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专题37 实验：用单摆测定重力加速度
题型一 教材原型实验......................................................................................................................................3
题型二 创新实验提升....................................................................................................................................15
【基础回顾】
一、实验目的
1．学会用单摆测量当地的重力加速度。
2．能正确熟练地使用停表。
二、实验原理
当摆角很小时，单摆做简谐运动，其振动周期T＝2π，它与摆角的大小及摆球的质量无
关，由此得到g＝ 。因此，只要测出摆长l 和振动周期T，就可以求出当地重力加速度g 的
值。
三、实验器材
带有铁夹的铁架台、中心有小孔的小钢球、不易伸长的细线(约1 米)、停表、毫米刻度
尺和游标卡尺。
四、实验步骤
1．做单摆
将细线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把细
线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹
伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图。
2．测摆长
用毫米刻度尺量出摆线长l′，用游标卡尺测出小钢球直径D，则单摆的摆长l＝ l ′
＋
。
3．测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放摆球，当单摆经过_平衡位置__时开
始计时，记下单摆做30～50 次全振动的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动
周期。
4．改变摆长，重复做几次实验。
五、数据处理
1．公式法
将测得的几组周期T 和摆长l 代入公式g＝中算出重力加速度g 的值，再算出g 的平均值，
即当地重力加速度的值。
2．图像法
由单摆的周期公式T＝2π 可得l＝T2，因此以摆长l 为纵轴、以T2为横轴作出的l－T2图
像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g＝_4π
2 k __。
拓展：(1)测量摆长，未加小球半径时，用公式法求得的g 值偏小，但根据T2－l 图线，
由斜率求得的g 值是准确的，因为T2＝(L＋r)＝L＋r(L 为绳长)，此时图线如图中a 所示。
(2)同理，如果把绳长加小球直径作为摆长，此时，T2＝(l－r)＝l－r，其T2－l 图线如图
中b 所示，由斜率求得的g 值仍然是准确的。
六、注意事项
(1)一般选用一米左右的细线。
(2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。
(3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。
(4)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°。
(5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时 ，并数准全振动的次数。
题型一 教材原型实验
误差分析
产生原因
减小方法
偶然
误差
测量时间(单摆周期)及
摆长时产生误差
①多次测量再求平均值；
②计时从单摆经过平衡位置时开始
系统
误差
主要来源于单摆模型本
身
①摆球要选体积小，密度大的；
②最大摆角要小于5°
【例题精讲】
1．实验小组的同学们利用单摆测重力加速度及单摆摆球质量。如图甲所示，他们将细线一端与一个质量
均匀的金属小球相连，另一端系在固定的力传感器的挂钩上，整个装置处于竖直平面内。
(1)拉动小球使悬线偏离竖直方向一个较小的角度（小于5°），小球由静止释放后在竖直平面内往复摆动，
与传感器相连的计算机记录细线的拉力F 随时间t 变化的图像如图乙所示，由图像可知，该单摆的振动
周期T = ________。
(2)改变摆线的长度，多次进行实验，记录每次摆线的长度L 及对应的周期T 。以L 为纵轴，T
2为横轴，
利用所测得的数据，画出L−T
2图像如图丙所示，则当地的重力加速度可表示为________（用丙图中的a
、b 表示），图线在纵轴截距的绝对值表示________。
(3)控制摆球和摆线长度均不变，将小球拉离平衡位置后由静止释放，在竖直平面内往复摆动，记下传感
器最大示数F1和最小示数F2；多次改变悬线与竖直方向的初始夹角并重复上述实验步骤，根据多次的测
量数据在直角坐标系中绘制F2−F1图像，如图丁所示。若小球摆动过程中机械能守恒，则此摆球的质量
为________（用丙图中的a 、b 及图丁中的c 表示）。
【答案】(1)4 t0
(2) 4 π
2b
a
