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第 93 讲 用单摆测量重力加速度的大小（实验）
1．（2022•上海）在“用单摆测定当地的重力加速度”的实验中：
（1）摆线质量和摆球质量分别为m线 和m球 ，摆线长为l，摆球直径为d，则 ；
（A）m线≫m球 ，l≪d
（B）m线≫m球 ，l≫d
（C）m线≪m球 ，l≪d
（D）m线≪m球 ，l≫d
（2）小明在测量后作出的T2﹣l图线如图所示，则他测得的结果是g＝ m/s2。（保留2位
小数）
（3）为了减小误差，应从最高点还是最低点开始计时，请简述理由。
2．（2020•浙江）某同学用单摆测量重力加速度，
①为了减少测量误差，下列做法正确的是 （多选）；
A．摆的振幅越大越好
B．摆球质量大些、体积小些
C．摆线尽量细些、长些、伸缩性小些
D．计时的起、止位置选在摆球达到的最高点处
②改变摆长，多次测量，得到周期平方与摆长的关系图象如图所示，所得结果与当地重力加速
度值相符，但发现其延长线没有过原点，其原因可能是 。
A．测周期时多数了一个周期
B．测周期时少数了一个周期
C．测摆长时直接将摆线的长度作为摆长
D．测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长一.知识回顾
1.实验原理
由单摆的周期公式T＝2π ，可得出g＝l，测出单摆的摆长l和振动周期T，就可求出当地的
重力加速度g。
2.实验器材
带中心孔的小钢球、约1 m长的细线、带有铁夹的铁架台、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。
3.实验步骤
（1）做单摆
取约1 m长的细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用
铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示。
（2）测摆长
用毫米刻度尺量出摆线长L(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝L
＋。
（3）测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(不超过5°)，然后释放小球，记下单摆摆动 30次或50次全
振动的总时间，算出平均每摆动一次全振动的时间，即为单摆的振动周期T。
（4）改变摆长，重做几次实验。
4.数据处理的两种方法：
方法一：公式法。
根据公式T＝2π，g＝。将测得的几组周期T和摆长l分别代入公式g＝中算出多组重力加速度g的值，再求出g的平均值，即为当地重力加速度的值。
方法二：图像法。
由单摆的周期公式T＝2π 可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴，以T2为横轴描点作图，作出的
lT2图像理论上是一条过原点的直线，如图所示，求出图像的斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，k
＝＝。
5.误差分析
（1）本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点固定，小球质量大、
体积小，细线轻质非弹性，振动是在同一竖直平面内的振动，这些要求是否符合。
（2）本实验的偶然误差主要来自时间的测量和摆线长度的测量，因此，要从摆球通过平衡位
置时开始计时，不能多计或漏计摆球全振动次数。使用刻度尺测量摆线长度时，要多次测量取平均
值以减小误差。
（3）利用图像法处理数据具有形象、直观的特点，同时也能减小实验误差。利用图像法分析
处理时要特别注意图像的斜率及截距的物理意义。
6.注意事项
（1）小球选用密度大的钢球。
（2）选用1 m左右难以伸缩，且尽量轻的细线。
（3）悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。
（4）单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°。
（5）选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。
二.例题精析
题型一：实验原理与等效重力加速度
例1．某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：
（1）用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图甲所示，则该摆球的直径为 cm．摆动
时偏角满足的条件是偏角小于5°，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最
（填“高”或“低”）点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。
图乙中停表示数为一单摆全振动50次所需时间，则单摆振动周期为 。（2）用最小刻度为1mm的刻度尺测摆长，测量情况如图丙所示，O为悬挂点，从图丙中可知单
摆的摆长为 m。
（3）若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝ 。
（4）考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，
它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大。”学生乙说：“浮力对摆球的影响
好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中 。
A．学生甲的说法正确
B．学生乙的说法正确
C．两学生的说法都是错误的
（5）某同学用单摆测量当地的重力加速度。他测出了摆线长度L和摆动周期T，如图丁（a）所
示。通过改变悬线长度L，测出对应的摆动周期T，获得多组T与L，再以T2为纵轴、L为横轴
画出函数关系图象如图丁（b）所示。由图象可知，摆球的半径r＝ m，当地重力加速度g
＝ m/s2（结果保留两位小数）；由此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值
