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专题38 电场力的性质
题型一 电荷守恒定律 库仑定律.................................................................................................................. 3
题型二 电场强度............................................................................................................................................11
题型三 电场线的理解和应用........................................................................................................................ 21
课时精练..........................................................................................................................................................28
【基础回顾】
一、电荷守恒定律
1.两种电荷
毛皮摩擦过的橡胶棒带负电，丝绸摩擦过的玻璃棒带正电。同种电荷相互排斥，异种电
荷相互吸引，带电的物体能吸引轻小物体。
2.元电荷
最小的电荷量，其值为e＝ 1.60×10－19C 。
其他带电体的电荷量皆为元电荷的整数倍。
注意：元电荷不是带电体，也不是点电荷。
3.电荷守恒定律
（1）内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或
者从物体的一部分转移到另一部分；在转移的过程中，电荷的总量保持不变。
（2）起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电。
（3）带电实质：物体带电的实质是得失电子。
（4）电荷的分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的同种导体，接触后再分开，
二者带等量同种电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平均分配。
公式：q1′＝q2′＝。
二、库仑定律
1.点电荷
是一种理想化的物理模型，当带电体本身的形状和大小对研究的问题影响很小时，可以
将带电体视为点电荷。
2.库仑定律
三、电场强度及电场线
1.电场
（1）定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质；
（2）基本性质：对放入其中的电荷有力的作用。
2.电场强度
（1）定义：放入电场中某点的电荷受到的静电力与它的电荷量的比值。
（2）定义式：E＝ ，单位：N/C 或V/m。
（3）矢量性：规定 正电荷 在电场中某点所受静电力的方向为该点电场强度的方向。
3.点电荷的电场：真空中与场源电荷Q 相距为r 处的电场强度大小为E＝ 。
4.电场线
（1）电场线是为了形象地描述电场而引入的，是假想的、客观不存在的，它有以下特
点：
①电场线从正电荷或无限远处出发，终止于无限远处或负电荷；
②电场线在电场中不相交；
③在同一电场里，电场线越密的地方电场强度越大；
④电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向；
⑤沿电场线方向电势逐渐降低；
⑥电场线和等势面在相交处相互垂直。
（2）几种典型电场的电场线
四、静电的防止与利用
1.静电平衡
（1）定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场的电场强度在导体内部大小相等且
方向相反，使得叠加电场强度为零时，自由电荷不再发生定向移动，导体达到静电平衡状态。
（2）处于静电平衡状态的导体的特点
①导体内部的电场强度处处为零。
②导体是一个等势体，导体表面是等势面。
③导体表面处的电场强度方向与导体表面垂直。
④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上。
⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置
几乎没有净电荷。
2.尖端放电
导体尖端周围电场使空气电离，电离出的与导体尖端电荷符号相反的电荷与尖端的电荷
中和，相当于导体从尖端失去电荷。
3.静电屏蔽
处于电场中的封闭金属壳，由于内部电场强度处处为零，从而外电场对壳内仪器不会产
生影响。
题型一 电荷守恒定律 库仑定律
1.库仑力作用下的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础
上多了库仑力，具体步骤如下：
2.三个自由点电荷的平衡问题
（1）平衡条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点
电荷产生的合电场强度为零的位置。
（2）平衡规律：
【例题精讲】
1．真空中两个相同的带异种电荷的金属小球A 和B（均可看作点电荷），分别固定在两处，两球之间的
静电力大小为F。现用一个不带电的同样的金属小球C 先与A 接触，再与B 接触，然后移开C，此时A、B
之间的静电力大小变为1
8F，则小球A 最初的带电量QA和小球B 最初的带电量QB的大小比值可能是
（ ）
A．1：2
B．2：1
C．1：1
D．4：1
【答案】C
【详解】设A 最初带电量为+QA，B 最初带电量为−QB（QA、QB均为正数），根据库仑定律，初始静电
力大小为F =k QAQB
r
2
不带电小球C 与A 接触后，相同金属球电荷平分，A 剩余电量为QA
2 ，C 带电量为QA
2 。
C 再与B 接触，异种电荷先中和再平分，B 最终带电量的绝对值为|
QA
2 −QB
2 )=|
QA
4 −QB
2 )
。
此时A、B 间静电力为F
8 ，代入库仑定律k
QA
2 ⋅|
QA
4 −QB
2 )
r
2
= 1
8 k QAQB
r
2
约去相同项后化简得|QA−2QB)=QB
解得QA=3QB或QA=QB
故选C。
2．真空中有两个相同金属小球，可视为点电荷，带电量分别为+ 4 q和−2q，固定在相距为r 的两处，它
们间的库仑力大小为F。两者相互接触后再固定在相距为2r 的两处，则此时两球间的库仑力大小为（
）
A．1
4 F
B．1
8 F
C．1
16 F
D．1
32 F
【答案】D
【详解】初始时，两球带电量分别为+ 4 q和−2q，相距r，库仑力大小 F =k|(+ 4 q)×(−2q))
r
2
=k 8q
2
r
2
两球接触后，总电荷量为 + 4 q+(−2q)=+2q，由于两球相同，电荷均分，各带电荷 q
′ =+2q
2
=+q
放回后距离变为 2r，新库仑力大小F
′ =k (+q)×(+q)
(2r)
2
=k q
2
4 r
2 = F
32
故选D。
3．如图所示，A、B 是两个完全相同的带电金属小球，A 球带电量为q，固定在绝缘水平面上，将B 球放
在A 球正上方的P 点，小球B 恰好能静止。将A、B 两球接触后，再将B 球移到P 点由静止释放，释放的
一瞬间，小球B 的加速度大小为1
8 g，方向竖直向上，重力加速度为g，则两球接触前B 球的带电量可能
为（ ）
A．1
8 q
B．1
4 q
C．1
2 q
D．3
2 q
【答案】C
【详解】接触前，对B 球有mg=k q qB
h
2
两球之间的静电力为斥力，带同种电荷；接触后，电荷量平分，均为q0= q+qB
2
对B 球有k q0
2
h
2 −mg= 1
8 mg
推导得到2q
2+2qB
2−5q qB=0
解得qB= 1
2 q或qB=2q
故选C。
4．让两个大小相同的金属球各自带电后，用两相同绝缘绳悬挂于O 点，两球静止时状态如图所示，下列
说法正确的是（ ）
A．两球质量一定相同
B．两球一定带等量同种电荷
C．若绝缘绳缩短相同长度，再次静止时两绳夹角减小
D．若两球相碰后分开，再次静止时两球之间的库仑力可能减小
【答案】A
【详解】AB．两个球相互排斥，带同种电荷；根据平衡条件可得两球间的库仑力大小F =mgtanθ
由库仑定律F =k q1q2
L
2 ，两球受到的库仑力大小相等的，但是两球所带电荷量不一定相同，根据对称性，
两小球质量一定相同，A 正确，B 错误；
C．假设绝缘绳缩短后，角度不变，那么两个小球之间的距离变短，根据库仑定律可知库仑力变大，角度
肯定会变大，所以若绝缘绳缩短相同长度，两绳夹角增大，C 错误；
D．若两球相碰前电量不相同，设接触前电荷电量分别为q1、q2，接触后电量相等，为q1+q2
2
由于( q1+q2
2
)
2
= q1
2+q2
2
4
+ q1q2
2
≥q1q2，两球相碰后各自电荷量相同，则库仑力可能变大， D 错误。
故选A。
5．如图所示，水平面上放置一个绝缘轻支杆，支杆上的带电小球A 位于光滑小定滑轮O 的正下方，绝缘
细线绕过定滑轮与带电小球B 相连，在拉力F 的作用下，小球B 静止，此时两球处于同一水平线。假设两
球的电荷量均不变，现缓慢拉动细线，使B 球缓慢移动一小段距离，支杆始终静止，下列说法正确的是
（ ）
A．带电小球B 的运动轨迹为直线
B．带电小球B 受到的库仑力先增大再减小
C．带电小球B 受到的库仑力大小不变
D．地面给绝缘轻支杆的支持力一直小于带电小球A 的重力
【答案】C
【详解】BC．对带电小球B 受力分析，如图所示
根据相似三角形知识可得G
h = F
L = F 库
r
= k qAqB
r
3
可知G、h、k qAqB不变，缓慢拉动细线（L变小），r不变，故库仑力大小不变，方向改变，故B 错误，
C 正确；
A．由G
h = k qAqB
r
3
可知两小球间的距离不变，故带电小球B 的运动轨迹为圆，故A 错误;
D．对小球A 和绝缘轻支杆整体受力分析，受重力、B 球向下的作用力、地面的支持力，可知地面给绝缘
轻支杆的支持力大于带电小球A 的重力，故D 错误；
故选C.
