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实验 15 用单摆测量重力加速度的大小
1.知道利用单摆测量重力加速度的原理.
2.掌握利用单摆测量重力加速度的方法．
1．实验原理
当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，由此得到g＝，因此，只要测出摆长l和振动周期
T，就可以求出当地的重力加速度g的值．
2．实验器材
单摆，游标卡尺，毫米刻度尺，停表．
3．实验过程
(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆．
(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，
在单摆平衡位置处做上标记，如图所示．
(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l
＝l′＋r.
(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平
稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T.
(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度．
(6)改变摆长，重做几次实验．
4．数据处理
(1)公式法：利用T＝求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝求重力加速度．
(2)图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一
条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度．5．注意事项
(1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定．
(2)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°.
(3)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数．
(4)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长．
(5)一般选用一米左右的细线．
【典例1】（2022·全国·高三课时练习）在探究单摆运动的实验中：
（1）图（a）是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图（b）是与力传感器连接的计算机屏幕
所显示的F-t图像，根据图（b）的信息可得，从t=0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为
___________s，摆长为___________m（取π2=10，重力加速度大小g=10 m/s2）；
（2）单摆运动的回复力是___________；
A．摆球所受的重力
B．摆球重力在垂直摆线方向上的分力
C．摆线对摆球的拉力
D．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力
（3）某同学的操作步骤如下，其中正确的是___________。
A．取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上
B．用米尺量得细线长度l，即摆长为l
C．在摆线偏离竖直方向5°位置由静止释放小球
【答案】 0.5 0.64 B AC
【解析】（1）[1]摆球第一次摆到最低点时，力传感器显示的力最大，根据题图（b）的信息可得，所对应的时刻为
t=0.5 s
[2]根据题图（b）的信息可得，单摆周期
T=1.6 s
由单摆周期公式 解得摆长为
l=0.64 m
（2）[3]单摆运动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，而摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合
力在径向上提供向心力，故B正确。
故选B。
（3）[4] A．取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上，故A正确；
B．测得摆长应为
故B错误；
C．在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球，以便小球做简谐运动，故C正确。
故选AC。
【典例2】（2022·北京大兴精华学校三模）在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
（1）下面叙述正确的是______（选填选项前的字母）。
A．1m和30cm长度不同的同种细线，选用1m的细线做摆线
B．直径为1.8cm的塑料球和铁球，选用铁球做摆球
C．如图A、B、C，摆线上端的三种悬挂方式，选A方式悬挂
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，50次经过平衡位置后停止计时，用此时间除以50作为单摆振动的周
期
A． B． C．
（2）利用图甲的方式测量摆长l，图中示数为______cm。（3）若测出单摆的周期T、摆线长l、摆球直径d，则当地的重力加速度g=______（用测出的物理量表
示）。
