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实验10 用单摆测重力加速度
目 录
01 新高考命题热点
02 核心考点综述
1）实验原理
2）实验器材
3）实验步骤
4）数据处理
5）误差分析
03 典型真题精练
04 创新实验新考法
1）利用光滑斜面测重力加速度
2）用智能手机与小磁粒测重力加速度
3）用双线摆和手机光传感器测量重力加速度
4）用固定光滑圆弧面测定重力加速度
5）利用光电计数器（光电门）和压力传感器测重力加速度
6）用霍尔元件和单片机进行计时测重力加速度
7）用DIS 系统测重力加速度
8）用速度传感器测重力加速度
05 分层强化训练
1
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新高考注重考查学生对实验数据的处理能力，如运用多次测量求平均值、图像法处理数据等。同时，
对于实验误差来源的分析，从系统误差到偶然误差，都要求学生能准确阐述并提出减小误差的方法。例
如，单摆摆长测量时对摆球半径测量的误差分析，以及周期测量时人为计时误差等。考查学生对单摆实验
原理的深度理解，能否将其应用到类似的简谐运动情境中。如利用单摆模型分析一些复杂的摆动物体运
动，判断是否可近似看作单摆，以及如何根据单摆原理测量相关物理量。
一、实验原理
单摆在摆角小于5°时，其运动可看作简谐运动，周期公式为
，通过测量单摆的摆长L 和
周期T，就可以计算出当地的重力加速度
。
二、实验器材
2
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主要有带中心孔的金属小球、不可伸长的细线、铁架台、游标卡尺、毫米刻度尺、秒表等。
三、实验步骤
1.用游标卡尺测量摆球直径d，用毫米刻度尺测量摆线长度l，摆长
。
2.把单摆悬挂在铁架台上，拉开摆球至摆角小于 5° 后释放，用秒表测量单摆完成n 次全振动的时间
t，则周期
。
3.改变摆长，重复上述步骤，测量多组数据。
四、数据处理
1.公式法：根据
，将每组测量的L 和T 代入计算，然后求g 的平均值。
2.图像法：以L 为横坐标，T2为纵坐标，作出T2-L 图像，图像的斜率
，由此可计算出
。
五、误差分析
1.系统误差：主要来源于单摆模型的近似，如摆角大于 5° 时，单摆运动不再是严格的简谐运动；摆
球质量分布不均匀也会对实验结果产生影响。
2.偶然误差：摆长测量误差、周期测量时的计时误差等，可通过多次测量求平均值减小偶然误差。
3
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【例1】（2024·广西·高考真题）单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中 不变；
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为
；
(3)若将一个周期为T 的单摆，从平衡位置拉开
的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。
当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x 与时间t 的关系为 。
【答案】(1)摆长 (2)1.06 (3)
【解析】（1）选择图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变；
（2）摆球直径为
（3）根据单摆的周期公式
可得单摆的摆长为
从平衡位置拉开
的角度处释放，可得振幅为
以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x 与时间t 的关系为
4
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【例2】（2024·辽宁·高考真题）图（a）为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。
某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T 与外径D 之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如图（b）所示，从图中读出
。
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，如
图（c）所示。当积木左端某次与O 点等高时记为第0 次并开始计时，第20 次时停止计时，这一过程中积
木摆动了 个周期。
(3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T 与D 之间的函数关系，可用它们的自然对数作
为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示：
颜色
红
橙
黄
绿
青
蓝
紫
2.9392
2.7881
2.5953
2.4849
2.197
1.792
根据表中数据绘制出
图像如图（d）所示，则T 与D 的近似关系为______。
A．
B．
C．
D．
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施： 。
5
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【答案】(1)7.54/7.55/7.56 (2)10 (3)A (4)见解析
【解析】（1）刻度尺的分度值为0.1cm，需要估读到分度值下一位，读数为
（2）积木左端两次经过参考点O 为一个周期，当积木左端某次与O 点等高时记为第0 次并开始计时，之