小球的半径
(3) ca
6 π
2b
【详解】（1）由图可知单摆的周期T =5t0−t0= 4 t0
（2）[1]设小球半径为r，根据单摆周期公式有T =2π ❑√
L+r
g
解得L= g
4 π
2 T
2−r
可得k = b
a = g
4 π
2
可得g= 4 π
2b
a
[2]图线在纵轴截距的绝对值表示小球的半径。
（3）设最大摆角为θ，在最高点拉力最小，最小拉力大小F2=mgcosθ
摆球经过最低点时，设速度大小为v，由牛顿第二定律得F1−mg=m v
2
R
从最高点到最低点过程，由机械能守恒定律得mgR(1−cosθ)= 1
2 m v
2
整理得F2=−1
2 F1+ 3
2 mg
则有c = 3
2 mg
解得m=
ca
6 π
2b
2．如图1 甲所示，将力传感器固定在铁架台上，不可伸长的细线一端连在拉力传感器上，另一端系住摆
球，开始时，摆球静止于最低位置，此时力传感器示数为F0，让摆球在竖直平面内做小角度摆动，力传
感器显示拉力大小随时间变化图像如图1 乙所示，最小示数为F1、最大示数为F2。由图像可得摆球摆动
的周期T =__________；测得摆线长度为L，摆球直径为d，当地的重力加速度g=__________。改变释放
处细线与竖直方向的角度，力传感器显示多组拉力大小随时间变化图像，记录多组最小示数F1、最大示
数F2的数据。如果摆球运动过程机械能守恒，在图2 中画出F2随F1变化的图像，并标出图线与坐标轴交
点的坐标_____。
【答案】
2t0
g= π
2(2 L+d)
2t0
2
【详解】[1] 由图1 可得当绳子拉力最小时，即物体摆到最高点，而相邻最高点之间时间差为半个周期，
故T
2 =2t0−t0
所以周期T =2t0；
[2] 单摆的摆长为悬点到球心的距离l = d
2 + L，又有单摆周期公式T =2π ❑√
l
g
解得g= π
2(2 L+d)
2t0
2
；
[3] 如图取小球位于最高点时与竖直方向夹角为θ，则小球在最高点时速度为零绳子拉力F1=mgcosθ
从最高点至最低点过程中有动能定理mgl(1−cosθ)= 1
2 m v
2
由最低点的向心力公式F2−mg= mv
2
l
联立解得F2=3mg−2mgcosθ =3mg−2 F1
开始时，摆球静止于最低位置，此时力传感器示数为F0，故F2=3mg−2mgcosθ =3 F0−2 F1
故图像如下：
3．某同学用如图甲所示的装置测量当地重力加速度的大小。用到的实验器材有：带有标尺的竖直杆、光
电计时器、直径为d的小球、小球释放器（可使小球无初速释放）、网兜。实验时，测出小球的直径d，
调节好光电门的位置并测量出小球挡光时间t，从竖直杆上的标尺可读出初始位置小球的球心到光电门之
间的竖直距离h，根据实验数据作出d
2
t
2 −h图像如图乙所示。
请回答以下问题：
(1)小球运动到光电门处的瞬时速度表达式为v =___________（用题目中给的物理量表示）；
(2)某次使用游标卡尺测量小球的直径如图丙所示，则小球直径d =___________cm；
(3)若图乙中直线的斜率为k，空气阻力可忽略不计，则当地的重力加速度的测量值大小为g=___________。
（用k表示）
【答案】(1)d
t
(2)0.84
(3)k
2
【详解】（1）由于小球通过光电门的时间很短，小球通过光电门过程的平均速度约等于瞬时速度，故
v ≈v = d
t
（2）某次使用游标卡尺测量小球的直径如图丙所示，则小球直径
d =8mm+ 4× 1
10 mm=8.4 mm=0.84 cm
（3）由于空气阻力可忽略不计，根据机械能守恒有mgh= 1
2 m(
d
t )
2
由图乙可得d
2
t
2 =kh
联立解得g= k
2
4．某同学利用手机内的磁传感器做“用单摆测量重力加速度”的实验。部分操作如下：如图甲所示，细
线的上端固定在铁架台上，下端系一个小球（下方固定小磁铁），做成一个单摆。为减小实验误差，小
球应该选择_______（填“塑料球”、“空心铜球”或“实心铁球”）。打开手机的磁传感器软件，并将
手机置于悬点正下方，使小球在竖直平面内做小角度摆动。某次采集到的磁感应强度B 的大小随时间t 变
化的图像如图乙所示（t=0 时磁感应强度最大），则单摆的振动周期T=_______s（结果保留两位有效数字，
忽略手机与小磁铁之间的相互作用力）；
【答案】 实心铁球 1.4
【详解】[1][2]为了减小空气阻力的影响同时为了方便固定小磁铁，小球应该选择实心铁球，由图乙可知
磁感应强度完成14 个周期性变化的时间为9.7s，即14T B=9.7s，由小球振动分析可知，在小球一个振动
周期内，磁感应强度完成两个周期性变化，所以T =2T B，解得T ≈1.4s；
5．某同学尝试用单摆测量当地的重力加速度，实验装置如图甲所示：
(1)先用游标卡尺测量摆球直径，示数如图乙所示，则摆球直径为_______cm；
(2)拉动摆球使悬线偏离竖直方向一个较小角度（小于5°），将摆球由静止释放，力传感器测得拉力随时
间变化的图像如图丙，根据图像可知单摆的周期T =_______（用t0表示）；
(3)改变摆线长度，测量多组摆长L及对应的周期T，作出lgT −lg L图像如图丁所示，图像在纵轴上的截
距为b，则当地的重力加速度g=________（用b和π表示）。
