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专题15 力学综合题
目录
01.题型综述................................................................错误: 引用源未找到
02.解题攻略................................................................错误: 引用源未找到
题组01 匀变速直线运动规律的应用..................................................................................................... 1
题组02 牛顿运动定律的综合应用.........................................................................................................6
题组03 应用动能定理求解多过程问题...............................................................................................17
题组04 机械能守恒定律的综合应用................................................................................................... 24
题组05 动量观点与能量观点的综合应用...........................................................................................28
03.高考练场..............................................................................42
高考力学计算题思维含量大，但解决问题是有章可循的。
(1)仔细审题，明确题意。审题时要慢、要仔细，尤其要注意一些重要的关键字眼。
(2)计算题一般有二到三问，难度是层层递进的，从感觉最熟悉、最有把握的子过程或图像的物理意义切入，
对研究对象进行受力或运动情况分析，列方程，进而结合题述向前或向后分析其他过程，逐渐扩大“战
场”，步步为营，可化难为易。
(3)可把复杂的问题分解为一个个具体的小问题，充分利用各种手段，把物理情境分析清楚，建立物理模型，
各个击破。
(4)遇到难以突破的，可尝试从不同角度分析。比如某些变力问题，从动力学角度不好突破，可以尝试从能
量转换角度、动量角度等进行分析。
题组01 匀变速直线运动规律的应用
【提分秘籍】
求解匀变速直线运动问题的一般思路
①准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段的运动示意图，直观呈现物体的运动过程．
②明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量以及中间量．
③合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程，同时列出物体各阶段间的关联方程．
热点题型·计算题攻略
1
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(2)追及、相遇或避免碰撞等问题的解题思路
画出运动过程示意图；找出时间关系、速度关系、位移关系并列出方程.
【典例剖析】
【例1-1】（2025·广西·模拟预测）有一列动车从静止状态开始做匀变速直线运动。此时，有一位同学安全
站立在第一节车厢前端的站台前进行观察，当第一节车厢通过这位同学时，历时3s，接下来剩余的车厢通
过这位同学，又历时12s，在此过程中，忽略车厢之间的距离，且车厢的长度是相等的。求：
(1)这列火车共有多少节车厢？
(2)过程中第5 节至第9 节连续5 节车厢经过该同学需要多长时间？
【例1-2】（2025 高三上·山东临沂·期中）某无人机
时刻从地面由静止开始竖直向上先做匀加速直线运
动，一段时间后再做匀减速直线运动，当
时速度减为零到达最高点。下表记录了不同时刻无人机
的速度大小，求
时刻（s）
0
2
4
6
8
10
速度（m/s）
0
4.0
8.0
12.0
12.5
2.5
(1)无人机运动过程中的最大速度
；
(2)无人机到达最高点时离地的高度。
【例1-3】（2025 高三·河北石家庄·期中）图甲所示为一种自动感应门，其门框上沿的正中央安装有传感器，
传感器可以预先设定一个水平感应距离，当人或物体与传感器的水平距离小于或等于水平感应距离时，中
间的两扇门分别向左右平移。当人或物体与传感器的距离大于水平感应距离时，门将自动关闭。图乙为该
感应门的俯视图，O 点为传感器位置，以O 点为圆心的虚线圆半径是传感器的水平感应距离，已知每扇门
的宽度为d，运动过程中的最大速度为，门开启时先做匀加速运动而后立即以大小相等的加速度做匀减
速运动，当每扇门完全开启时的速度刚好为零，移动的最大距离为d，不计门及门框的厚度。
（1）求门从开启到单扇门位移为d 的时间
；
（2）若人以
的速度沿图乙中虚线AO 走向感应门，人到达门框时左右门分别向左向右移动的距离不小
于
，那么设定的传感器水平感应距离R 至少应为多少？
【变式演练】
【变式1-1】．（2025 高三上·云南昆明·阶段练习）一质点做匀加速直线运动，若在某段时间内，质点速度
增加10m/s，位移为20m；紧接着质点速度再增加10m/s 的时间内，质点的位移为40m。求该质点的加速
度大小。