后每计数一次，经历半个周期，可知，第20 次时停止计时，这一过程中积木摆动了10 个周期。
（3）由图（d）可知，
与
成线性关系，根据图像可知，直线经过
与
，则有
解得
则有
解得
可知
故选A。
（4）为了减小实验误差，提高该实验精度的改进措施：用游标卡尺测量外径D、通过测量40 次或60 次左
端与O 点等高所用时间来求周期、适当减小摆动的幅度。
【变式1】利用光滑斜面测重力加速度
1．（2024·河南·二模）某同学进行“单摆周期与重力加速度定量关系的实验研究”，在伽利略用斜面
“淡”重力思想的启发下，创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境。如图1 所示，在水平地面上
固定一倾角θ 可调的光滑斜面，把摆线一端固定于斜面上的O 点，使摆线平行于斜面。小角度拉开摆球至
A 点，静止释放后，摆球在ABC 之间做简谐运动。某次实验中，该同学通过力传感器（图中未画出）测得
摆线的拉力F 随时间t 变化的关系如图2 所示，其中T0已知，当地的重力加速度大小为g，摆球质量为m。
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(1)实验中测得摆球的周期T 为 （用T0表示）。
(2)如图1 所示，若摆球在A 点的摆角为α，则摆球在A 点的回复力是（ ）
A．
B．
C．
D．
(3)该同学多次调节斜面的倾角θ，测出相应的摆球周期T，并以T2为纵坐标，以 （填“sin
”或“
”）为横坐标，绘制的图像是一条直线，则可以得到实验结论。
【答案】(1)
(2)C (3)
【解析】（1）摆球经过最高点时，拉力最小，经过最低点时，拉力最大，由图可知，摆球的周期T 为
（2）由于摆球在斜面内摆动，所以在A 点的回复力为小球所受重力沿斜面向下的分量再分解到A 点切线
方向的分力，所以
故选C。
（3）根据单摆周期公式
所以
所以应以T2 为纵坐标，以
为横坐标，绘制的图像是一条直线，则可以得到实验结论。
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【变式2】用智能手机与小磁粒测重力加速度
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）重力加速度参数广泛应用于地球物理、空间科学、航空航天等领域．高精
度的重力加速度值的测量对重力场模型建立与完善、自然灾害预警、矿物勘探、大地水准面绘制等领域有
着重要的作用。某同学在“用单摆周期公式测量重力加速度”的实验中，利用了智能手机和两个相同的圆
柱体小磁粒进行了如下实验：
（1）用铁夹将摆线上端固定在铁架台上，将两个小磁粒的圆柱底面吸在一起，细线夹在两个小磁粒中间，
做成图（a）所示的单摆；
（2）用刻度尺测量悬线的长度，用游标卡尺测得小磁粒的底面直径如图d＝ cm；算出摆长L；
（3）将智能手机磁传感器置于小磁粒平衡位置正下方，打开手机智能磁传感器，测量磁感应强度的变化；
（4）将小磁粒由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，手机软件记录磁感应强度的变化曲线如图（b）
所示。试回答下列问题：
①由图（b）可知，单摆的周期为 ；
②改变摆线长度l，重复实验操作，得到多组数据，画出对应的2 的图像，算出图像的斜率为k，则重力加
速度g 的表达式为 。（用题中物理量的符号表示）
（5）某同学在家里做实验时没有找到规则的小磁铁，于是他在细线上的某点A 做了一个标记，实验中保
持标记A 点以下细线长度不变，通过改变悬点O、A 间细线长度改变摆长。实验中，测得悬点O 到A 点的
距离为
时对应的周期为
，悬点O 到A 点的距离为
时对应的周期为
，由此可测得当地的重力加速度
（用
、
、
、
表示）。
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【答案】
【解析】（2）[1] 小磁粒的底面直径
（4）①[2]根据单摆的运动规律一个周期内应该有两个电磁感应的最大值。由图可得出，单摆的周期为
。
[3]
②
根据
可得
所以
为纵坐标，此时斜率
得
（5）[4]设A 到小磁粒重心距离为
，根据
，
联立解得
【变式3】用双线摆和手机光传感器测量重力加速度
3．（2025·福建福州·二模）小艺同学利用双线摆和手机光传感器测量当地的重力加速度，如图甲所示，A
为激光笔，B 为手机光传感器。实验过程如下：
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a.用游标卡尺测量小球的直径d，如图乙所示；
b.测出位于同一水平高度的两悬点间的距离s 和两根等长悬线的长度L；
c.拉动摆球使两根悬线所在平面偏离竖直方向一个较小角度，将摆球由静止释放，同时启动光传感器，得
到光照强度随时间变化的图像如图丙所示，图中t0和
为已知量。
(1)小球的直径
cm；
(2)根据上述数据可得当地重力加速度；
（用
、d、s、L 和常量表示）。
【答案】(1)2.125 (2)
【解析】（1）根据游标卡尺的读数规律，该读数为
（2）双线摆的摆长
根据周期公式有
根据图丙可知
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解得
【变式4】用固定光滑圆弧面测定重力加速度
4．（24-25 高三上·江苏南京·阶段练习）某同学欲利用一半径较大的固定光滑圆弧面测定重力加速度，圆
弧面如图1 所示。该同学将小铁球从最低点移开一小段距离由静止释放，则小铁球的运动可等效为一单摆。
(1)用游标卡尺测量小铁球的直径，示数如图2 所示，则小铁球的直径d= mm。
(2)测量小铁球的运动周期时，开始计时的位置为图1 中的 （选填“A”、“O”或“A'”）处。
