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2023 届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题41 用单摆测定重力加速度
导练目标 导练内容
目标1 教材经典实验方案的原理、步骤和数据处理
目标2 新高考的改进创新实验
【知识导学与典例导练】
一、教材经典实验方案的原理、步骤和数据处理
误差分析：
误差种类 产生原因 减小方法
①多次测量求平均值
偶然误差 测量时间(单摆周期)及摆长时产生误差
②计时从单摆经过平衡位置时开始
①摆球要选体积小、密度大的
系统误差 主要来源于单摆模型本身
②摆角要小于5°注意事项：
(1)选用1 m左右的细线。
(2)悬线顶端不能晃动,需用夹子夹住,保证顶点固定。
(3)小球在同一竖直面内摆动,且摆角小于5°。
(4)选择在摆球摆到平衡位置处开始计时,并数准全振动的次数。
(5)小球自然下垂时,用毫米刻度尺量出悬线长l',用游标卡尺测量小球的直径,然后算出摆球的半径r,则摆长
l=l'+r。
【例1】实验课中，同学们用单摆测量当地的重力加速度，实验装置如图1所示。
（1）实验过程有两组同学分别用了图2．图3的两种不同方式悬挂小钢球，你认为___________（选填
“图2”或“图3”）悬挂方式较好；
（2）在实验中，某同学用游标卡尺测量金属球的直径，结果如图4所示，读出小球直径为
___________cm；
（3）实验中，某同学测量5种不同摆长与单摆的振动周期的对应情况，并将记录的结果描绘在如图5所示
的坐标系中，图中各坐标点分别对应实验中5种不同摆长的情况。由图像可知重力加速度g =
___________m/s2；（结果保留2位有效数字）（4）实验中，三位同学作出的T2—L图线分别如图6中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，
图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线a和c，下列分析正确的是___________（填
选项前的字母）。
A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值
【答案】 图3 2.240 9.9 B
【详解】（1）[1]单摆稳定摆动时，要求摆长不发生变化，用图2方式悬挂时在小球摆动过程摆长会发生
变化，图3方式悬挂时，绳子末端固定，避免摆长发生变化，故图3悬挂方式较好。
（2）[2]根据游标卡尺读数规则，可读出小球直径为d = 22mm + 8 × 0.05mm = 22.40mm = 2.240cm
（3）[3]根据单的周期公式 ，变形得 可知T2—L图像斜率为
由图5可求得 联立可得g = π2 = 9.9m/s2
（4）[4]A．若误将悬点到小球下端的距离记为摆长L，则应满足 图线应与b平行且在b的
下方，A错误；
B．实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，则图线c的斜率偏小，图线c符合题意，B正确；
C．由（3）解析可得，当地的重力加速度的表达式为 由图可知，图线c对应的斜率k偏小，则图线
c对应的g值大于图线b对应的g值，C错误。故选B。
二、新高考的改进创新实验
【例2】某探究小组探究单摆的装置如图甲所示，细线端拴一个球，另一端连接拉力传感器，固定在天花
板上，将球拉开一个很小的角度静止释放，传感器可绘制出球在摆动过程中细线拉力周期性变化的图像，
如图乙所示。
（1）用游标卡尺测出小球直径d如图丙所示，读数为______mm；
（2）现求得该单摆的摆长为l，则当地的重力加速度为______（用题中的字母表示，包括图乙中）；
（3）若科学探险队员在珠穆朗玛峰山脚与山顶利用该装置分别作了实验。在山脚处，他作出了单摆T2—l
图像为如图丁中直线c，当他成功攀登到山顶后，他又重复了在山脚做的实验，则利用山顶实验数据作出
的图线可能是图丁中的直线______。
【答案】 18.50 a
【详解】（1）[1]由题图丙所示游标卡尺可知，游标尺是20分度的，游标尺的精度是0.05 mm，游标卡尺
示数为18mm＋10×0.05mm=18.50mm
（2）[2]摆球经过平衡位置时细线的拉力最大，在一个周期内摆球两次经过平衡位置，由题图乙所示图像
求出单摆的周期T=t 由单摆周期公式 可知，重力加速度
2（3）[3]由单摆周期公式 可得 ，T2—l图像的斜率 重力加速度 珠穆朗玛
峰山顶的重力加速度小于山脚的重力加速度，因此在峰顶做实验时图像斜率较大，在峰顶做实验作出的图
线可能是直线a。
【多维度分层专练】
1．某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：
（1）请选择正确的器材( )
A．体积较小的钢球
B．体积较大的木球
C．无弹性的轻绳子
D．有弹性、质量大的绳子
（2）用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径如图（甲）所示，摆球直径为______mm。利用刻度
尺测得摆线长90.10cm，则该单摆的摆长 __________cm。
（3）用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为 ，单摆每经过最低点
