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第38 讲 带电粒子在电场中运动的综合问题
目录
01 模拟基础练
【题型一】等效重力场
【题型二】力电综合
02 重难创新练
【题型一】等效重力场
1．如图所示，一根不可伸长的绝缘细线一端固定于O 点，另一端系一带正电小球，置于水平向右的匀强
电场中。已知绳长L，小球质量为m，电荷量为q，现把小球从A 点由静止释放，刚好能到达水平最高点B
处，重力加速度为g，则下列说法不正确的是（ ）
A．小球所受的电场力大小为
B．从A 到B 过程中，小球的机械能增加了
C．从A 到B 过程中，小球的动能最大为
D．从A 到B 过程中，绳子的最大拉力为
【答案】D
【详解】A．根据题意，设小球所受的电场力大小为
，由动能定理有
解得
故A 正确；
B．从A 到B 过程中，电场力做正功，大小为
由功能关系可知，小球的机械能增加了
，故B 正确；
CD．根据题意可知，电场力与重力的合力为
1
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方向与竖直方向成
斜向下，当该合力与绳子共线时，小球速度最大，绳子拉力最大，根据牛顿第二定
律
由动能定理有
联立解得
，
故C 正确，D 错误。
本题选不正确的，故选D。
2．如图所示，一光滑绝缘半圆轨道固定在竖直平面内，与光滑绝缘水平面相切于B 点，半圆轨道的半径
为R。整个空间存在水平向右的匀强电场，场强大小为
，一带正电小球质量为m、电荷量为q，从
A 点以一定的初速度向B 点运动，经过B 点后恰能不脱离轨道运动到轨道的最高点C，小球从轨道最高点
C 飞出后落到水平面上的F 点（图中未标出）。已知重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，以初始位
置为重力势能的零势能面，下列说法正确的是（ ）
A．小球在C 点的速度大小为
B．小球在B 点对轨道的压力大小为
C．小球的机械能最小值为
D．F 点与B 点的水平距离为
【答案】C
【详解】A．由于小球经过B 点后恰能不脱离轨道运动到轨道的最高点C，如图所示
2
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在D 点，有
小球从D 点到C 点，由动能定理得
解得
故A 错误；
B．小球从B 点到C 点，由动能定理得
解得
在B 点，有
解得
根据牛顿第三定律可得，小球在B 点对轨道的压力大小为
，故B 错误；
C．根据能量守恒定律可知，当小球运动到圆心等高处时电势能最大，机械能最小，则从B 点到圆心等高
处，有
3
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联立解得
故C 正确；
D．小球离开C 点后，在竖直方向上做自由落体运动，水平方向上在电场力的作用下做匀加速直线运动，
设小球从C 点到F 点的运动时间为t，水平方向的加速度为a，F 点到B 点的水平距离为x，则
联立解得
故D 错误。
故选C。
3．（多选）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、带正电的电荷量为q 的小球，系在
一根长为R 的绝缘细线的一端，可以在竖直平面内绕O 点做圆周运动。AB 为圆周的水平直径，CD 为竖直
直径。已知重力加速度的大小为g，电场强度
。若小球恰能在竖直平面内绕O 点做圆周运动，不
计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到C 点时细线的拉力最大
B．小球运动到B 点时的电势能最大
C．小球运动到B 点时的机械能最大
D．小球运动过程中的最小速度为
【答案】CD
【详解】AD．带正电的电荷量为q 的小球受到的电场力大小为
则重力和电场力的合力大小为
重力和电场力的合力方向与竖直方向的夹角满足
4
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可得
如图所示
可知小球运动等效最低点
时速度最大，细线的拉力最大；小球运动等效最高点
时速度最小，则有
解得小球运动过程中的最小速度为
故A 错误，D 正确；
BC．从小球从A 到B 过程，电场力对小球一直做正功，小球电势能减小，小球从B 到A 过程，电场力对小
球一直做负功，小球电势能增大，则小球运动到B 点时的电势能最小，小球运动到B 点时的机械能最大，
故B 错误，C 正确。
故选CD。