（4）某同学用一个铁锁代替小球做实验。只改变摆线的长度，测量了摆线长度分别为l 和l 时单摆的周期
1 2
T 和T，则可得重力加速度g=______（用测出的物理量表示）。
1 2
（5）另一位同学在利用图甲获得摆长l时，每次都在小球最低点b取数，然后测量了多组实验数据做出了
T2-l图像，那么他最有可能得到的图像是______。
A． B． C．
D．
（6）在一个实验小组中，得到的T2-l图像是一条倾斜直线。小组成员小牛同学算出图像斜率k，利用，求出g；小爱同学量出直线与横轴l之间的夹角θ，然后利用 ，求出g。请问两位同学
的处理方案，哪一位更合理______，并说明另一位同学方案的不合理原因。______
【答案】 AB##BA 91.60（91.50-91.70）
C 小牛 小爱同学用 求斜率是错误的。因为在T2-l图像中，横轴和纵轴的单位长度不
一定相同，所以小爱同学方案不合理。
【解析】（1）[1] A．1m和30cm长度不同的同种细线，选用1m的细线做摆线，A正确；
B．直径为1.8cm的塑料球和铁球，选用铁球做摆球，B正确；
C．如图A、B、C，摆线上端的三种悬挂方式，为了使摆长不变，选C方式悬挂，C错误；
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，50次经过平衡位置后停止计时，相邻两次经过平衡位置的时间是半
个周期，正确的方法是用此时间除以25作为单摆振动的周期，D错误。
故选AB。
（2）[2]利用图甲的方式测量摆长l，图中示数为91.60cm。
（3）[3]根据单摆的周期公式
解得
（4）[4]设摆线下端到锁的重心的距离为x，根据单摆的周期公式得
解得
（5）[5]设球半径为r，根据单摆的周期公式得解得
他最有可能得到的图像是C。
（6）[6]小牛同学的方案更合理；
[7]小爱同学用 求斜率是错误的。因为在T2-l图像中，横轴和纵轴的单位长度不一定相同，所以小
爱同学方案不合理。
【典例3】（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测）某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验时：
（1）如果他测得的g值偏小，可能的原因是_______。
A．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，使周期变大
B．开始计时时，秒表过迟按下
C．实验中误将49次全振动数次数记为50次
（2）为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出一组对应的l与 的
数据如图1所示，再以l为横坐标，T2为纵坐标将所得数据连成直线，并求得该直线的斜率为k，则重力加
速度g=_______。（用k表示）
（3）同学还利用计算机绘制了a、b两个摆球的振动图像（如图2），由图可知，两单摆摆长之比
_______。在t=1s时，b球振动的方向是_______。
【答案】 A y轴负方向
【解析】（1）[1]A．由单摆的周期公式
可得摆线上端未牢固地系于悬点，摆动中出现松动，使摆线长度增加了，使周期变大了，导致测得的重力加速
度偏小，故A正确；
B．开始计时时，秒表过迟按下，导致测量时间偏短，周期偏小，测得的重力加速度偏大，故B错误；
C．实验中误将49次全振动数次数记为50次，导致周期偏小，测得的重力加速度偏大，故C错误。
故选A。
（2）[2]由单摆的周期公式
可得
图线的斜率
可解得
（3）[3]由图可知，两单摆的周期之比
由周期公式可得摆长之比
[4]在t=1s时，由振动图象的特点可知，b球振动的方向沿y轴负方向。
【典例4】（2022·福建·模拟预测）某同学利用单摆测定当地的重力加速度。（1）实验室有多种足够长的细线可用来制作单摆，由于材质不同，这些线的质量、弹性各不相同，为更
好的完成实验，该同学应选择怎样的线材？请分析说明。_____________________
（2）该同学经测量得到6组摆长L和对应的周期T，画出L-T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐
标如图丙所示。则当地重力加速度的表达式g=________。处理完数据后，该同学发现在计算摆长时用的是
摆线长度而未计入小球的半径，这样________（选填“影响”或“不影响”）重力加速度的计算。
（3）该同学在实验时有以下操作：
A．摆线偏离竖直方向的最大摆角小于5°
B．当小球通过平衡位置时开始计时
C．摆球未在竖直面内摆动，摆成了圆锥摆
D．计时开始后测得摆球第n次经过平衡位置所用的时间t，记录单摆的周期为T=2t/n
以上操作你认为_______存在问题，试分析说明该操作对测量结果有何影响_________________。
【答案】 摆线应选无弹性的材质，分析见解析 不影
响 C 见解析
【解析】（1）[1]实验中摆球摆动过程中摆长不能改变，所以摆线选用无弹性的材质。
（2）[2]根据单摆的周期公式，可得
整理可得
即L-T2图线斜率代表 ，有又
联立，可得
[3]在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，L-T2图线斜率不变，这样不影响重力加速度的计算。
（3）[4]摆球应在竖直平面内摆动，且从最低点开始计时，若测得n次经过最低点的时间为t，则周期为
所以C选项的操作有问题。故ABD正确；C错误。
故选C。
[5]该操作不方便测量周期T，另外
其中 ，测量值偏小。