【答案】(1)1.04 cm
(2)4t0
(3) 4 π
2
10
2b
【详解】（1）该游标为10 分度，精度为0.1mm，由图可知，度数为
d =10mm+ 4×0.1mm=10.4 mm=1.04 cm
（2）单摆摆动时，摆球在最大位移处拉力最小，且一个周期内摆球两次经过最大位移处,由图丙可知，相
邻两次最小拉力的时间间隔为2t0，即T
2 =2t0
可得周期T = 4t0
（3）由单摆周期公式 T =2π ❑√
L
g
两边取常用对数得 lg T = 1
2 lg L+lg ( 2π
❑√g )
由题意，纵轴截距为b，即lg ( 2π
❑√g )=b
整理得2π
❑√g =10
b
解得g= 4 π
2
10
2b
6．用图1 所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。
(1)下列实验操作正确的是______（填选项前的字母）。
A．用轻且不易伸长的细线和密度大且直径较小的球组装成单摆
B．让小球从细线与竖直方向夹角为30°的位置开始运动
C．在最高点释放小球并同时开始计时
D．在小球经过最低点时开始计时，测量30~50次全振动的时间
(2)如图2 所示，用游标卡尺测量摆球直径。摆球直径d =_________mm。
(3)测量摆球直径d，摆线长l，单摆完成n 次全振动的时间t，可得重力加速度的大小g=___________（用
题目所给的字母表示）。
(4)某同学设计了利用单摆和力传感器验证机械能守恒定律的实验方案。如图3 所示，O 点为单摆的悬点，
将摆球从A 点由静止释放，摆球将在竖直面内的A、C 之间来回摆动，B 点为运动的最低点。摆球运动过
程中用力传感器测量细线上的拉力大小，传感器示数的最大值和最小值分别为F1和F2。摆球静止在B 点
时，传感器示数为F0。推导说明，F0、F1、F2满足什么关系即可验证摆球运动过程中在A 点和B 点的机
械能相等___________________。
【答案】(1)AD
(2)18.8
(3)2π
2n
2(2l+d)
t
2
(4)3 F0= F1+2 F2
【详解】（1）A．轻且不易伸长的细线可保证摆长稳定，密度大直径小的摆球可减小空气阻力影响，操
作正确，故A 正确；
B．单摆做简谐运动要求摆角小于5
∘（不超过10
∘），30
∘偏角过大，不再是简谐运动，故B 错误；
CD．单摆计时应选在最低点，此处小球速度大，计时误差更小，且测量多次全振动可减小周期测量误差，
故C 错误，D 正确。
故选AD。
（2）10 分度游标卡尺读数为d =18 mm +8×0.1mm =18.8 mm
（3）单摆摆长L=l+ d
2 ，周期T = t
n
代入单摆周期公式T =2π ❑√
L
g
整理得重力加速度g= 4 π
2 L
T
2
= 2π
2n
2(2l+d)
t
2
（4）摆球静止在B 点时F0=mg
最高点速度为0，沿绳方向向心力为0，得最小拉力F2=mgcosθ
最低点拉力最大，由向心力公式得F1−mg= m v
2
L
若机械能守恒，A 到B 重力势能减少量等于动能增加量mgL(1−cosθ)= 1
2 mv
2
代入整理得3 F0= F1+2 F2，满足该关系即可验证机械能相等。
7．某小组利用如图甲所示的实验装置，测量当地的重力加速度。长度为L 的细线将一金属小球悬挂于O
点，悬点O 处有一个拉力传感器，能测出细线的拉力大小。将小球由平衡位置拉开一个较小角度，然后
由静止释放小球，根据拉力传感器的数据描绘出细线拉力F 随时间t 变化的图像，如图乙所示。
(1)根据图乙可知，单摆的周期T=_____s；
(2)改变摆线的长度，测出多组细线的长度L 和对应的振动周期T，作出L−T
2图像如图丙所示，已知π
=3.14，由图丙可知，当地的重力加速度大小g___________m/s2（结果保留3 位有效数字）。
(3)若给金属小球带正电，在O 点处也放置一带正电的小球，使二者间有库仑力作用，再次完成该实验，
则单摆周期相比之前________（选填“变大”“变小”或“不变”）。
【答案】(1)2
(2)9.86
(3)不变
【详解】（1）根据单摆的运动规律，可知拉力F 相邻两次出现最大值的时间间隔为半个周期，结合图乙
可知单摆的周期为T =(1.2−0.2)×2s=2s
（2）设小球半径为r，则有T =2π ❑√
L+r
g
整理得L= g
4 π
2 T
2−r
结合图丙，可知图像斜率为g
4 π
2 = 1.0−0.6
3.94−2.34 m /s
2
解得g≈9.86 m /s
2
（3）O 点正电荷对金属小球的库仑力是径向力（沿绳子方向）。单摆的回复力由重力沿切线方向的分力
提供。库仑力始终沿半径方向，不产生回复力的切向分量，也不改变重力的切向效应。因此单摆的回复
力特性不变，周期不变。
8．甲、乙两实验小组分别采用不同实验方案测量当地的重力加速度。
(1)甲实验小组使用单摆测重力加速度，实验装置如图1 所示。
①为了减小测量误差，下列说法正确的是______；
A．应选择细些的、伸缩性小些的摆线
B．应尽量选择质量大些、体积小些的摆球
C．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆角为30°后释放
