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第4 讲 受力分析 共点力平衡
学习目标：
1.熟练掌握受力分析的步骤，会灵活应用整体法和隔离法并结合牛顿第三定律对多物体受力分析。
2.会运用共点力平衡的条件分析解决平衡问题。
知识梳理
1．受力分析
(1)受力分析
把研究对象(指定物体)在特定的物理环境中受到的所有力都找出来，并画出受力示意图的过程。
(2)受力分析的一般顺序
先画出重力、场力和已知力；其次按照接触面分析弹力，再分析摩擦力；最后分析其它力。
如图甲所示，若物体A 在水平推力F 作用下沿粗糙斜面上滑，则物体A 受力分析的顺序应如图乙所示。
弹力、摩擦力的产生条件之一都是接触，因此在分析这两种力时先找接触面，在每个接触面上逐一分析这
两种力。
2．共点力的平衡
(1)共点力：作用于物体的同一点或作用线(或延长线)交于一点的力。
(2)平衡状态：物体处于静止状态或匀速直线运动状态。
(3)共点力的平衡条件
F 合＝0 或者
(4)平衡条件的推论
①二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反。
②三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余两个力的合力大小相
等，方向相反，并且这三个力的矢量可以形成一个封闭的矢量三角形。
③多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小相
等，方向相反。
考点一 受力分析
1 隔离法：将所研究的对象从周围的物体中分离出来，单独进行受力分析的方法
2 整体法：将加速度相同的几个相互关联的物体作为一个整体进行受力分析的方法
3.假设法：在受力分析时，若不能确定某力是否存在，可先对其作出存在的假设，然后分析该力存在对物
体运动状态的影响来判断该力是否存在。
4 状态法：受力分析时，若一时不能确定某力是否存在，可先分析物体的运动状态和除此力外物体所受的
其他力，根据其他力与物体的运动状态是否相符判断该力是否存在。
【例题】两相同的楔形木块A、B 叠放后分别以图甲、乙两种方式在水平外力F1和竖直外力F2作用下，挨
着竖直墙面保持静止状态，则在这两种方式中，木块B 受力个数之比为( C )
A．4∶4
B．4∶3
C．5∶3
D．5∶4
【解析】 题图甲中，根据整体法可知，木块B 除了受重力外，一定受到墙面水平向右的弹力(与水平推
力平衡)和竖直向上的静摩擦力(与重力平衡)，隔离B 分析，其一定还受到A 的弹力(垂直于接触面向左上
方)，隔离A 分析，A 受到重力、水平向左的推力、B 对其垂直于接触面向右下的弹力，这样的三个力不可
能使A 平衡，所以A 一定还要受到B 对
其沿接触面斜向右上的静摩擦力才能平衡，可知B 一定受到A 沿接触面斜向左下的静摩擦力，故B 共受5
个力的作用；题图乙中，根据整体法可知B 与墙面间既无弹力也无摩擦力，所以B 受重力和A 对其的弹力
及摩擦力共3 个力的作用。则在这两种方式中，木块B 受力个数之比为5∶3。故选C。
总结提升
受力分析的三个技巧
(1)不要把研究对象所受的力与研究对象对其他物体的作用力混淆。
(2)除了根据力的性质和特点进行判断，假设法是判断弹力、摩擦力的有无及方向的常用方法。
(3)善于转换研究对象，尤其是在弹力、摩擦力的方向不易判定的情形中，可以分析与其接触物体的受
力，再应用牛顿第三定律判定。
【变式1-1】如图所示，用水平力F 将物体A 和B 紧压在竖直墙上不动，如果只有B 物体左面是光滑的，
其余各接触面都是粗糙的，则物体A 受到的摩擦力的情况是( )
A．左、右都受向上的摩擦力
B．左侧受向上的摩擦力，右侧受向下的摩擦力
C．左、右都受向下的摩擦力
D．左侧受向下的摩擦力，右侧受向上的摩擦力