6．如图所示，两根轻质绝缘细线挂着两个质量相同的小球A、B。原来两球不带电，上、下两细线的拉力
分别为FA和FB；现使两球带上异种电荷，此时上、下两细线的拉力分别变为F′A和F′B。则（ ）
A．FA=F′A，FB>F′B
B．FA=F′A，FB<F′B
C．FA<F′A，FB<F′B
D．FA>F′A，FB>F′B
【答案】A
【详解】设两球质量均为m，两球不带电时，根据两球整体受力平衡有FA=2mg
根据B 球受力平衡有FB=mg
两球带上异种电荷时，设两球间的库仑力大小为F，根据两球整体受力平衡有F
′
A =2mg
根据B 球受力平衡有F
′
B+ F =mg
解得F
′
B=mg−F
所以F A = F
′
A， F B> F
′
B
故选A。
7．如图所示，A、C 为带异种电荷的带电小球，B、C 为带同种电荷的带电小球，A、B 被固定在绝缘竖直
杆上，C 球静止于粗糙的绝缘水平天花板上，已知LAC
LAB
= ❑√3，QA
QB
= 3 ❑√3
8
，下列说法正确的是（ ）
A．C 所受的摩擦力不为零
B．杆对B 的弹力为零
C．缓慢将C 向右移动，则仍可能保持静止
D．缓慢将C 向左移动，则其一定会掉下来
【答案】C
【详解】A．对C 球进行受力分析可知，C 球受到重力mg、A 对C 的库仑引力FAC（水平向左）、B 对C
的库仑斥力FBC（沿BC 连线斜向右上方）、天花板对C 可能存在竖直向下的弹力FN, 如图所示
由平衡条件，结合矢量的合成法则，若小球C 不受摩擦力，则FAC= FBCcosθ
其中θ为小球B对小球C的库仑力与水平方向的夹角。由几何知识可得cosθ =
❑√3
2 ，LBC= LAB
sinθ =2 LAB
根据库仑定律有
k QAQC
LAC
2
= k QBQC
LBC
2
cosθ
解得QA
QB
= 3 ❑√3
8
故假设成立，此时C 所受的摩擦力为零，故A 错误；
B．若B 球仅受A 球的吸引力、C 球的排斥力、重力，则C 球的排斥力水平方向分量无法平衡，B 球不能静
止，因此杆对B 球一定有弹力作用，故B 错误；
C．由上述分析可知，竖直方向mg+ FN= FBCsinθ
若mg< FBCsinθ，则此时FN不等于零，即天花板对小球存在向下的压力，若缓慢将C 向右移动，则
FBCsinθ减小，FN减小，但水平方向可能满足FAC= FBCcosθ+ f
小球C 仍可能保持静止，故C 正确；
D．缓慢将C 向左移动，FBC变大，其竖直向上的分量变大，C 球一定不会掉下来，故D 错误。
故选C。
8．（多选）如图所示，光滑绝缘的半圆环竖直固定，带同种电荷的两小球甲、乙套在圆环上处于静止状
态，甲、乙与半圆环圆心的连线与竖直方向的夹角分别为α和β。下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙质量之比为tanβ:tanα
B．甲、乙质量之比为 sinβ:sinα
C．甲、乙电荷量缓慢减少一些，两小球间的库仑力不变
D．甲、乙电荷量缓慢减少一些，α和β减小，sin β :sinα不变
【答案】BD
【详解】AB．对甲、乙两球受力分析如图所示
沿切线方向分解，对甲球，有m甲gsin α = F 库cosθ2
对乙球，有m乙gsin β = F 库cosθ1
根据几何关系易知θ2=θ1
甲、乙质量之比为m甲:m乙=sin β :sin α，故A 错误，B 正确；
D．当甲、乙电荷量缓慢减少时，两球会向圆环下方滑动，α和β均减小。但关系式仍满足
m甲:m乙=sin β :sin α，所以sin β :sin α保持不变，故D 正确；
C．由上分析可知库仑力为F 库= m甲gsin α
cosθ2
小球下滑后α减小，θ2减小，所以库仑力会减小，故C 错误。
故选BD。
9．（多选）相同的金属小球A、B、C 均带电，A 和B 所带的电荷量分别为q、3
2 q，用两根等长的绝缘细
线将两球悬挂在同一点O，平衡时细线与竖直方向的夹角均为30°，如图所示，现用小球C 先与A 接触，
再与B 接触，然后移开C（过程中A、B 之间未接触），A 和B 再次平衡后，两细线之间的夹角变为
120°，则初始时小球C 所带的电荷量可能是（ ）
A．8q
B．9q
C．−13q
D．−14 q
【答案】AC
【详解】根据图示可知，同种电荷相互排斥，设细线长度为L，小球质量为m。初始时，A、B 两球带电
量分别为q A =q、qB= 3
2 q
两球平衡时，细线与竖直方向夹角θ1=30
∘，两球间距离r1=2 Lsin30
∘= L
对A 球受力分析，由平衡条件得k qAqB
r1
2 =mgtan30
∘
即k
q· 3
2 q
L
2
=mg
❑√3
3
①
设C 球初始带电量为QC。C 与A 接触后，A、C 带电量均为q A
' = q+QC
2
C 再与B 接触，B、C 带电量均为qB
' = qB+q A
'
2
=
3
2 q+ q+QC
2
2
=q+ QC
4
移开C 后，A、B 再次平衡，两细线夹角为120
∘，即细线与竖直方向夹角θ2=60
∘
两球间距离r2=2 Lsin 60
∘= ❑√3 L
对A 球受力分析，由平衡条件得k q A
' qB
'
r2
2
=mg tan60
∘
即k q A
' qB
'
3 L
2 =mg ❑√3②
联立①②两式，解得q A
' qB
' =13.5q
2
代入q A
' 、qB
' 表达式q+QC
2
· 4 q+QC
4
=13.5q
2
解得QC =8q或QC =−13q
故选AC。
10．（多选）如图所示，在倾角为θ的光滑绝缘斜面底端固定一个挡板，在挡板上连接一根与斜面平行的
劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与小物块C 相连接。A、B、C 三个可视为质点的带正电小物块
的质量均为m，B、C 的带电量均为q0，当系统处于静止状态时，三物块等间距排列。已知静电力常量为k，
重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的压缩量为3mgsinθ
k0
B．物块C 受到的库仑力大小为2mgsinθ
C．物块A 的带电量q A = 9
4 q0
D．相邻两物块的间距为q0
3
❑√
5k
mgsinθ
【答案】ABD
【详解】A．对A、B、C 整体受力分析，根据平衡条件有3mgsinθ =k0 x
解得弹簧压缩量为x = 3mgsinθ
k0
，A 正确；
B．对物块C 受力分析，根据平衡条件有mgsinθ+ F 库=k0 x
解得物块C 受到的库仑力为F 库=2mgsinθ，B 正确；
CD．相邻物块的间距均为r，对物块A 受力分析，根据平衡条件有mgsinθ =k q0q A
(2r)
2 +k q0q A
r
2
对物块B 受力分析，根据平衡条件有mgsinθ+k q0q A
r
2
=k q0
2
r
2
两式联立解得q A = 4
9 q0,r = q0
3
❑√
5k
mgsinθ ，C 错误，D 正确。
故选ABD。
题型二 电场强度
1.电场强度的理解
（1）电场强度反映电场本身的性质，由场源和位置决定，与试探电荷无关。
（2）根据定义式E＝，对某一位置E 一定，F 与q 成正比。