4．（多选）如图所示，半径为R 的光滑绝缘圆环固定于竖直平面内，a 为圆环的最低点，c 为圆环的最高
点，b 点与圆心О 等高，该空间存在与圆环平面平行的匀强电场。质量为m、带电量为+q 的小球Р 套在圆
环上，沿环做圆周运动，通过a、b、c 三点时的速度大小分别为
、
、
（重力加速度为g，空气阻力不计）.下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场方向水平向左
B．匀强电场场强大小
C．小球运动过程中对圆环的最小压力为0
D．小球运动过程中在b 处与地球组成的系统有最大的机械能
5
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【答案】BCD
【详解】A．从最低点到最高点
解得
故ac 连线为等势线，从a 到b，有
解得
电场线垂直于等势线，且沿电场线方向电势逐渐降低，故匀强电场方向水平向右，故A 错误；
B．匀强电场场强大小为
故B 正确；
C．电场力
当电场力与重力合力与圆心在一条直线上时，对圆环的压力达到最大和最小，根据几何关系可知，最小速
度
根据牛顿第二定律
解得最小支持力为0，根据牛顿第三定律可知，小球运动过程中对圆环的最小压力为0，故C 正确；
D．小球在b 处的电势能最小，根据能量守恒定律可知，小球运动过程中在b 处与地球组成的系统有最大
的机械能，故D 正确。
故选BCD。
5．（多选）如图所示，在水平向左的匀强电场中，一长为L 的绝缘细线一端固定于O 点，另一端系着一
个质量为m、电荷量为q 的带正电小球，小球静止在M 点。现给小球一垂直于OM 的初速度v0，使其在竖
直平面内绕O 点恰好做完整的圆周运动，AB 为圆的竖直直径。已知匀强电场的场强大小为
，重力加
速度为g。当小球第二次运动到B 点时细线突然断裂，则下列说法正确的是（ ）
6
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A．小球做完整的圆周运动时，粒子初速度的最小值
B．细线断裂后，小球速度的最小值为
C．从细线断裂到小球的动能与B 点动能相等的过程中，电势能增加了
D．从细线断裂到小球的电势能与B 点电势能相等的过程中，重力势能减少了2mgL
【答案】AB
【详解】A．由题意等效最高点在OM 连线的反向延长线与圆周的交点上，如图
设为N，则电场力和重力的等效合力为
所以
从M 点到N 点由动能定理
解得粒子初速度的最小值
故A 正确；
B．电场力和重力的合力方向与水平方向的夹角为
7
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可知
从M 点到B 点，由动能定理
解得
解得细线断裂后，小球做类平抛运动，当速度最小时到达“最高点”，则速度的最小值为
故B 正确；
C．细线从B 点断裂，当到达
连线上某点动能与B 点动能相等，因为到达圆周上的
点时，克服电场
力做功为
所以实际小球的电势能增加不是
，故C 错误；
D．细线从B 点断裂，当到达与A 点在同一竖直线上时，小球的电势能与
点电势能相等，则该过程中经
过的时间
此过程中小球下落的竖直高度
重力势能减少了
故D 错误。
故选AB。
【题型二】力电综合
6．如图所示，半径R=0.2m 的光滑
圆弧轨道竖直固定，与水平面相切于最低点B，空间中存在水平向右
的匀强电场，电场强度E=1×103V/m。带正电的物块甲质量m1=0.2kg，电荷量q=1×10-3C；物块乙不带电，
其质量m2=0.1kg，将乙静置于B 点右侧L=0.5m 处的C 点。物块甲从与圆心O 等高的A 点以
=
的
初速度竖直下滑，甲与水平面间的动摩擦因数μ=0.4。甲、乙两物块均视为质点，忽略空气阻力，二者碰
撞时无机械能损失，且二者之间没有电荷转移，取g=10m/s2。求：
8
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（1）在B 处物块甲对轨道的压力；
（2）甲与乙第一次碰撞前的瞬间物块甲的速度大小；
（3）甲与乙第一次碰撞后的瞬间各自速度大小。
【答案】（1）10N，方向向下；（2）
；（3）
，
【详解】（1）对物块甲，从A 到B，根据动能定理
在B 处根据牛顿第二定律
得
F N =10 N
根据牛顿第三定律，在B 处物块甲对轨道的压力为10N，方向向下。
（2）物块甲在水平面上向右运动，碰撞前，根据动能定理
（3）甲乙碰撞过程中，根据动量守恒和能量守恒
解得
7．如图所示，在竖直平面内的平面直角坐标系xOy 中，x 轴上方有水平向右的匀强电场，x 轴下方存在竖
直向上、范围足够大的匀强电场，电场强度大小等于