【解析】B 物体左面是光滑的，说明B 左侧只受水平力F 的作用，右侧受到向上的摩擦力，与其重力平
衡。A 物体左侧受B 右侧施加的向下的摩擦力，A 还受到向下的重力，则A 物体右侧一定受向上的摩擦力。
故选D。
【变式1-2】（2025·北京·高考真题）如图所示，长方体物块
叠放在斜面上，B 受到一个沿斜面方向
的拉力F，两物块保持静止。B 受力的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【解析】根据题意，对A 受力分析可知，受重力、B 的支持力，由于A 静止，则A 还受B 沿斜面向上的静
摩擦力，对B 受力分析可知，受重力、斜面的支持力、A 的压力、拉力
、B 还受A 沿斜面向下的摩擦
力，由于B 静止，则受沿斜面向上的摩擦力，即B 受6 个力作用。
故选C。
【变式1-3】(多选)如图所示，在水平力F 作用下，A、B 保持静止。若A 与B 的接触面是水平的，且
F≠0，则B 的受力个数可能为( )
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【解析】先对A、B 整体受力分析，受重力、水平力F、斜面的支持力；当水平力F 平行斜面向上的分力大
于重力沿斜面向下的分力时，有上滑趋势，此时受到沿斜面向下的静摩擦力；当水平力F 平行斜面向上的
分力小于重力沿斜面向下的分力时，有下滑趋势，此时受到沿斜面向上的静摩擦力；当水平力F 平行斜面
向上的分力等于重力沿斜面向下的分力时，无相对滑动趋势，此时与斜面间无摩擦力；再对A 受力分析，
受水平力F、重力、支持力和向左的静摩擦力，共4 个力；最后对B 受力分析，受重力、A 对它的压力、向
右的静摩擦力和斜面对B 的支持力，若B 相对斜面有滑动趋势，则还要受到斜面的静摩擦力，若B 相对斜
面无滑动趋势，则不受斜面的摩擦力，即B 可能受4 个力，也可能受5 个力，故选B、C。
考点二 共点力的平衡条件及应用
1．共点力的平衡条件：F 合＝0 或者
（1）三力汇交原理：物体受三个不平行的共面力作用平衡时，则三个力的作用线必相交于同一点。
（2）三个互成角度的共点力平衡时，三力顺次连接构成一个封闭三角形。
2．常用方法
(1)合成法：物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反。
(2)力的三角形法：对受三个力作用而平衡的物体，将力平移使三个力组成一个首尾依次相接的矢量三角
形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力，常用于非特殊角的一般三角形。
(3)按研究问题需要分解力：物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按研究问题需要分解，则其分力
和其他两个力满足平衡条件。
(4)正交分解法：物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组
力都满足平衡条件。
考向1 合成法、力的三角形法的应用
【例题】(2023·河北卷)如图所示，轻质细杆AB 上穿有一个质量为m 的小球C，将杆水平置于相互垂直的
固定光滑斜面上，系统恰好处于平衡状态。已知左侧斜面与水平面成30°角，则左侧斜面对杆AB 支持力的
大小为( B )
A．mg
B．mg
C．mg
D．mg
【解析】 细杆和小球组成的整体，受斜面的支持力NA、NB和自身的重力mg 而处于平衡状态，如图所
示，由平衡条件有NA＝mg cos 30°，解得NA＝mg，故选B。
【变式2-1】如图所示的装置，杆QO 沿竖直方向固定，且顶端有一光滑的定滑轮，轻杆OP 用铰链固定于
O 点且可绕O 点转动，用两根轻绳分别拴接质量分别为m1、m2的小球1、2 并系于P 点，其中拴接小球1