②用刻度尺测得摆线的长度l =97.50cm，用十分度的游标卡尺测量摆球直径d，游标卡尺示数如图2 所示，
则单摆的摆长L=______cm；
③拉开摆球，以合适的摆角由静止释放摆球，从摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做50 次全振动所
用的时间t，则单摆周期T =______；
④多次改变摆长L，测出对应的周期T，绘制T
2−L的图像，得到一条倾斜直线，求得图像斜率为
4.02s
2/m，π
2取9.86，可求得当地重力加速度g=______m/s
2（结果保留三位有效数字）；利用此图像
计算重力加速度，______（选填“可以”或“不可以”）消除因摆球质量分布不均匀而造成的测量误差。
(2)乙实验小组使用如图3 所示的实验装置测量重力加速度。将力传感器固定在铁架台上，一不可伸长的
轻绳一端系在力传感器上，另一端系一直径为D 的小球。将光电门固定于轻绳悬点的正下方，小球静止
时球心与光电门等高，测得悬点到球心间的距离为r。
①将小球拉离平衡位置一较大的角度，由静止释放，小球经过光电门时，力传感器所记录的示数F 是运
动过程中轻绳拉力的______（选填“最大值”或“最小值”）。
②由于空气阻力的影响，小球的摆动幅度逐渐减小，记录此过程中多组小球经过光电门时力传感器的示
数F 及对应的遮光时间Δt，作出F −1
Δt
2的关系图像如图4 所示，算出图像的斜率为k，截距为b，利用
以上数据，可求得当地的重力加速度为______（用字母D、r、b、k 表示），空气阻力对重力加速度的测
量______（选填“有”或“没有”）影响。
【答案】(1) AB 98.10 t
50 9.81 可以
(2) 最大值 b D
2
kr
没有
【详解】（1）[1]A．细摆线减小空气阻力，伸缩性小保证摆长稳定，故A 正确；
B．质量大、体积小的摆球可减小空气阻力影响，故B 正确；
C．单摆只有在摆角小于5°时，运动才可近似为简谐运动，周期公式才成立，故开始时拉开摆球，使摆角
为30°后释放，不是简谐运动，故C 错误。
故选AB。
[2]十分度的游标卡尺的精度为0.1mm，摆球直径d =12mm +0×0.1mm =12mm
可得单摆的摆长L=l+ d
2 =97.50cm + 1.2
2 cm =98.10cm
[3]从摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做50 次全振动所用的时间t，则单摆周期T = t
50
[4][5]根据周期公式T =2π ❑√
L
g
可得T
2= 4 π
2 L
g
可得T
2−L的图像的斜率k = 4 π
2
g
可得当地重力加速度g= 4 π
2
k
= 4×9.86
4.02
m /s
2=9.81m /s
2
[5]若摆球质量分布不均匀，等效摆长应为悬点到质心的距离，设为L
′ =l+ d
2 + Δ L
Δ L是质心与几何中心的偏差，有T
2= 4 π
2
g (l+ d
2 + Δ L)= 4 π
2
g
(L+ Δ L)
可知T
2−L图像仍为直线，斜率不变，因此可以消除摆球质量分布不均的误差。
（2）[1]将小球拉离平衡位置一较大的角度，由静止释放，小球经过光电门时，速度最大，所需向心力最
大，可知力传感器所记录的示数F 是运动过程中轻绳拉力的最大值。
[2]小球经过光电门的速度v = D
Δt
向心力公式F −mg=m v
2
r
可得F =(
m D
2
r )⋅1
Δt
2 +mg
可得F −1
Δt
2图像的斜率k = m D
2
r
，截距b=mg
可得重力加速度为g= b D
2
kr
[3]空气阻力只影响每次通过光电门的速度大小，但F −1
Δt
2图像的线性关系不变，斜率和截距不受影响，
因此空气阻力对重力加速度的测量没有影响。
9．某研究性学习小组采用图甲装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。
(1)（单选）以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有___________
A．拉开摆球，使摆线相对平衡位置偏角越大，周期测量越准确
B．单摆经过平衡位置时开始计时，一次全振动后停止计时，用此时间作为单摆周期
C．不测量摆球直径，利用周期的平方与摆线长的T
2−l图像也能测定重力加速度
(2)改变摆线长度，测量出多组周期T、摆长L的数据后，画出T
2−L图像如图乙所示，则当地重力加速度
g=__________m/s
2（结果保留3 位有效数字）
【答案】(1)C
(2)9.86
【详解】（1）A．单摆的摆角不应该超过5°，否则就不是简谐振动，A 错误；
B．单摆经过平衡位置时开始计时，然后测量单摆至少30 次全振动的时间，求得周期的平均值作为单摆
周期，B 错误；
C．不测量摆球直径，根据T =2π❑√
l+r
g
可得T
2= 4π
2
g
l+ 4π
2r
g
利用周期的平方与摆线长的T
2−l图像的斜率也能测定重力加速度，C 正确。
故选C。
（2）根据T =2π❑√
L
g
可得T
2= 4π
2
g
L
由图像可知k = 4π
2
g
=
4.000−3.520
(100−88)×10
−2
则当地重力加速度g=9.86 m/s