【变式1-2】．（2025 高三上·山东东营·开学考试）如图，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥
2
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筒，锥筒间距
，某同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1 号锥筒运动到2 号锥筒用时
，从2 号锥筒运动到3 号锥筒用时
。求该同学
(1)滑行的加速度大小；
(2)到达3 号锥筒时的速度大小。
(3)最终停在哪两个锥筒之间。
【变式1-3】．纯电动汽车，它是完全由可充电电池提供动力的汽车，已有200 年左右的悠久历史，由于
电池价格高、寿命短、充电时间长等原因，一直没有进入真正的民用领域。近年来由于新材料新技术的发
明改进，使得这种新能源车越来越受到大众的喜爱。如图所示是一辆电动汽车制动做匀减速直线运动时连
续经过的三点A、B、C。已知
，AB 段平均速度是
，BC 段平均速度是
，求电动汽车
在A 点的瞬时速率。
题组02 牛顿运动定律的综合应用
【提分秘籍】
1.动力学基本问题的解题步骤
(1)明确研究对象：根据问题的需要和解题的方便，选择某个物体或某系统作为研究对象。
(2)受力分析：画好受力示意图，选择适当的处理方法求出合力或合力的表达式。
①合成法：合成法适用于受力个数较少(2 个)的情况。
②正交分解法：正交分解法适用于各种情况，尤其是物体的受力个数较多(3 个或3 个以上)时。
(3)运动情况分析：画出运动示意图，明确物体的运动性质和运动过程，求出或设出物体的加速度。
(4)根据牛顿第二定律和运动学规律列式求解。
2．处理多过程动力学问题的“二分析一关键”
(1)“二分析”
①分析研究对象在每个过程的受力情况，并画出受力分析图；
②分析研究对象在每个阶段的运动特点。
(2)“一关键”
前一个过程的结束时刻和状态就是后一个过程的开始时刻和状态，明确两个过程的交接点速度不变往往是
解题的关键。
3.分析“板—块”模型的四点注意
(1)从速度、位移、时间等角度，寻找滑块与滑板之间的联系．
(2)滑块与滑板共速是摩擦力发生突变的临界条件．
3
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(3)滑块与滑板存在相对滑动的临界条件
①运动学条件：若两物体速度不等，则会发生相对滑动．
②力学条件：一般情况下，假设两物体间无相对滑动，先用整体法算出一起运动的加速度，再用隔离法算
出滑块“所需要”的摩擦力Ff，比较Ff与最大静摩擦力Ffm的关系，若Ff>Ffm，则发生相对滑动．
(4)滑块不从滑板上掉下来的临界条件是滑块到达滑板末端时，两者共速．
4.传送带的摩擦力分析
(1)关注两个时刻
①初始时刻：物体相对于传送带的速度或滑动方向决定了该时刻的摩擦力方向。
②物体与传送带速度相等的时刻：摩擦力的大小、方向或性质(滑动摩擦力或静摩擦力)可能会发生突变。
(2)注意过程分解
①摩擦力突变点是加速度突变点，也是物体运动规律的突变点，列方程时要注意不同过程中物理量莫混淆。
②摩擦力突变点对应的状态是前一过程的末状态，也是后一过程的初状态，这是两个过程的连接点。
(3)物体在倾斜传送上运动，物体与传送带速度相同后需比较tanθ 与μ 的大小关系：μ>tanθ，速度相等后一
起匀速；μ<tanθ，速度相等后物体的加速度向下，根据v 与a 的方向关系即可判定运动情况。
【典例剖析】
【例2-1】（2024·福建宁德·三模）如图甲所示，一质量为m=2kg 的小物块从倾角α=37°的斜面上的A 点由
静止开始滑下，最后停在水平面上的C 点。已知小物块与斜面和水平面间的动摩擦因数相同，斜面与水平
面在B 点处平滑连接，小物块滑过斜面与水平面连接处时无机械能损失。从滑块滑上水平面BC 开始计时，
其运动的速度图像如图乙所示。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2。
(1)求物块与水平面间的动摩擦因数；
(2)求A、B 两点间的距离。
【例2-2】传送带广泛应用于生产生活的多种场景。如图所示，足够长的传送带与长度
的滑板在同
一水平面紧密衔接，滑板右端装有厚度不计的挡板，滑板质量
。可视为质点的包裹从传送带左
端无初速度释放，一段时间后冲上滑板。已知包裹的质量
，包裹与传送带的动摩擦因数
，
包裹与滑板的动摩擦因数
，滑板与台面的动摩擦因数
，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，
不计包裹经过衔接处的机械能损失，重力加速度大小取
。
4
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(1)当传送带以速度
顺时针匀速运动时，求包裹与传送带因摩擦产生的热量及包裹相对于滑板滑
动的距离；
(2)为保证包裹不与滑板右端的挡板相撞，求传送带的最大速度。
【例2-3】（2025 高三上·安徽·期中）如图所示，质量M = 1 kg、足够长的木板A 静止在水平地面上，地面
与木板A 之间的动摩擦因数μ1 = 0.2，在A 的左端放置一质量m = 1 kg 的铁块B（可视为质点），B 与A 间
的动摩擦因数μ2 = 0.6，现用一水平恒力F 作用在B 上，初始时木板A 右端距O 点（l = 9 m，当木板A 右
端到达O 点时撤去外力F。重力加速度取g = 10 m/s2，滑动摩擦力等于最大静摩擦力。
(1)要保持A、B 一起做匀加速运动，求力F 的取值范围；
(2)若F = 10 N，求整个过程中铁块相对木板滑行的距离；
(3)若F = 12 N，求从初始到A、B 都相对地面静止过程，整个系统产生的热量。
【变式演练】