2.场强公式的比较
三个公式
3.电场的叠加
（1）电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电
场强度的矢量和。
（2）运算法则：平行四边形定则。
【例题精讲】
1．下列说法正确的是（ ）
A．物体所带的电荷量的数值可以为任意实数
B．电场中某点的电场强度方向即试探电荷在该点的受力方向
C．公式E = F
q 适用于匀强电场
D．单位时间通过导体某一截面的自由电荷的数量叫做电流
【答案】C
【详解】A．物体所带的电荷量的数值为元电荷的整数倍，故A 错误；
B．电场中某点的电场强度方向与正试探电荷在该点的受力方向相同，与负试探电荷在该点的受力方向相
反，故B 错误；
C．公式E = F
q 是电场强度的定义式，适用于任何电场，因此也适用于匀强电场，故C 正确；
D．单位时间通过导体某一截面的自由电荷的总电荷量叫做电流，故D 错误。
故选C。
2．如图所示，是半径为R，电荷量为+Q 且均匀分布的圆环，在过圆心且垂直于圆面的轴线上有两点A、
B，其中A 点距圆心为d（R 没有远小于d），下列有关说法正确的是（ ）
A．A 点的电场强度一定大于B 点的电场强度
B．A 点的电场强度方向向左
C．A 点的电场强度为
kQR
❑√(R
2+d
2)
3
D．A 点的电场强度为
kQd
❑√(R
2+d
2)
3
【答案】D
【详解】A．均匀带电圆环轴线上的电场强度分布规律是：从圆心处（E =0）开始，随着距离增加先增大
后减小，中间存在一个最大值，无穷远处趋于0；由于题目未给出d与R的具体数值关系以及B点的具体
位置，因此无法比较A、B两点电场强度的大小，故A 错误；
B．圆环带正电，根据电场叠加原理和对称性，轴线上A点的电场强度方向应沿轴线背离圆心，即向右，
故B 错误；
CD．在圆环上取一电荷量为Δq的微元，该微元到A点的距离r =
❑√R
2+d
2， 该微元在A点产生的电场强
度大小为 Δ E =k Δq
r
2 =k
Δq
R
2+d
2
将Δ E分解为沿轴线方向和垂直轴线方向，由对称性可知，垂直轴线方向的分量相互抵消，合场强沿轴线
方向。
设微元与A点连线与轴线的夹角为θ，则cos θ = d
r =
d
❑√R
2+d
2
A点的总场强为所有微元在轴线方向分量的代数和
E =∑Δ E cosθ =∑k
Δq
R
2+d
2 ⋅
d
❑√R
2+d
2 =
kd
( R
2+d
2)
3
2
∑Δq
因为∑Δq =Q，所以E =
kQd
( R
2+d
2)
3
2
=
kQd
❑√( R
2+d
2)
3， 故C 错误，D 正确。
故选D。
3．如图所示，真空中有一个三棱锥区域O-ABC，三棱锥底面ABC 为等腰直角三角形，AB＝BC＝L，OA
＝OB＝OC＝L，在A 点放置一电荷量为q 的正点电荷，C 点放置一电荷量为2q 的正点电荷，下列说法正
确的是（ ）
A．O 点的电场强度大小为3kq
L
2
B．O 点的电场强度大小为
❑√5kq
L
2
C．若在B 点放置一电荷量为q 的正点电荷，则其所受电场力的大小为2❑√2k q
2
L
2
D．若在B 点放置一电荷量为q 的正点电荷，则其所受电场力的大小为2❑√5k q
2
L
2
【答案】B
【详解】AB．由几何知识可知，三角形OAC 为等腰直角三角形，AO⊥CO，A 点的点电荷在O 点产生
的电场强度大小E A = kq
L
2
C 点的点电荷在O 点产生的电场强度大小EC = 2kq
L
2
则O 点的合电场强度大小EO=
❑√E A
2 + EC
2 =
❑√5kq
L
2
，A 错误，B 正确。
CD．同理可知，B 点的合电场强度大小EB=
❑√5kq
L
2
则电荷量为q 的正点电荷在B 点受到的电场力大小为F =q EB=
❑√5k q
2
L
2
，CD 错误。
故选B。
4．如图所示，A、B、C 是正三角形的三个顶点，O 是三角形的中心。A、B 处分别放置+q、+3q 的点电荷。
现在C 处放置一点电荷Q，使O 点的电场方向平行BC 向右，则Q 的电荷量为（ ）
A．+q
B．-q
C．+3q
D．-3q
【答案】B
【详解】如图所示
正三角形中心O 到三个顶点的距离相等，设为r，根据点电荷场强公式E =k Q
r
2
分解各电荷在O 点场强的竖直分量，A 处+q，正电荷场强背离A，方向竖直向下，E Ay =−k q
r
2
B 处+3q，正电荷场强背离B，方向斜向右上，与水平方向夹角30°，竖直分量
EBy =k 3q
r
2 ⋅sin30° = 3kq
2r
2
C 处Q 场强竖直分量ECy =k Q
r
2 ⋅sin30° = kQ
2r
2
令竖直合分量为0，则E Ay+ EBy+ ECy =0
代入整理得−q+ 3q
2 + Q
2 =0
解得Q =−q
故选B。
5．如图所示为半径是r 的半圆，O 为圆心，ab 为直径，c、d 为半圆的三等分点。在a、b 两点分别固定
一点电荷，若在空间加一水平向左、电场强度大小为E0的匀强电场，c 点的电场强度刚好为0，静电力常
量为k，下列说法正确的是（ ）
A．a、b 两点的电荷均带正电
B．a 点的电荷带负电，b 点的电荷带正电
C．a 点的电荷所带电荷量的大小为3 E0r
2
2k
D．b 点的电荷所带电荷量的大小为E0r
2
2k
【答案】D
【详解】A．a、b 两点电荷在c 点的合场强水平向右、大小为E0，竖直分量总和为0。两个点电荷的场强
竖直分量必须一上一下。若均带正电，两个场强竖直分量都向上，无法抵消，A 错误；
B．若a 带负电、b 带正电，两个场强水平分量都向左，合场强向左，与向左的匀强电场叠加后不可能为
零，B 错误；
CD．设a、b 在c 点的场强大小分别为Ea、Eb，因竖直分量Easin30
∘= Ebsin 60
∘
水平分量总和等于Eacos 30
∘+ Ebcos 60
∘= E0 ，
可得： Ea=
❑√3 E0
2
，Eb= E0
2
根据点电荷场强公式Eb= k Qb
bc
2 ，其中bc =r
解得Qb= E0r
2
2k
同理可得Qa= 3 ❑√3 E0r
2
2k
，C 错误，D 正确。
故选 D。
6．如图，n 个点电荷均匀地分布在半径为r 的圆周上，其中一个点电荷带电荷量为+q（q>0），其余n−1
个点电荷每个带电荷量均为+2q，这时圆心处的电场强度大小为E1；若将n+1个点电荷均匀地分布在半径
为r 的圆周上，其中一个点电荷带电荷量为+q，其余n 个点电荷每个带电荷量均为+2q，这时圆心处的电
场强度大小为E2。则E1
E2
等于（ ）
A．1
B．n
n+1
C．n+1
n
D．n−1
n
【答案】A
【详解】将电荷量为+q 的点电荷加上+q 的电荷量，则O 点的场强为零，则原来电荷在圆心处的电场强度
大小为E =k q
r
2 = E1= E2
故选A。
7．均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面
AB 上均匀分布正电荷，电荷量为Q，球面半径为R，CD 为通过半球顶点与球心O 的轴线，轴线上
CO=DO=3R。一质量为m、电荷量为q 的小球（用绝缘细线悬挂于悬点），受半球面产生的电场影响偏转
θ 角度静止于C 点，（若球C 与半球面AB 彼此不影响对方的电量分布）则半球面AB 在D 点产生的场强
