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专题08 动能定理 机械能守恒定律
模型一 动能定理
1．对“外力”的两点理解
(1)“外力”指的是合外力，可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其他力，它们
可以同时作用，也可以不同时作用．
(2)“外力”既可以是恒力，也可以是变力．
2．做功的过程就是能量转化的过程，动能定理表达式中的“＝”是一种表示因果关系的
数值上相等的符号．
3．运用动能定理解决多过程问题的方法
(1)分段法
①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理．
②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功
情况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各
个击破．
(2)全程法
当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个
运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大
简化运算．
4．应用动能定理解题的四个基本步骤
(1)明确研究对象和研究过程
研究对象一般取单个物体，通常不取一个系统(整体)为研究对象．研究过程要根据已知量
和所求量来定，可以对某个运动过程应用动能定理，也可以对整个运动过程
( 全程
) 应用动能定
理．
(2)分析物体受力及各力做功的情况．
(3)明确过程始末状态的动能Ek1和Ek2.
(4)利用动能定理表达式W1＋
W
2＋
W
3＋…＝
mv
－
mv
求解．
5．动能是标量，动能定理是标量式，解题时不能分解动能．
【例题精讲】
1．动车组列车是我国高端装备制造的代表，其技术水平体现了我国强大的综合国力。如表所示为CRH5 型
动车组的部分技术参数：
参数
数值
最高运营速度
200km/h（约56m/s）
最高试验速度
250km/h（约70m/s）
编组质量
450t（即4.5×105kg）
启动加速度
0.5m/s2
紧急制动距离（制动初速度200km/h）
≤2000m
根据以上信息，下列说法错误的是（ ）
A．动车组启动时，合力大小为2.25×105N
B．动车组以最高运营速度紧急制动时，平均加速度大小最小值约为0.78m/s2
C．若动车组以相同的制动力刹车，制动初速度加倍时，制动距离也加倍
D．若动车组以启动加速度从静止匀加速至最高试验速度，所需时间约为140s
2．如图乙所示，绝缘粗糙水平面上x＝﹣2l 处和x＝4l 处分别固定两个不等量正点电荷（场源电荷），其中
x＝﹣2l 处的电荷量大小为Q。两点电荷形成的电场在x 轴上的电势φ 与x 关系如图甲所示，其中坐标原
点处电势为φ0且为极小值，x＝﹣l 和x＝2l 处电势分别为6
5
φ0和3
2
φ0。现由x＝2l 处静止释放质量为m、
电荷量为q 的带正电物体（视为质点），该物体刚好向左运动到x＝﹣l 处。物体产生的电场忽略不计，
重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．x＝4l 的电荷的电荷量为2Q
B．物体在运动过程中，电势能变化量为3q φ0
10
C．物体与地面动摩擦因数为q φ0
10mgl
D．物体在坐标原点处动能最大
3．如图所示，质量均为m 的A、B 两滑块用足够长的轻绳相连，并将其置于等高的光滑斜面上，斜面倾角
均为30°，质量为4m 的物块C 挂在轻质动滑轮下端。开始时托住物块C 使其静止，轻绳处于伸直状态，
重力加速度为g。释放物块C，当物块C 下落高度为h 时，其动能为（ ）
A．4mgh
B．3mgh
C．2mgh
D．mgh
4．如图所示，用轻弹簧拴接物块和水平地面，物块在压力F 作用下处于静止状态。撤去压力F，物块竖直
向上运动过程中，其动能Ek与位移x、时间t 的关系图像，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．一物块在水平拉力F 作用下沿粗糙水平面运动，拉力随时间变化的F﹣t 图像如图甲所示，5s 后撤去拉力
F，拉力F 的功率随时间变化的P﹣t 图像如图乙所示，则（ ）
A．运动过程中，物块受到的摩擦力大小为3N
B．2s 末物块的速度大小为12m/s
C．0～5s 内物块的位移大小为12m
D．位移为18m 时物块的动能为6J
（多选）6．某同学用台秤研究在电梯中的超失重现象。在地面上称得其体重为500N，再将台秤移至电梯内
称其体重。电梯从t＝0 时由静止开始运动，到t＝11s 时停止，得到台秤的示数F 随时间t 变化的情况如