记一次数，当数到 时秒表的示数如图（乙）所示，该单摆的周期是 ____s（结果保留三位有效数
字）。（4）测量出多组周期T、摆长L数值后，画出 图像如图（丙），此图线斜率的物理意义是( )
A． B． C． D．
（5）与重力加速度的真实值比较，发现第（4）问中获得的测量结果偏大，分析原因可能是( )
A．振幅偏小
B．将摆线长加直径当成了摆长
C．将摆线长当成了摆长
D．开始计时误记为
（6）该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期 ，然后把摆线缩短适当的长度l，再测出其振动周期 。用该同学测出的物理量表达重
力加速度为 ___________。
【答案】 AC C BD##DB
【详解】（1）[1]AB．为减小实验误差，应选择密度大而体积小的球作为摆球，B错误，A正确；
CD．实验过程单摆摆长应保持不变，摆线应选用无弹性的轻绳子，D错误，C正确。故选AC。
（2）[2]由图甲可知，游标卡尺的游标为10分度，且第6个小格与主尺对齐，则摆球直径为
[3]该单摆的摆长为
（3）[4]由图乙可知，秒表的读数为 根据题意可知，共经历了30个周期，则单摆的周期是
（4）[5]由单摆的周期公式 可得 则 图像的斜率的物理意义是 。故选C。
（5）[6]由（4）分析可得，重力加速度为
A．重力加速度的测量值与振幅无关，振幅偏小，不影响测量结果，A错误；
B．将摆线长加直径当成了摆长，则 偏大， 值偏大，B正确；
C．将摆线长当成了摆长，则 偏小， 值偏小，C错误；
D．开始计时误记为 ，则周期偏小， 值偏大，D正确。故选BD。
（6）[7]根据题意，由单摆的周期公式 可得 ； 联立解得2．居家防疫期间，小明在家做“用单摆测定重力加速度”的实验。他使用一块外形不规则的小石块代替
摆球，如图甲所示。设计的实验步骤是：
A．将小石块用不可伸长的细线系好，结点为N，细线的上端固定于O点；
B．用刻度尺测量ON间细线的长度l作为摆长；
C．将石块拉开一个大约 =5°的角度，然后由静止释放；
D．从石块摆至某一位置处开始计时，测出30次全振动的总时间t，由 得出周期；
E．改变ON间细线的长度再做几次实验，记下相应的l和T；
F．根据公式 ，分别计算出每组l和T对应的重力加速度g，然后取平均值即可作为重力加速度的
测量结果。
（1）为减小实验误差，应从石块摆到___________（选填“最低点”或“最高点”）位置开始计时。
（2）小明用ON的长l为摆长，利用公式 求出的重力加速度的测量值比真实值___________（选
填“偏大”或“偏小”）。
（3）小明利用测出的多组摆长l和周期T的数值，作出T2-l图像如图乙所示，若图像的斜率为k，则重力加速度的表达式是g=___________。
【答案】 最低点 偏小
【详解】（1）[1]为减小实验误差，应从石块摆到最低点位置开始计时。
（2）[2]由单摆的周期公式 得 用ON的长l作为摆长，摆长偏短，则测得的重力加速度
偏小；
（3）[3] 设石块质心到N点的距离为R，则实际摆长为 ，则可得 ；
可知 图像的斜率 可得重力加速度为
3．用如图所示实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。
（1）在摆球自然悬垂的状态下，用米尺测出摆线长为 ，用游标卡尺测得摆球的直径为d，则单摆摆长为
________（用字母 、 表示）；
（2）为了减小测量误差，下列说法正确的是________（选填字母代号）；
A．将钢球换成塑料球
B．当摆球经过平衡位置时开始计时
C．把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放
D．记录一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度g（3）若测得的重力加速度g值偏小，可能的原因是________（选填字母代号）；
A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长
B．把摆线的长度记为摆长
C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动
D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次
（4）某同学利用质量分布不均匀的球体作摆球测定当地重力加速度，摆球的重心不在球心，但是在球心
与悬点的连线上。他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周
期T，画出 图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标分别为（ ）（ , ）如图所示。由
图可计算出重力加速度 ________。
【答案】 B BC
【详解】（1）[1]在摆球自然悬垂的状态下，用米尺测出摆线长为 ，用游标卡尺测得摆球的直径为d，则
单摆摆长为
（2）[2]A．将钢球换成塑料球，会增加阻力的影响从而增加误差，选项A错误；
B．当摆球经过平衡位置时开始计时，可减小测定周期产生的误差，选项B正确；