大小为（ ）
A．kQ
9 R
2 + mg tanθ
q
B．kQ
9 R
2 −mg tanθ
q
C．k 2Q
9 R
2 + mg tanθ
q
D．k 2Q
9 R
2 −mg tanθ
q
【答案】D
【详解】设半球面AB 在D 点产生的场强大小为E1，在C 点产生的场强大小为E2，根据平衡条件得
tanθ = q E2
mg
补齐右半球，D 点的合场强为
k 2Q
(3 R)
2 = E1+ E2
解得
E1= k 2Q
9 R
2 −mg tanθ
q
故选D。
8．如图所示，在电场强度大小为E 的匀强电场中，放置一个带电圆线圈，圆心为O 点，线圈平面与电场
垂直。在圆线圈的轴线上有M 和N 两点，它们到O 点的距离相等。已知M 点的电场强度大小为零，则N
点的电场强度大小为（ ）
A．0
B．E
C．2E
D．3E
【答案】C
【详解】由对称性可知，带电圆线圈在M、N 两点产生的电场等大反向。由于M 点电场强度为零，由矢
量合成法则可知环境中匀强电场的场强与M 点场强等大反向，即匀强电场与N 点的场强等大同向，故N
点的电场强度为2E。
故选C。
9．如图所示，两负点电荷固定在直角三角形ABC中的A、B两点上，已知∠A =30°，∠C =90°。若一
试探电荷在C点受到的电场力方向与AB垂直，则A、B两点处的点电荷的电荷量大小之比为（ ）
A．❑√3:1
B．1:❑√3
C．❑√3:2
D．2:❑√3
【答案】A
【详解】试探电荷在C点受到的电场力方向与AB垂直，说明沿水平方向的合场强为0，两个负点电荷在
C点的场强沿AB方向的分量大小相等、方向相反。设AB = L
在直角三角形ABC中，AC = Lcos30°，BC = Lsin30°
根据点电荷场强公式E =k Q
r
2
A、B在C点的场强分别为E A =k Q A
A C
2，EB=k QB
BC
2
将E A、EB分解到沿AB方向，水平分量平衡有E A cos30
°= EBcos60°
联立可得
Q A
cos 30
∘=
QB
sin 30
∘
解得
Q A
QB
= cos 30
∘
sin 30
∘=
❑√3
1
故选A。
10．如图，将带正电的导体球C 放在不带电的椭球形导体附近。若沿虚线1 将导体分成A、B 两部分，这
两部分所带电荷量的绝对值分别为QA、QB，M、N 为椭球形导体内的两点，其电场强度分别为EM、EN，
则下列说法正确的是（ ）
A．QA＜QB
B．QA＝QB
C．EM＞EN
D．EM＜EN
【答案】B
【详解】AB．导体原本不带电，根据电荷守恒定律，无论沿何处将导体分成A、B 两部分，这两部分所带
电荷量的代数和始终为零，即 q A+qB=0
所以两部分所带电荷量的绝对值相等，即 Q A =QB，故A 错误，B 正确；
CD．导体在带电球C 的电场中达到静电平衡状态，根据静电平衡的性质，导体内部的合场强处处为零，
即 EM = EN =0，故CD 错误。
故选B。
11．（多选）在真空中一个点电荷Q 的电场中，让x 轴与它的一条电场线重合，O 为坐标原点，坐标轴上
A、B 两点的坐标为0.3m 和0.8m（如图甲）。在A 点分别多次放置带负电的试探电荷，在B 点分别多次
放置带正电的试探电荷，A、B 两点试探电荷受到的静电力大小F 跟试探电荷电量q 绝对值的关系分别如
图乙中直线a、b 所示，已知A、B 两点的试探电荷受到电场力的方向都跟x 轴正方向相同。则下列说法正
确的是（ ）
A．点电荷Q 是正电荷
B．A 点的电场强度大小为8N/C
C．B 点的电场强度方向沿x 轴负方向
D．点电荷Q 所在位置的坐标为0.4m
【答案】AD
【详解】A．根据E = F
q 并结合图像可判断a 点电场强度大于b 点电场强度，离点电荷越近场强越大，所
以点电荷在AB 的中间靠近A 的某个位置，又由于A、B 两点的试探电荷受到电场力的方向都跟x 轴正方
向相同，所以点电荷Q 是正电荷，故A 正确；
B．A 点电场强度大小为Ea= Fa
xa
= 8×10
−4
1×10
−9 N /C=8×10
5 N /C，故B 错误；
C．正的试探电荷受电场力方向与电场线方向相同，根据正电荷在B 点受力沿x 轴正方向即可判断在B 点
电场强度方向沿x 轴正方向，故C 错误；
D．根据电场强度的定义式即E = F
q
结合图像可判断B 点电场强度大小为Eb= 2×10
−4
4×10
−9 N /C=5×10
4 N /C=k q
xb
2
A 点电场强度大小为Ea= 8×10
−4
1×10
−9 N /C=8×10
5 N /C=k q
xa
2
可得场源电荷到AB 的距离之比xa: xb=1:4
结合A、B 两点的坐标分别为0.3m 和0.8m 可知a、b 两点之间的距离为0.5m，因此点电荷Q 的位置坐标
为0.4m，故D 正确。
故选AD。
12．（多选）已知电荷分布均匀的球壳对壳内点电荷的作用力为零，对壳外点电荷的作用力等于将所有
电荷量全部集中在球心的点电荷对球外点电荷的作用力。若真空中有一个均匀的带正电球体，球心在O
点，半径为R，电荷体密度为ρ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O1点，半径为R1，OO1=d，如图
所示，已知静电力常量为k，则下列说法正确的是（ ）
A．空腔里各点的电场方向不同
B．空腔里的电场强度方向与OO1连线平行
C．空腔里的电场强度与该点到O 点的距离成正比
D．空腔里的电场强度大小恒为4
3 kρπd
【答案】BD
【详解】将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合，对于空腔
中任意一点P，设
OP =r ,O1 P =r1
已知电荷分布均匀的球壳对壳内点电荷的作用力为零，对壳外点电荷的作用力等于将所有电荷量全部集
中在球心的点电荷对球外点电荷的作用力。如图所示，P 点在大球激发的场强分两部分，其中P 点外部为
零，内部全部集中在O 点的场强为
E1=k
ρ 4
3 πr
3
r
2
= 4
3 k π ρr
方向由O 指向P；
P 在小球激发的场强分两部分，外部为零，内部全部集中在O1的场强为
E2=k
ρ 4
3 πr1
3
r1
2
= 4
3 k π ρr1
方向由P 指向O1；E1和E2的矢量合成遵从平行四边形定则，E 的方向如图所示
根据几何关系可知E 的方向与OO1连线平行
E = 4
3 kρπd
故选BD。
13．（多选）如图所示，直立的劲度系数为k 的轻质弹簧一端固定在水平地面，另一端与绝缘的木板Q
拴接。带电量为+q 的物块P 放置在木板Q 上，处于静止状态。现在系统所处空间施加一竖直向上的匀强
电场，此后P、Q 一起运动到最高点时恰好未分离。已知P 的质量为2m，Q 的质量为m，重力加速度为
g，轻弹簧的弹性势能表达式为Ep= 1
2 k x
2（k 为轻弹簧的劲度系数，x 为轻弹簧的形变量），不计空气阻
力，下列说法正确的是（ ）
A．最高点时，弹簧恰处于原长
B．匀强电场的场强大小为6mg
5q
C．匀强电场刚施加的瞬间，P、Q 间弹力大小为2mg
D．物体P 的最大速度为vm =
❑√
12m g
2
25k
【答案】BD