图所示（g＝10m/s2）。则（ ）
A．电梯为下降过程
B．在10～11s 内电梯的加速度大小为1m/s2
C．F3的示数为600N
D．电梯运行的总位移为20m
（多选）7．人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实，如图所示。设某次打夯符合以下模型：两人同
时通过绳子对质量为m 的地面上的重物各施加一个力，力的大小均恒为F，方向都斜向上与竖直方向成θ
角，重物离开地面高度为h 时人停止施力，重物最终下落至地面，并把地面砸下深度为d 的凹坑。不计
空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．重物落下接触地面时的动能等于2Fhcosθ
B．重物上升的最大高度为2 Fhcosθ
mg
C．整个过程重力做功等于mg（h+d）
D．地面对重物的阻力做功等于﹣（2Fhcosθ+mgd）
模型二 机械能守恒定律
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒．
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功．
(3)除重力外，其他力做功的代数和为零，那么系统的机械能守恒．
2．判断机械能守恒的三种方法
定义法
利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和
是否变化，若不变，则机械能守恒
做功法
若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但
其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
转化法
若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形
式能的转化，则机械能守恒
3．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况为：
不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
4．几种实际情景的分析
(1)速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。
(2)角速度相等情景
①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
②由v＝ωr 知，v 与r 成正比。
(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
【例题精讲】
1．如图所示，将质量为2m 的重物悬挂在足够长轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m 的小圆环，圆环
套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆间的距离为d。现将圆环从图中所示的A 处由静止释放，
此时连接圆环的细绳与水平方向的夹角为30°，整个过程中重物都只在竖直方向运动且未与定滑轮相碰。
忽略定滑轮的质量和大小，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．圆环刚释放时，轻绳中的张力大小为2
3
mg
B．圆环刚释放时，重物的加速度大小为4
3
g
C．圆环下落到最低点的过程中，圆环的机械能一直减小
D．圆环下落到与定滑轮等高的位置时，圆环的速度大小为❑√
20 ❑√3−12
3
gd
2．如图所示，在光滑水平面上，质量为m 的木块与轻质弹簧相连，弹簧的另一端连在竖直墙壁上，弹簧处
于水平状态，木块处于静止状态。质量为m 的子弹以水平向右的速度v0射入木块并留在木块内（该过程
所用时间很短），之后木块压缩弹簧（未超出弹性限度），下列说法正确的是（ ）
A．子弹打入木块的过程中，子弹受到的冲量大小为mv0
B．子弹打入木块的过程中，子弹动能的减少量等于子弹和木块内能的增加量
C．子弹打入木块的过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒，机械能不守恒
D．在压缩弹簧的过程中，子弹、木块和弹簧组成的系统动量守恒，机械能守恒
3．2025 年4 月30 日，神舟十九号载人飞船返回舱安全着陆，宇航员顺利出舱。返回舱在落地前，反推发
动机点火使返回舱减速；返回舱落地瞬间，缓冲装置开启使返回舱安全着陆。下列说法正确的是
（ ）
A．返回舱在返回的过程中机械能守恒
B．返回舱在靠近地面的过程中，所受地球的引力逐渐减小