的轻绳跨过定滑轮，已知O 点到滑轮顶端Q 的距离等于OP，当系统平衡时两杆的夹角为α＝120°，则
m1∶m2为( D )
A．1∶2
B．∶2
C．1∶1
D．∶1
【解析】 以结点P 为研究对象，受力分析如图所示，则拴接小球1 轻绳的拉力大小等于m1g，由力的平
衡条件将杆OP 的支持力与轻绳的拉力合成，由相似三角形可得m1g＝2m2g cos 30°，解得m1∶m2＝∶1，
故A、B、C 错误，D 正确。
【变式2-2】如图所示，用一轻绳通过定滑轮将质量为m 的小球静置在光滑的半圆柱体上，小球的半径远
小于半圆柱体截面的半径R，绳AB 长度为L，长度为H 的杆BC 竖直且与半圆柱体边缘相切，OA 与水平
面夹角为θ，不计一切摩擦，重力加速度为g，下列表达式表示绳对小球的拉力F 的是( )
A．
B．
C．
D．
【解析】根据题意，对小球受力分析，受拉力、支持力和重力，把拉力和支持力平移，组成矢量三角形，
延长AO 和BC 交于D 点，如图所示，由几何关系和相似三角形有＝，解得绳对小球的拉力F＝，故选
C。
【变式2-3】如图所示，竖直固定放置的光滑大圆环，其最高点为P，最低点为Q。现有两个轻弹簧1、2
的一端均拴接在大圆环P 点，另一端分别拴接M、N 两小球，两小球均处于平衡态。已知轻弹簧1、2 上的
弹力大小相同，轻弹簧1、2 轴线方向与PQ 连线的夹角分别30°、60°，则下列说法正确的是( )
A.轻弹簧1 处于压缩状态，轻弹簧2 处于伸长状态
B.大圆环对两小球的弹力方向均指向圆心
C.M、N 两小球的质量比为m1∶m2＝1∶❑√3
D.大圆环对M、N 两小球的弹力大小之比为FN1∶FN2＝❑√3∶1
【答案】 C
【解析】对两个小球受力分析并画力的矢量三角形，如图所示，两个弹力均指向P 点，故两弹簧均处于拉
伸状态，故A 错误;大圆环对两球的弹力均背离圆心，故B 错误;对小球M、N，由力矢量三角形与几何三角
形相似，可得FN1＝m1g＝
❑√3
3
F1，FN2＝m2g＝F2，已知F1＝F2，则m1∶m2＝1∶❑√3，FN1∶FN2＝1∶❑√3，故C 正
确，D 错误。
考向2 分解法的应用
【例题】刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，如图是用斧头劈木柴的示意图。劈的纵截面是一个等腰三
角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木
柴劈开。设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头的自身重力，则劈的侧面推压木柴的力约为(
)
A．F
B．F
C．F
D．F
【解析】 如图，斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2且F1＝F2，利用几何三角形与力的
三角形相似有＝，得推压木柴的力F1＝F2＝F，所以B 正确，A、C、D 错误。
【变式3-1】如图所示，质量为m 的物体在恒力F 的作用下，沿天花板做匀速直线运动，物体与天花板间
的动摩擦因数为μ，则物体受到的摩擦力大小为( AC )
A．Ff＝Fcos θ
B．Ftan θ
C．μ(Fsin θ－mg)
D．μ(mg－Fsin θ)
【解析】对物体受力分析，如图所示
由力的平衡条件可得，在水平方向则有Fcos θ－Ff＝0
所以Ff＝Fcos θ
在竖直方向则有Fsin θ－mg－FN＝0
则有物体受到的摩擦力大小为Ff＝μFN＝μ(Fsin θ－mg)
故选AC。
【变式3-2】质量为m 的小球，用细线AB 悬挂在竖直的墙壁上，细线与墙壁的夹角为60°，如图甲所示，
当小球受到拉力F1时，拉力与细线的夹角为120°，小球正好静止不动，细线拉力为F 甲。如图乙所示，当
