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12 动量守恒定律
[-考点-08-] 动量和能量的综合问题
1．解动力学问题的三个基本观点
(1)动力学观点：运用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题．
(2)能量观点：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
(3)动量观点：用动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．用动量定理可简化问题的
求解过程．
2．力学规律的选用原则
(1)如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律．
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问
题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题．
(3)若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和机械能守
恒定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件．
(4)在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统
机械能的减少量，即转化为系统内能的量．
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统
机械能与其他形式能量之间的转化，作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决．
典例1 (动量与能量观点的综合应用)(2023·山东济宁市模拟)如图所示，光滑水平面上有一
质量M＝1.98 kg 的小车，B 点右侧为水平轨道，其中BC 段粗糙，CD 段光滑．B 点的左侧
为一半径R＝1.3 m 的光滑四分之一圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在B 点相切，车的最右
端D 点固定一轻质弹簧，弹簧处于自然长度时左端恰好位于小车的C 点，B 与C 之间距离
L＝0.7 m．一质量m＝1 kg 的小物块(可视为质点)，置于小车的B 点，开始时小车与小物块
均处于静止状态．一质量m0＝20 g 的子弹以速度v0＝600 m/s 向右击中小车并停留在车中，
假设子弹击中小车的过程时间极短，已知小物块与BC 间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10
m/s2.求：
(1)小物块沿圆弧轨道上升的最大高度h；
(2)小物块第一次返回到B 点时速度v 的大小；
(3)弹簧的弹性势能的最大值Epm；
(4)小物块最终与小车保持相对静止时到B 的距离x.
典例2 (力学三大观点的综合应用)如图所示，一质量为M＝3.0 kg 的平板车静止在光滑的水
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平地面上，其右侧足够远处有一障碍物A，质量为m＝2.0 kg 的b 球用长l＝2 m 的细线悬挂
于障碍物正上方，一质量也为m 的滑块(视为质点)以v0＝7 m/s 的初速度从左端滑上平板车，
同时对平板车施加一水平向右的，大小为6 N 的恒力F.当滑块运动到平板车的最右端时，
二者恰好相对静止，此时撤去恒力F.当平板车碰到障碍物A 时立即停止运动，滑块水平飞
离平板车后与b 球正碰并与b 粘在一起成为c.不计碰撞过程中的能量损失，不计空气阻力．
已知滑块与平板车间的动摩擦因数μ＝0.3，g 取10 m/s2，求：
(1)撤去恒力F 前，滑块、平板车的加速度各为多大，方向如何；
(2)撤去恒力F 时，滑块与平板车的速度大小；
(3)c 能上升的最大高度．
1.如图，光滑轨道PQO 的水平段QO＝，轨道在O 点与水平地面平滑连接．一质量为m 的
小物块A 从高h 处由静止开始沿轨道下滑，在O 点与质量为4m 的静止小物块B 发生碰撞．
A、B 与地面间的动摩擦因数均为μ＝0.5，重力加速度为g.假设A、B 间的碰撞为完全弹性
碰撞，碰撞时间极短．求：
(1)第一次碰撞后瞬间A 和B 速度的大小；
(2)请计算说明物块A 与B 能否发生第二次碰撞．
2.如图所示，小球A 放于小球B 正上方(两球直接接触且球心连线竖直)，两小球同时由距水
平地面高度为H 的地方由静止释放，设两小球间碰撞和球B 与地面的碰撞均为弹性碰撞且
作用时间极短，小球B 的质量是小球A 质量的3 倍，忽略两小球大小，不计空气阻力，求
小球A 反弹后能上升的最大高度．
3.(2022·忻州一中月考)如图所示，一水平轻弹簧右端固定在粗糙水平面右侧的竖直墙壁上，
质量为M＝2 kg 的物块静止在水平面上的P 点，质量为m＝1 kg 的小球用长l＝0.9 m 的轻
绳悬挂在P 点正上方的O 点．现将小球拉至轻绳与竖直方向成60°角位置，静止释放．小
球到达最低点时恰好与物块发生弹性正碰．碰后物块向右运动并压缩弹簧，之后物块被弹
回，刚好能回到P 点．设小球与物块只碰撞一次，不计空气阻力，物块和小球均可视为质
点，重力加速度取g＝10 m/s2.求：
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(1)小球第一次摆到最低点与物块碰撞前瞬间对轻绳的拉力大小；
(2)弹簧的最大弹性势能Ep.