(3)测量50 次全振动的时间如图3 所示，则等效单摆的周期T= s。
(4)更换半径不同的小铁球进行实验，正确操作，根据实验记录的数据，绘制的
图像如图4 所示，横、
纵截距分别a、b，则当地的重力加速度g= ，圆弧面的半径R= 。（以上均用题目中的已
知字母表示）
【答案】(1)16.6 (2)O (3)
(4)
a
【解析】（1）游标卡尺的精确度为0.1mm，小铁球的直径
（2）测量单摆的运动周期时，应从最低点开始计时，故选填O 点。
（3）从图3 可知，50 次全振动的时间为96.8s，故周期为
（4）[1][2]摆球的周期
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变形得
结合图像可得
，
解得
，
【变式5】利用光电计数器（光电门）和压力传感器测重力加速度
5．（2024·河北邯郸·一模）重力加速度是物理学中一个重要概念，它描述了在地球表面附近自由落体运动
的加速度。某探究小组确定了两种方案测量重力加速度，一是利用单摆测量重力加速度，二是利用平抛运
动测量重力加速度。
方案一：利用单摆测量当地重力加速度
(1)甲同学欲利用图1 装置测量重力加速度，乙同学分析该装置测量周期时，测量全振动次数较多时摆球容
易做圆锥摆，于是提议利用图2 双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。已知每根轻细线长度为
，
两悬点间相距s。当小球通过光电门（平衡位置）时，光电计数器计数1 次，同时计时器开始计时。
请回答下列问题：
①如图3，用螺旋测微器测得小球直径
mm。若计数器显示的计数次数为n，所用时间为t，则双
线摆的振动周期
，利用图2 测得当地重力加速度
（用d、n、t、
、s 表示）。
②若利用图1 测量重力加速度，由于摆球做圆锥摆导致测量的重力加速度 （选填“偏大”或“偏
小”）。
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方案二：利用平抛运动测量当地重力加速度
(2)如图4 所示，四分之一圆弧轨道固定在水平台面上，在圆弧轨道最低点固定有压力传感器，将小球由圆
弧轨道某一高度静止释放，小球经过轨道最低点时压力传感器显示的压力大小为
，小球离开圆弧轨道后
做平抛运动，圆弧轨道的半径为R，小球的质量为m，抛出点距离地面的高度为h，水平射程为x，则当地
的重力加速度测量值
（用已经测得的量表示）。
【答案】(1) 4.700
偏大 (2)
【解析】（1）①[1] 由图3 可知，螺旋测微器读数为
[2][3]双线摆的振动周期为
双线摆的等效摆长
由单摆周期公式
代入数据解得
[4]②单摆周期公式为
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解得
圆锥摆的周期公式为
（
为摆线与竖直方向的夹角），可知圆锥摆的周期小于单摆的周期，所以如果测量全振动次数较多时摆
球做了圆锥摆，测得的周期偏小，由
计算得到的g 偏大。
（2）根据
，
，
联立解得
【变式6】用霍尔元件和单片机进行计时测重力加速度
6．（2024·广东江门·模拟预测）在利用单摆实验测量重力加速度时，某同学想改变传统秒表计时的方
式，改为使用霍尔元件和单片机进行计时。按图乙方式将霍尔元件置于磁性摆球静止时的正下方，当小球
做单摆运动经过最低点时，霍尔传感器产生脉冲信号并发送给单片机，单片机接收信号并计时，并将数据
传输给电脑和手机，实时显示测量结果并分析处理和存储数据。
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(1)实验前，再用刻度尺测出绳长为L，用游标尺上有20 个小格的游标卡尺测量摆球的直径，结果如图甲所
示，可读出摆球的直径d= cm；
(2)电脑将单片机传输的计时数据处理后得到电压的脉冲信号随时间t 的变化图线如图丙所示，则该单摆的
周期为 ；
(3)最后根据测量得到单摆的摆长和运动周期，计算出重力加速度，其表达式为g= 。（用本题中涉
及的符号表示）
(4)若某次实验找不到磁性小球，只有一个不规则的小磁铁，将小磁铁用细线悬挂起来做成单摆，取不同摆
长
、
……
进行n 次测量，得周期
、
……
，以测量的绳长L 为横坐标，
为纵坐标，作出
图线，如图丁所示，应为图线 （填“a”“b”或“c”）。使用图像法处理数据测重力加速度，不
规则小磁铁的重心不确定，这对测量结果是否有影响？ （填“是”或“否”）
【答案】(1)0.810 (2)
(3)
(4) a 否
【解析】（1）由图甲可读出摆球的直径是
（2）由题意可知，当小球做单摆运动经过最低点时，霍尔传感器产生脉冲信号，因此由图丙可知相邻两
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个电压脉冲之间的时间间隔为半个周期，则该单摆的周期为
。
（3）可知绳长为L，摆球的直径为
，则有摆长为
由单摆的周期公式可得
（4）[1]以测量的绳长L 为横坐标，
为纵坐标，设小磁铁的重心到固定小磁铁悬线的距离为
，可知单
摆的摆长为
，由单摆的周期公式可得
可知
图线应为图线a。
[2]使用图像法处理数据测重力加速度，不规则小磁铁的重心不确定，由
可知
图线的斜率
不变，则测量值
不变，因此这对测量结果没有影响，即否。
【变式7】用DIS 系统测重力加速度
7．（2024·山东济南·模拟预测）学习了DIS 系统的使用之后，某小组同学设计了如图甲所示的实验装置来
研究单摆运动。左侧由发射器和接收器组成，接收器通过数据采集器与计算机相连。在发射器运动过程中，
系统每隔0.02s 记录一次发射器的位置及发射器的速度大小。右侧有两个竖直杆固定在底座上，杆上分别