【变式2-1】如图，倾角
的足够长光滑斜面固定，长
，质量
的长木板下端靠着插
销置于斜面上，下端上表面放有一质量
的物块（视为质点），不可伸长的伸直细线一端连接物块，
一端栓在固定挡板上。零时刻拔去插销，0.9s 末将细线剪断。已知物块与木板间的动摩擦因数
，最
大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度
。
(1)求0.2s 末细线对物块的拉力大小。
(2)求0.9s 末长木板的速度大小。
(3)在木板下滑的过程中，系统产生的热量是多少。
【变式2-2】．（2025 高三上·陕西咸阳·阶段练习）利用倾斜传送带可将货物向上运送，如图所示，传送带
与水平面夹角为θ，传送带沿顺时针匀速运行的速度为3 m/s，货物与传送带间的动摩擦因数为0.75，重力
加速度g 取10 m/s2，不计货物的大小，tan37° = 0.75。
(1)要使货物由静止释放在传送带上后能随传送带向上运动，则θ 应满足什么条件？
(2)当θ = 24°时，将货物由静止释放在传送带底端，货物运动到传送带顶端时恰好与传送带共速，则传送带
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的长度为多少（取sin24° = 0.4，cos24° = 0.9）
【变式2-3】．（2025 高三上·四川雅安·阶段练习）如图所示，静止的粗糙传送带与水平面夹角为
，
平行于传送带的轻绳一端连接质量为
的小物体A，另一端跨过光滑定滑轮连接质量为
的小
物体B，在外力的作用下，小物体A 静止于传送带的顶端。
时，撤去外力，传送带以速度
顺
时针匀速转动；
时，小物体A 到达传送带的底端。已知小物体A 与传送带间的动摩擦因数为
，
小物体B 始终未与定滑轮相撞，重力加速度大小为g 取
，sin37°取
，cos37°取
。求：
(1)
时，轻绳内张力T；
(2)传送带顶端到底端的长度L。
【变式2-4】．如图所示，长为
的传送带水平放置，并保持
的速度顺时针匀速转动，其右端与一
倾角
的斜面平滑相连，B 为其最左端，斜面的长度
。一小滑块（可视为质点）在斜面顶点
处由静止释放，从A 点进入传送带，在传送带上运动一段时间后恰好不从传送带左端滑落。已知滑块与斜
面间的动摩擦因数
，滑块与传送带间的动摩擦因数
，
，
，重力加
速度
，忽略滑块经过A 点时的能量损失。求：
（1）滑块由静止释放至第一次经过A 点所用的时间t；
（2）传送带
段的长度
。
题组03 应用动能定理求解多过程问题
【提分秘籍】
运用动能定理需注意的问题
(1)应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无需深究物体运动过程中状态变化的细节，只需考虑整个过
程的功及过程初末的动能．
(2)若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是
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全过程都作用的，必须根据不同的情况分别对待求出总功，计算时要把各力的功连同正负号一同代入公式.
【典例剖析】
【例3-1】如图所示为摩托车特技表演轨道示意图，
段为水平平台，
段为一壕沟，
段为位于竖
直平面内的圆弧轨道。运动员骑摩托车在
段加速后从B 点水平飞出，越过壕沟后从C 点沿切线进入圆
弧轨道
，圆弧轨道的半径
与竖直方向的夹角为53°。若B、C 两点的竖直高度差为
，圆弧
轨道
的半径
，运动员和摩托车总质量为
且可视为质点，通过圆弧轨道最低点D 时
对轨道的压力大小为
，取重力加速度
，
，
，不计空气阻力。求：
(1)B、C 两点间的水平距离；
(2)从C 到D 的过程中，运动员和摩托车克服摩擦力做的功。
【例3-2】（2025 高三上·广东汕头·期中）如图所示，一小圆环A 套在一条均匀直杆B 上，A 的质量为m，
B 的质量为2m，它们之间的滑动摩擦力f = 0.5mg（g 为所处区域的重力加速度），开始时A 处于B 的下端，
B 竖直放置，在A 的下方与A 相距为h 处，存在一个“相互作用”区域C，区域C 的高度为d，固定在地面
上方的空中（如图划有虚线的部分），当A 进入区域C 时，A 就受到一个方向竖直向上、大小F = 3mg 的
恒力作用，区域C 对直杆B 不产生作用力，让A 和B 一起由静止开始下落，已知A 首次进入区域C 内运动
直到离开过程始终没有脱离直杆且直杆也没有碰到地面，不计空气阻力。
(1)若A 从区域C 下方离开“相互作用”区，求A 离开区域C 时的速度v 的大小，并求高度d 与h 之间满足
的关系；
(2)若高度d 分别取两个不同值
和
，试求这两种不同情况下，直杆B 的长度l 分别应满足的条件。
【例3-3】（2025 高三上·安徽·阶段练习）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角θ = 37°的直轨道AB，
半径R = 1 m、圆心角为2θ 的圆弧BCD，半径为R、圆心角为θ 的圆弧DE 组成，轨道间平滑连接。质量
为m = 0.5 kg 的物块从轨道AB 上距B 高度为h 处静止释放，经圆弧轨道BCD 滑上轨道DE。物块与轨道
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AB 间的动摩擦因数μ = 0.5，圆弧轨道均光滑，物块可视为质点，取重力加速度g = 10 m/s2，sin37° = 0.6，
cos37° = 0.8。求：
(1)若h = 0.3 m，物块第一次通过C 点时对轨道的压力大小；
(2)h 为多少时物块刚好可以沿轨道运动到E 点。
【变式演练】
