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训练十二 动量和能量的综合问题
知识梳理
1．解动力学问题的三个基本观点
(1)动力学观点：运用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题．
(2)能量观点：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
(3)动量观点：用动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．用动量定理可简化问题的求解过程．
2．力学规律的选用原则
(1)如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律．
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理
(涉及位移的问题)去解决问题．
(3)若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决
问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件．
(4)在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少
量，即转化为系统内能的量．
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他
形式能量之间的转化，作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决．
题型一 动量与能量观点的综合应用
例1 (2022·广东卷·13)某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型．竖直放置在
水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态．当滑块从A 处以初速度v0为10 m/s 向上滑
动时，受到滑杆的摩擦力Ff为1 N，滑块滑到B 处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖
直向上运动．已知滑块的质量m＝0.2 kg，滑杆的质量M＝0.6 kg，A、B 间的距离l＝1.2 m，重力加速度
g 取10 m/s2，不计空气阻力．求：
(1)滑块在静止时和向上滑动的过程中，桌面对滑杆支持力的大小FN1和FN2；
(2)滑块碰撞前瞬间的速度大小v1；
(3)滑杆向上运动的最大高度h.
变式训练1 (2023·山东济宁市模拟)如图所示，光滑水平面上有一质量M＝1.98 kg 的小车，B 点右侧为
水平轨道，其中BC 段粗糙，CD 段光滑．B 点的左侧为一半径R＝1.3 m 的光滑四分之一圆弧轨道，圆弧轨
道与水平轨道在B 点相切，车的最右端D 点固定一轻质弹簧，弹簧处于自然长度时左端恰好位于小车的C
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点，B 与C 之间距离L＝0.7 m．一质量m＝1 kg 的小物块(可视为质点)，置于小车的B 点，开始时小车与
小物块均处于静止状态．一质量m0＝20 g 的子弹以速度v0＝600 m/s 向右击中小车并停留在车中，假设子
弹击中小车的过程时间极短，已知小物块与BC 间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2.求：
(1)小物块沿圆弧轨道上升的最大高度h；
(2)小物块第一次返回到B 点时速度v 的大小；
(3)弹簧的弹性势能的最大值Epm；
(4)小物块最终与小车保持相对静止时到B 的距离x.
题型二 力学三大观点的综合应用
例2 如图所示，水平桌面左端有一顶端高为h 的光滑圆弧形轨道，圆弧的底端与桌面在同一水平面上．
桌面右侧有一竖直放置的光滑圆轨道MNP，其形状为半径R＝0.8 m 的圆环剪去了左上角135°后剩余的部
分，MN 为其竖直直径，P 点到桌面的竖直距离也为R.一质量m＝0.4 kg 的物块A 自圆弧形轨道的顶端释
放，到达圆弧形轨道底端恰与一停在圆弧底端水平桌面上质量也为m 的物块B 发生弹性正碰(碰撞过程没有
机械能的损失)，碰后物块B 的位移随时间变化的关系式为x＝6t－2t2(关系式中所有物理量的单位均为国
际单位)，物块B 飞离桌面后恰由P 点沿切线落入圆轨道．A、B 均可视为质点，重力加速度g 取10 m/s2，
求：
(1)BP 间的水平距离sBP；
(2)判断物块B 能否沿圆轨道到达M 点；
(3)物块A 由静止释放的高度h.
变式训练2 (2023·浙江绍兴市诸暨市高三检测)如图所示，水平桌面上放置一端有挡板的长平板A，平
板上放着物块B 和C，B 和C 之间有一被压缩且劲度系数足够大的轻弹簧，B 与挡板间的距离L＝1.25 m，C
位于桌面边缘，离地面高h＝0.8 m．由静止释放压缩弹簧，B 和C 瞬间分离，C 向右水平抛出后的落地点
与抛出点的水平距离x＝0.8 m，B 向左运动与A 的挡板发生弹性碰撞，碰撞时间极短．已知平板A 的质量
mA＝1 kg，物块B 的质量mB＝1 kg，物块C 的质量mC＝1.5 kg，B、C 均可看为质点，A 与B、A 与桌面间的
动摩擦因数均为μ＝0.2，重力加速度取g＝10 m/s2.