装有可沿竖直杆移动的刻度尺和激光笔，激光笔水平放置。
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(1)使发射器自由静止在最低点，调整激光笔的高度，使水平细激光束与发射器的中心保持相平，调节刻度
尺的高度，使零刻线与细激光束相平，并固定刻度尺；将激光笔上移，使水平细激光束恰好经过接收器的
下边缘，读取刻度尺读数，即为摆长L。此时刻度尺如图乙所示，摆长为 cm。
(2)使发射器（相当于摆球）偏离平衡位置一小段距离后由静止释放，使其在竖直平面内摆动。多次往复运
动后，在计算机屏幕上得到发射器在竖直平面内的运动轨迹。在运动轨迹上选取适当区域后。点击“计算
数据”，系统即可计算出摆球在所选区域内各点的重力势能、动能及总机械能，并绘出对应的图线，如图
丙所示。由图丙可知，此单摆的周期为 s，重力加速度为 m/s2。（保留三位有效数
字）
(3)在运动轨迹上选取适当区域后。点击“计算数据”，系统即可计算出摆球在所选区域内各点的重力势能、
动能及总机械能，并绘出对应的图线，如图丙所示。已知轨迹最高点A 与最低点B 之间的高度差为H，则
C 点所处位置与最低点之间的高度差为 。
【答案】(1)31.36/31.35/31.37 (2) 1.12 9.83~9.86 (3)
【解析】（1）图中刻度尺的分度值为
，需要估读到下一位，由图乙可知摆长为
（2）[1]由图丙可知此单摆的周期为
[2]根据单摆周期公式
可得
（3）以最低点为0 势能位置，则摆球的机械能为
设C 点所处位置与最低点之间的高度差为，由丙图可知此时动能与重力势能相等，则有
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且
联立可得
【变式8】用速度传感器测重力加速度
8．（2024·江西抚州·模拟预测）甲乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度，
(1)甲组同学采用图甲所示的实验装置。
①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用 ；（用器材
前的字母表示）
a.长度为30cm 左右的细绳
b.长度为1m 左右的细绳
c.直径为1.8cm 的铁球
d.直径为1.6cm 的塑料球
e.最小刻度为10mm 的米尺
f.最小刻度为1mm 的米尺
②用游标卡尺测量小球直径，示数如图2 所示，读数为 cm。
(2)
A
①
同学测出单摆的摆长为l，不同摆长时对应的单摆周期为T，利用图像方法处理数据，作
图时
描点如图丁。若他在图上将各数据点拟合成一条直线，可以得到的当地重力加速度为
（保留3
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位有效数字，
）
B
②
同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示将摆球拉开一小角度使其做简谐运
动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的
图线。估算小球能摆到
的最大高度约为 m（保留1 位有效数字）；
【答案】(1) bcf 1.86
(2) 9.86 0.05
【解析】（1）[1]根据实验要求，为了控制角度，方便计算，摆长应选长度接近1m 的细绳；为减小空气阻
力的影响，应选用体积较小的实心金属球，故选直径为1.8cm 的铁球；根据
得
可知需要测量摆长，所以需要最小刻度为
的米尺。
故选bcf。
[2]读数为
（2）[1]根据
得
知图线的斜率
解得
g=9.86m/s2
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[2]由图丙可知，该单摆的最大速度
v=100cm/s=1m/s
根据机械能守恒有
解得小球能摆到的最大高度
1．（2025·浙江·模拟预测）某同学用单摆测量学校所在地的重力加速度。实验步骤如下：
a.在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大些的结，将细线穿过球上的小孔，并把细线上端固定在铁架台
的上端；
b.先用游标卡尺测得小球的直径，算出半径，再用刻度尺测量悬挂点与小球下端之间的距离，以两者之差
作为摆长L；
c.用停表测量单摆做多次全振动的时间，计算出周期T；
d.改变摆长多次重复实验，测量多组摆长L 与对应的周期T 的数据，并在坐标纸上作出L﹣T2的图像；
e.根据图像得出重力加速度的测量值；
f.查询所在地的重力加速度值，与测得的结果进行比较，并进行误差分析。
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(1)某次测量摆长时，刻度尺上的“0”刻度与悬点对齐，下端刻度如图1 所示，用游标卡尺测量小球的直径，
读数如图2 所示，则摆长为 m；
(2)实验中做出L
T
﹣
2的图像如图3 所示，则重力加速度g= m/s2.（结果保留3 位有效数字）
【答案】(1)0.8030 (2)9.87
【解析】（1）由图可知，刻度尺最小分度为0.1mm，再估读一位，则悬点到摆球下端的距离为
l=80.93cm
由题图2 可知小球的直径为
d=12mm+6×0.1mm=12.6mm=1.26cm
所以摆长为
L=l-
=80.93cm
0.63cm=80.30cm=0.8030m
﹣
（2）根据单摆周期公式有
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变形得
所以图线的斜率为
解得
g=π2≈9.87m/s2
2．（2024·吉林长春·模拟预测）某实验小组探究单摆做简谐运动的周期和小球的质量、单摆摆长的关系。