【变式3-1】（2025 高三上·福建泉州·期中）如图所示，水平轨道BC 的右端与高度
固定光滑斜面
轨道AB 在B 点平滑连接，左端与一倾角为
的光滑斜面轨道CE 在C 点平滑连接，E 处固定一劲度
系数
的轻质弹簧。一质量为
的滑块从A 点由静止释放，经BC 后滑上CE 并压缩弹簧，
第一次可将弹簧压缩至D 点。已知BC 长为
，滑块与BC 的动摩擦因数
，CD 长为
，
g 取
，弹簧的弹性势能满足公式
，其中k 为劲度系数，x 为形变量。求：
(1)滑块第一次经过B 点时的速率；
(2)滑块运动到的D 点的加速度大小；
(3)滑块最终停在距B 点多远的位置。
【变式3-2】．（2025 高三上·宁夏银川·期中）如图，将一轻质弹簧水平放置在光滑水平面上，一端固定在
A 点，另一端与质量为
的小球P 接触但不拴连。若用外力缓慢推动P 到某一位置时，撤去外力，P
被弹出运动一段时间后从B 点水平飞出，恰好从固定在竖直面内的粗糙圆弧轨道上的C 点以
的速
度沿切线进入圆弧轨道，并恰能经过圆弧轨道的最高点D。已知圆弧轨道的半径
，O、C 两点的连
线与竖直方向的夹角
。小球P 视为质点，重力加速度g 取
，
，
，不
计空气阻力。求：
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(1)撤去外力时弹簧的弹性势能以及B、C 两点的水平距离x；
(2)小球从C 点运动到D 点的过程中，轨道阻力做的功
。
【变式3-3】．（2025·四川成都·模拟预测）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角
的直轨道
，
半径
、圆心角为
的圆弧
，半径为
，圆心角为
的圆弧
组成，轨道末端的
点为圆弧的
最高点，轨道间平滑连接。质量
的物块
从轨道
上高度
处以初速度
下滑，经圆弧轨
道
滑上轨道
。物块
与轨道
间的动摩擦因数
，其余轨道光滑。（不计空气阻力，物块
视为质点，
，
，
）
(1)若初速度
，求物块
第一次通过
点时速度大小
；
(2)若初速度
，求物块
在轨道
上运动的总路程；
(3)若物块
沿轨道
从
点滑出，
应满足什么条件？
题组04 机械能守恒定律的综合应用
【提分秘籍】
一 机械能守恒定律的三种表达形式及注意问题
1．守恒观点
(1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
(2)注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔEk＝－ΔEp.
(2)注意问题：要明确势能的增加量或减少量，即势能的变化，可以不选取零势能参考平面．
3．转移观点
(1)表达式：ΔEA 增＝ΔEB 减．
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(2)注意问题：A 部分机械能的增加量等于A 部分末状态的机械能减初状态的机械能，而B 部分机械能的减
少量等于B 部分初状态的机械能减末状态的机械能．
二 应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)选取研究对象
(2)分析研究对象在运动过程中的受力情况，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒．
(3)选取零势能面，确定研究对象在初、末状态的机械能．
(4)根据机械能守恒定律列出方程．
(5)解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明．
【典例剖析】
【例4-1】（2025 高三上·江苏南通·阶段练习）轻质弹簧一端固定在地面上，另一端连接物体A，一轻绳跨
过定滑轮分别与A、B 两物体相连接。手托着B，轻绳恰好伸直且无张力，由静止释放B 后，A、B 在竖直
方向运动，A、B 均不会与滑轮和地面相碰。已知A、B 质量分别为m、2m，弹簧劲度系数为k，原长为
，
始终处于弹性限度内，重力加速度为g，不计阻力。求：
(1)刚释放B 时弹簧的长度L；
(2)A 运动中的最大速度v；
(3)B 运动到最低点时的加速度大小a。
【变式演练】
【变式4-1】如图所示是为了检验某种防护罩承受冲击力的装置，M 是半径为R＝1.0 m 的固定在竖直平面
内的光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平．N 为待检验的固定曲面，该曲面在竖直面内的截面为半径r＝ m
的圆弧，圆弧下端切线水平且圆心恰好位于M 轨道的上端点．M 的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可
发射速度不同的质量为m＝0.01 kg 的小钢珠．假设某次发射的钢珠沿轨道恰好能经过M 的上端点，水平飞
出后落到曲面N 的某一点上，取g＝10 m/s2.问：
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(1)发射该钢珠前，弹簧的弹性势能Ep多大？
(2)钢珠落到圆弧N 上时的动能Ek多大？(结果保留两位有效数字)
【变式4-2】如图所示，ABC 和DEF 是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC 的末端水平，DEF 是
半径为r＝0.4 m 的半圆形轨道，其直径DF 沿竖直方向，C、D 可看做重合的点．现有一可视为质点的小球
从轨道ABC 上距C 点高为H 的地方由静止释放．(g 取10 m/s2)
(1)若要使小球经C 处水平进入轨道DEF 且能沿轨道运动，H 至少多高？
(2)若小球静止释放处离C 点的高度h 小于(1)中H 的最小值，小球可击中与圆心等高的E 点，求h.