C．返回舱在落地前减速的过程中，宇航员处于超重状态
D．缓冲装置的作用原理是通过增大受力面积来减小冲击力
4．图甲为应用于机场和火车站的安全检查仪，其传送装置可简化为图乙所示的模型。紧绷的传送带始终保
持v＝1m/s 的恒定速率运行，A、B 间的距离为6.25m，行李与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2。旅客把
10kg 的行李（可视为质点）无初速度地放在A 处，下列说法正确的是（ ）
A．行李刚放在传送带上时，传送带给行李的静摩擦力向左
B．行李从A 运动至B 的时间为6s
C．行李在传送带上留下摩擦痕迹的长度为0.25m
D．因为检查行李，检查仪至少多做5J 的功
5．学校运动会上，某同学参加铅球比赛，他将同一铅球从空中同一位置先后两次抛出，第一次铅球在空中
轨迹如图中1 所示，第二次铅球在空中轨迹如图中2 所示，两轨迹的交点为B。已知铅球两次经过B 点
时动能相同，不计空气阻力，不计铅球大小，则关于两次抛出，下列说法正确的是（ ）
A．两次抛出的初速度大小不相同
B．两次铅球在最高点机械能不相同
C．两次铅球落地时重力的瞬时功率相同
D．两次铅球在空中运动过程中重力做功的平均功率第二次更大
（多选）6．如图甲，固定粗糙直杆OM 与水平面夹角53°，套有质量1kg 的滑块。弹性轻绳一端固定于O
点，另一端跨过O 点正上方的光滑定滑轮Q，与滑块相连，弹性绳原长为OQ。PQ＝1.6m 且垂直OM，
以P 为原点沿杆向下建立x 轴。滑块无初速度释放，下滑时加速度与位移的关系为一条直线（图乙）。
已知x1＝0.64m，x2为滑块减速到零的位置坐标，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹性绳弹力大小F＝kl
（k＝10N/m，l 为伸长量），g＝10m/s2，sin53°＝0.8。下列说法正确的是（ ）
A．滑块与直杆间的动摩擦因数为μ= 4
15
B．图乙中a1＝﹣a2＝6.4m/s2
C．滑块沿杆下滑过程中最大速度为16 ❑√10
25
m/s
D．滑块沿杆上滑过程中速度最大的位置在x1处
（多选）7．如图，水平地面上固定有一竖直杆，杆上套有一小滑块P；小滑块Q 放在地面上，P、Q 间用一
长为L 的轻杆通过铰链连接，一水平轻弹簧右端固定，左端与Q 连接。已知P、Q 质量均为m，重力加
速度大小为g。初始时轻杆竖直，弹簧的伸长量为L
2
。P 由静止释放，整个运动过程中P、Q 可视为质点，
弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，则在P 下降过程中（ ）
A．P、Q 组成的系统机械能一直增大
B．P 落地前瞬间速度大小为❑√2gL
C．P 速度最大时，Q 受到地面的支持力大于2mg
D．从P 释放到弹簧恢复原长时，P 所受的合力冲量小于Q 所受的合力冲量
模型三 功能关系
1．对功能关系的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，
具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2．常见的功能关系
能量
功能关系
表达式
势能
重力做的功等于重力势能减少量
W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
弹力做的功等于弹性势能减少量
静电力做的功等于电势能减少量
动能
合外力做的功等于物体动能变化量
W＝Ek2－Ek1＝mv2－mv0
2
机械能
除重力和弹力之外的其他力做的功
等于机械能变化量
W 其他＝E2－E1＝ΔE
摩擦产生的内
能
一对相互作用的滑动摩擦力做功之
和的绝对值等于产生的内能
Q＝Ff·x 相对
电能
克服安培力做的功等于电能增加量
W 克安＝E2－E1＝ΔE 电
【例题精讲】
1．如图甲，某次无人机从地面静止开始竖直向上飞行，图乙为它运动的v﹣t 图像，图像中的ab 段和cd 段
均为直线。下列说法正确的是（ ）
A．空气对无人机的作用力和无人机对空气的作用力是一对平衡力
B．无人机在t3∼t4过程中处于失重状态
C．无人机在t1∼t2过程中受到的合外力越来越大
D．无人机在t1∼t4过程中机械能一定增大
2．无人机因具有机动性能好、生存能力强、使用方便快捷等优点而在生产生活中得到广泛应用。某次在空
旷无风区域测试一台农用无人机，该机质量为2kg、可垂直起降。无人机从地面由静止开始竖直向上做
加速度大小为2m/s2的匀加速直线运动，上升5s 时无人机突然失去动力，直至落回地面。不计无人机受
到的空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．无人机上升过程始终处于超重状态