小球受到拉力F2时，拉力与细线的夹角为150°，小球正好静止不动，细线拉力为F 乙，重力加速度为g，
下列等式正确的是( )
A．F1＝mg
B．F2＝2mg
C．F 甲＝mg
D．F 乙＝mg
【解析】对题图甲中小球受力分析，建立坐标系，分解F1和F 甲，如图1 所示，在x 轴方向有F1sin 60°
＝F 甲sin 60°，y 轴方向有F1cos 60°＋F 甲cos 60°＝mg，联立解得F1＝F 甲＝mg，故A 正确，C 错误；
对题图乙中小球受力分析，建立坐标系，分解F 乙，如图2 所示，在x 轴方向有F2＝F 乙sin 60°，y 轴方
向有F 乙cos 60°＝mg，联立解得F2＝mg，F 乙＝2 mg，故B、D 错误。故选A。
【变式3-3】（2024·湖北·高考真题）如图所示，两拖船P、Q 拉着无动力货船S 一起在静水中沿图中虚线
方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为
f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为（ ）
A．
B．
C．2f
D．3f
【答案】B
【解析】根据题意对S 受力分析如图
正交分解可知
所以有
对P 受力分析如图
则有
解得
故选B。
总结提升
处理平衡问题的三个技巧
(1)物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单。
(2)物体受四个或四个以上的力作用时，一般要采用正交分解法。
(3)正交分解法建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，需要分解的力尽可能少。
考点三 全反力巧解含摩擦力的四力平衡问题
1.全反力和摩擦角
（1）支持力与滑动摩擦力的合力称为全反力。如图中的FR。而滑动摩擦力Ff＝μFN，Ff与FN的方向垂直，
若动摩擦因数μ 不变，则Ff与FN成比例增大或减小，则全反力FR的方向不变。
（2）全反力FR与支持力FN的夹角称为摩擦角，如图中的θ，摩擦角的正切值tanθ＝Ff
F N
＝μ。对物体进
行受力分析时，我们可将支持力和摩擦力这两个力看成一个全反力。
2.适用情境
物体受四个力平衡，其中一个力为弹力，一个力为滑动摩擦力。本方法常常应用到求解除弹力、摩擦力和
重力外的第四个力的大小、方向，有时也会应用到对动摩擦因数的求解。
3.解题步骤
(1)化四为三。将支持力与摩擦力合为全反力。
(2)利用μ＝tanθ 求出动摩擦因数。
【例题】拖把是常用的劳动工具，假设拖把与地面接触端的质量为m，其它部分质量可忽略。接触端与地
面之间的动摩擦因数为μ，人施加沿杆方向的力F，杆与水平方向的夹角为α，推着接触端在水平地面上匀
速滑行。( )
A. 夹角α越大推动拖把越轻松
B. 接触端受到的支持力为F sin α
C. 接触端受到地面的摩擦力为μmg
D. 按触端受地面摩擦力与支持力的合力方向不变
【答案】D
【解析】拖把头在地板上匀速移动，始终处于平衡状态，几个力的合力为零。
本题主要考查共点力平衡和正交分解知识点，当物体受到多个力作用时，应建立直角平面坐标系，用正交
分解的方法解题。
解答：
D、拖把与地面接触端受重力，沿杆推力，地面支持力和摩擦力，4个力平衡。如图，其中推力和重力的合
力与支持力和摩擦力的合力等大反向，支持力和摩擦力合力与竖直方向夹角β的正切值
tan β = f
F N
= μ F N
F N
= μ，β为定值，故D 正确;
B、接触端受到的支持力为mg+ F sin α，故B 错误；
C、接触端受到地面的摩擦力为μ(mg+ F sin α )或F cosα，故C 错误;
A、夹角α大，推动拖把反而不轻松，a太大会“自锁”，推不动，故 A 错误。
【变式4-1】如图所示，倾角为45°的斜面上，放置一质量为m 的小物块，小物块与斜面间的动摩擦因数