2
10．某同学遇到一个还未安装的超大排水管，他想通过实验间接测量管道的内径。实验器材有：铁架台、
细线、摆球、秒表、米尺等。
(1)先在实验室测量当地的重力加速度g。
①如图1 所示，将细线的一端连接摆球，另一端固定在铁架台上O 点，然后将摆球拉离平衡位置，释放
摆球，让单摆开始摆动。下列做法有助于减小实验误差的有______。（多选）
A．摆球选择半径较小、密度较大的
B．使摆角大一些，方便观察
C．让摆球尽量在同一竖直面内摆动
D．在摆球摆至最高点时开始计时
②选取摆线长度为l时，测得摆球摆动30 个完整周期的时间t，计算出单摆周期T。改变摆线长度重复实
验，记录相关数据，在坐标纸上作出的l−T
2图线为一条直线，如图2 所示。设直线斜率为k，则重力加
速度可表示为g=_______（用k 表示）。
③由图2 求得当地的重力加速度大小为_________m/s2（π2取9.86，结果保留3 位有效数字）。
④本实验没有测量摆球直径，对测量结果______（选填“有”或“无”）影响。
(2)再测量排水管道的内径。排水管道水平放置，截面为圆形，内壁较光滑。先让小钢球停在管底，标记
管底位置。再让小钢球从一个较小高度释放，开始滚动，钢球通过管底时开始计时，记录滚动10 个完整
周期的时间为30.0s，可算出管道内径（直径）为D=______m（结果保留2 位有效数字）。
【答案】(1) AC 4π2k 9.66 无
(2)4.4
【详解】（1）[1]A．摆球选半径小、密度大的，可减小空气阻力的影响，A 正确；
B．单摆测重力加速度的实验中，单摆只有摆角小于5°时才近似做简谐运动，摆角过大会偏离简谐运动，
增大误差，B 错误；
C．摆球需在同一竖直面内摆动，若变成圆锥摆会导致周期测量错误，C 正确；
D．应在摆球经过最低点（速度最大，位置易判断）时计时，最高点速度小，计时误差大，D 错误。
故选AC。
[2]设小球半径为r，根据单摆周期公式T =2π ❑√
l+r
g
整理得l = g
4 π
2 ·T
2−r
因此l−T
2图线的斜率k = g
4 π
2
可得g= 4 π
2k
[3]由图2 计算斜率k = Δl
ΔT
2 = 0.98−0.49
4.0−2.0 =0.245 m/s
2
代入得g= 4 π
2k = 4×9.86×0.245 m/s
2≈9.66 m/s
2
[4]重力加速度g只由l−T
2图线的斜率决定，摆球半径只影响图线截距，不影响斜率，因此不测量摆球直
径对结果无影响。
（2）[5]小钢球在管道内做小角度摆动，等效为单摆，设管道内径为D，忽略钢球半径，等效摆长为
L= D
2
由题意得摆动周期 T
' = 30.0s
10
=3s
代入单摆周期公式T
′ =2π ❑√
L
g =2π ❑√
D
2 g
整理得D = gT
′ 2
2π
2
解得D = 9.66×3
2
2×9.86 m ≈4.4 m
题型二 创新实验提升
1.实验器材和实验方案的改进
2.实验原理的改进
【例题精讲】
1．某南极科考队需要粗略测定南极地区的重力加速度，科考队员利用冰盖表面一处自然形成的光滑冰坑
（过最低点的竖直截面为圆弧形）、小铁球、游标卡尺、秒表等工具开展实验。
(1)用游标卡尺测量小铁球直径，读数如图乙所示，则小铁球的直径d=________cm。
(2)队员将小铁球从冰坑右侧由静止释放，小铁球沿冰坑的运动可等效为单摆。为了准确测量周期，从小
铁球第1 次经过最低点时开始用秒表计时，到第21 次经过最低点，所用的时间为t，则等效单摆的周期
T=________。
(3)为提高测量精度，队员更换直径不同的小铁球重复多次实验，根据实验记录的数据，绘制了T
2−d
2 图
像如图丙所示，图中图线的横、纵截距均已标出，则该地的重力加速度g=________，圆弧冰坑的半径
R=________。（用含π、x0、y0字母的表达式表示）
【答案】(1)1.215
(2) t
10
(3) 4 π
2 x0
y0
x0
【详解】（1）根据图像可知游标卡尺的分度值为0.05mm，读数为d =1.2cm +0.05 mm ×3=1.215cm
（2）根据描述可知小铁球做了十个全振动用时为t，所以周期为T = t
10
（3）[1][2]将小铁球在圆弧中的运动看成单摆，有T =2π ❑√
l
g
其中摆长为l = R−d
2
整理后有T
2= 4 π
2 R
g
−4 π
2
g · d
2
所以可得到4 π
2
g = y0
x0
即g= 4 π
2 x0
y0
同时有4 π
2 R
g
= y0
所以R = x0
2．图甲为某兴趣小组设计的实验装置，在单摆悬点处安装力传感器，可采集摆线的拉力；在小球的平衡
位置正下方处安装光电门，可采集小球底部的轻质遮光片遮住光的时间。利用本装置可以完成测量当地
重力加速度大小g、验证机械能守恒定律等实验。
实验操作如下：
(1)测量所需长度：用刻度尺测得摆线长度为L，用游标卡尺测得小球直径为D；用螺旋测微器测量遮光片
的宽度为d，如图乙所示，则d =_________mm。
(2)测量当地重力加速度的大小：将小球拉至与竖直方向成较小角度并由静止释放。利用力传感器，获得
摆线所受拉力F 的大小与时间t 的关系图像，如图丙所示，则单摆的周期T =_________（用“t1”“t2”