B．无人机发动机输出的最大功率为200W
C．整个过程中无人机发动机输出的总功与克服重力做的功相等
D．整个过程所用的时间为(6+ ❑√6)s
3．2024 年贵州“村超”火爆出圈！某次比赛中，足球的飞行轨迹如图所示，质量为m 的足球在地面1 的位
置以速度v1被踢出后，以速度v3落到地面3 的位置，飞行轨迹如图所示。足球在空中达到最高点2 的速
度为v2，高度为h，重力加速度为g。下列说法中正确的是（ ）
A．从1 到2 重力做功mgh
B．从1 到2 空气阻力做功−mgh+ 1
2 m(v1
2−v2
2)
C．在2 重力的功率为mgv2
D．从2 到3 机械能减少了mgh+ 1
2 m(v2
2−v3
2)
4．巴黎奥运会网球女单决赛中，中国选手以2：0 战胜克罗地亚选手夺冠。这是中国运动员史上首次赢得奥
运网球单打项目的金牌。某次运动员将质量为m 的网球击出，网球被击出瞬间距离地面的高度为h，网
球的速度大小为v1，经过一段时间网球落地，落地瞬间的速度大小为v2，重力加速度为g，网球克服空
气阻力做的功为Wf。则下列说法正确的是（ ）
A．W f = 1
2 m v2
2−1
2 m v1
2−mgh
B．击球过程，球拍对网球做的功为mgh+ 1
2 mv1
2
C．网球从被击出到落地的过程，机械能减少Wf
D．网球从被击出到落地的过程，动能的增加量为Wf+mgh
5．如图，倾角为37°的传送带沿逆时针方向以4m/s 的速度匀速转动，将质量为1kg 的小物块轻放在传送带
的顶端A 处，经过2s 小物块到达传送带的底端B 处。已知小物块与传送带之间的动摩擦因数为0.25，重
力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（ ）
A．小物块一直做匀变速运动
B．A、B 间的长度为11.5m
C．小物块到达B 处时的速度大小为16m/s
D．全过程中小物块机械能减少23J
（多选）6．如图甲所示，质量M＝2kg 足够长的木板静止在粗糙水平地面上，木板左端放置一质量m＝1kg
的小物块。t＝0 时刻对小物块施加一水平向右的拉力F，拉力F 的大小随时间t 的变化关系如图乙所示，
4s 未撤去拉力。已知物块与木板间的动摩擦因数μ1＝0.5，木板与地面间的动摩擦因数μ2＝0.1，g 取
10m/s2，最大静摩擦力约等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（ ）
A．t＝1s 时物块受到的摩擦力大小为3 1
3 N
B．撤去拉力后7
3 s物块与木板达到共速
C．撤去拉力后20
3 s木板在水平面上停止运动
D．在整个运动过程中摩擦生成的总热量为350
3 J
（多选）7．如图1 所示，倾角为30°的足够长光滑斜面固定在水平地面上，安装在其顶端的电动机通过不
可伸长的轻绳与质量为4kg 的小车相连，电动机输出功率恒定。当小车向上匀速运动时，将一小物块
（可视为质点）无初速度地放在小车上端，最终小物块恰好没滑离小车。小物块放上小车后，小车速度
随加速度大小的变化规律如图2 所示。运动过程中轻绳与斜面始终平行，重力加速度g＝10m/s2，忽略轻
绳与滑轮的摩擦及空气阻力。则（ ）
A．物块的质量为2kg
B．小车长度为17
48
m
C．物块与小车间的动摩擦因数为
❑√3
2
D．电动机的输出功率为40W
课题精练
一．选择题（共8 小题）
1．如图所示，在倾角为37°的斜面上的P 点钉有一小铁钉，一长度为4R 的轻绳一端系于斜面O 点，另一端
系一质量为m 的小球。现将轻绳水平拉直，小球从A 点由静止释放，运动到最低点后立即绕P 点做圆周
运动，第一次通过最高点B 时，轻绳拉力恰好为零。已知OP 距离为3R，sin37°＝0.6，重力加速度为g，
则小球从A 到B 的运动过程中，机械能的减少量为（ ）
A．9
10 mgR
B．11
10 mgR
C．13
10 mgR
D．17
10 mgR
2．在山地自行车速降比赛中，选手从山坡顶端由静止开始沿直坡道下滑，坡道倾斜角恒定且足够长。选手
和自行车总质量为m，运动过程中受到的空气阻力与速度平方成正比（f＝kv2，k 为常数），且坡道存在
恒定的摩擦力f0，以坡顶为重力势能零点，沿斜面向下为正方向，对选手和自行车整体，从坡顶到坡底，
用Ek表示动能、Ep表示重力势能，E 机表示机械能，下列图像正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，质量为m 的长木板静止在粗糙的水平地面上，质量为3m 且可视为质点的物块以水平向右的初速
度v0从左端冲上木板，最终两者均静止且物块仍在木板上。物块与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与地