。先有一质量为m、电荷量为+q 的带电绝缘
小球，从y 轴上的P（0，L）点由静止开始释放，运动至x 轴上的B（L，0）点时，恰好无碰撞地沿切线方
向进入固定在x 轴下方竖直放置的四分之一圆弧形光滑绝缘细管，BC=2L。小球第3 次经过x 轴时与x 轴交
于D 点（图中D 点未画出），细管内径略大于小球外径，小球直径远小于细管轨道的半径，不计空气阻力，
重力加速度为g。求：
9
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（1）匀强电场场强E1的大小；
（2）小球从P 点至D 点的时间；
（3）D 点的位置坐标；
【答案】（1）
；（2）
；（3）（11L，0）
【详解】（1）小球由静止释放后在重力和电场力的作用下做匀加速直线运动，小球从P 点沿切线方向进
入，根据几何关系，此时速度方向与竖直方向的夹角为45°，即加速度方向与竖直方向的夹角为45°，则有
解得
（2）从P 到B 的过程中，小球做匀减速直线运动，根据动能定理得
根据位移的表达式有
解得
，
从B 到C 的过程中，由于
qE2=mg
即电场力与重力平衡，则小球做匀速圆周运动，根据几何关系有
从B 到C 的过程中经历的时间
解得
10
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从C 到D 的过程中，小球做类斜抛运动，竖直方向做双向匀变速运动，水平方向匀速直线，根据对称性有
则小球从P 点至D 点的时间
t= t1+ t2+ t3
解得
（3）小球从C 点抛出时的速度
结合上述，小球水平方向的加速度大小
水平方向最匀加速直线运动，水平方向有
解得
则D 点的横坐标位
则D 点的位置坐标为（11L，0）。
8．如图所示，MN 为绝缘光滑水平平台的右边缘竖直分界线，两侧分布有图示水平方向的匀强电场
和
。平台上一质量为m、电荷量为q（
）可视为质点的滑块，在左侧电场力的作用下，自距离MN 为
l 的O 点由静止开始加速，从M 点进入电场
，恰好垂直落在水平地面上的P 点（未画出）。已知电场强
度
，平台高
，重力加速度为g，求：
（1）滑块飞离平台的速度v；
（2）电场强度
的大小；
（3）从滑块离开平台到其动能最小所经历的时间
。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由动能定理知
代入得
（2）由题知，从M 点进入电场
，恰好垂直落在水平地面上的P 点，则说明
做负功，水平方向到P 点
时速度为0，竖直方向做自由落体运动，设滑块运动到P 点水平位移为
，滑块下落时间为，则竖直方向
有
水平方向有
则
联立解得
（3）由题知，
，由抛体运动对称性知其运动示意图如图所示，
，由几何关系知
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水平方向有
当滑块由M 运动到Q 点时，电场力与重力合外力做负功，滑块动能减小，在Q 点时动能最小，从滑块离
开平台到其动能最小所经历的时间
为
9．如图所示，M、N 是一方向竖直向上的匀强电场中的两点。从M 点先后以不同速率沿水平方向抛出两个
质量均为m 的小球A、B，A 不带电，B 带正电，电荷量为q。小球A 从M 点抛出时的速度大小为
，到
达N 点所用时间为t；小球B 从M 点抛出到达N 点所用时间为2t，已知重力加速度为g，求：
（1）M、N 两点的高度差h；
（2）电场强度E 的大小；
（3）小球B 运动到N 点时的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）因小球A 做平抛运动，故M、N 两点的高度差为
（2）对小球B，由牛顿第二定律有
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由竖直方向运动学公式有
联立解得
（3）对小球B，由动能定理得
因A、B 水平位移相等有
联立解得
10．如图所示，一绝缘细直杆AC 固定在水平向左、电场强度大小
的匀强电场中，直杆与
电场线成37°角，杆长
，一套在直杆上的电荷量为
的带负电荷的小环，从杆顶端A
点以初速度
开始下滑，小环离开杆后恰好通过杆底端C 点正下方的P 点。已知小环的质量
，环与杆间的动摩擦因数
，取重力加速度大小
，求：
（1）小环在C 点的速度；
（2）小环从C 点到P 点的时间；
（3）小环运动到杆下端C 向正下方P 点的动能。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设小环在细直杆上运动时的加速度大小为