表示），重力加速度大小的测量值为_________（用“L”“D”和“T”表示）。
(3)验证机械能守恒定律：
①将小球拉至与竖直方向成较大角度θ，并由静止释放。
②记录小球经过平衡位置时遮光片的遮光时间为t。则此时遮光片的速度大小为v = d
t 并将此速度视为小球
经过平衡位置时的速度。
③改变θ，重复①和②。
根据所测数据，小球由静止运动到平衡位置的过程中，在误差允许的范围内，若满足1
2 v
2=
_____________的关系式（用“g”“θ”“L”“D”表示），则小球在上述过程中机械能守恒。
根据多次测量结果发现：小球由静止运动到平衡位置的过程中，重力势能减少量总是小于动能增加量，
可能的原因是_____________。（写出一条即可）
【答案】(1)1.200
(2) 2(t2−t1) 2π
2(2 L+ D)
T
2
(3) g(L+ D
2 )(1−cosθ) 遮光片的速度大于小球的速度
【详解】（1）由图乙可知，螺旋测微器的读数为d =1mm +20.0×0.01mm =1.200 mm
（2）[1]根据单摆的特点可知，在最低点处时的拉力是最大的，所以周期的大小应为T =2(t2−t1)
[2]单摆的周期公式为T =2π ❑√
l
g
其中l 为摆长，大小应为l = L+ D
2
整理后可得g= 2π
2(2 L+ D)
T
2
（3）[1]若忽略阻力，应有mgh=mg( L+ D
2 )(1−cosθ)= 1
2 m v
2
整理后即为1
2 v
2= g(L+ D
2 )(1−cosθ)
[2]由于遮光片的位置低于小球，其做圆周运动的半径更大，通过光电门测得的速度会略大于小球，因此
计算得到的小球的动能增加量会偏大。
3．小张同学为了测定当地的重力加速度，利用在半径为R 的光滑圆弧面上做简谐运动的匀质小球来进行
实验，实验装置如图甲所示，在该实验条件下，小球在圆弧球面上的运动可视为单摆。
(1)该同学利用螺旋测微器测量小球的直径，示数如图乙所示，则小球的直径d =_____________mm。
(2)该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A 点由静止释放后，压力传感器的示数变化如图
丙所示，则根据已知的物理量、可得当地重力加速度g 的表达式为g=_____________（用d、t0、R 表
示）。
(3)另一同学将光滑圆弧球面半径R 当作小球等效单摆长度，所测得的g 值比真实重力加速度
_____________（选填“偏大”“偏小”或“无误差”）。
【答案】(1)4.700
(2)(R−d
2)π
2
4t0
2
(3)偏大
【详解】（1）螺旋测微器的精确度为0.01mm，读数为4.5 mm +20.0×0.01mm = 4.700 mm
（2）由图丙可得小球摆动的周期为T = 4 t0，再根据T =2π
❑
√
R−d
2
g
解得g=(R−d
2)π
2
4t0
2
（3）若将光滑圆弧球面半径R 当作小球等效单摆长度，则测量的重力加速度g= R π
2
4t0
2 ，即测得的g 比真
实重力加速度偏大。
4．某校举办科技月活动，一位同学设计了名为“多功能加速度测量仪”的简易装置，如图甲所示。将下
端系有小球的细线上端悬于小车内O 点，细线和小球后面固定一个处于竖直面内的半圆形刻度盘，细线
和小球在与刻度盘平行的竖直面内摆动且与刻度盘均不接触。
(1)图乙中用游标卡尺测量小球的直径，读数为___________mm。
(2)若保持小车静止，可用该装置测量当地的重力加速度，拉动小球使细线指向“5°”处，由静止释放小球，
小球在竖直平面内发生n 次全振动的时间为T，已知从O 点到小球上端的细线长度为l，小球的直径为
d。则当地重力加速度的表达式为（ ）
A．2n
2π
2(2l+d)
T
2
B．4 n
2π
2(l+d)
T
2
C．2π
2(2l+d)
n
2T
2
(3)当用该装置测量小车在水平方向的加速度时，将图甲中的角度值改为加速度值，则可以根据细线所在
位置直接读出小车的加速度值。那么“45°”处对应的加速度值应为_________m/s2（g 取9.8m/s2，结果保
留2 位有效数字）。
【答案】(1)18.55
(2)A
(3)9.8
【详解】（1）游标卡尺是20 分度，精确度为0.05mm，由题图可知，其读数为
d =18 mm +0.05×11mm =18.55 mm
（2）由题意可知，细线和小球共同构成单摆模型。其单摆的周期为T 周= T
n
其摆长为L=l+ d
2
由于T 周=2π ❑√
L
g
整理有g= 2n
2 π
2(2l+d)
T
2
故选A。
（3）由题意可知，小车与小球相对静止时，偏角为45°，对小球受力分析有T cosθ =mg，T sinθ =ma
解得a=9.8 m/s
2
5．某同学利用双线摆测量重力加速度的实验装置如图a 所示，两根不易形变的、长度相同的细线一端拴
在小钢球上，另一端分别固定在等高的A、B 两点，实验时轻轻拨动小钢球，让它绕O 点摆动。
(1)小钢球摆动过程中，摆角应该小于5°的是图中的______（填α或β）
(2)用螺旋测微器测量小钢球直径d=______mm
(3)测得A 点到小钢球之间细线的长度为l1， A、B 两点间距离为l2，摆球的直径d，n 次全振动的时间为