C．单摆的摆角要小于5°，否则就不是简谐振动了，则把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放，会
增加实验误差，选项C错误；
D．应该至少测量30次全振动的时间测量周期，用记录一次全振动的时间作为周期误差会较大，选项D错误。故选B。
（3）[3]根据 可知 若测得的重力加速度g值偏小，则
A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长，则L测量值偏大，则测得的g偏大，选项A错误；
B．把摆线的长度记为摆长，则L测量值偏小，则测得的g偏小，选项B正确；
C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动，则实际摆长变大，计算所用的摆长偏小，则测
得的g偏小，选项C正确；
D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次，则周期测量值偏小，则测得的g偏大，选项D错误；
故选BC。
（4）[4]若摆球重心在球心以上x处，则 解得 则图像的斜率为
解得
4．将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下半部分露于筒外）,如
图甲所示,将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放,设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁。如果本实
验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L,并通过改变L而测出对应的摆动周期T,再以
T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像,那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。（1）测量单摆的周期时,某同学在摆球某次通过最低点时按下停表开始计时,同时数“1”,当摆球第二次通过
最低点时数“2”,依此法往下数,当他数到“59”时,按下停表停止计时,读出这段时间t,则该单摆的周期为 (
)
A． B． C． D．
（2）如果实验中所得到的T2-L关系图线如图乙所示,那么真正的图线应该是a、b、c中的____。
（3）由图线可知,小筒的深度h=____ m,当地的重力加速度g=____ m/s2（π取3.14）。
【答案】 A a 0.3 9.86
【详解】（1）[1]从“1”数到“59”时经历了29个周期，该单摆的周期为 。故选A。
（2）[2]摆线在筒内部分的长度为h，由 可得 可知T2-L关系图线为a
（3）[3]将 ； 代入 可得
[4]将 ； 代入 可求得
5．某同学做“用单摆测量重力加速度的大小”实验时，采用双线摆代替单摆进行实验。如图，两根线的
一端都系在小钢球的同一点，另一端分别固定在天花板上，两根线的长度均为l、与竖直方向的夹角均为 ，
小球的直径为d．现将小钢球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放．（1）当小钢球摆动稳定后，用秒表测量摆动n次全振动的时间t，秒表的示数如图甲，则 ______s；
（2）摆长 ______（用题目中给出的物理量符号表示）；
（3）如图乙所示，该同学由测量数据作出 图像，根据图像求出重力加速度 ______ （已知
，结果保留3位有效数字）。
【答案】 74.3 9.62(9.53~9.71均可）
【详解】（1）[1]秒表的示数 60s+14.3s=74.3s
（2）[2]摆长
（3）[3]根据 可得 由图像可知 解得g=9.62m/s2
6．某同学设计利用如图甲所示装置“验证单摆的周期公式”，传感器固定在悬点O正下方，该传感器可
记录光的强弱随时间的变化情况。当小球摆到最低点遮挡光线时，传感器采集的光线最弱，计算机采集数
据后得到光的强弱－时间图像如图乙所示。（1）在选择摆线与摆球时，最好选择下列组合中的______（填字母序号）。
A．短而粗的棉线，大而重的钢球
B．细而长的棉线，小而重的钢球
C．粗而长的皮筋，小而轻的塑料球
（2）若从第1次光最弱到第N次光最弱的时间为t，则该单摆的周期可表示为 ______（用N、t表示）。
（3）该同学用游标卡尺测小球直径D如图丙所示，则D＝______mm，用米尺测量知摆线长为L，重力加
速度取g，用D、L、g表示单摆周期公式为 ______。在误差允许范围内若 ，即可验证单摆周期公
式正确。
【答案】 B 10.50
【详解】（1）[1]为减小实验误差，摆线尽可能选择细些的，并且尽可能长一些但不能有弹性；摆球要尽
量选择质量大些的，体积小些的。故选B。
（2）[2]当小球摆到最低点遮挡光线时，传感器采集的光线最弱，由题知，从第1次光最弱到第N次光最
弱的时间为t，所以该单摆的周期可表示为
（2）[3]游标卡尺的主尺读数为1cm=10mm，游标读数为0.05×10mm=0.50mm，所
D=10mm+0.50mm=10.50mm
[4]由题可知，单摆的摆长为 则单摆的周期为7．（1）在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径的操作如图甲、
乙所示，测量方法正确的是___________（选填“甲”或“乙”）。