题组05 动量观点与能量观点的综合应用
【提分秘籍】
1．动量守恒定律
表达式：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′；或p＝p′(系统相互作用前总动量p 等于相互作用后总动量p′)；或Δp＝
0(系统总动量的增量为零)；或Δp1＝－Δp2(相互作用的两个物体组成的系统，两物体动量的增量大小相等、
方向相反)．
2．力学规律的选用原则
多个物体组成的系统：优先考虑两个守恒定律，若涉及碰撞、爆炸、反冲等问题时，应选用动量守恒定律，
然后再根据能量关系分析解决．
3.动量和能量综合问题的主要情境模型为：碰撞、滑块在滑板上滑动和爆炸．
(1)碰撞过程满足动量守恒并遵循碰撞后系统动能不增加、碰撞前后的运动情况要合理的原则．
(2)滑块放置在光滑水平地面的滑板上滑动时，滑块和滑板组成的系统满足动量守恒，滑块和滑板之间因摩
擦生热，故系统机械能减少，一般利用功能关系(即摩擦产生的热量等于系统动能的减少量)列方程求解.
【典例剖析】
【例5-1】（2024·安徽·模拟预测）如图所示，质量为3m、半径为R 的四分之一光滑圆弧体b 静止在光滑
的水平面上，圆弧面的最低点与水平面上的A 点对齐，且与水平面相切，轻质弹簧的右端与静止的质量为
3m 的物块c 相连，左端与水平面上的B 点对齐，AB 部分长为R，弹簧处于原长，水平面仅A、B 部分粗糙。
现将质量为m、可视为质点的物块a 从圆弧面的最高点由静止释放，物块a 与弹簧作用，第二次滑过AB 段
后，恰好不再能滑上圆弧面。已知弹簧的形变在弹性限度内，重力加速度大小为g，不计空气阻力，求：
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(1)物块a 从释放运动到圆弧面最低点时，圆弧体运动的距离为多少；
(2)物块a 第一次运动到A 点时速度多大；
(3)物块a 与水平面AB 部分间的动摩擦因数。
【例5-2】．（2025 高三上·天津河西·阶段练习）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有
粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点。物块静止于小车最
左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O 点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置，
静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿小车上的轨道运动。已知细线
长L=1.25m。小球质量m=0.20kg。物块、小车质量均为M=0.30kg。小车上的水平轨道长s=1.0m。圆弧轨
道半径R=0.15m。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g 取
。
(1)求小球运动到最低点与物块碰撞前，所受拉力的大小；
(2)求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
(3)为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数μ 的取值范围。
【例5-3】．（2025 高三上·甘肃白银·阶段练习）在高度为h 的光滑水平平台左侧竖直面内固定一光滑
圆
弧轨道，轨道与平台相切于最低点。平台右侧是一下挖深度为d 的光滑水平槽，在水平槽上放置一个厚度
为d 的长木板，长木板质量
，长木板左端放置一个质量为m 的小物块（可视为质点），如图。一质
量为
的小球从光滑
圆弧轨道最高点由静止释放，小球运动到平台后与长木板上的小物块发生弹性碰撞，
碰撞后小物块获得水平向右的速度
，小球反弹后被立即拿走。当小物块在长木板上滑动到长木板最右端
时，小物块与长木板恰好达到共速，长木板右端到达平台边缘后立即被锁定，小物块水平飞出。已知重力
加速度为g，小物块与长木板间的动摩擦因数为
，空气阻力不计。求：
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(1)光滑
圆弧轨道的半径R；
(2)长木板的长度；
(3)小物块落地点到平台边缘的水平距离。
【例5-4】（2025 高三上·重庆北碚·阶段练习）如图所示，表面光滑的水平轨道左端与长L = 1.25 m 的水平
传送带平滑相接，传送带以v0 = 1 m/s 的恒定速率逆时针匀速运动。水平轨道右侧的竖直墙上固定一轻弹
簧，现用质量m = 0.1 kg 的小物块（可视为质点）将弹簧向右压缩到某一位置（弹簧处于弹性限度范围
内），由静止开始释放小物块，小物块到达水平传送带左端B 点后，立即沿切线进入固定的竖直光滑半圆
轨道最高点，并恰好沿半径R = 0.4 m 的半圆轨道做圆周运动，最后经圆周最低点C，滑上质量为M = 0.9
kg 的长木板上，若物块与传送带间动摩擦因数μ1 = 0.8，物块与木板间动摩擦因数μ2 = 0.25，g 取10
m/s2。求：
(1)小物块到达B 点时速度vB的大小；
(2)小物块刚滑上水平传送带A 点时的动能Ek；
(3)若木板和地面之间动摩擦因数μ3 < 0.025，要使小物块恰好不会从长木板上掉下，则木板长度s 与木板和
地面之间动摩擦因数μ3应满足什么关系（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。
【变式演练】
【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）如图所示，光滑曲面末端水平，固定于水平面上。曲面右侧紧靠一足
够长的木板C，木板上表面粗糙，与曲面末端等高，下表面光滑，木板右侧有一竖直墙壁P。物块A 置于
曲面距末端高h = 0.2 m 处，物块B 置于木板左端。已知物块A、B 均可视为质点，质量均为6 kg，长木板
C 的质量为2 kg，B、C 间的动摩擦因数μ = 0.1，取g = 10 m/s2。物块A 由静止释放，与B 发生弹性碰撞
（不考虑物块A 的后续运动），之后C 与B 第一次共速时恰好与墙壁P 发生碰撞，碰后C 被原速率弹回，
所有碰撞时间均极短。求：
(1)物块A、B 碰后瞬间，B 的速度大小；
(2)木板C 初始位置右端与墙壁P 的距离；
(3)木板C 从与墙壁P 第4 次碰撞前瞬间到木板C 与物块B 第5 次共速瞬间的时间间隔；
(4)从木板C 开始运动到停止运动的总路程。