t，则当地重力加速度为g=______（用l1、l2、d、n、t、π表示）
【答案】(1)α
(2)20.034/20.035/20.036
(3)4π
2n
2
t
2
×(
❑√
l1
2−(
l2
2)
2
+ d
2)
【详解】（1）让双线摆在垂直于纸面摆动，所以摆角应该小于5°的是图中的α；
（2）用螺旋测微器测量小钢球直径d =20.0 mm +3.5×0.01mm =20.035 mm
（3）双线摆的周期为T = t
n
等效摆长为L=
❑√
l1
2−(
l2
2)
2
+ d
2
根据单摆周期公式，有T =2π ❑√
L
g
联立解得当地重力加速度为g= 4π
2n
2
t
2
×(
❑√
l1
2−(
l2
2)
2
+ d
2)。
6．请按要求完成下列实验内容。
(1)如图甲，将一个小钢球通过两根长均为s 的不可伸长的细线悬挂在A、B 两点，A、B 两点连线水平且
距离为x，摆球直径为d。摆球在垂直纸面内的竖直面内小角度摆动，则：
①该单摆的摆长L=_______（用s、x、d 表示）；
②用游标卡尺测量d 如图乙，则d=_______mm；
③写出该双线摆的一个优点：_______。
(2)为了探究小车质量一定时，加速度a 与其受到的合外力F 的关系，设计了如图丙所示的装置：在桌面
上放一块固定有定滑轮的木板，细绳的一端固定在小车上，另一端绕过定滑轮悬挂钩码，连接小车的细
绳始终平行于木板，反复调节木板下方垫片的位置，直到轻推小车，小车通过光电门1、2 的_______，
此时小车受力平衡。
①若通过光电门1 的时间t1大于通过光电门2 的时间t2，则应将垫片向_______（选填“左”或“右”）
移动恰当的距离；
②若钩码质量为M，重力加速度大小为g，调节垫片的位置使得小车在木板上下滑时受力平衡。现将小车
置于图示位置，取下钩码让小车下滑，则小车下滑过程中受到的合外力大小为_______。
【答案】(1) ❑√s
2−( x
2 )
2
+ d
2
15.3 可以比较稳定地控制摆球在同一竖直面内摆动（答案合
理即可）
(2) 时间相等 右 Mg
【详解】（1）[1]如图，摆长为O 点到球心的距离
由勾股定理可得图中虚线长度为❑√s
2−( x
2 )
2
故摆长为❑√s
2−( x
2 )
2
+ d
2
[2]摆球直径为d =15 mm +3×0.1mm =15.3 mm
[3]该双线摆的一个优点：可以比较稳定地控制摆球在同一竖直面内摆动，答案合理均可。
（2）[1]若通过两光电门时间相等，则小车匀速下滑。
[2]若通过光电门1 的时间长，说明小车加速下滑，倾角过大，垫片需要向右端移动；
[3]由于钩码挂上时，小车受力平衡，则钩码取下后，小车受到的合力大小应等于钩码的重力大小，为
Mg。
7．某同学利用在半径为R 的光滑圆弧球面上做简谐运动的匀质小球来测定当地的重力加速度，实验装置
如图甲所示，在该实验条件下，小球在圆弧球面上的运动可视为单摆。
(1)该同学首先利用游标卡尺测量小球的直径，示数如图乙所示，则小球的直径为d = __________cm。
(2)该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A 点由静止释放后，压力传感器的示数变化如图
丙所示，则小球摆动的周期为T = __________。
(3)根据已知的物理量，可得当地重力加速度g 的表达式为g = __________（用d、t0、R 表示）。
(4)另一同学将光滑圆弧球面半径R 当作小球等效单摆长度测得重力加速度，则测得的重力加速度的值
__________（选填“大于”、“小于”或“等于”）当地重力加速度的真实值。
【答案】(1)1.050
(2)T = 4 t0
(3)g=
4 π
2( R−d
2 )
16t0
2
(4)大于
【详解】（1）由游标卡尺读数有，小球的直径d =10 mm +10×0.05 mm =1.050cm
（2）小球从A运动到O，再到B，返回O最后运动到A，运动的时间为一个周期，当小球运动到O点时，
压力传感器示数最大，所以一个周期内压力传感器示数出现两次最大，由图丙可知，小球摆动的周期为
T = 4 t0。
（3）由题意可知周期T = 4 t0，摆长为L= R−d
2
根据单摆周期公式T =2π ❑√
L
g ，可得g= 4 π
2 L
T
2
解得g=
4 π
2( R−d
2 )
16t0
2
（4）由（3）可知g=
4 π
2( R−d
2 )
16t0
2
若将光滑圆弧球面半径R当作小球等效单摆长度测得重力加速度，显然等效摆长变大，所以重力加速度g
的测量值大于当地重力加速度的真实值。
8．某实验小组用如图甲所示的装置测量物体的质量和当地重力加速度大小。在铁架台上端横梁O 处固定
一力传感器，力传感器下端通过轻绳悬挂一小球，铁架台下方固定了一个光电门。小球静止时，调节光
电门的位置，使其发出的红外线刚好射到小球的球心。
安装好实验器材，实验小组进行如下操作：
①测出轻绳的悬点到小球球心的距离l 和小球直径d。
②小球静止悬挂时，读出力传感器示数F0。
③将轻绳拉到偏离平衡位置一定角度，由静止释放小球，小球摆动经过光电门时，读出力传感器的示数F
和小球经过光电门时的遮光时间t。