【详解】A．由题可知，由于P、Q 一起运动到最高点时恰好未分离，所以P、Q 全程在做简谐运动，因此
在最高点和最低点的加速度大小相同，方向相反，大小设为a，则对于最低点，弹簧弹力F 弹1和P、Q 重
力相等，即k x1=3mg
设施加电场后，P 所受电场力大小为F，则F =3ma
在最高点，由于P、Q 刚要分离，设此时弹簧弹力为F 弹2，分别对P 和Q 进行分析，可得2mg−F =2ma
联立解得F =1.2mg，a=0.4 g，mg−F弹2=ma
故弹簧不是原长，故A 错误；
B．因为电场力F =qE
解得匀强电场的场强大小为E = 1.2mg
q
= 6mg
5q ，故B 正确；
C．电场刚施加时，设P、Q 间弹力大小为N1
以P 为研究对象，则F + N 1−2mg=2ma
解得N 1=1.6mg，故C 错误；
D．物块P 的速度最大时，P、Q 整体处于简谐运动平衡点，即加速度为0，对整体有k x0+qE =3mg
从最低点到平衡点，由能量守恒定律qE(x1−x0)+ 1
2 k x1
2=3mg(x1−x0)+ 1
2 k x0
2+ 1
2 ×3mvm
2
得vm =
❑√
12m g
2
25k
，故D 正确。
故选BD。
题型三 电场线的理解和应用
1.电场线的应用
2.等量同种和等量异种电荷的电场强度空间分布的比较
比较项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线
分布图
连线中点O 处的场强
连线上O 点场强最小，
指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左
到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O 点向外场
强大小
O 点最大，向外逐渐减小
O 点为零，向外先变大后
变小
关于O 点对称的A 与
A′、B 与B′、C 与C′
的场强
等大同向
等大反向
3.电场线、带电粒子运动轨迹判断
（1）判断速度方向：带电粒子轨迹的切线方向为该点处的速度方向。
（2）判断电场力(或场强)的方向：带电粒子所受电场力方向(仅受电场力作用)指向轨迹
曲线的凹侧，再根据粒子的正、负判断场强的方向。
（3）判断电场力做功的正、负及电势能的增、减：若电场力与速度方向成锐角，则电
场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
【例题精讲】
1．下列各电场中，A、B 两点电场强度相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】A．A 图中，A、B 两点电场强度大小相等，方向不同，故A 错误；
B．B 图中，A、B 两点电场强度的方向相同，但大小不等，故B 错误；
C．C 图中是匀强电场，则A、B 两点电场强度大小、方向相同，故C 正确；
D．D 图中，A、B 两点电场强度大小、方向均不相同，故D 错误。
故选C。
2．两带电平行金属板间的电场线分布如图所示。a、b、c 三点的场强大小分别为Ea、Eb、Ec，下列判断
正确的是（ ）
A．Ea< Eb
B．Ea=Eb
C．Ea>Eb
D．Ec=0
【答案】B
【详解】电场线越密，场强越大；电场线越疏，场强越小，结合题图可知Ea= Eb> Ec≠0。
故选B.
3．一点电荷周围的电场线分布如图所示，A 、B分别为其中两条电场线上的两点。下列说法正确的是（
）
A．A点的电场强度小于B点的电场强度
B．该点电荷带负电
C．A点的电场强度大于B点的电场强度
D．A 、B两点的电场强度方向相同
【答案】C
【详解】AC．电场线的疏密反映场强大小，因A 点电场线较B 点密集，可知A点的电场强度大于B点的电
场强度，A 错误，C 正确；
B．根据电场线分布可知，该点电荷带正电，B 错误；
D．A 、B两点的电场强度方向不相同，D 错误。
故选C。
4．如图所示，a、b 是点电荷电场中一条电场线上的两点，分别用Ea、Eb表示a、b 两点的电场强度大小，
下列说法正确的是（ ）
A．a、b 两点的电场强度相同
B．因为电场线方向从b 指向a，所以Eb> Ea
C．若该场源电荷为正电荷，则Eb> Ea
D．若该场源电荷为负电荷，则Ea< Eb
【答案】C
【详解】AB．电场线的疏密程度反映了电场强度的大小，由于只有一根电场线，题目中也没有明确指出
这根电场线是什么电场中的电场线，故无法判断a、b 两点的场强大小，故AB 错误；
C．若该场源电荷为正电荷，正电荷应该在右侧，且离电荷越近，电场强度越大，故C 正确；
D．若该场源电荷为负电荷，负电荷应该在左侧，且离电荷越近，电场强度越大，故D 错误。
故选C。
5．用电场线能很直观、很方便地比较电场中各点的电场强弱和方向。图甲是等量异种点电荷形成的电场
的电场线，图乙是该静电场中的一些点，O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对O对称的两点，
B、C和A、D分别相对O点左右对称。则下列说法正确的是（ ）
A．B、C两点电场强度大小相等，方向相同
B．A、D两点电场强度大小相等，方向相反
C．E、O、F三点相比较，O点电场强度最小
D．B、O、C三点相比较，O点电场强度最大
【答案】A
【详解】A．根据对称性可知，B、C两点电场强度大小相等，方向相同，均水平向右，故A 正确；
B．根据对称性可知，A、D两点电场强度大小相等，方向相同，均水平向左，故B 错误；
CD．根据电场线的疏密程度表示场强大小，由图可知B、O、C三点，O点电场线最稀疏，则O点场强最
小；在中垂线上，O点电场强度最大，所以E、O、F三点比较，O点场强最大，故CD 错误。
故选A。
6．真空中A、B 两个异种点电荷带电荷量分别为2Q、−Q（Q＞0），两点电荷固定在光滑水平面相距为
L 的两处（静电力常量为k），OO1为A、B 两个点电荷连线的中垂线，下列说法正确的是 （ ）
A．A、B 两个点电荷之间的库仑力大小为2k Q
2
L
B．A、B 两个点电荷连线之间的电场方向为由B 指向A
C．OO1连线上各位置的电场强度方向均为与AB 平行指向B 侧
D．A、B 两个点电荷连线之间静止释放一负点电荷，它一定加速向A 靠近
【答案】D
【详解】A．A、B 两个点电荷之间的库仑力大小为F 库=k 2Q⋅Q
L
2
= 2k Q
2
L
2
，故A 错误；
B．在A、B 两个点电荷连线之间，点电荷A 产生的电场方向由A 指向B，点电荷B 产生的电场方向也由A
指向B，结合矢量叠加原理，可知合电场方向由A 指向B，故B 错误；
C．A、B 两个点电荷连线的垂直平分线OO1上各位置到A、B 两个点电荷的距离相等，根据电场强度
E = k Q源
r
2
和矢量叠加原理，可知除A、B 连线的中点外，垂直平分线OO1上各点的合电场方向为斜向右
上方或斜向右下方，故C 错误；
D．由于A、B 两个点电荷连线之间的电场方向为由A 指向B，则A、B 两个点电荷连线之间静止释放一负
点电荷，负点电荷受到的电场力指向A，点电荷一定加速向A 靠近，故D 正确。
故选D。
7．如图所示为一对不等量异号点电荷的电场线，下列说法正确的是（ ）
A．电场中各点的场强大小全部相等
B．电场中各点的场强方向全部相同