4.(2023·山东威海市检测)质量均为m 的木块A 和B，并排放在光滑水平面上，A 上固定一竖
直轻杆，轻杆上端的O 点系一条不可拉伸的长为l 的细线，细线另一端系一个可以看作质
点的球C，质量也为m.现将C 球拉起使细线水平自然伸直，并由静止释放C 球，重力加速
度为g.求：
(1)C 球第一次摆到最低点时的速度大小；
(2)从C 球由静止释放到第一次摆到最低点的过程中，B 移动的距离；
(3)C 球向左摆动的最高点距O 点的竖直高度．
5.如图，一水平放置的圆环形铁槽固定在水平面上，铁槽底面粗糙，侧壁光滑，半径R＝
m，槽内放有两个大小相同的弹性滑块A、B，质量均为m＝0.2 kg.两滑块初始位置与圆心
连线夹角为90°；现给A 滑块一瞬时冲量，使其获得v0＝2 m/s 的初速度并沿铁槽运动，与
B 滑块发生弹性碰撞(设碰撞时间极短)；已知A、B 滑块与铁槽底面间的动摩擦因数μ＝
0.2，g＝10 m/s2；试求：
(1)A、B 第一次相碰过程中，系统储存的最大弹性势能Epm；
(2)A 滑块运动的总路程．
6.如图所示，光滑的水平面上有一质量M＝9 kg 的木板，其右端恰好和光滑固定的圆弧轨
道AB 的底端等高对接(木板的水平上表面与圆弧轨道相切)，木板右端放有一质量m0＝2 kg
的物体C(可视为质点)，已知圆弧轨道半径R＝0.9 m，现将一质量m＝4 kg 的小滑块(可视
为质点)，在轨道顶端A 点由静止释放，滑块滑到B 端后冲上木板，并与木板右端的物体C
粘在一起沿木板向左滑行，最后恰好不从木板左端滑出，已知滑块和物体C 与木板上表面
间的动摩擦因数均为μ＝0.2，取g＝10 m/s2.求：
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(1)滑块到达圆弧的B 端时，轨道对它的支持力大小；
(2)木板的长度l.
7.(2023·云南省高三月考)如图所示，半径R＝1.0 m 的粗糙圆弧轨道固定在竖直平面内，轨
道的上端点B 和圆心O 的连线与水平方向间的夹角θ＝37°，下端点C 为轨道的最低点．C
点右侧的粗糙水平面上，紧挨C 点静止放置一质量M＝1 kg 的木板，木板上表面与C 点等
高，木板左端放置一个质量为m2＝1 kg 的物块，另一质量为m1＝1 kg 的物块从A 点以某一
速度水平抛出，恰好从轨道的B 端沿切线方向进入轨道，到达C 点时对轨道的压力大小为
46 N，之后与质量为m2的物块发生弹性碰撞(碰撞时间极短)，最终质量为m2的物块刚好未
从木板上滑下．已知AO 的竖直高度H＝1.4 m，质量为m2的物块与木板间的动摩擦因数μ1
＝0.4，木板与地面间的动摩擦因数为μ2＝0.1，两物块相同且均可视为质点，sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2.求：
(1)质量为m1的物块到达B 点时的速度大小vB；
(2)质量为m1的物块通过圆弧轨道克服摩擦力做的功W 克f；
(3)木板的长度L.
8.(2022·广东卷·13)某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型．竖直
放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态．当滑块从A 处以初
速度v0为10 m/s 向上滑动时，受到滑杆的摩擦力Ff为1 N，滑块滑到B 处与滑杆发生完全
非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动．已知滑块的质量m＝0.2 kg，滑杆的质
量M＝0.6 kg，A、B 间的距离l＝1.2 m，重力加速度g 取10 m/s2，不计空气阻力．求：
(1)滑块在静止时和向上滑动的过程中，桌面对滑杆支持力的大小FN1和FN2；
(2)滑块碰撞前瞬间的速度大小v1；
(3)滑杆向上运动的最大高度h.
9.如图所示，水平轨道OP 光滑，PM 粗糙，PM 长L＝3.2 m．OM 与半径R＝0.15 m 的竖直
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半圆轨道MN 平滑连接．小物块A 自O 点以v0＝14 m/s 向右运动，与静止在P 点的小物块
B 发生正碰(碰撞时间极短)，碰后A、B 分开，A 恰好运动到M 点停止．A、B 均看作质点．
已知A 的质量mA＝1.0 kg，B 的质量mB＝2.0 kg，A、B 与轨道PM 的动摩擦因数均为μ＝
0.25，g 取10 m/s2，求：
(1)碰后A、B 的速度大小；
(2)碰后B 沿轨道PM 运动到M 所需时间；
(3)若B 恰好能到达半圆轨道最高点N，求沿半圆轨道运动过程损失的机械能．
10.(2022·浙江6 月选考·20)如图所示，在竖直面内，一质量m 的物块a 静置于悬点O 正下
方的A 点，以速度v 逆时针转动的传送带MN 与直轨道AB、CD、FG 处于同一水平面上，
AB、MN、CD 的长度均为l.圆弧形细管道DE 半径为R，EF 在竖直直径上，E 点高度为H.
开始时，与物块a 相同的物块b 悬挂于O 点，并向左拉开一定的高度h 由静止下摆，细线
始终张紧，摆到最低点时恰好与a 发生弹性正碰．已知m＝2 g，l＝1 m，R＝0.4 m，H＝
0.2 m，v＝2 m/s，物块与MN、CD 之间的动摩擦因数μ＝0.5，轨道AB 和管道DE 均光滑，
物块a 落到FG 时不反弹且静止．忽略M、B 和N、C 之间的空隙，CD 与DE 平滑连接，物
块可视为质点，取g＝10 m/s2.
(1)若h＝1.25 m，求a、b 碰撞后瞬时物块a 的速度v0的大小；
(2)物块a 在DE 最高点时，求管道对物块的作用力FN与h 间满足的关系；
(3)若物块b 释放高度0.9 m<h<1.65 m，求物块a 最终静止的位置x 值的范围(以A 点为坐标
原点，水平向右为正，建立x 轴)．
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