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【变式5-2】．（2025 高三上·四川成都·阶段练习）如图所示为某一游戏装置的示意图。装置由水平传送带、
竖直光滑圆轨道、水平轨道组成，水平直轨道BC、EF 相接于C、E 两点，C 与E 前后略错开，可视为质
点的物块能从C 点进入圆轨道内侧运动，轨道各部分平滑连接。已知传送带以v=6m/s 的速度顺时针匀速
转动，AB 两端距离L1=5m，EF 长L2=1.8m，OM 为水平地面，F 点位于O 点正上方H＝1.25m 处。将质量
m＝0.2 kg 物块从传送带左端A 点静止释放，物块滑上竖直圆轨道后能经过最高点D 并从E 点进入水平轨
道EF，并从F 点离开。物块与传送带AB、水平轨道EF 之间的动摩擦因数均为μ＝0.25，BC 部分光滑，
重力加速度g=10m/s2。求：
(1)物块从A 点运动至B 点的时间；
(2)物块在水平地面上的落点与O 点的水平距离；
(3)圆轨道半径R 需满足的条件。
(4)物块在AB 段运动时，传送带对物块的作用力冲量大小。
【变式5-3】．（2025 高三上·广东广州·阶段练习）如图所示，轻质弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一
质量
、半径
的四分之一光滑圆弧轨道
（厚度不计）静置于水平地面上。圆弧轨
道底端
与水平面上的
点平滑相接，
为圆弧轨道圆心。用质量为
的物块把弹簧的右端压缩
到
点由静止释放（物块与弹簧不拴接），此时弹簧的弹性势能为
。已知B 点左侧地面粗糙，物
块与地面之间的动摩擦因数为
，
、
之间的距离为
，
点右侧地面光滑，
取
。
(1)求释放后，物块在圆弧轨道能上升的最大高度；
(2)若该物块质量变为
，物块到达
点时以
速度冲向圆弧轨道，求滑块在D 点竖直速度
；
(3)在第（2）问基础上，当物块离开轨道
点时施加一垂直向里的瞬时冲量
，同时锁定轨道让
其瞬间停下，求物块运动到最高点到
点的距离。（提示：立体空间问题）
【变式5-4】．（2025 高三上·山东·阶段练习）如图所示，足够长的光滑水平面上有一个固定的光滑斜面，
斜面末端与水平面平滑连接。mB = mC = 3mA = 3 kg，B 的右端固定一个自由伸长的轻弹簧，B、C 分开一定
的距离静止于水平面。从距离地面高0.8 m 处静止释放A 物块。此后A、B 分开后（A 脱离弹簧），B、C 碰
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撞并粘在一起。已知弹簧一直在弹性限度之内，重力加速度g = 10 m/s2。求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)物块A 全过程损失的机械能。
【变式5-5】．（2025 高三上·陕西汉中·阶段练习）如图，质量
的轨道静止在光滑水平面上，轨道
水平部分上表面粗糙、竖直半圆形部分的表面光滑、半径
，两部分在P 点平滑连接，Q 为轨道的
最高点。初始时质量
的小物块静置在轨道最左端，与轨道水平部分间的动摩擦因数为
，最
大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取
。
(1)若轨道固定，物块沿轨道运动到Q 点时速度为3m/s，求此时物块对轨道的压力大小；
(2)若轨道不固定，给物块施加方向水平向右、大小为8N 的推力F，当物块到达P 点时立即撤去F，物块恰
能到达轨道上与圆心O 点等高处，求物块最终速度v 的大小。
1．（2024·广西·高考真题）如图，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒，锥筒间距
，
某同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1 号锥筒运动到2 号锥筒用时
，从2 号锥筒运动到
3 号锥筒用时
。求该同学
（1）滑行的加速度大小；
（2）最远能经过几号锥筒。
2．（2024·宁夏四川·高考真题）为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从
时由静止开
始做匀加速运动，加速度大小
，在
时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止
鸣笛，
时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速
，求：
（1）救护车匀速运动时的速度大小；
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（2）在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。
3．（2024·天津·高考真题）如图所示，光滑半圆轨道直径沿竖直方向，最低点与水平面相切。对静置于轨
道最低点的小球A 施加水平向左的瞬时冲量I，A 沿轨道运动到最高点时，与用轻绳悬挂的静止小球B 正碰
并粘在一起。已知I = 1.8 N∙s，A、B 的质量分别为mA = 0.3 kg、mB = 0.1 kg，轨道半径和绳长均为R = 0.5
m，两球均视为质点，轻绳不可伸长，重力加速度g 取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)与B 碰前瞬间A 的速度大小；
(2)A、B 碰后瞬间轻绳的拉力大小。
4．（2024·新疆河南·高考真题）如图，一长度
的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右
端与平台的边缘O 对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离
时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O 点。已知物块与薄板的
质量相等。它们之间的动摩擦因数
，重力加速度大小
。求
（1）物块初速度大小及其在薄板上运动的时间；
（2）平台距地面的高度。
5．（2024·江苏·高考真题）如图所示，粗糙斜面的动摩擦因数为μ，倾角为θ，斜面长为L。一个质量为m
的物块(可视为质点）在电动机作用下，从斜面底端 A 点由静止加速至 B 点时达到最大速度v，之后做匀
速运动至C 点，关闭电动机，物块恰好到达最高点D。重力加速度为g，不计电动机消耗的电热。求：