，受到的支持力大小为
，受到的摩擦力大小
为
，小环在C 点的速度为
，则对小环进行受力分析可得，沿杆方向
垂直杆方向
其中
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解得加速度
根据速度位移公式
解得
（2）小环从C 点到P 点在水平方向只受到电场力，则水平方向的加速度大小为
小环在C 点水平方向的分速度为
设小环从C 点到P 点的时间为t，根据位移时间公式有
解得
（3）小环到P 点水平方向的速度大小为
在竖直方向，根据牛顿第二定律
竖直方向的速度大小为
小环到P 点速度大小为
所以小环到P 点的动能为
1．（多选）如图所示，竖直平面内有一半径为R 的圆形光滑绝缘轨道，轨道的最高点为M，最低点为N，
轨道所在空间存在匀强电场，电场强度大小为
，电场强度的方向与水平面夹角为30 度，轨道内有一质
量为m、电荷量为q 的带正电小球，给小球一个沿轨道切线的初速度，使小球恰能沿轨道做完整的圆周运
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动，重力加速度为g，忽略一切阻力，则小球在运动过程中（ ）
A．在M 点的速率最小
B．最大速率为
C．对轨道的压力最大为6mg
D．电势能最小时，动能最大
【答案】BC
【详解】A．小球在运动过程中受到的重力和电场力恒定不变，由平行四边形定则可知它们的合力方向指
向右下方，大小为
如图所示
根据“等效场”的原理，小球通过
点的速率最小，故A 错误；
B．通过“等效最高点”
点时，有
解得
从
点到
点，由动能定理得
解得
故B 正确；
C．在
点时，有
解得
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由牛顿第三定律可知对轨道的压力最大为
故C 正确；
D．速度最大时，动能最大，对应“等效最低点”
点，此时小球具有的电势能并不是最小，故D 错误。
故选BC。
2．（多选）如图所示，在竖直面内有一半径为R 的圆环形轨道，轨道内部最低点A 处有一质量为m 的光
滑带正电的小球（可视作质点），其所带电荷量为q，在圆环区域内存在着方向水平向右的匀强电场，电
场强度
，现给小球一个水平向右的初速度v0，使小球开始运动，以下说法正确的是（ ）
A．若v0
，则小球可以做完整的圆周运动
B．若小球可以做完整的圆周运动，则轨道所给弹力的最大值与最小值相差
C．若
，则小球将在轨道最高点B 处脱离轨道
D．若
，则小球机械能最大处的动能为
【答案】BC
【详解】A．小球同时受到重力和电场力作用，这时可认为小球处于等效重力场中，小球受到的等效重力
为
等效重力加速度为
与竖直方向的夹角
如下图所示
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小球可以做完整的圆周运动，则有
小球运动到等效最高点时，在等效重力场中应用机械能守恒定律可得
解得
故A 错误；
B．若小球可以做完整的圆周运动，则小球在等效重力场中最低点轨道所给的弹力最大，等效最高点轨道
所给的弹力最小，在最低点有
在最高点有
小球从最低点到最高点的过程中，有
解得轨道所给弹力的最大值与最小值相差为
故B 正确；
C．若
，小球到达最高点B 处的过程中，重力做负功，电场力不做功，则有
解得
故可得小球将在轨道最高点B 处脱离轨道，故C 正确；
D．若
，根据动能定理，小球运动到等效最低点时，动能最大，此时
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解得
故D 错误。
故选BC。
3．（多选）如图，倾角
的固定斜面与半径为r 的四分之三圆弧形轨道ABC 相切于A 点，其中半圆
弧段AB 是硬质细圆管。整个空间存在水平方向的匀强电场，质量为m、电荷量为q 的带正电小球恰好静止
在斜面上。已知重力加速度大小为g，取
，小球直径略小于圆管的内径，运动过程中小球所带
电荷量保持不变，并且斜面绝缘，忽略一切摩擦。现给小球一个沿斜面向下的初速度
，则（ ）
A．匀强电场的场强大小为
B．小球能到达B 点的条件为
C．小球可能在BC 段某点脱离轨道（不包括BC 两点）
D．小球经过C 点的速度大小可能为
【答案】AD
【详解】A．当带电小球恰好静止在斜面上时，受到重力、电场力、斜面的支持力的作用，由受力分析可
得
解得匀强电场的场强大小为
故A 正确；
B．小球在斜面上做匀速直线运动，则
由受力分析可知，重力和电场力等效合力沿BA 方向，大小为