面间的动摩擦因数为μ2。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。下列判断正确的是（
）
A．若μ1
μ2
=1.2，则木板长度至少为v0
2
2 μ2 g
B．若μ1
μ2
=2，则木板长度至少为
v0
2
4 μ2 g
C．若μ1
μ2
=2，则在整个运动过程中，木板运动的总时间为v0
2 μ1g
D．若μ1
μ2
=2，则在整个运动过程中，地面与木板间因摩擦产生的热量为3
4 mv0
2
4．如图所示，一个长为L，质量为M 的木板，静止在光滑水平面上，一个质量为m 的物块（可视为质点），
以水平初速度v0从木板的左端滑向另一端，设物块与木板间的动摩擦因数为μ，当物块与木板相对静止
时，物块仍在木板上，物块相对木板的位移为d，木板相对地面的位移为s，重力加速度为g，则在此过
程中（ ）
A．摩擦力对木板做的功为μmg（s+d）
B．摩擦力对物块做的功为﹣μmg（s+d）
C．木板动能的增量为μmgd
D．由于摩擦而产生的热量为μmgs
5．无人机因具有机动性能好、生存能力强、使用方便快捷等优点而在生产生活中得到广泛应用。某次在空
旷无风区域测试一台农用无人机，该机质量为2kg、可垂直起降。无人机从地面由静止开始竖直向上做
加速度大小为2m/s2的匀加速直线运动，上升5s 时无人机突然失去动力，直至落回地面。不计无人机受
到的空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．无人机上升过程始终处于超重状态
B．无人机发动机输出的最大功率为200W
C．整个过程中无人机发动机输出的总功与克服重力做的功相等
D．整个过程所用的时间为(6+ ❑√6)s
6．如图所示，倾角为θ 的光滑斜面固定在地面上，一滑块以初速度v0从斜面底端滑上斜面，一段时间后又
返回斜面底端。下列说法正确的是（ ）
A．滑块返回斜面底端时的速度大于v0
B．滑块返回斜面底端时的速度小于v0
C．滑块上滑过程中处于超重状态，下滑过程中处于失重状态
D．滑块上滑过程中和下滑过程中均处于失重状态
7．如图所示，一半径R＝0.5m 的圆形轨道竖直放置在粗糙水平地面上，轨道内壁光滑，O 点为圆形轨道的
圆心，B 点为最高点，∠BOC＝60°，轨道在A 处与水平地面相切。在A 处放置一小物块，质量m＝
1kg，给它一水平向左的初速度v0= ❑√31m/s，使其沿圆形轨道运动，从C 点抛出后落至D 点。已知重力
加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。小物块从A 点到D 点的运动过程中，圆形轨道始终保持静止，则（
）
A．小物块经过C 点时，速度大小为❑√46m/s
B．小物块经过C 点时，轨道对小物块的压力大小为32N
C．小物块经过C 点时，地面对圆形轨道的摩擦力方向水平向右
D．CD 两点间的水平距离为
❑√3
5
m
8．如图1 所示，一轻质弹簧原长为24cm，劲度系数k＝800N/m，左端固定在竖直墙上，右端水平地面上有
一质量为m 的滑块（不与弹簧连接）。用水平力将滑块从原长处缓慢推至P 点，弹簧压缩了12cm，撤去
外力后滑块由静止沿水平地面弹出，最后停在N 点。以弹簧左端为坐标原点，水平向右为正方向建立x
轴，滑块从P 点到N 点的过程中，加速度a 随位置坐标x 的变化规律如图2 所示。已知弹簧始终在弹性
限度内，重力加速度g 取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．滑块的质量m＝5kg
B．滑块与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.2
C．N 点的坐标xN＝48cm
D．滑块的最大动能Ekm＝8J
二．多选题（共3 小题）
（多选）9．蹦床是少年儿童喜欢的一种体育活动。蹦床的中心由弹性网面组成，若少年儿童从最高点落下
直至最低点的过程中，空气阻力大小恒定，则少年儿童（ ）
A．机械能一直减小
B．刚接触网面时，动能最大
C．重力做功等于克服空气阻力做功
D．重力势能的减小量大于弹性势能的增大量
（多选）10．将一排球竖直向上抛出，忽略空气阻力，则排球从抛出到落回抛出点的过程中，其速度大小
v、加速度大小a、动能Ek、机械能E 分别随时间t 变化的关系图像，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）11．跳台滑雪是极具观赏性的项目，由滑门、助滑坡、着陆坡、停止区组成．若将着陆坡简化成倾
角为θ 的斜面，如图所示，运动员水平起跳后的运动可视为平抛运动，研究某运动员两次腾空过程，已