(1)小组内的两位同学各自组装了一套实验装置，分别如图甲、乙所示。为了保证小球在确定的竖直面内摆
动，应选用图 （选填“甲”或“乙”）所示的实验装置。
(2)关于该实验，下列说法正确的是_____。
A．该探究方法为控制变量法
B．实验所用小球的质量要尽量大，体积要尽量小
C．实验时细线的最大摆角约为
D．测量小球的摆动周期时，应该从小球处上最高点时开始计时
(3)当小球的质量一定，探究单摆做简谐运动的周期和摆长的关系时，该小组同学利用正确装置通过改变摆
长进行了多次实验，画出的
图像如图丙所示，由图丙可得小球的质量一定时，周期
和摆长的关系
为
（用
、
、表示）。
【答案】(1)乙 (2)AB (3)
【解析】（1）为了保证小球在确定的竖直面内摆动，应选用图乙所示的实验装置。
（2）A．探究单摆做简谐运动的周期和小球的质量关系时，应控制单摆摆长相同；探究单摆做简谐运动的
周期和单摆摆长的关系，应控制小球的质量相同，故该探究方法为控制变量法。故A 正确；
22
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B．为减小空气阻力的影响，实验所用小球的质量要尽量大，体积要尽量小。故B 正确；
C．小球做单摆运动，实验时细线的最大摆角约为5°。故C 错误；
D．测量小球的摆动周期时，应该从小球处于最低点时开始计时。故D 错误。
故选AB。
（3）根据图像可得
可得周期T 和摆长l 的关系为
3．（2024·广西来宾·模拟预测）某校举办科技节活动，一位同学设计了可以测量水平面上运动物体加速度
的简易装置，如图所示。将一端系有摆球的细线悬于小车内O 点，细线和摆球后面有一个半圆形的刻度盘。
当小球与小车在水平面上保持相对静止时，根据悬绳与竖直方向的夹角θ，便可得到小车此时的加速度。
(1)为了制作加速度计的刻度盘，需要测量当地的重力加速度，该同学利用单摆进行测量，若已知单摆摆线
长为l，周期为T，用游标卡尺测量小球直径，示数如图甲所示，则摆球的直径
cm。则计
算当地重力加速度的表达式为
。（用l，T，d 表示）
(2)该加速度测量仪的刻度 （填“均匀”或“不均匀”），小车的加速度
。
（用θ，g 表示）
【答案】(1) 2.125
(2) 不均匀
【解析】（1）[1]由于游标卡尺为20 分度，精确度为0.05mm，可知小球直径
[2]根据单摆的振动周期公式
可知当地的重力加速度
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（2）[1][2]当摆角稳定为θ 时，对小球进行受力分析可知
可得小车的加速度
由于加速度a 与摆角θ 不是正比关系，因此刻度不均匀。
4．（2024·江西南昌·模拟预测）某同学利用双线摆和光传感器测量当地的重力加速度，如图甲所示，A 为
激光笔，B 为光传感器。实验过程如下：
(1)用20 分度的游标卡尺测量小球的直径，如图乙所示，则小球的直径
mm。
(2)①测出两悬点（两悬点位于同一水平高度）间的距离s 和摆线长l（两摆线等长）。
②使悬线偏离竖直方向一个较小角度并将摆球由静止释放，同时启动光传感器，得到光照强度随时间变化
的图像如图丙所示，则双线摆摆动的周期
。
(3)根据上述数据可得当地重力加速度
（用T、d、l、s 表示），若小球经过最低点时，球心位置比
激光光线高度高些，则重力加速度的测量值与真实值相比 （填“偏大”“偏小”或“相等”）。
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【答案】(1)20.80 (2)
(3)
相等
【解析】（1）小球直径为
（2）因为每半个周期挡光一次，故双线摆摆动的周期
（3）[1] 根据几何关系可得摆长
根据单摆周期公式
解得
[2]因为不在同一高度会影响遮光时间，但不影响遮光周期，故重力加速度的测量值等于真实值。
5．（2024·河南安阳·一模）某同学用如图1 所示的单摆装置来测量当地重力加速度g，将一钢制小球通过
没有弹性的长为l 的细绳悬挂于O 点，小球通过最低点时球心会经过光电计时器，光电计时器用于测量小
球的运动时间。
(1)本实验中有关小球摆动时对应的圆心角
、绳长l 与小钢球直径d 的关系，最符合要求的是__________
（多选）。
A．圆心角
很小
B．圆心角
取任意锐角值
C．l 大于d 即可
D．l 远大于d
(2)若已知绳长l，还需要测量小钢球的直径d。某同学利用测量工具测得d 的值如图2 所示，其读数为
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mm。
(3)某次实验时，他将小钢球第一次到达最低点记作次数1，此时开始计时，经时间t 小球第n 次经过最低
点，则当地重力加速度的测量值
（用测量的物理量表示）。
(4)该同学采用不同绳长来做实验（均满足实验要求），得到绳长l 与周期T 的关系式
（k、b 为
已知量），则重力加速度的测量值
（用k 或b 表示）。
【答案】(1)AD (2)3.860 (3)
(4)
【解析】（1）单摆对摆角的要求为摆角很小，且细绳长度远大于小球直径。AD 符合要求；
（2）读数为
（3）周期
由单摆周期公式
联立解得
（4）由单摆周期公式
解得
6．（2024·海南儋州·模拟预测）某同学用图甲所示的装置研究单摆的规律，让摆球在竖直平面内做摆动，
摆角小于5°。用力传感器得到细线对摆球拉力F 的大小随时间t 变化的图线如图乙所示。
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(1)用游标卡尺测量小球的直径如图丙所示，其读数为 mm。
(2)某同学根据单摆周期公式计算当地重力加速度时，将细线长与小球直径之和作为摆长，则测得的重力加
速度将 （选填“偏大”“偏小”或“无影响”）。