B 点为小球在圆轨道的等效最高点，若小球到达等效最高点B 点时的临
界速度为0，从A 到B，由动能定理可得
19
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解得
小球能到达B 点的条件为
，故B 错误；
C．小球不脱离BC 轨道，在B 点要求
解得
则当小球通过B 点的速度小于
时，会立刻在B 点脱离，而不是在BC 段某点脱离轨道，当小球通过B
点的速度大于等于
时，由于B 点为小球在圆轨道的等效最高点，小球不可能在BC 段某点脱离轨道，
故C 错误；
D．若小球沿着圆轨道从B 点到C 点，小球在C 点的速度为
，根据动能定理
解得此时小球在B 点的速度为
故小球经过C 点的速度大小可能为
，故D 正确。
故选AD。
4．如图所示，竖直平面内的固定光滑圆形绝缘轨道的半径为R，A、B 两点分别是圆形轨道的最低点和最
高点，圆形轨道上C、D 两点的连线过圆心O 且OC 与竖直向下方向的夹角为60°。空间存在方向水平向右
且平行圆形轨道所在平面的匀强电场，一质量为m 的带负电小球（视为质点）恰好能沿轨道内侧做完整的
圆形轨道运动，且小球通过D 点时的速度最小。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
20
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A．小球受到的电场力大小为2mg
B．小球通过C 点时所受轨道的作用力大小为12mg
C．小球通过D 点时的速度大小为
D．小球在运动过程中的最大速度为
【答案】BC
【详解】A．小球在通过D 点时的速度最小，则在该点电场力与重力的合力沿半径方向，D 点为等效最高
点，C 点为等效最低点，如图所示
根据几何关系可得，小球受到的电场力大小
故A 错误；
BC．在“最高点”有最小速度，即
解得
小球从D 到C 的过程中，根据动能定理得
21
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解得
在C 点，由牛顿第二定律
解得
故BC 正确；
D．小球通过等效最低点C 的速度最大，即最大速度为
故D 错误。
故选BC。
5．如图所示，绝缘光滑圆轨道竖直放置在水平方向的匀强电场中，一个质量为m，电荷量为＋q 的小球位
于轨道内侧的最高点A 处。小球由静止释放后沿直线打到与圆心O 等高的B 点，小球可视为质点。已知圆
轨道的半径为R，重力加速度为g。
（1）求匀强电场的电场强度E1的大小；
（2）当给小球一个水平方向的初速度，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，求小球通过A 点时的
动能Ek。
（3）若电场方向不变，大小变为E1的一半，在A 点给小球一水平向右的初速度，使小球恰好到达B 点。
求初速度的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）对小球受力分析，如图所示
22
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小球由静止释放后沿直线打到与圆心O 等高的B 点，则合力沿AB 方向，有
解得
（2）根据小球合力方向可知，小球能通过圆轨道等效最高点D 点，由题意可知，D 点位于OD 与OA 夹角
为45°，如图所示
小球能做完整的圆周运动，小球的合力大小为
小球在D 点，根据牛顿第二定律有
D 点到A 的过程，由动能定理有
联立解得
（3）若电场方向不变，大小变为E1的一半，在A 点给小球一水平向右的初速度，使小球恰好到达B 点，
由两分运动的规律有
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联立可得
6．如图所示，水平面上竖直固定绝缘的四分之一圆弧轨道BC，轨道AB 和BC 均光滑，水平面AB 与圆弧
BC 相切于B 点，О 为圆心，OB 竖直，OC 水平，BC 轨道半径为R。整个空间有足够大、水平向右的匀强
电场。一质量为m、电荷量为q 的带正电绝缘小球自A 点由静止释放，小球沿水平面向右运动，AB 间距离
为2R，匀强电场的电场强度
，重力加速度大小为g，不计空气阻力。求：
（1）小球到达C 点时对轨道的压力；
（2）小球从A 点开始，经过C 点脱离轨道后上升到最高点过程中，小球电势能的变化量
Ep；
（3）小球离开圆弧轨道到落地前的最小速率，以及小球从离开圆弧轨道到最小速率时经历的时间。
【答案】（1）
，方向水平向右；（2）
；（3）
【详解】（1）设小球在C 点的速度为