μ＝
❑√3
3
，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，欲使小物块能静止在斜面上，应对小物块再施加一个力，该
力最小时大小与方向是( )
A.mgsin 15°，与水平方向夹角为15°，斜向右上
B.mgsin 30°，竖直向上
C.mgsin 75°，沿斜面向上45°
D.mgtan 15°，水平向右
【答案】 A
【解析】 将支持力和摩擦力合为全反力FR，设摩擦角大小为θ，物块与斜面间的动摩擦因数μ＝tan
θ＝Ff
F N
＝
❑√3
3
，可知摩擦角θ＝30°，即全反力方向与垂直斜面方向的夹角为30°，将重力G、全反力
FR、外力F 这三个力首尾相连构成矢量三角形，如图，由几何关系可知外力F 与全反力FR垂直时，外力F
取最小值，最小值为Fmin＝mg·sin(45°－30°)＝mgsin 15°，方向与水平方向成15°，斜向右上，故A
正确。
【变式4-2】如图所示，一物块置于水平地面上。当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速
直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动。若F1和F2的大小相
等，求物块与地面之间的动摩擦因数。
【解析】对两种情况下的物体分别受力分析，如图
将F1正交分解为F3和F4，F2正交分解为F5和F6，
则有：
F 滑= F3
mg= F4+ F N；
F 滑′ = F5
mg+ F6= F N ′
而
F 滑= μ F N
F 滑′ = μ F N ′
则有
F1cos60° = μ(mg−F1sin 60°) ①
F2cos30° = μ(mg+ F2sin30°) ②
又根据题意
F1= F2③
联立①②③解得：
μ=2−
√3
答：物块与地面之间的动摩擦因数为2−
√3．
【变式4-3】水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ 。现对木箱施加一拉力F，使木箱
沿地面做匀速直线运动。设F 的方向与水平面夹角为θ，如图所示，在θ 从0°逐渐增大到90°的过程
中，木箱的速度保持不变，则( )
A.F 先增大后减小
B.F 一直减小
C.F 的功率先减小后增大
D.F 的功率一直减小
【答案】 D
【解析】木箱受到四个力作用，可将支持力FN与摩擦力Ff合为全反力F1。设摩擦角大小为α，木箱与地
面间的动摩擦因数μ＝tan α，动摩擦因数μ 满足0<μ<1，则摩擦角0°<α<45°，如图所示。由题意
在θ 从0°逐渐增大到90°的过程中，F 的变化趋势如图中的弧形箭头所示，则F 先减小后增大，故A、B
错误;木箱的速度不变，合外力做功为0，则力F、重力G 和F1这三个力做功之和为0，重力做的功为0(重
力与速度成90°)，得到F 做的功与F1做的功互为相反数，F1的功率P＝|F1cos β|·v，β 不变，而F1不
断减小，则F1的功率不断减小，F 的功率也不断减小，故C 错误，D 正确。
跟踪训练-考点拓展
1．(多选)如图所示，竖直平面内有一固定的角形框架，物体A 在框架内保持静止(物体A 上表面与框架接
触但不粘连)，则A 可能受到的力的个数为( )
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【解析】若物体A 上表面与框架接触而无挤压，此时物体A 受重力和弹簧弹力两个力的作用；若物体A 上
表面与框架接触且有挤压，此时物体A 受重力、弹簧弹力、框架的压力和摩擦力四个力的作用，故选A、
C。
2．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）如图，质量为m 的均匀钢管，一端支在粗糙水平地面上，另一端被竖直
