin 30°＝2.5 N，故B 正确。故选B。
【变式2-2】如图所示，三根长度均为L 的轻绳分别连接于C、D 两点，A、B 两端被悬挂在水平天花板上，
相距2L，现在C 点上悬挂一个质量为m 的重物，为使CD 绳保持水平，在D 点上可施加力的最小值为( )
A．mg
B．mg
C．mg
D．mg
【解析】由题图可知，要想CD 水平，各绳均应绷紧，则由几何知识知AC 与水平方向的夹角为60°；结点
C 点受力平衡，受力分析如图所示，则CD 绳的拉力FT＝mgtan 30°＝mg；D 点受CD 绳子的拉力大小等于
FT，方向向左；要使CD 水平，D 点两绳的拉力与外界的力的合力为零，则绳子对D 点的拉力可分解为沿BD
绳的分力F1及另一分力F2，由几何关系可知，当力F2与BD 垂直时，F2最小，而F2的大小即为施加在D 点
的力的大小，故最小力F＝FTsin 60°＝mg，故C 正确。故选C。
【变式2-3】（多选）如图所示，质量为M 的木块A 套在水平杆上，并用轻绳将木块A 与质量为m 的小球
相连。今用与水平方向成一定角的力F 拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m 相对位置保持不
变，不计空气阻力，A 与水平杆间的动摩擦因数为μ=
❑√3
3
，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（
）
A．力F 的最小值为1
2
(M +m)g
B．力F 的最小值为
❑√3
3
(M +m)g
C．力F 取最小值时θ=30°
D．力F 取最小值时53
【解析】AB．对木块、小球组成的整体进行受力分析，整体受到重力、支持力、摩擦力、拉力，正交分解
拉力可得F cosθ = f ，F sinθ+ N =(M +m)g
又f = μN，联立可得F = μ(M +m)g
μsinθ+cosθ =
μ(M +m)g
❑√1+ μ
2sin (θ+φ)
故当sin (θ+φ)=1时，拉力最小，最小值为Fmin= μ(M +m)g
❑√1+ μ
2
= 1
2
(M +m)g
故A 正确，B 错误；
CD．由数学知识知tan φ = 1
μ = ❑√3，故φ =60°
当sin (θ+φ)=1时，拉力最小，此时θ =30
∘，C 正确，D 错误。故选AC。
跟踪训练-考点拓展
1．（2024·山东·高考真题）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于
30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能
小于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意可知机器人“天工”它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”
分析有
可得
故选B。
2．如图所示，质量m＝5.2 kg 的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F 作用下，向右以v0＝2.0
m/s 的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10 m/s2。求所需拉力F 的最
小值。
【答案】 2 N
【解析】设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcos θ＝μ(mg－Fsin θ)，整理得cos θ＋
μsin θ＝，sin(α＋θ)＝(其中sin α＝)，当θ＝－α 时F 最小，故所需拉力F 的最小值Fmin＝＝2
N。
3．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面
内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对
其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F 的最大
值为（ ）
A．
B．
C．G
D．
【答案】B
【解析】分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时，此时拉力F 最大，根据平衡条件有
解得
故选B。
4. 如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架
的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少
为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对光滑球体受力分析如图甲所示
根据平衡条件可得
FN2cos θ＝mg，
对支架受力分析如图乙所示
根据牛顿第三定律可知FN3＝FN2，对支架由平衡条件可得FN4＝2mg＋FN3cosθ，Ff＝FN3sinθ，又达到最大静
摩擦力时Ff＝μFN4，
联立以上各式解得μ＝，可知支架和地面间的动摩擦因数至少为，故选D。
5.如图所示，竖直面光滑的墙角有一个质量为m，半径为r 的半球体均匀物体A。现在A 上放一密度和半径
与A 相同的球体B，调整A 的位置使得A、B 保持静止状态。已知A 与地面间的动摩擦因数为，则A 球球心
距墙角的最远距离是( )
A．r
B．r
C．r
D．r
【解析】根据题意可知，B 的质量为2m，AB 处于静止状态，受力平衡，则地面对A 的支持力为FN＝3mg
当地面对A 的摩擦力达到最大静摩擦力时，A 球球心距墙角的距离最远，对A、B 受力分析，如图所示
根据平衡条件得F＝，Fcosθ＝3μmg
解得tan θ＝则A 球球心距墙角的最远距离为x＝2rcosθ＋r＝r。故选B。