，小球从A 点运动C 点过程中，由动能定理可得
解得
小球在C 点时水平方向的支持力FN与电场力qE 的合力提供向心力，所以有
解得
由牛顿第三定律可得小球对轨道的压力大小为
方向水平向右。
（2）小球过C 点上升到达最高点的过程中，由运动的分解可知，在水平方向小球做初速度为零的匀加速
运动，竖直方向做竖直上抛运动，设小球从C 点到最高点的时间为t，则有水平方向上
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竖直方向上
小球从A 点开始运动到达最高点过程中电场力做功为
根据电场力做功与电势能变化关系
解得
（3）小球从C 点以
抛出后，可将小球的运动分解为沿合力方向的分运动和垂直合力方向的分运动，如图所示
其中垂直合力方向为匀速直线运动，速度
沿合力方向做类竖直上抛运动，初速度
加速度满足
解得
当沿合力方向的速度减为零时，小球的速度具有最小值，最小值为
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经历的时间
7．如图所示，坐标系xOy 位于竖直平面内，y 轴正方向竖直向上，整个空间存在着匀强电场（电场强度E
的大小未知，方向平行于xOy 平面）。为了确定场强的大小和方向，研究人员先后进行了两次操作。第一
次，将一带正电的小球从原点O 处以速率
沿x 轴正方向抛出，小球在y 轴右侧运动中与y 轴的最远距离
为
；第二次，将该小球从原点O 处以速率
沿y 轴正方向抛出，小球在x 轴上方运动中与x 轴的最远距
离为
。已知小球的质量为m、电荷量为
，小球可视为质点，且
，忽略空气阻力，
重力加速度为g，求场强E 的大小和方向（结果用m、g、q 表示）。
【答案】
，电场方向与y 轴正方向的夹角
【详解】小球运动中受到重力和电场力的共同作用，将小球的加速度分别沿x 轴和y 轴方向分解，易知，
两个分加速度的方向均沿负半轴方向，设其大小分别为
、
，则第一次有
第二次有
又
解得
，
设沿x 轴和y 轴方向的场强大小分别为
和
，由牛顿第二定律分别有
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场强大小
设电场方向与y 轴正方向的夹角为
，则有
联立解得
，
8．如图甲所示，两个半径为R 的竖直固定的绝缘光滑
细圆管道与粗糙水平地面AB 在B 点平滑相切，
过管道圆心
的水平界面下方空间有水平向右的电场，记A 点所在位置为坐标原点，沿AB 方向建立
坐标轴，电场强度大小随位置
变化如图乙所示。质量为
、带电量为
的小球P 静止在A 点，与
地面间动摩擦因数
。另有一光滑绝缘不带电小球Q，质量为
，以速度
向右运动，与
小球P 发生弹性正碰，碰撞时间极短，且P、Q 间无电荷转移，碰后P 球可从B 点无碰撞进入管道。已知
A、B 间距离为4R，
重力加速度为
，不计空气阻力，小球P、Q 均可视为质点。求：
（1）碰后小球P 的速度大小
；
（2）小球P 从A 点运动到管道最高点C 点过程中电场力做的功
；
（3）小球P 再次到达水平地面时与B 点的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由动量守恒定律和能量守恒定律得
将
代入以上两式得碰后小球P 的速度大小
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（2）
过程中，由图乙可知电场力做功
小球P 从A 点运动到管道最高点C 点过程中电场力做的功
（3）
过程中摩擦力做功
小球P 从A 点运动到管道最高点C 点过程中由动能定理得
解得最高点C 点速度
过C 点后小球先在电场线上方做平抛运动，后在电场力和重力的共同作用下运动。
小球做平抛运动的时间
小球做平抛运动的水平位移
小球进入电场中运动时，运动时间
电场力方向加速度
电场力方向位移
综上可解得
综合以上可得，小球P 再次到达水平地面时与B 点的距离
9．如图所示，圆心为O、半径为R 的圆形区域内存在一个平行于该区域的匀强电场，MN 为圆的一条直径。
质量为m、电荷量为
的粒子从M 点以速度v 射入电场，速度方向与MN 夹角
，一段时间后粒子
运动到N 点，速度大小仍为v，不计粒子重力。求：
（1）电场强度的方向；
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（2）匀强电场的场强大小E；
（3）仅改变粒子速度大小，当粒子离开圆形区域的电势能最小时，粒子速度改变量的大小。
【答案】（1）电场强度方向垂直MN 斜向左下；（2）