(3)由图乙可得该单摆的运动周期为 s（结果保留两位有效数字）。
(4)该同学测得当地重力加速度
，结合图乙数据，可计算出摆球的质量为 kg（结果保留2
位有效数字）。
(5)若测定了40 次全振动的时间如图丁中秒表所示，秒表读数是 s。
【答案】(1)15.70 (2)偏大 (3)2.0 (4)0.46kg (5)135.2s
【解析】（1）该游标卡尺的精确度为0.05mm，所以其读数为
（2）由单摆周期公式有
整理有
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摆长应该为摆线长与小球半径之和，若将细线长与小球直径之和作为摆长，则摆长偏大，测得的重力加速
度将偏大。
（3）单摆在摆动过程中，摆球位于最高点时，细线弹力最小，根据图乙可知，连续两次细线弹力最小经
历时间为半个周期，则有
解得
（4）摆球在最低点有
摆球在最高点有
摆球由最高点到达最低点过程有
结合图乙解得
（5）由图乙所示，秒表读数为
7．（2024·贵州·三模）某同学用拉力传感器做“用单摆测量重力加速度”的实验，求解下列问题：
(1)为了尽量减小实验误差，实验室提供的下列器材中，应选择______。
A．天平
B．秒表
C．游标卡尺
D．长约1m 的细棉线
E．长约1m 的橡皮筋
F．直径约2
的木球
G．直径约2
的钢球
H．最小分度为1
的米尺
I．最小分度为1
的米尺
(2)该同学将单摆悬挂在拉力传感器上，测得该单摆的摆线长为L，小球直径为d。使单摆做小角度摆动，
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测得绳子拉力F 随时间t 变化的图像如图所示（图中
为已知量），根据该图像可知，该单摆振动的周期
为 ，根据上述物理量可得当地的重力加速度为
。（用相关物理量的字母表示）
【答案】(1)BCDGH (2)
【解析】（1）单摆周期公式为
解得
为了测得重力加速度，需要测量单摆的周期、摆线长与小球的直径，可知，实验需要秒表、游标卡尺与精
度较大的刻度尺，实验中摆线的长度一定，需要选用弹性较小的细棉线，为了减小阻力影响，实验需要选
用密度较大的小钢球。
故选BCDGH。
（2）[1][2]F 相邻两次到达最小值之间的时间间隔为半个周期，由图像可知周期为
据单摆周期公式可得
解得
8．（2024·辽宁葫芦岛·二模）智能手机中的“磁传感器”功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠
近手机，磁感应强度越大，通过分析就可以得到物体位置随时间变化的规律。某兴趣小组用智能手机、磁
化小球、支架、等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度。
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(1)按照如图甲所示，让小球做简谐运动，运行手机“磁传感器”功能，手机记录磁感应强度的变化。记录
实验中磁感应强度的变化情况如图乙所示，测得连续N 个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆
周期T 的测量值为 。
(2)用刻度尺测得摆线长度l，用螺旋测微器测量摆球直径如图丙所示，摆球直径d＝ mm。
则单摆的摆长
。
(3)改变摆线长度，测量出不同摆长L 及对应的周期T。做出
-L 图像如图丁所示，
取3.14。根据图中数
据可求得当地重力加速度g＝
。（结果保留三位有效数字）
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(4)请你写出一条在该实验中影响结果的可能原因 。
【答案】(1)
(2)
(3)9.86 (4)空气阻力、摆线质量、周期测量、长度测量均会存
在误差
【解析】（1）小球每次经过最右端位置时，距离手机最近，手机“磁传感器”记录的磁感应强度最大，
可知相邻两次磁感应强度最大值之间的时间间隔为一个周期，则有
（2）螺旋测微器读数为
（3）
故斜率为
解得
（4）空气阻力、摆线质量、周期测量、长度测量均会存在误差。
9．（2024·陕西·模拟预测）某同学用图（a）所示装置测定重力加速度，并验证机械能守恒定律。该同学
将光电门安装在小球平衡位置的正下方，在小球上安装轻质挡光片，挡光宽度为d．
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(1)用游标卡尺测量挡光部件的挡光宽度d，示数如图（b）所示，由图可知
cm。
(2)让单摆做简谐运动并开启传感器的计数模式，当光电门第一次被遮挡时计数器计数为1 并同时开始计时，
以后光电门被遮挡一次计数增加1。若计数器计数为N 时，单摆运动时间为t、则该单摆的周期
；
(3)该同学改变摆长，多次测量，得到周期平方
与摆长l 的关系如图（c）所示，所得结果与当地重力加
速度值相符，但发现图像没有过原点，其原因可能是________（选填正确选项前的字母）。
A．测周期时多数了一个周期
B．测周期时少数了一个周期
C．测摆长时直接将摆线的长度作为摆长
D．测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长
(4)如图（a）所示，该同学在铁架台后方固定量角器，利用此装置测重力加速度值。首先测得摆长为l，之
后将小球拉离平衡位置，当摆线与竖直方向成θ 角（θ 值可由量角器读出）时将小球由静止释放，传感器
测得小球第一次摆下挡光的时间
。多次改变摆角θ 测得对应的
，可得到多组（θ，
）数据，然后用
计算机算出关于θ 的余弦函数值。为了能最方便准确地利用图像处理数据，该同学绘制了
图
像，若求得图像斜率的绝对值为