（1）CD 段长x；
（2）BC 段电动机的输出功率P；
（3）全过程存储的机械能E1和电动机消耗的总电能 E2的比值。
6．（2024·广东·高考真题）汽车的安全带和安全气囊是有效保护乘客的装置。
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（1）安全带能通过感应车的加速度自动锁定，其原理的简化模型如图甲所示。在水平路面上刹车的过程
中，敏感球由于惯性沿底座斜面上滑直到与车达到共同的加速度a，同时顶起敏感臂，使之处于水平状态，
并卡住卷轴外齿轮，锁定安全带。此时敏感臂对敏感球的压力大小为F N，敏感球的质量为m，重力加速度
为g。忽略敏感球受到的摩擦力。求斜面倾角的正切值
。
（2）如图乙所示，在安全气囊的性能测试中，可视为质点的头锤从离气囊表面高度为H 处做自由落体运
动。与正下方的气囊发生碰撞。以头锤到气囊表面为计时起点，气囊对头锤竖直方向作用力F 随时间t 的
变化规律，可近似用图丙所示的图像描述。已知头锤质量
，重力加速度大小取
。求：
①碰撞过程中F 的冲量大小和方向；
②碰撞结束后头锤上升的最大高度。
7．（2024·贵州·高考真题）如图，半径为
的四分之一光滑圆轨道固定在竖直平面内，其末端与水
平地面
相切于P 点，
的长度
。一长为
的水平传送带以恒定速率
逆时针转
动，其右端与地面在M 点无缝对接。物块a 从圆轨道顶端由静止释放，沿轨道下滑至P 点，再向左做直线
运动至M 点与静止的物块b 发生弹性正碰，碰撞时间极短。碰撞后b 向左运动到达传送带的左端N 时，瞬
间给b 一水平向右的冲量I，其大小为
。以后每隔
给b 一相同的瞬时冲量I，直到b 离开传送
带。已知a 的质量为
的质量为
，它们均可视为质点。a、b 与地面及传送带间的动摩擦
因数均为
，取重力加速度大小
。求：
(1)a 运动到圆轨道底端时轨道对它的支持力大小；
(2)b 从M 运动到N 的时间；
(3)b 从N 运动到M 的过程中与传送带摩擦产生的热量。
8．（2024·重庆·高考真题）如图所示，M、N 两个钉子固定于相距a 的两点，M 的正下方有不可伸长的轻
质细绳，一端固定在M 上，另一端连接位于M 正下方放置于水平地面质量为m 的小木块B，绳长与M 到
地面的距离均为10a，质量为2m 的小木块A，沿水平方向于B 发生弹性碰撞，碰撞时间极短，A 与地面间
摩擦因数为
，重力加速为g，忽略空气阻力和钉子直径，不计绳被钉子阻挡和绳断裂时的机械能损失。
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(1)若碰后，B 在竖直面内做圆周运动，且能经过圆周运动最高点，求B 碰后瞬间速度的最小值；
(2)若改变A 碰前瞬间的速度，碰后A 运动到P 点停止，B 在竖直面圆周运动旋转2 圈，经过M 正下方时细
绳子断开，B 也来到P 点，求B 碰后瞬间的速度大小；
(3)若拉力达到12mg 细绳会断，上下移动N 的位置，保持N 在M 正上方，B 碰后瞬间的速度与（2）问中的
相同，使B 旋转n 圈。经过M 正下的时细绳断开，求MN 之间距离的范围，及在n 的所有取值中，B 落在
地面时水平位移的最小值和最大值。
9．（2024·浙江·高考真题）一弹射游戏装置竖直截面如图所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径为R 的
光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE 平滑连接。长为L、质量为M 的平板紧靠长为d 的固定凹槽
EFGH 侧壁EF 放置，平板上表面与DEH 齐平。将一质量为m 的小滑块从A 端弹射，经过轨道BCD 后滑
上平板并带动平板一起运动，平板到达HG 即被锁定。已知R=0.5 m，d=4.4 m，L=1.8 m，M=m=0.1 kg，平
板与滑块间的动摩擦因数μ1=0.6、与凹槽水平底面FG 间的动摩擦因数为μ2。滑块视为质点，不计空气阻
力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度
。
（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C 时，求滑块离开弹簧时速度v0的大小；
（2）若μ2=0，滑块恰好过C 点后，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
（3）若μ2=0.1，滑块能到达H 点，求其离开弹簧时的最大速度vm。
10．（2024·海南·高考真题）某游乐项目装置简化如图，A 为固定在地面上的光滑圆弧形滑梯，半径
，滑梯顶点a 与滑梯末端b 的高度
，静止在光滑水平面上的滑板B，紧靠滑梯的末端，并与
其水平相切，滑板质量
，一质量为
的游客，从a 点由静止开始下滑，在b 点滑上滑板，
当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，并在平台上滑行
停下。游
客视为质点，其与滑板及平台表面之间的动摩擦系数均为
，忽略空气阻力，重力加速度
，
求：
（1）游客滑到b 点时对滑梯的压力的大小；
（2）滑板的长度L
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11．（2024·甘肃·高考真题）如图，质量为2kg 的小球A（视为质点）在细绳
和OP 作用下处于平衡状
态，细绳
，与竖直方向的夹角均为60°。质量为6kg 的木板B 静止在光滑水平面上，质量
为2kg 的物块C 静止在B 的左端。剪断细绳
，小球A 开始运动。（重力加速度g 取
）
（1）求A 运动到最低点时细绳OP 所受的拉力。
（2）A 在最低点时，细绳OP 断裂。A 飞出后恰好与C 左侧碰撞（时间极短）、碰后A 竖直下落，C 水平
向右运动。求碰后C 的速度大小。
（3）A、C 碰后，C 相对B 滑行4m 后与B 共速。求C 和B 之间的动摩擦因数。
12．（2024·山东·高考真题）如图甲所示，质量为M 的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面
粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P 点平滑连接，Q 为轨道的最高点。质量为m 的小物块静置
在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部
分的半径
，重力加速度大小