；（3）
【详解】（1）从M 到N 粒子动能不变，电场力做功为0，所以MN 为等势线，由于粒子带正电且所受电场
力偏向，所以电场强度方向垂直MN 斜向左下。
（2）粒子做类似斜抛的运动，沿MN 方向，粒子做匀速运动，则有
垂直MN 方向有
根据牛顿第二定律得
联立解得匀强电场的场强大小为
（2）如图所示
当粒子运动到P 点时，电势能最小；由
，
，
联立解得
10．如图所示，竖直面内存在直角坐标系xOy，平行于y 轴的虚线MN、PQ 将第一象限分为Ⅰ、Ⅱ两个区
域。区域Ⅰ的宽度为3d，在
的区域内存在竖直向上的匀强电场
，在
的区域内存在竖直
向下的匀强电场
。区域Ⅱ的宽度为d，其内部存在平行于xOy 平面且方向未知的匀强电场
。质量为
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m、电荷量为
的带电小球由O 点沿x 轴正方向以
的速度射入Ⅰ区域，小球仅从直线
上的点A 穿过后，经过点
垂直MN 进入区域Ⅱ，经过PQ 与x 轴的交点C，速度大小
。
、
、
的大小均未知，小球重力不可忽略，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）区域Ⅱ中BC 两点的电势差
；
（2）区域Ⅰ中匀强电场
的大小；
（3）小球在区域Ⅱ中从B 到C 过程中所受电场力的冲量大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球在Ⅰ区域电场中，水平方向做匀速直线运动，竖直方向先加速再减速到零，到达B 点
时
，从B 到C 的过程中，由动能定理可得
解得
（2）设小球在Ⅰ区域中经过直线
时，竖直方向速度为
，在
中运动时间为
、在
中运动时间
为
，水平方向则有
竖直方向，在
中有
在
中有
解得
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小球在Ⅰ区域
中，竖直方向由运动学公式可得
由牛顿第二定律可得
解得
（3）设小球在Ⅱ区域中，电场
水平方向的分量为
、竖直方向分量为
，在C 点时水平方向速度为
，
竖直方向速度为
，由运动学公式可得
联立可得
水平方向
竖直方向
联立可得
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Ⅱ区域的场强大小为
小球在区域Ⅱ中从B 到C 过程中所受电场力的冲量大小
11．带电粒子在电场中的运动规律在近代物理实验装置中有着极其广泛的应用，这些应用涉及带电粒子的
测量、加速和约束问题。2023 年诺贝尔物理学奖获得者就因其研究控制电子移动而获得。如图的电场模型
设计，可以通过改变电场的水平宽度控制带电小球间碰撞，从而模仿微观状态带电粒子的运动。如图所示，
电荷量为
、质量为
的小球B 静置于光滑的水平绝缘板右端，板的右侧空间有水平
宽度一定、竖直高度足够高的匀强电场，方向水平向左，电场强度的大小
，与球B 形状相
同、质量为
的绝缘不带电小球A 以初速度
向B 运动，两球发生弹性碰撞后均逆着电
场的方向进入电场，在空中两球又发生多次弹性碰撞。已知每次碰撞时间极短，小球A 始终不带电，小球
B 的电量始终不变。两小球均可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g 取
。
（1）求第一次碰撞后瞬间A、B 两小球的速度；
（2）如果两小球第二次、第三次碰撞都发生在电场中，则在第二次与第三次碰撞之间，有一个时刻球B
合力的瞬时功率为0，求从第二次碰撞后到此时刻的时间间隔。
【答案】（1）A 的速度
，水平向右，B 的速度
，水平向右；（2）
【详解】（1）第一次碰撞，取向右为正，设碰后A 球速度为
，碰后B 球速度为
，根据动量守恒定律
知
根据能量守恒定律知
第一次碰后A 的速度
，水平向右；B 的速度
，水平向右
（2）竖直方向自由下落，AB 始终在同一水平面，对B 水平方向有
代入得
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方向：水平向左
第二次碰撞前
代入得
对球B 有
方向：水平向左，竖直方向有
方向：竖直向下
第二次碰撞，向右为正，根据动量守恒定律知
根据能量守恒定律知
第二次碰后A 的速度为0，B 的速度
，方向：水平向右
球B 合力的瞬时功率为0 时合力与瞬时速度垂直，设合力与水平方向夹角为
，如图所示
则有
代入得
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