C．越靠近点电荷的区域电场越强
D．图中没有电场线的空白区域（没有电场）
【答案】C
【详解】A．电场线的疏密表示电场强度的大小，由题图可知，各点的场强大小不是全部相等，故A 错误；
B．依据电场线某点切线方向，即为该点的电场强度方向，可知电场中各点的场强方向不是全部相同，故
B 错误；
C．由题图可知，越靠近点电荷的区域，电场线分布越密集，电场越强，故C 正确；
D．电场线是假想的，图中没有电场线的空白区域，也有电场，故D 错误。
故选C。
8．（多选）法拉第首先提出用电场线形象生动地描绘电场，如图所示为点电荷a、b 所形成电场的电场
线分布图（箭头未标出）。在M 点处放置一个电荷量大小为q 的负试探点电荷，受到的电场力大小为
F，以下说法正确的是（ ）
A．由电场线分布图可知M 点处的场强比N 点处场强小
B．a、b 为异种电荷，a 的电荷量小于b 的电荷量
C．M 点处的场强大小为F
q ，方向与所受电场力方向相同
D．如果M 点处的点电荷电量变为2q，该处场强将变为F
2q
【答案】AB
【详解】A．根据电场线的疏密表示场强的大小，可知M点处的场强比N点处场强小，故A 正确；
B．根据电场线由正电荷出发，终止于负电荷，可知a、b 为异种电荷。a的左侧电场线稀疏，所以a的电
荷量小于b的电荷量，故B 正确；
CD．根据场强的定义式知，M点的场强大小为F
q ，方向与负电荷所受电场力方向相反。场强由电场本身
决定，与检验电荷无关，所以M点处的点电荷电量变为2q，该处场强不变，故CD 错误。
故选AB。
9．（多选）如图所示，P、Q 是电荷量相等的两个点电荷，O 为P、Q 连线的中点，c、d 是P、Q 连线延
长线上的两点，a、b 是P、Q 中垂线上的两点，a 与b 关于O 点对称，c 与d 关于O 点对称。则（ ）
A．若P、Q 为同种电荷，则a 与b 点电场强度相同，c 与d 点电场强度相同
B．若P、Q 为同种电荷，则a 与b 点电场强度不同，c 与d 点电场强度不同
C．若P、Q 为异种电荷，则a 与b 点电场强度相同，c 与d 点电场强度相同
D．若P、Q 为异种电荷，则a 与b 点电场强度不同，c 与d 点电场强度不同
【答案】BC
【详解】AB．若P、Q 为同种电荷，则由对称性可知，a 与b 点电场强度大小相同，方向相反，c 与d 点
电场强度大小相同，方向相反，A 错误，B 正确；
CD．若P、Q 为异种电荷，根据等量异种电荷的电场分布可知，a 与b 点电场强度大小方向都相同，c 与d
点电场强度大小方向都相同，C 正确，D 错误。
故选BC。
10．（多选）如图所示为某一点电荷产生的电场线，A 、B、C为电场中的三点，其中B、C两点场强
大小相等，则（ ）
A．该点电荷为负电荷
B．B、C两点场强相同
C．试探电荷在A 受到的电场力小于在B 点受到的电场力
D．电子在A 点所受电场力方向向右
【答案】AD
【详解】A．静电场中电场线从正电荷（或无穷远）出发终止于无穷远（或负电荷），根据题图可知该点
电荷是负电荷，故A 正确；
B．电场强度是矢量，B、C 两点场强方向不同，B、C 两点场强不同，故B 错误；
C．电场线越密，电场强度越大，则有
E A> EB
根据公式F = Eq可知，试探电荷在A 受到的电场力大于在B 点受到的电场力，故C 错误；
D．负电荷在某点受到的静电力方向与该点的场强方向相反，则电子在A 点所受电场力方向向右，故D 正
确。
故选AD。
课时精练
一、单选题
1．关于电荷，以下认识正确的是（ ）
A．电荷量很小的电荷就是元电荷
B．物体所带电荷量可以是任意的
C．电子就是元电荷
D．美国物理学家密立根通过油滴实验最早精确地测出了元电荷的数值
【答案】D
【详解】A．元电荷是最小的电荷量单位，大小为e =1.6×10
−19C，并非电荷量小的电荷就是元电荷，故
A 错误；
B．所有带电体的电荷量只能是元电荷的整数倍，不能取任意数值，故B 错误；
C．元电荷是电荷量的最小单位，属于物理量，电子是带有元电荷大小电荷量的实物粒子，二者概念不同，
故C 错误；
D．美国物理学家密立根通过油滴实验最早精确测定了元电荷的数值，故D 正确。
故选D。
2．如图所示，将带正电的金属小球靠近原来不带电的验电器A 端，关于验电器的带电情况正确的是（
）
A．A 端带正电，B 端带正电
B．A 端带负电，B 端带负电
C．A 端带负电，B 端带正电
D．A 端带正电，B 端带负电
【答案】C
【详解】金属小球带正电，由于静电感应可知，A 感应出负电，B 端感应出等量的正电。
故选C。
3．如图所示，真空中正三角形OMN的三个顶点上固定有三个相同的点电荷。已知O、M上两点电荷之
间的库仑力大小为F，则N点处点电荷所受库仑力的大小为（ ）
A．F
B．❑√3 F
C．2 F
D．3 F
【答案】B
【详解】由库仑定律F =k q1q2
r
2
任意两个点电荷间的库仑力相等，则N点处点电荷所受库仑力如图
则由几何关系得合力大小为❑√3 F
故选B。
4．如图所示，小球甲固定在绝缘杆上，小球乙用绝缘细线悬挂在天花板上，甲、乙均带正电荷，同时乙
处在斜向右上方的匀强磁场中。静止时，细线与竖直方向的夹角为θ，则乙的受力个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．2
【答案】A
【详解】 静止的带电小球在磁场中不受力，故小球乙受到重力、细线对小球乙的拉力、小球甲对小球乙
的库仑斥力，共3 个力。
故选A。
5．如图所示，光滑绝缘的水平面上的P 点固定一个带正电的点电荷，在它的右侧N 点由静止开始释放一
个也带正电的小球（可视为质点），以向右为正方向，下列选项中能反映小球运动速度随时间变化规律
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由于小球受到库仑斥力的作用，所以小球向右（正方向）做加速运动，随着距离的增大，小球
受到的库仑力逐渐减小，则小球的加速度逐渐减小，v −t图像的切线斜率逐渐减小。
故选C。
6．如图，氢原子核内只有一个质子，核外有一个电子绕核旋转，轨道半径为r，质子和电子的电荷量均
为e，电子的质量为m1，质子的质量为m2，微观粒子之间的静电力远远大于相互间的万有引力，因此可
以不计万有引力的作用，静电力常数为k，则电子绕核旋转的线速度大小为（ ）
A．❑√
k e
2
m1r
B．❑√
k e
2
m2r
C．❑√
k e
2
m2r
2
D．❑√
k e
2
m1r
3
【答案】A
【详解】对电子由牛顿第二定律有
k e
2
r
2 =m1
v
2
r
解得
v = ❑√
k e
2
m1r
故选A。
7．如图所示，在直角三角形ABC 的顶点A、B 分别固定有点电荷Q1、Q2，现将一试探电荷q 固定于顶点
C，测得q 所受电场力与AB 边垂直。已知AB: AC :BC =5:4:3，则（ ）
A．Q2
Q1
=3
4
B．Q2
Q1
=4
3
C．Q2
Q1
=27
64
D．Q2
Q1
=64
27
【答案】A
【详解】根据电荷q 受到的电场力方向，可以判断出点电荷Q1、Q2对q 的电场力分别为F1和F2，如图
根据库仑定律，则有F1= k Q1q
A C
2 ，F2= k Q2q
BC
2