。
（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q 点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物
块在Q 点的速度大小v；
（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a 与F 对应
关系如图乙所示。
（i）求μ 和m；
（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力
，当小物块到P 点时撤去
F，小物块从Q 点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长度L。
13．（2024·湖北·高考真题）如图所示，水平传送带以5m/s 的速度顺时针匀速转动，传送带左右两端的距
离为
。传送带右端的正上方有一悬点O，用长为
、不可伸长的轻绳悬挂一质量为0.2kg 的小球，
小球与传送带上表面平齐但不接触。在O 点右侧的P 点固定一钉子，P 点与O 点等高。将质量为0.1kg 的
小物块无初速轻放在传送带左端，小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，碰后瞬间小物块的速度
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大小为
、方向水平向左。小球碰后绕O 点做圆周运动，当轻绳被钉子挡住后，小球继续绕P 点向上运
动。已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.5，重力加速度大小
。
（1）求小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小；
（2）求小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能；
（3）若小球运动到P 点正上方，绳子不松弛，求P 点到O 点的最小距离。
14．（2024·安徽·高考真题）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光
滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用
不可伸长的轻质细线悬挂于O 点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，
小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长
。
小球质量
。物块、小车质量均为
。小车上的水平轨道长
。圆弧轨道半径
。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g 取
。
（1）求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
（2）求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
（3）为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数
的取值
范围。
15．（2024·辽宁·高考真题）如图，高度
的水平桌面上放置两个相同物块A、B，质量
。A、B 间夹一压缩量
的轻弹簧，弹簧与A、B 不栓接。同时由静止释放A、B，
弹簧恢复原长时A 恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程
；B 脱离弹簧后沿桌面滑行一段距
离
后停止。A、B 均视为质点，取重力加速度
。求：
（1）脱离弹簧时A、B 的速度大小
和
；
（2）物块与桌面间的动摩擦因数μ；
（3）整个过程中，弹簧释放的弹性势能
。
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16．（2024·湖南·高考真题）如图，半径为R 的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为mA和mB的小球A 和
B（mA>mB）。初始时小球A 以初速度v0沿圆环切线方向运动，与静止的小球B 发生碰撞。不计小球与圆环
之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。
（1）若小球A 与B 碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大小；
（2）若小球A 与B 之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量
比
。
（3）若小球A 与B 之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e 倍
（0<e<1） ，求第1 次碰撞到第2n+1 次碰撞之间小球B 通过的路程。
17．（2024·浙江·高考真题）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角
的直轨道
，半径
的圆弧轨道
，长度
、倾角为
的直轨道
，半径为R、圆心角为
的圆弧管道
组成，
轨道间平滑连接。在轨道末端F 的右侧光滑水平面上紧靠着质量
滑块b，其上表面与轨道末端F
所在的水平面平齐。质量
的小物块a 从轨道
上高度为h 静止释放，经圆弧轨道
滑上轨道
，轨道
由特殊材料制成，小物块a 向上运动时动摩擦因数
，向下运动时动摩擦因数
，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a 在滑块b 上滑动时动摩擦因数恒为
，小物块a
运动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，
，
）
（1）若
，求小物块
①第一次经过C 点的向心加速度大小；
②在
上经过的总路程；
③在
上向上运动时间
和向下运动时间
之比。
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（2）若
，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。
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