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(1)求释放前压缩弹簧的弹性势能；
(2)求B 与A 的挡板碰撞后瞬间平板A 的动能；
(3)求平板A 在桌面上滑行的距离．
强基固本练
1.(2023·山东威海市检测)质量均为m 的木块A 和B，并排放在光滑水平面上，A 上固定一竖直轻杆，轻杆
上端的O 点系一条不可拉伸的长为l 的细线，细线另一端系一个可以看作质点的球C，质量也为m.现将C
球拉起使细线水平自然伸直，并由静止释放C 球，重力加速度为g.求：
(1)C 球第一次摆到最低点时的速度大小；
(2)从C 球由静止释放到第一次摆到最低点的过程中，B 移动的距离；
(3)C 球向左摆动的最高点距O 点的竖直高度．
2.(2023·云南省高三月考)如图所示，半径R＝1.0 m 的粗糙圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的上端点B
和圆心O 的连线与水平方向间的夹角θ＝37°，下端点C 为轨道的最低点．C 点右侧的粗糙水平面上，紧
挨C 点静止放置一质量M＝1 kg 的木板，木板上表面与C 点等高，木板左端放置一个质量为m2＝1 kg 的物
块，另一质量为m1＝1 kg 的物块从A 点以某一速度水平抛出，恰好从轨道的B 端沿切线方向进入轨道，到
达C 点时对轨道的压力大小为46 N，之后与质量为m2的物块发生弹性碰撞(碰撞时间极短)，最终质量为m2
的物块刚好未从木板上滑下．已知AO 的竖直高度H＝1.4 m，质量为m2的物块与木板间的动摩擦因数μ1＝
0.4，木板与地面间的动摩擦因数为μ2＝0.1，两物块相同且均可视为质点，sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8，取g＝10 m/s2.求：
(1)质量为m1的物块到达B 点时的速度大小vB；
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(2)质量为m1的物块通过圆弧轨道克服摩擦力做的功W 克f；
(3)木板的长度L.
3.如图所示，水平面上有A、B 两个小物块(均视为质点)，质量均为m，两者之间有一被压缩的轻质弹簧
(未与A、B 连接)．距离物块A 为L 处有一半径为L 的固定光滑竖直半圆形轨道，半圆形轨道与水平面相切
于C 点，物块B 的左边静置着一个三面均光滑的斜面体(底部与水平面平滑连接)．某一时刻将压缩的弹簧
释放，物块A、B 瞬间分离，A 向右运动恰好能过半圆形轨道的最高点D(过D 点后立即撤去物块A)，B 向左
平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为L(L 小于斜面体的高度)．已知A 与右侧水平面间的动摩
擦因数μ＝0.5，B 左侧水平面光滑，重力加速度为g，求：
(1)物块A 通过C 点时对半圆形轨道的压力大小；
(2)斜面体的质量；
(3)物块B 与斜面体分离时，物块B 与斜面体各自的速度大小．
4．(2022·浙江6 月选考·20)如图所示，在竖直面内，一质量m 的物块a 静置于悬点O 正下方的A 点，以
速度v 逆时针转动的传送带MN 与直轨道AB、CD、FG 处于同一水平面上，AB、MN、CD 的长度均为l.圆弧形
细管道DE 半径为R，EF 在竖直直径上，E 点高度为H.开始时，与物块a 相同的物块b 悬挂于O 点，并向左
拉开一定的高度h 由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与a 发生弹性正碰．已知m＝2 g，l＝1
m，R＝0.4 m，H＝0.2 m，v＝2 m/s，物块与MN、CD 之间的动摩擦因数μ＝0.5，轨道AB 和管道DE 均光
滑，物块a 落到FG 时不反弹且静止．忽略M、B 和N、C 之间的空隙，CD 与DE 平滑连接，物块可视为质
点，取g＝10 m/s2.
(1)若h＝1.25 m，求a、b 碰撞后瞬时物块a 的速度v0的大小；
(2)物块a 在DE 最高点时，求管道对物块的作用力FN与h 间满足的关系；
(3)若物块b 释放高度0.9 m<h<1.65 m，求物块a 最终静止的位置x 值的范围(以A 点为坐标原点，水平向
右为正，建立x 轴)．
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