根据几何关系AB: AC :BC =5:4:3
可知∠A =37°，tan37° = F1
F2
联立解得
Q2
Q1
= 3
4
故选A。
8．如图所示，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点，下端分别系有带等量异种电荷
的小球P、Q．两小球处在某一水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角相等，两小球均
视为点电荷，则（ ）
A．P 可能带负电荷
B．P 的质量一定大于Q 的质量
C．P 的质量一定小于Q 的质量
D．两绳中的张力大小一定相等
【答案】D
【详解】A．以Q 为对象，由于两等量异种电荷间的库仑力为吸引力，根据受力平衡可知，Q 受到的电场
力水平向左，则Q 带负电，P 带正电，故A 错误；
BCD．设小球Q 和P 之间相互作用的库仑力大小为F，质量分别为m1，m2，绳子的拉力分别为T1，T2，
绳子与竖直方向夹角为θ，对于小球Q 有qE =T 1sinθ+ F
T 1cosθ =m1g
对于小球P 有qE =T 2sinθ+ F
T 2cosθ =m2 g
联立可得T 1=T 2，m1=m2,故D 正确，BC 错误；
故选D。
9．如图，带电小滑块甲和乙的质量相同，放置在足够长的光滑绝缘斜面上，相距L1（远远大于滑块宽
度），释放两滑块瞬间，甲的加速度为零；经过一段时间，两滑块相距L2时，速度分别为v甲、v乙，加
速度之比a甲:a乙= 4:5，则（ ）
A．v甲=2v乙
B．v甲= v乙
C．L2=2 L1
D．L2=3 L1
【答案】D
【详解】CD．释放甲瞬间甲加速度为零，说明两滑块带同种电荷.。甲沿斜面受力平衡
F1=k Qq
L1
2 =mgsinθ
当两滑块相距L2时，设此时库仑力为F =k Qq
L2
2
对甲根据牛顿第二定律mgsinθ−F =ma甲
对乙根据牛顿第二定律mgsinθ+ F =ma乙
已知a甲:a乙= 4:5 ，代入整理得mgsinθ =9 F
又 k Qq
L1
2 =9⋅k Qq
L2
2
可得L2=3 L1，C 错误，D 正确；
AB．对甲、乙分别用动量定理，可得 mgsinθ⋅t −I F =m v甲，mgsinθ⋅t + I F =m v乙
显然v乙>v甲，AB 错误。
故选 D。
10．如图所示，光滑绝缘半圆轨道内有两个可视为质点的带电小球A、B，其中B 固定，A 可自由滑动。
初始时A 球静止。现保持B 小球带电量不变，使A 小球所带电荷量缓慢变为原来的一半，在新位置达到平
衡后，下列说法正确的是（ ）
A．A、B 小球一定都带负电荷
B．两小球间库仑力变为原来的一半
C．A 小球带正电荷、B 小球带负电荷
D．半圆形轨道对A 小球的支持力变小
【答案】D
【详解】AC．带电小球静止在光滑半圆轨道 ，则两小球必定带同种电荷，但不能确定电性，故AC 错误；
D．对A球分析mA g
OC = N A
OA = F 库
CA
A电荷量减小，A点沿着轨道往左下方移动，故OC增大，OA不变，则N A减小，故D 正确；
B．电荷量减半，但间距也变小，故库仑力不可能减半，故B 错误。
故选D。
11．如图所示，纸面内有边长为2L 的正方形ABCD，M、N、P、Q 分别为四条边的中点，MN 与PQ 交于
中心O 点。在A、B 两点各固定一个带电量为+q 的点电荷，在C、D 两点各固定一个带电量为-q 的点电荷。
在该平面内加上一个电场强度大小为E 的匀强电场后，O 点的电场强度恰好为零。已知静电力常量为k，
下列说法正确的是（ ）
A．M 点与N 点的电势一定相等
B．匀强电场的电场强度大小为2❑√2kq
L
2
C．P 点与Q 点的电场强度大小相等，方向不同
D．M 点与N 点的电场强度大小不等，方向相同
【答案】A
【详解】A．根据对称性可知，A、B、C、D 四点的点电荷对O 点的合电场强度方向沿PQ 方向，匀强电
场与四个点电荷的合电场的电场强度等大、反向，故匀强电场沿QP 方向且在M、N 两点上电势相同，四
个点电荷的电势叠加后是0，所以M 点与N 点的电势一定相等，故A 正确；
B．每个点电荷在O 点产生的场强E1=
kq
(❑√2 L)
2
四个点电荷叠加后E =2❑√2 E1=
❑√2kq
L
2
，故B 错误；
C．四个点电荷在P 点与Q 点叠加后的电场强度是相同的，再叠加上匀强电场，合成后电场强度大小相等，
方向相同，故C 错误；
D．四个点电荷在M 点与N 点叠加后的电场强度是相同的，再叠加上匀强电场，合成后电场强度大小相
等，方向相同，故D 错误。
故选A。
12．如图所示，水平绝缘面上固定两等量正点电荷A、B，O 为A、B 连线的中点，C 为A、B 连线垂直平
分线上一点。一带正电的光滑小球从C 点以一定速度v0沿CO 方向运动，则小球的速度v随时间t 变化的
图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】在两等量正点电荷形成的电场中，中点O 的电场强度为0，从C 向O 运动时，电场强度先增大
后减小（存在一个场强最大值点），方向沿背离O 点，小球带正电，受到的电场力方向与电场方向相同，
因此从C 向O 运动时，电场力方向与运动方向相反，小球做减速运动，加速度大小先增大后减小，到达
O 点时，电场强度为0，加速度为0，速度最小；经过O 点后，电场力方向背离O 点向外，小球反向加速，
加速度大小同样先增大后减小。故选D。
二、多选题
13．（多选）法拉第采用了画电场线的方法来形象地描述电场，下列关于电场线的说法正确的是
（ ）
A．电场线在电场中可能相交
B．电场线是客观存在于电场中的
C．在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密
D．匀强电场中的电场线可以用间隔相等的平行线来表示
【答案】CD
【详解】A．电场线在电场中不可以相交，故A 错误；
B．电场线是人为假想的，不是客观存在的，故B 错误；
C．在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏，故C 正确；
D．匀强电场中的电场线可以用间隔相等的平行线来表示，故D 正确。
故选CD。
14．（多选）将金属圆环接地后，把点电荷P 放置在金属圆环附近，点电荷和金属圆环间的电场线分布
如图所示，a、b、c、d 均为电场中的点，下列说法正确的是（ ）
A．a 点的电场强度大于b 点的电场强度
B．c 点的电场强度小于d 点的电场强度
C．点电荷P 带正电
D．若将一带正电的试探电荷从d 点由静止释放，电荷将沿着电场线运动到c 点
【答案】BC
【详解】AB．根据电场线的疏密程度可知a 点的电场强度小于b 点的电场强度，c 点的电场强度小于d 点
的电场强度，故A 错误，B 正确；
C．电场线由点电荷P 发出，所以P 带正电，故C 正确；
D．由于图中电场线不是直线，所以试探电荷运动过程中所受电场力方向会时刻变化，试探电荷将做曲线
运动，其所受电场力将指向轨迹的凹侧，且沿电场线切线方向，所以试探电荷不可能沿着电场线运动到c
点，故D 错误。
故选BC。
15．（多选）如图所示，不可伸长的轻绳跨过光滑、轻质定滑轮O 一端与带电荷量为+q 的小球A 相连，