绳悬挂，处于静止状态，钢管与水平地面之间的动摩擦因数为
、夹角为
，重力加速度大小为g。则地
面对钢管左端的摩擦力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】D
【解析】对钢管受力分析，如图所示
若钢管受到地面的摩擦力，则钢管水平方向受力不平衡，钢管不可能处于静止状态，故地面对钢管左端的
摩擦力大小为零。ABC 错误，D 正确。
故选D。
3.如图所示，两个相似的斜面体A、B 在竖直向上的恒力F 的作用下，沿竖直粗糙墙壁一起匀速向下运
动。关于斜面体A 和B 的受力情况，下列说法正确的是( )
A．A 一定受到四个力
B．B 可能受到四个力
C．B 与墙壁之间一定有弹力和摩擦力
D．B 对A 的静摩擦力沿接触面斜向上
【解析】以A、B 为整体进行受力分析，A、B 匀速向下运动，在水平方向上，由于A、B 右侧没有外力，由
平衡条件可知，墙壁面与B 无弹力，因此也没有摩擦力，故在竖直方向上F＝GA＋GB。对B 进行受力分析，
B 受到竖直向下的重力、A 对B 垂直接触面向上的支持，由于这两个力不共线，根据力的平衡条件可知，B
一定受到A 对B 沿接触面向上的摩擦力，故B 受到三个力的作用。对A 进行受力分析，结合上面的分析可
知，A 受到重力、B 对A 的压力和摩擦力、外力F 四个力的作用，A 正确，B、C 错误；根据牛顿第三定律可
知，B 对A 的摩擦力沿接触面向下，故D 错误。故选A。
4．完全相同的直角三角形滑块A、B，按如图所示放置，设A、B 接触的斜面光滑，A 与桌面间的动摩擦因
数为μ，斜面倾角θ＝30°，现在B 上作用一水平推力F，恰好使A、B 一起在桌面上匀速运动，且A、B
保持相对静止。则A 与桌面间的动摩擦因数μ 为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】对整体受力分析，在水平方向上受推力和滑动摩擦力，有F＝2μmg；对B 受力分析，B 受到重
力、推力F 和支持力，根据共点力平衡有tan θ＝，联立解得μ＝＝，故B、C、D 错误，A 正确。
5.A、B、C 三个物体如图放置在水平面上，所有接触面均不光滑，有一个水平向右的力F 作用在物体A
上，使A、B、C 一起向右做匀速运动，则( )
A．A 给B 的摩擦力和A 给C 的摩擦力大小一定相等
B．A 给B 的摩擦力和A 给C 的摩擦力大小的和一定等于力F 大小
C．B 受到4 个力的作用
D．C 对A 的静摩擦力方向水平向右
【解析】由于B 匀速运动，受力平衡，故A 对B 的摩擦力和地面对B 的摩擦力大小相等，同理A 匀速运
动，A 给C 的摩擦力和地面对C 的摩擦力大小相等，由于地面对A、B 摩擦力的大小无法判断，因此不能判
断A 给B 的摩擦力和A 给C 的摩擦力大小是否相等，故A 错误；对A 进行受力分析，设B 给A 的摩擦力为
fB，C 给A 的摩擦力为fC，在水平方向上由受力平衡可得F＝fB＋fC，结合牛顿第三定律可知A 给B 的摩擦
力和A 给C 的摩擦力之和等于F，故B 正确；B 受自身重力，A 给B 向下的压力，地面给B 向上的支持力，A
给B 向右的摩擦力，地面给B 向左的摩擦力，总共5 个力的作用，故C 错误；对C，A 给C 的摩擦力水平向
右，根据牛顿第三定律，可知C 对A 的静摩擦力方向水平向左，故D 错误。故选B。
6.（2025·福建·高考真题）山崖上有一个风动石，无风时地面对风动石的作用力是F1，当受到一个水平风
力时，风动石依然静止，地面对风动石的作用力是F2，以下正确的是（ ）
A．F2大于F1
B．F1大于F2
C．F1等于F2
D．大小关系与风力大小有关
【答案】A
【解析】无风时，地面对风动石的作用力方向竖直向上，与重力平衡，大小为