6．如图所示，有一倾角θ＝30°的斜面体B 质量为M，质量为m 的物体A 静止在B 上。现用水平力F 推物
体A，在F 由0 逐渐增大至mg 再逐渐减为0 的过程中，A 和B 始终保持静止。对此过程，下列说法正确的
是( )
A．地面对B 的支持力大于(M＋m)g
B．A 对B 的压力的最小值为mg，最大值为mg
C．A 所受摩擦力的最小值为0，最大值为
D．A 所受摩擦力的最小值为mg，最大值为mg
【解析】因为A、B 始终保持静止，对A、B 整体受力分析可知，地面对B 的支持力一直等于(M＋m)g，A 错
误；当F＝0 时，A 对B 的压力最小，为mg cos 30°＝mg；当F＝mg 时，A 对B 的压力最大，为mg cos
30°＋F sin 30°＝mg，B 正确；当F cos 30°＝mg sin 30°时，即F＝mg 时，A 所受摩擦力为0，当
F<mg 时，A 所受摩擦力沿斜面向上，Ff＝mg sin 30°－F cos 30°，当F＝0 时，A 所受摩擦力最大，大小
为mg，当F>mg 时，A 所受摩擦力沿斜面向下，F′f＝F cos 30°－mg sin 30°，当F＝mg 时，A 所受摩擦
力大小为mg，综上可知，A 所受摩擦力的最小值为0，最大值为mg，C、D 错误。故选B。
7．一个底面粗糙、质量为M＝3m 的劈放在粗糙水平面上，劈的斜面光滑且与水平面成30°角。现用一端
固定的轻绳系一质量为m 的小球，小球放在斜面上，小球静止时轻绳与竖直方向的夹角也为30°，如图所
示。
(1)当劈静止时，求绳子的拉力大小；
(2)当劈静止时，求地面对劈的摩擦力大小；
(3)若地面对劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使整个系统静止，动摩擦因数μ 的最小值为多大？
【解析】(1)以小球为研究对象，受力分析如图甲所示，对FT和mg 进行正交分解。由平衡条件可得FTcos
30°＝mg sin 30°，解得FT＝mg。
(2)以劈和小球整体为研究对象，受力情况如图乙所示，由平衡条件可得Ff＝FTcos 60°＝mg。(3)为使整
个系统静止，必须满足Ffmax＝μF′N≥FTcos 60°，且有F′N＋FTsin 60°＝(M＋m)g，联立解得μ≥，故
μ 的最小值为。
答案：(1)mg (2)mg (3)
8．如图所示，建筑工地上某人正在用图示装置缓慢拉升质量为m0＝200 kg 的重物，在某一时刻，OA 绳与
竖直方向夹角为θ＝37°，OA 与OB 绳恰好垂直。已知此人不存在翻转可能，故可将他视为质点。已知人
与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，并视最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2，sin
37°＝0.6。则：
(1)OA 绳和OB 绳的拉力分别为多大；
(2)若此人相对地面未发生相对滑动，求他受到的摩擦力；
(3)为保证人与地面不发生相对滑动，则他的质量m 至少多大？
【答案】(1)1 600 N 1 200 N (2)960 N，水平向右 (3)120 kg
【解析】(1)对O 点进行受力分析，如图所示
由平衡条件，TA，TB的合力与重力等大方向，由力的合成可知
TA＝m0gcos θ＝200×10×0.8 N＝1 600 N
TB＝m0gsin θ＝200×10×0.6 N＝1 200 N
即OA 绳和OB 绳的拉力分别为1 600 N、1 200 N。
(2)人所受摩擦力大小为Ff＝TBcos θ＝1 200×0.8 N＝960 N，方向水平向右。
(3)对人进行受力分析，如图所示
由平衡条件：水平方向的合力为零，竖直方向的合力为零
TBcos θ＝Ff、FNB＝TBsin θ＋mg
由题意，人刚要滑动时Ff＝μFNB
联立解得m＝120 kg。
9.如图所示，倾角为30°、质量M=2kg 的斜面体C 置于粗糙水平地面上，质量mB=3kg 的小物块B 置于粗糙
斜面上，通过不可伸长的细绳跨过光滑轻质定滑轮与质量为mA= ❑√3kg的物块A 相连接。开始A 静止在滑
轮的正下方，连接B 的一段细绳与斜面平行，B、C 始终保持静止状态，细绳的质量不计。现对A 施加一个
拉力F 使A 缓慢移动，移动过程中F 与连接A 的轻绳的夹角始终保持120°，直至轻绳水平，g 取10m/s2.
求：
（1）A 静止时地面对C 支持力的大小；
（2）轻绳水平时，B 受到的摩擦力；
（3）A 缓慢移动过程中，地面对C 摩擦力的最大值。
【答案】（1）(50−5 ❑√3)N；（2）5N，方向沿斜面向上；（3）10 ❑√3 N
【解析】（1）A 静止时细绳中的张力FT1，FT1=mA g
以BC 作为整体，其受力示意图如图，
地面对C 的支持力为FN，摩擦力FfC
FN+ FT1sinθ =(mB+ M )g
解得FN=(50−5 ❑√3)N
（2）轻绳水平时，物块A 的受力示意图如图
F cos30° =mA g，F sin30° = FT2
物块B 的受力示意图如图FT2+ Ff=mB gsinθ
解得Ff=5 N，方向沿斜面向上
（3）由BC 作为一个整体的受力示意图可知FfC= FTcosθ
当细绳中张力最大时，地面的摩擦力就达到最大值
物块A 在重力、拉力F 和细绳张力FT作用下始终处于平衡状态，所以三个力的合力等于零，根据三角形法
则，这三个力通过平行移动可以构成一个闭合的矢量三角形，如图7 中△PMN，其中MN 对应重力，NP 对
应拉力F，PM 对应细绳张力FT。
拉力F 与细绳张力FT之间的夹角保持120°不变，即∠MPN保持60°不变，满足此关系的几何图形是
△PMN的外接圆，P 为动点，从N 点沿圆周逆时针移至R 点，在移动过程中当PM 处于直径位置时最长，FT
最大，如图中P1位置。FTmaxsin60° =mA g
解得FfCmax=10 ❑√3 N