（2）实验时，若摆球在重直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆
球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图丙所示，光敏电阻与某一自动记录仪
相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丁所示，则该单摆的周期为___________。若
保持悬点到小球顶点的绳长不变，以及摆动幅度不变，改用直径是原小球直径0.5倍的另一小球进行实验，
则该单摆的周期将___________（选填“变大”“不变”或“变小”），图丁中的 将___________（选填
“变大”“不变”或“变小”）。
（3）小明利用丙图的同一套装置分别在A、B两地进行多次实验，通过丁图发现A地的总是小于B地的 ，
则A、B两地的地理位置主要不同点可能是___________（写出一条即可）
【答案】 甲 变小 变小 g不同
【详解】（1）[1]游标卡尺测量小球直径时，要有外测量爪轻卡住被测量的小球，所以测量方法正确的是
甲。（2）[2]小球摆动到最低点时，挡光使得光敏电阻阻值增大，从 时刻开始，再经过两次挡光完成一个周
期，所以该单摆的周期为 。
[3]摆长为摆线长加上小球半径，小球直径变小，则摆长减小，由周期公式 可知，改用直径是原
小球直径0.5倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将变小。
[4]小球直径变小，挡光时间变小，即图丁中的 将变小。
（3）[5]通过丁图发现A地的总是小于B地的 ，说明A地的周期小，则A、B两地的地理位置主要不同点
可能是g不同。
8．如图甲，某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度，已知每根轻细线长度为 ，两悬点
间相距s。当小球通过光电门（平衡位置）时，光电计数器计数1次，同时计时器开始计时。
请回答下列问题：
（1）如图乙，用游标卡尺测得小球直径 _________mm。若计数器显示的计数次数为n时，所用时间为
t，则双线摆的振动周期 _________，双线摆的等效摆长 _________。（2）如图丙，是根据实验测得多种不同摆长的振动周期，作出的 图像。图线的斜率为k，则当地的
重力加速度 _________。
【答案】
【详解】（1）[1]由乙图可知油标尺的0刻度与主尺的某一刻度对准，所以小球直径为
[2] 双线摆的振动周期
[3] 双线摆的等效摆长
（2）[4]由 得 结合丙图可得 解得
9．为了验证小球在竖直平面内摆动过程中机械能是否守恒，利用如图（a）装置，细绳一端系住一小球，
另一端连接力传感器，小球质量为m，球心到悬挂点的距离为L，小球释放的位置到最低点的高度差为h，
实验记录细绳拉力大小随时间的变化如图（b），其中 是实验中测得的最大拉力值。（1）小球第一次运动至最低点的过程中，重力势能的变化量 ______，动能的变化量 ______。
（重力加速度为g）
（2）通过对实验数据进行分析，可得到实验结论：________________，请写出你得到结论的分析过程：
________________。
（3）该装置还可用来测量当地的重力加速度g的大小．实验时使小球摆动的幅度小于5°，小球释放后测
量得到 图，从图可知单摆周期 ______，代入公式 ______（用t、L表达）。
【答案】 小球机械能不守恒 观察图（b）中拉力
峰值随时间变化情况，发现当小球到达最低点时，拉力的最大值在逐渐减小，说明小球经过最低点时的速
度在逐渐减小，也就是说摆动一个周期，动能在减少，机械能总量在减小，所以不守恒 2t
【详解】（1）[1][2]小球第一次摆动至最低点的过程，重心下降了h，则重力势能的减少量为
即重力势能的变化量 在最低点对小球由牛顿第二定律得 动能的表达式为
联立得动能的变化量
（2）[3][4] 根据 图象可知小球机械能不守恒，因为观察图（b）中拉力峰值随时间变化情况，发现当
小球到达最低点时，拉力的最大值在逐渐减小，说明小球经过最低点时的速度在逐渐减小，也就是说摆动
一个周期，动能在减少，机械能总量在减小，所以不守恒；
（3）[5][6]根据 图象，可知，相邻两个峰值间的时间间隔t，因实验时使小球摆动的幅度小于5°，单摆符合简谐运动的特征，那么 则由周期公式 可知
10．在“利用单摆测重力加速度”的实验中，某同学想进一步验证单摆的周期和重力加速度的关系，但又
不可能去不同的地区做实验。该同学就将单摆与光电门传感器安装在一块摩擦不计、足够大的板上，使板
倾斜α角度，让摆球在板的平面内做小角度摆动，如图甲所示。利用该装置可以验证单摆的周期和等效重
力加速度的关系。若保持摆长不变，则实验中需要测量的物理量有______。若从实验中得到所测物理量数
据的图线如图乙所示，则图象中的纵坐标表示______，横坐标表示______。
【答案】 木板倾角α和单摆振动的周期T T2
【详解】[1]此单摆的等效重力加速度为g′=gsinα则单摆的周期 则保持摆长不变时，要测量
的物理量是：木板倾角α和单摆振动的周期T。
[2][3]由 可得 则若从实验中得到所测物理量数据的图线如图乙所示，则图像
中的纵坐标表示T2，横坐标表示 。