知第一次起跳时动能为E0，第二次起跳时动能为2E0，两次落点分别为a、b 两点，不计空气阻力，以下
说法正确的是（ ）
A．两次起跳的速度之比为1：2
B．两次落在斜面上时速度方向相同
C．第一次落在斜面上时动能为E0（1+2tan2θ）
D．两次腾空过程在空中运动时间之比为1：❑√2
三．解答题（共5 小题）
12．某液压减震器竖直放置在水平地面上，如图（a）所示，其结构简化如图（b），上支座、活塞通过活塞
杆固连，构成质量为m0＝10kg 的支柱总成，上支座的下表面与储油缸体的上表面通过劲度系数k＝
1000N/m 的轻弹簧相连，密封良好的储油缸体中装满液压油，当支柱总成上下运动时，液压油会流过活
塞的小孔，对活塞产生阻力f＝βv，其中v 为活塞的速度，β＝50N•s/m。初始时，系统静止，某时刻将
一质量m1＝30kg 的物块从上支座正上方h＝0.2m 处由静止释放，物块与上支座碰撞后粘在一起，碰撞后
瞬间记为t＝0，经0.1s 支柱总成达到最大速度vm＝2m/s，经过足够长时间后，支柱总成停止运动。不计
活塞与缸体的摩擦，不计浮力，弹簧始终在弹性限度内，g 取10m/s2，求：
（1）初始时弹簧的压缩量；
（2）碰后至支柱总成停止运动的过程中，液压油对活塞做的功；
（3）0～0.1s 的时间内，弹簧对上支座的冲量大小。
13．如图所示，质量为m 的小球（可视为质点）放置在光滑水平面上的A 点，与水平面的右边缘B 点的距
离为L，四分之一圆弧轨道MN 固定在竖直平面内，O 是圆心，OM、ON 分别是水平、竖直半径，B 是
ON 上一点，C 是圆弧上一点。现给小球施加一水平向右、大小为F＝2mg 的恒定拉力，当小球运动到B
点时立即撤去此拉力，然后小球从B 点运动到C 点。已知小球在C 点速度的反向延长线为CO，且
∠MOC＝30°，重力加速度为g，不计空气阻力。求：
（1）小球在B 点的速度大小以及从A 点到B 点运动的时间；
（2）小球从B 点到C 点的运动时间。
14．蹴鞠是有史料记载的最早足球活动，图a 所示是某蹴鞠活动的场景。如图b 所示，蹴鞠比赛的场地为一
长方形ABCD，长AD＝10m，宽AB＝8m，E、E′、F、F′分别为各边中点，O 为EE′和FF′交点，
EE′上竖直插有两根柱子，两柱之间挂一张大网，网的正中间有一圆形的球洞名为“风流眼”，蹴鞠在
运动中须穿过“风流眼”才能得分。圆形“风流眼”的圆心Q 在O 点正上方，Q、O 之间的高度h＝
3.75m。某次训练中，甲将静止在地面F 点的蹴鞠斜向上踢出，经时间t1＝0.5s 恰好到达最高点P，P 在场
地上的投影为P′且P′在FO 上，P′到F 点的距离为x1＝2m。乙运动员紧接着从P 点将蹴鞠斜向上踢
出，恰好以水平方向的速度经过“风流眼”的圆心Q，穿过“风流眼”后蹴鞠落到OF′上的K 点，如图
c 所示。已知，蹴鞠可看作质点且质量为0.6kg，忽略空气阻力，重力加速度大小取g＝10m/s2。求：
（1）最高点P 离地面的高度h1；
（2）甲运动员对蹴鞠做的功W。
15．如图所示，质量M＝8kg 的长木板停放在光滑水平面上，在长木板的左端放置一质量m＝2kg 的小物块，
小物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.2．现对小物块施加一个大小F＝8N 的水平向右恒力，小物块将由
静止开始向右运动，2s 后小物块从长木板上滑落．从小物块开始运动到从长木板上滑落的过程中，重力
加速度g 取10m/s2．求：
（1）小物块和长木板的加速度各为多大；
（2）长木板的长度；
（3）摩擦力对小物块及木板做功分别为多少．
16．如图所示，AB 为一竖直平面内的四分之一粗糙圆弧轨道，其半径为R＝1m，OB 为其竖直方向的半径，
B 点恰好位于一个竖直平面内的传送带的最高点。该传送带拉直部分CD 的长度为L＝3m，与水平方向
夹角为θ＝37°，两个转轮的半径为R＝1m，始终以u＝1m/s 的速度匀速顺时针转动。紧接着D 点的是一
个足够长、足够粗糙的斜面DE，它与水平方向的夹角也为θ＝37°。在该斜面上，从D 点开始依次放置
985 个质量均为M＝3kg 的滑块，相邻两个滑块靠在一起但不粘连。现将一个质量为m＝1kg 的物块从A
点开始由静止释放，它运动到B 点时的速度大小为v＝1m/s，与传送带之间的动摩擦因数μ＝1.0。后续
过程中所有的碰撞都是弹性正碰。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g 取10m/s2。求：
（1）物块在离开四分之一圆弧轨道前的瞬间对其的压力大小；
（2）四分之一圆弧轨道对物块做的功；
（3）第985 个滑块第1 次被碰撞后瞬间的速度大小；
（4）整个过程中，传送带的电动机因物块在传送带上运动而多做的功。