另一端连接空水桶，带电荷量为+2q 的小球B 位于定滑轮O 正下方，放置在绝缘、粗糙的水平面上，初始
时水桶和小球A、B 均处于静止状态。若向水桶内注入少量的水，水桶和小球A、B 再次平衡，小球B 仍
然处于原位置，取无穷远处电势为零。下列说法正确的是（ ）
A．小球 A、B 连线上各点的电势均大于零
B．小球A、B 之间的距离变小
C．水平面对小球 B 的摩擦力变大
D．水平面对小球 B 的支持力变大
【答案】AC
【详解】A．沿电场线电势逐渐降低，根据两正电荷的电场线分布可知，正电荷的电场线由正电荷指向无
穷远，所以小球A、 B 连线上各点的电势均大于零，A 正确；
B．对小球 A 进行受力分析，如图所示，由相似关系得
mA g
OB = FT
OA =
k 2q
2
( AB)
2
AB
重力不变，OB 长度不变，可知比值为定值，所以AB 长度不变，水桶加入少量水之后，绳子拉力变大，
所以OA 变长，B 错误；
CD．根据以上分析可知，AB 球之间的库仑力大小不变，当再次平衡时，∠ABO 变大，设∠ABO = θ，对
B 球进行受力分析，如图所示，根据平衡关系可知
f = F sinθ，F N =mB g+ F cosθ
所以水平面对小球B 的摩擦力变大，支持力变小，C 正确，D 错误。
故选AC。
三、解答题
16．如图所示，把一带电量为−5×10
−8C的小球A 用绝缘细绳悬起，若将带电量为+ 4×10
−6C的带电小
球B 靠近A，当两个带电小球在同一高度相距30cm 时，绳与竖直方向成45°角，取g=10 m/s
2，
k =9.0×10
9 N⋅m
2/C
2，且A、B 两小球均可视为点电荷，求：
(1)A、B 两球间的库仑力的大小；
(2)B 球在A 球所在位置产生的电场强度大小；
(3)A 球的质量。
【答案】(1)0.02N
(2)4×10
5 N/C
(3)2×10
−3kg
【详解】（1）根据库仑定律，A、B 两球间的库仑力的大小为
F 库= k qAqB
r
2
＝9×10
9×5×10
−8×4×10
−6
0．3
2
N =0.02N
（2）B 球在A 球所在位置产生的电场强度大小E = F 库
qA
＝
0.02N
5×10
−8C
＝4×10
5 N/C
（3）对A 受力分析如图所示
根据平衡条件得F 库=mg tan α
解得m=2×10
−3kg
17．有一竖直面内半径为R 的光滑绝缘圆弧轨道，两个质量相同的小球A、B（小球半径远小于R）在轨
道上保持静止，A、B 小球电荷量均为q 的同种电荷，稳定时如图，两小球和圆心的连线与竖直方向成
45°，静电力常量为k，重力加速度为g，求：
(1)A、B 小球间的库仑力大小F；
(2)小球的质量m。
【答案】(1) k q
2
2 R
2
(2) k q
2
2 g R
2
【详解】（1）根据几何关系，两小球间的距离r = ❑√2 R
根据库仑定律F =k q
2
r
2
解得F = k q
2
2 R
2
（2）小球受重力、电场力和支持力。根据平衡条件，有tan 45° = mg
F
解得m= k q
2
2g R
2
18．如图所示，A、B 两个带电小球用绕过光滑定滑轮的绝缘细线连接，足够高的绝缘光滑挡板固定在竖
直面内，B 球与挡板接触，A、B 两球在同一水平线上且处于静止状态，悬挂A 球的细线与水平方向的夹
角为30°，悬挂B 球的细线竖直，A、B 两球带等量正电荷，细线的总长为L，静电力常量为k，小球B 的
质量为m，重力加速度为g，不计小球的体积，求：
(1)小球A 的质量多大；
(2)小球A 的带电量是多少；
(3)剪断细线，当A、B 间的距离为L 时，小球A 的加速度多大。
【答案】(1)1
2 m
(2)❑√
❑√3mg L
2
6k
(3)2❑√3
3
g
【详解】（1）对小球B 受力分析，根据平衡条件，可得细线上的拉力T =mg
对小球A 受力分析，根据正交分解，在竖直方向上有T sin30
∘=mA g
解得mA= 1
2 m
（2）对小球A 受力分析，根据正交分解，在水平方向上有T cos30
∘=k q
2
r
2
根据几何关系r tan30
∘+
r
cos30
∘= L
联立解得q =
❑√
❑√3mg L
2
6k
（3）剪断细线，B 做自由落体运动，A 在竖直方向也做自由落体运动，A、B 始终在同一水平线上。当
A、B 间的距离为L 时，A、B 间的库仑力F =k q
2
L
2 =
❑√3
6 mg
对A，根据牛顿第二定律有❑√F
2+(mA g)
2=mAa
解得a= 2❑√3
3
g
19．如图所示，水平桌面上固定一半径为R 的半球形光滑绝缘碗，球心为O。有两个完全相同的带电金
属球甲、乙，电荷量分别为3q 和q（q>0），均可看作点电荷。甲固定于碗内壁A 点，将乙放于碗内壁B
点时，它恰好能处于静止状态。已知A、O、B 三点位于同一个竖直平面内，O、B 在同一水平面上，
∠AOB =120°，静电力常量为k，重力加速度为g。
(1)乙的质量是多少？
(2)用绝缘镊子将乙与甲充分接触后，使乙从B 点以❑√
2gR
3
的速度沿碗内侧切线向下进入碗内，求进入瞬
间碗对乙的弹力大小。
【答案】(1)m= k q
2
2g R
2
(2)N = (2❑√3+1)k q
2
3 R
2
【详解】（1）根据几何关系，可得A、B 相距为r =2 R sin 60
∘= ❑√3 R
则甲对乙的库仑力大小为F =k 3q⋅q
r
2
= k q
2
R
2
设乙的质量为m，对乙受力分析，并沿水平和竖直方向进行正交分解，则在竖直方向有1
2 F =mg
解得m= k q
2
2 g R
2
（2）乙与甲充分接触后，两球的电荷量均变为q
′ = 3q+q
2
=2q
则甲对乙的库仑力大小变为F
′ =k (2q)
2
r
2
= 4 k q
2
3 R
2
设碗对乙的弹力为N，乙进入碗时的速度为v，对乙受力分析，并沿水平和竖直方向进行正交分解，则在
水平方向有N −
❑√3
2 F
′ =m v
2
R
解得N = (2❑√3+1)k q
2
3 R
2
20．如图所示，用两根不可伸长的绝缘细线将A、B 两带电小球悬挂于O 点，电荷量分别为+9q、+q，质
量分别记为m1和m2，静止时A、B 两球处于同一水平线上，其中O 点到B 球的距离OB=L，∠AOB=90°，
∠OAB=30°，带电小球均可视为点电荷，静电力常量为k。求：
(1)A、B 间的库仑力大小；
(2)A、B 两球的质量m1和m2之比；
(3)A、B 连线上且在O 点的正下方C 点的电场强度。
【答案】(1)k 9q
2
4 L
2
(2)1:3
(3)零
【详解】（1）由几何关系可知，A、B 间距为
L
sin30° =2 L
根据库仑定律，A、B 之间的库仑力大小为F =k 9q
2
(2 L)
2 =k 9q
2
4 L
2
（2）对A、B 受力分析如图所示
对A 球有F =m1g tan60°
对B 球有F =m2 g tan30°
解得m1:m2=1:3
（3）两个带电小球A、B 在C 点产生的电场强度大小分别为
EB=k
q
( L
2 )
2 =k 4 q
L
2 ，EA=k
9q
( 3
2 L)
2 =k 4 q
L
2
二者方向相反，因此C 点的合场强为零。