，则计算得到重力加速度的表达式为
（用题目中的字母表
示）；
(5)该同学用此装置继续实验，验证机械能守恒定律。如图（d），将小球拉到一定位置由静止释放，释放
位置距最低点高度为h，开启传感器计时模式，测得小球摆下后第一次挡光时间为
，改变不同高度h 并
测量不同挡光时间
，测量多组数据后绘制
图像。利用题目（4）中测出的重力加速度g，可知图
像斜率表达式理论值
（写出含有l、
的表达式）。实验发现图像是过原点的直线并求得图
像斜率实验值
，若
和
在误差范围内相等，则验证机械能是守恒的。
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【答案】(1)1.220 (2)
(3)C (4)
(5)
【解析】（1）20 分度游标卡尺的精确值为
，由图可知挡光宽度为
（2）由题意可知
则单摆的周期为
（3）根据单摆周期公式
其中
可得
由图可知，当
为零时，
不为零，所测摆长偏小，可能是把摆线长度作为摆长，即把悬点到摆球上端的
距离摆线的长度作为摆长。
故选C。
（4）小球从最高点摆至最低点的过程，根据机械能守恒定律可得
小球经过光电门的瞬时速度为
整理可得
可知
图像斜率绝对值为
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解得重力加速度为
（5）小球在最低点的速度为
由机械能守恒定律得
联立
可得
则有
10．（2024·安徽合肥·二模）如图（a）所示，某兴趣小组用单摆测量重力加速度。选用的实验器材有：智
能手机、小球、细线、铁架台、夹子、游标卡尺、刻度尺等，实验操作如下：
（1）用铁夹将细线上端固定在铁架台上，将小球竖直悬挂；
（2）用刻度尺测出摆线的长度为l，用游标卡尺测出小球直径为d；
（3）将智能手机置于小球平衡位置的正下方，启用APP《手机物理工坊》的“近距秒表”功能；
（4）将小球由平衡位置拉开一个角度（θ<5°），静止释放，软件同时描绘出小球与手机间距离随时间变
化的图像，如图（b）所示。
请回答下列问题：
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(1)根据图（b）可知，单摆的周期T= s。
(2)重力加速度g 的表达式为 （用测得的物理量符号表示）；
(3)改变摆线长度l，重复步骤（2）、（3）、（4）的操作，可以得到多组T 和l 的值，进一步描绘出如图
（c）的图像，则该图像以 为横坐标（选填
“T”或“T2”），若图线的斜率为k，则重力加速度
的测量值为 。
【答案】(1)2 (2)
(3)
【解析】（1）根据单摆的运动规律一个周期内应该有两个小球与手机间距离的最小值。由图（b）可得出，
单摆的周期为
T=2s
（2）根据
解得重力加速度g 的表达式为
（3）[1]由上一问中重力加速度的表达式可得
结合图（c）的图像，可知则该图像以
为横坐标。
[2]若图线的斜率为k，则
可知重力加速度的测量值为
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11．（2024·湖南·三模）某实验小组用如图甲所示装置用来验证机械能守恒，直径为d 的摆球A 拴在长为L
的不可伸长的轻绳一端（
），绳的另一端固定在O 点，O 点正下方摆球重心经过的位置固定光电门
B。现将摆球拉起，使绳偏离竖直方向成
角时由静止释放摆球，当其到达最低位置时，光电门B 记录的
遮光时间为t。
如图乙所示为万能角度尺，万能角度尺是利用游标卡尺读数原理来直接测量角度的工具。它有一个可转动
的圆盘（即主尺），在圆盘的边缘标有表示圆心角的刻度，在圆盘的外侧有一个固定不动的圆弧状的游标
尺。主尺上29°对应的弧长与游标尺上30 格对应的弧长相等（
）。
(1)图乙中万能角度尺所测量的角度为 ；
(2)改变
角并记录对应的时间t 的值，作出
图像，已知直线斜率的绝对值为k，则重力加速度
（用题中字母表示）；
(3)写出一条减小实验误差的措施： 。
【答案】(1)
(2)
(3)减小摆角
【解析】（1）主尺精确到1°，游标卡尺（游标尺上有30 个等分刻度）精确到
，主尺读数为
，游
标读数为
万能角度尺所测量的角度为
（2）由机械能守恒定律可知
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由于
联立解得
已知直线斜率的绝对值为k，那么
解得
（3）减小摆角，单摆才能近似为简谐振动，这样可以减小实验误差，故填减小摆角。
12．（2024·黑龙江·模拟预测）小明同学学完了单摆后，想用单摆来测重力加速度，设计的实验装置如图
甲所示，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器，记录小球经过光电门的次数。
(1)下列说法中正确的是________
A．在释放摆球的同时开始计时
B．质量相同的铁球和软木球，应选用铁球作为摆球
C．可将摆球从平衡位置拉开一个较大角度然后释放摆球
D．摆长就是绳子的长度
(2)在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺测得从悬点至摆球顶端的长度为
，再用螺旋测微器测量摆球
直径，则摆球直径
；
(3)将摆球从平衡位置拉开一个合适的角度，静止释放摆球，摆球在竖直平面内稳定摆动后，启动数字计时
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器，摆球通过平衡位置时从1 开始计数，同时开始计时，当摆球第
次为大于的奇数通过光电门时停
止计时，记录的时间为，此单摆的周期
用、
表示，重力加速度的大小为
用
、
和
表示；
【答案】(1)B (2)0.7883/0.7882/0.7884 (3)
【解析】（1）A．当摆球在最低点时开始计时，故A 项错误；