④让小球从偏离平衡位置不同角度释放，重复实验，记录多组F、t 数据，并计算得到1
t
2。
(1)以F 为纵轴、1
t
2为横轴做出F −1
t
2的关系图像如图乙所示，已知该图像的斜率为k，则该小球的质量为
____，当地重力加速度大小为_____。（均用题中给出的字母表示）
(2)若实验中摆线出现松动，则小球质量的测量值与真实值相比________（选填“偏大”、“偏小”或
“不变”），当地重力加速度大小的测量值与真实值相比________（选填“偏大”、“偏小”或“不
变”）。
【答案】(1) kl
d
2 F0d
2
kl
(2) 偏小 偏大
【详解】（1）[1][2] 小球经过光电门时的速度大小为v = d
t
小球静止悬挂时，读出力传感器示数F0，则F0=mg
根据牛顿第二定律有F −F0=m v
2
l
整理得F = md
2
l
·(
1
t)
2
+ F0
结合图乙，有k = md
2
l
解得m= kl
d
2，g= F0d
2
kl
（2）[1][2] 若实验中摆线出现松动，则l 变大，代入数据偏小，根据m= kl
d
2可知质量偏小；同理根据
g= F0d
2
kl
，可知重力加速度偏大。
9．某实验小组用自己改进的装置完成“用单摆测量重力加速度”实验，把一个较重的匀质磁性小球，用
两根长度均为L 的轻绳悬挂在一根水平绝缘杆上摆动，如图甲所示。
(1)关于本实验及操作，下列说法正确的有______（单选，填序号）
A．两轻绳可用轻质橡皮筋代替
B．为了方便固定绳子，可以将绳子的A、B 端缠绕在水平绝缘杆上
C．让小球在垂直于OAB的平面内做小角度的摆动
D．为了方便测量周期，可以将小球拉离竖直方向较大的角度后由静止释放
(2)用20 分度的游标卡尺测量小球的直径d 如图乙所示，则小球直径d=_____cm；
(3)实验时磁性小球的N 极在小球的正下方，他们将智能手机放置在小球摆动最低点的正下方，打开手机
磁力传感器，采集到磁感应强度B 及随时间t 变化的图像如图丙所示，则单摆的周期T=_____s（结果保留
2 位有效数字）；
(4)实验中，测得所用轻绳的长度为L，悬点AB的间距为x，则当地的重力加速度可表示为g=_____。（用
L、x、d、T 表示）。
【答案】(1)C
(2)2.200
(3)2.0
(4)2π
2(❑√4 L
2−x
2+d)
T
2
【详解】（1）AB．单摆的摆长不能改变，两轻绳不能用轻质橡皮筋代替，绳子的A、B 端需固定，不能
缠绕在水平绝缘杆上，故AB 错误；
C．单摆在摆角小于5°的情况下的振动是 简谐运动，小球应在竖直平面内做小角度摆动，故C 正确；
D．为了方便测量周期，应在小球经过最低点时计时，故D 错误；
故选C。
（2）游标卡尺的精确度为0.05mm，读数为2.2cm +0×0.05 mm =2.200cm
（3）一个周期内摆球两次经过最低点，小球经过最低点时磁感应强度最大，根据图丙所示可知，单摆的
周期为T = 12−2
5
s=2.0s
（4）根据几何关系可知摆长为l =
❑√L
2−( x
2 )
2
+ d
2
根据单摆周期公式T =2π ❑√
l
g
解得g= 2π
2(❑√4 L
2−x
2+d)
T
2
10．某同学欲测量当地的重力加速度，利用的实验器材有：带有滑槽的水平导轨，足够长的一端带有滑
轮的木板，不可伸长的细线，重物，沙漏（装有沙子），立架，加速度传感器，刻度尺。具体操作如下：
①按图甲所示安装好实验器材，并测量摆线的长度L（沙漏的大小可忽略）；
②将沙漏拉离平衡位置（摆角较小）由静止释放，使沙漏在竖直面内振动；
③沙漏振动稳定后，由静止释放重物，使木板沿滑槽运动，记下加速度传感器的示数a0，漏出的沙子在
木板上形成的曲线如图乙所示（忽略沙子落在木板上后木板的质量变化）；
④缓慢移出木板，测量曲线上相邻三点A、B、C之间的间距xAB、xBC，并计算出Δ x = xBC−xAB；
⑤改变立架的高度及摆线的长度，重复②③④的操作。
回答下列问题：
(1)对该实验，下列说法正确的是______（填字母）
A．随着沙漏中沙子的流出，Δ x将减小
B．其他条件不变，增大重物的质量且减小摆角，Δ x将增大
C．其他条件不变，增大摆线的长度且减小摆角，Δ x可能不变
(2)沙漏振动稳定后的周期T =______（用Δ x、a0表示）。
(3)该同学依据测出的L和Δ x，作出的L−Δ x图像如图丙所示，若测得该图像的斜率为k，则计算重力加
速度的表达式为g=______（用题中字母表示）。
【答案】(1)B
(2)2❑√
Δ x
a0
(3)a0π
2k
【详解】（1）A．木板做匀加速直线运动，相邻两点间的时间间隔为单摆周期的一半，由匀变速直线规
律分析可知Δ x =a0
T
2
4 ，所以Δ x不变，故A 错误；
B．仅重物质量增大时，木板的加速度增大，单摆的周期不变，由Δ x =a0 T
2
4
，可知Δ x将增大，故B 正确；
C．摆线长度增大时，单摆的周期变大，由Δ x =a T
2
4
，可知Δ x也增大，故C 错误。
故选B。
（2）因为Δ x =a0
T
2
4
解得单摆的周期为T =2❑√
Δx
a0
（3）由单摆的周期公式得T =2π ❑√
L
g
又因为Δ x =a0
T
2
4
联立解得L=
g
a0 π
2 Δ x
所以k =
g
a0 π
2
解得g=a0π
2k