当受到一个水平风力时，地面对风动石的作用力与竖直向下的重力及水平方向的风力F，三力平衡
根据平衡条件可知，地面对风动石的作用力大小为
，故F2大于F1。
故选A。
7.沿光滑的墙壁用网兜把一个足球挂在A 点(如图)，足球的质量为m，网兜的质量不计，足球与墙壁的接
触点为B，悬绳与墙壁的夹角为α，求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力。
【解析】取足球作为研究对象，它共受到三个力的作用。重力G＝mg，方向竖直向下；墙壁的支持力F1，
方向水平向右；悬绳的拉力F2，方向沿绳的方向。
这三个力一定是共点力，重力的作用点在球心O 点，支持力F1水平向右。G 和F1的作用线必交于球心
O 点，则F2的作用线必过O 点。既然是三力平衡，可以根据任意两力的合力与第三力等大、反向求解，可
以据力三角形求解，也可用正交分解法求解。
解法1：用合成法
取足球作为研究对象，它受重力G＝mg、墙壁的支持力F1和悬绳的拉力F2三个共点力作用而平衡，由
共点力平衡的条件可知，F1和F2的合力F 与G 大小相等、方向相反，即F＝G，从图中力的平行四边形可求
得：
F1＝Ftan α＝mgtan α
F2＝＝。
解法2：用分解法
取足球为研究对象，其受重力G、墙壁支持力F1、悬绳的拉力F2，如图所示。将重力G 分解为F1′和
F2′，由共点力平衡条件可知，F1与F1′的合力必为零，F2与F2′的合力也必为零，所以F1＝F1′＝mgtan
α
F2＝F2′＝。
解法3：用相似三角形求解
取足球作为研究对象，其受重力G、墙壁的支持力F1、
悬绳的拉力F2，如图所示，设球心为O，由共点力的平衡条件可知，F1和G 的合力F 与F2大小相等、
方向相反，由图可知，三角形OFG 与三角形AOB 相似，所以＝＝
F2＝＝
＝＝tan α
F1＝Gtan α＝mgtan α。
解法4：用正交分解法求解
取足球作为研究对象，受三个力作用，重力G、墙壁的支持力F1、悬绳拉力F2，如图所示，取水平方
向为x 轴，竖直方向为y 轴，将F2分别沿x 轴和y 轴方向进行分解。由平衡条件可知，在x 轴和y 轴方向
上的合力Fx 合和Fy 合应分别等于零。即
Fx 合＝F1－F2sin α＝0 ①
Fy 合＝F2cos α－G＝0 ②
由②式解得：F2＝＝
代入①式得F1＝F2sin α＝mgtan α。
答案： mgtan α
8.如图所示，一个半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一
根轻质细线跨在碗口上，线的两端分别系有两个小球。当它们处于平衡状态时，碗内质量为m的小球和O
点的连线与竖直方向的夹角为30
∘，另一小球静止于空中，两小球均视为质点，碗外小球的质量为
( )
A. m
2
B.
√3m
3
C.
√3m
2
D. √3m
【答案】B
【解析】m2球保持静止状态，对其受力分析，受重力和拉力，二力平衡，故
F =m2 g ①
再对m球受力分析，如图
根据共点力平衡条件
x方向：Fcos60°−Ncos60° =0 ②
y方向：Fsin60°+ Nsin60°−mg=0 ③
由①②③代入数据解得
m2=
√3
3 m
故选：B．
9.如图甲所示，用一水平恒力F拉水平桌面上的木块，木块在水平桌面上做匀速直线运动；若将此力改为
方向与水平方向成θ角斜向上拉木块( F大小不变)，如图乙所示，木块仍在水平桌面上做匀速直线运动，
则木块与桌面间的动摩擦因数为( )
A. cosθ
sinθ
B. sinθ
cosθ
C. 1−cosθ
sinθ
D. 1−sinθ
cosθ
【答案】C
【解析】对于图甲，根据受力平衡可得
F = f = μmg
对于图乙，根据受力平衡可得
F cosθ = f ′ = μ(mg−F sinθ)
联立解得
故选C。