B．为了减小空气阻力的影响，质量相同的铁球和软木球，应选用铁球最为摆球，故B 项正确；
C．摆球从平衡位置拉开的角度不能大于
，所以不能将摆球从平衡位置拉开一个较大的角度然后释放摆
球，故C 项错误；
D．摆长等于绳子的长度与小球半径之和，故D 项错误。
故选B。
（2）螺旋测微器的精确度为0.01mm，所以其读数为
（3）[1][2]由题意可知，在时间t 内摆球全振动的次数为
，则单摆的周期为
由单摆周期公式可得
其中
解得
13．（23-24 高二下·湖北·期中）用图示装置完成“探究单摆周期与摆长的关系”：
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(1)用游标尺上有10 个小格的游标卡尺测量摆球的直径，结果如图甲所示，可读出摆球的直径d 为
cm。
(2)实验时，摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动
的最低点的左、右两侧分别放置激光光源与光敏电阻，如图乙所示，光敏电阻与某一自动记录仪相连，该
仪器显示的光敏电阻阻值R 随时间t 的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为 。
(3)多次改变细线的长度L（悬点到小球上方的距离），做出L 与单摆周期的平方
之间的关系图像如图丁
所示，则当地的重力加速度大小为 （用a、d 表示）。
【答案】(1)1.87 (2)
(3)
【解析】（1）摆球的直径为
（2）单摆一周期经过两次平衡位置，由图可知，该单摆的周期为
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（3）由单摆的周期公式
可得题图丁的函数关系式为
当图像与横坐标交点为a 时有
解得当地的重力加速度大小为
14．（2024·江苏盐城·模拟预测）科技文化节中，某兴趣小组做了如下实验。利用单摆测量重力加速度，
实验操作如下：
(1)使用游标卡尺测量实芯钢球的直径，如下图所示，钢球直径的读数为d= mm；
(2)将器材按甲图方式连接，用刻度尺测量出悬点与钢球最上端间细线长度为l；使钢球按照乙图方式运动，
摆角小于5°，钢球第1 次经过最低点处开始计时，第n 次经过最低点时的总时间为t，则重力加速度g=
；（用测得的物理量表示）
(3)若钢球实际按图丙方式在水平面内做圆周运动，但仍然视作单摆，则测量出的重力加速度值
（填“偏大”或“偏小”）。
(4)某同学又将钢球换成沙摆如图甲所示，薄木板被沿箭头方向水平拉出的过程中，漏斗漏出的沙在板上形
成的一段曲线如图乙所示，当沙摆摆动经过最低点时开始计时（记为第1 次），当它第20 次经过最低点时
40
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测得所需的时间为19s（忽略摆长的变化），取当地重力加速度g=10m/s2，则：
a、该沙摆的摆长约为 m（结果保留2 位有效数字）
b、由图乙可知薄木板做的是匀加速运动，且加速度大小约为 m/s2（结果保留2 位有效数字）
【答案】(1)12.35 (2)
(3)偏大 (4) 1.0
【解析】（1）20 分度的游标卡尺精确度为0.05mm，则钢球直径的读数为
（2）据题意可知单摆的摆长为
钢球第1 次经过最低点处开始计时，第n 次经过最低点时的总时间为t，则单摆的周期为
由单摆的周期公式
，可得重力加速度为
（3）设绳与中心线的夹角为
，由牛顿第二定律有
解得圆锥摆的周期为
故小球做圆锥摆运动比单摆的周期短，在时间内完成周期性的次数
变多，由此测算出的重力加速度偏
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大。
（4）[1]当沙摆摆动经过最低点时开始计时（记为第1 次），当它第20 次经过最低点时测得所需的时间为
19s，周期
根据
解得
[2]根据
得
15．（2025·广东佛山·一模）某学习小组利用多种方法测量重力加速度。
(1)甲同学利用打点计时器、重锤等器材测量重力加速度。实验获得的纸带如图甲所示，已知每相邻两计数
点间还有四个点未画出，电源频率为
，则该地的重力加速度为 m/s²（结果保留3 位有效
数字）。
(2)乙同学利用双线摆测重力加速度，如图乙，双线摆上端系在间距为
、等高的两螺钉上，长均为
的两
细绳下端悬挂磁性小铁球，手机置于磁性小铁球正下方。
①用螺旋测微器测量磁性小铁球的直径，其读数如图丙所示，直径
mm；
②开启手机磁力计，使双线摆前后摆动起来（最大摆角不超过5°），测得磁感应强度随时间的变化如图丁
所示，发现磁性小铁球摆动过程中，磁感应强度的最小值在逐渐增大，其原因是： ；
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该同学测出图中第1 至第11 个峰值之间的时间间隔为，则当地重力加速度的大小
（用
、
、
、表示）。
【答案】(1)9.78 (2) 10.753/10.750/10.751/10.752/10.754 由于阻力作用，小球能摆到的最高点
越来越靠近手机（或：由于阻力作用，小球摆动幅度越来越小，最高点越来越靠近手机）
或
或
【解析】（1）由于每两个计数点之间还有四个计时点，则相邻两计数点之间的时间间隔为
由逐差法得
（2）[1]由图丙得磁性小铁球的直径
[2]由于阻力作用，小球能摆到的最高点越来越靠近手机，磁场就越强。（或：由于阻力作用，小球摆动幅
度越来越小，最高点越来越靠近手机）
[3]一个周期内，小球两次经过最低点，磁感应强度出现两个峰值，则周期
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小球摆长
由单摆周期公式得
44