【典例5】（2022·山东省实验中学模拟预测）用如图甲所示实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。
（1）为了减小测量误差，下列说法正确的是__________（选填字母代号）；
A．将钢球换成塑料球
B．当摆球经过平衡位置时开始计时
C．把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放
D．记录一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度g
（2）若测得的重力加速度g值偏小，可能的原因是__________（选填字母代号）；
A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长
B．把摆线的长度记为摆长
C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次
（3）某同学利用质量分布不均匀的球体作摆球测定当地重力加速度，摆球的重心不在球心，但是在球心
与悬点的连线上。他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周
期T，画出 图线如图乙所示，然后在图线上选取A、B两个点，坐标分别为 ， 如图所
示。由图可计算出重力加速度g=_______。
【答案】 B BC##CB
【解析】（1）[1]A．实验中为了减小阻力的影响，应选择密度大的材质小球，故A错误；
B．为了减小测量误差，应从摆球经过平衡位置时开始计时，故B正确；
C．小球做单摆运动应满足摆角小于 ，故C错误；
D．应记录多次全振动的时间求出平均值作为周期，再根据公式计算重力加速度g，故D错误。
故选B。
（2）[2]A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长，则 偏大，由 可知g偏大，故A不符合题意；
B．把摆线的长度记为摆长，则 偏小，由 可知g偏小，故B符合题意；
C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动，则实际摆长变大，计算所用的摆长偏小，则由
可知g偏小，故C符合题意；
D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次，则T偏小，由 可知g偏大，故D不符合题意。
故选BC。
（3）[3]若摆球重心在球心以上x处，则
得
由图像可得解得
【典例6】（2022·浙江·高三专题练习）（1）在“研究平抛运动”的实验中，为了测量小球平抛运动的初
速度，采用如图甲所示的实验装置。实验操作的主要步骤如下：
a.将坐标纸用图钉固定在木板上，并将木板竖直固定；
b.将斜槽安装在木板左端，调节斜槽末端轨道水平，同时将重锤线挂在水平轨道边缘；
c.在斜槽上端一固定位置静止释放小球，同时记录抛出点位置O，记录重锤线方向；
d.小球从O点飞出后，撞到与木板平面垂直的竖直挡条上。小球撞击挡条时，会在挡条上留下一个痕迹点。
用铅笔将痕迹点的投影点记录在坐标纸上；
e.向右移动竖直挡条，从斜槽上相同的位置无初速度释放小球，小球撞击挡条后，再次将挡条上痕迹点的
投影点记录在坐标纸上，重复以上操作；
f.取下白纸，描绘平抛运动轨迹，研究轨迹的性质，求出小球平抛运动的初速度大小。
①实验过程中，要建立直角坐标系。在下图中，坐标原点选择正确的是___________。
A B C D
②关于这个实验，下列说法正确的是___________。
A．斜槽的末端一定要水平
B．一定要使用秒表来测量平抛运动的时间
C．竖直挡条每次向右移动距离一定要相等
D．一定要记录抛出点的位置，才能求出小球的初速度
③某同学在实验中，只记下斜槽末端悬挂重锤线的方向，根据实验描绘出一段轨迹。如图乙所示，选取A、B、C三点，测得三点离重锤线的距离分别为 、 、 ，并测得AB两
点间的高度差 、BC两点间的高度差 ，则小球平抛的初速度
___________m/s，小球的半径R=___________cm。
（2）某同学用单摆测量重力加速度。改变摆长，并多次测量周期和摆长的大小。仅由于摆长测量的误差，
得到周期的平方与摆长的关系如图丙所示。下列说法正确的是___________。
A．图线不过原点的原因可能是仅记录摆线的长度作为摆长
B．图线不过原点的原因可能是将摆线的长度加上小球的直径作为摆长
C．由图像所得的重力加速度一定小于重力加速度的真实值
D．由图像所得的重力加速度一定大于重力加速度的真实值
【答案】 C A 1.4 0.5 B
【解析】①[1]实验过程中，要建立直角坐标系。因小球撞击竖直挡板时右侧先与挡板接触，则坐标原点选
择小球右侧的位置，即正确的是C；
②[2]A．斜槽的末端一定要水平，以保证小球做平抛运动，选项A正确；
B．根据
可知，该实验不需要使用秒表来测量平抛运动的时间，选项B错误；
C．竖直挡条每次向右移动距离不一定要相等，选项C错误；
D．画出运动轨迹后可根据
结合
求解平抛的初速度，不一定要记录抛出点的位置，也能求出小球的初速度，选项D错误。
故选A。
③[3]因为
可知AB和BC段的时间相等，设为T，则竖直方向
解得T=0.1s
则初速度
[4]在B点竖直方向
解得
t =0.25s
B
B点距离抛出点的水平距离
则小球的半径
④[5]根据
可得
AB．图线不过原点在横轴上有截距，则原因可能是将摆线的长度加上小球的直径作为摆长，选项A错误，
B正确；
CD．图像虽然不过原点，但是不影响图像的斜率，即
可知，由图象所得的重力加速度仍等于重力加速度的真实值，选项CD错误。
故选B。