相比会 （选填“偏大”“偏小”或“一样”）。
题型二：数据处理与误差分析
例2．在利用单摆测当地重力加速度的实验中：（1）利用游标卡尺测得金属小球直径如图甲所示，小球直径d＝ cm。
L/m 0.400 0.500 0.600 0.800 1.200
T2/s2 1.60 2.10 2.40 3.20 4.80
（2）某同学测量数据如表，请在图乙中画出 L﹣T2图像，由图像可得重力加速度 g＝
m/s2（保留三位有效数字）。
（3）某同学在实验过程中，摆长没有加小球的半径，其他操作无误，那么他得到的实验图像可
能是图丙图像中的 。
题型三：实验原理变式与创新（摆球半径未知的情况如何完成实验）
例3．在“利用单摆测重力加速度”的实验中
（1）以下做法中正确的是 ；
A．测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球间的细线长
B．测量周期时，从小球到达最大振幅位置开始计时，摆球完成 50次全振动时，及时截止，然
后求出完成一次全振动的时间
C．要保证单摆自始至终在同一竖直面内摆动
D．单摆振动时，应注意使它的偏角开始时不能小于10°（2）某同学先用米尺测得摆线长为 97.43cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示为
cm，则单摆的摆长为 cm；然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图乙所示为
s。（结果均保留4位有效数字）
（3）在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由于没有游标卡尺，无法测小球的直径 d，实验
中将悬点到小球最低点的距离作为摆长L，测得多组周期T和L的数据，作出l﹣T2图像，如图
丙所示。实验得到的L﹣T2图像是 （选填“a”“b”或“c”）；
（4）关于实验操作或结果分析，下列说法正确的是 （填正确答案标号）。
A．如果有两个大小相等且都带孔的铁球和木球，应选用铁球
B．摆线要选细些的、伸缩性好的
C．为了使单摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角
度
D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，测量的重力加速度g值偏小
三.举一反三，巩固练习
1. 某同学做“用单摆测重力加速度”的实验，供选择的摆线有：
A.0.3m长的细线
B.1m长的细线
C.1.2m长的粗线
D.1.5m长的橡皮绳
（1）应选用的摆线是 （填写所选摆线前的字母）。（2）单摆做简谐振动时，回复力是由摆球 的分力提供。实验时，测出摆长为l，某次摆
动的周期为T，则重力加速度的表达式为 。
（3）该同学改变摆长，测出几组摆长l和对应的周期T的数据，作出l﹣T2图像，如图（a）所
示。他在实验时不小心在小球下方粘了一个小物体，如图（b）所示，如果利用图（a）中A、B
两点的坐标值计算重力加速度，是否能够消除因小球下方粘了小物体而造成的测量误差？
（选填“能”或“不能”），理由是： 。
2. 居家防疫期间，小明在家做“用单摆测定重力加速度”的实验。他使用一块外形不规
则的小石块代替摆球，如图甲所示。设计的实验步骤是：
A.将小石块用不可伸长的细线系好，结点为N，细线的上端固定于O点；
B.用刻度尺测量ON间细线的长度l作为摆长；
C.将石块拉开一个大约 ＝5°的角度，然后由静止释放；
α t
D.从石块摆至某一位置处开始计时，测出30次全振动的总时间t，由T= 算出周期；
30
E.改变ON间细线的长度再做几次实验，记下相应的l和T；
F.根据公式g 4π2 ，分别计算出每组l和T对应的重力加速度g，然后取平均值即可作为重力
= l
T2
加速度的测量结果。
（1）为减小实验误差，应从石块摆到 （选填“最低点”或“最高点”）位置开始计时。
（2）小明用ON的长l为摆长，利用公式g 4π2 求出的重力加速度的测量值比真实值
= l
T2
（选填“偏大”或“偏小”）。
（3）小明利用测出的多组摆长l和周期T的数值，作出T2﹣l图像如图乙所示，若图像的斜率为
k，则重力加速度的表达式是g＝ 。3. （1）用单摆测定重力加速度的实验原理的理是 。
（2）若测量结果得到的g值偏大，可能是因为 。（选填选项前的字母）
A.组装单摆时，悬点没有固定牢固
B.测量摆长时，将悬线长作为单摆的摆长
C.测量周期时，把n次全振动误认为是（n﹣1）次全振动
D.测量摆长时，用力向下拉着摆球测量摆长
（3）多次改变摆长测出对应的周期，将数据输入计算机，可得到图2所示的l﹣T2图像，图线
经过坐标原点，斜率k＝0.25m/s2。由此求得重力加速度g＝ m/s2。（ 2＝9.86，此空答案
保留3位有效数字） π
4. 某同学为测量当地的重力加速度，设计了图甲所示的实验装置。一轻质细线上端固定
在力传感器上，下端悬挂一小钢球。钢球静止时球心刚好位于光电门处。主要实验步骤如下：a、用游标卡尺测出钢球直径d；
b、钢球悬挂静止不动时，记下力传感器的示数F ，量出线长L（线长L远大于钢球直径d）；
1
c、将钢球拉到适当的高度后由静止释放，细线始终于拉直状态，计时器测出钢球通过光电门时
的遮光时间t，记下力传感器示数的最大值F 。
2
（1）游标卡尺示数如图乙，则钢球直径d＝ mm；
（2）钢球经过光电门时的速度表达式v＝ ；
（3）通过以上信息可求出当地的重力加速度表达式为g＝ （用题干中所给物理量的符号
表示）。
5. 用如图1所示实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。
（1）在摆球自然悬垂的状态下，用米尺测出摆线长为l，用游标卡尺测得摆球的直径为d，则单
摆摆长为 （用字母l、d表示）；
（2）为了减小测量误差，下列说法正确的是 （选填字母代号）；
A．将钢球换成塑料球
B．当摆球经过平衡位置时开始计时
C．把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放
D．记录一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度g
（3）若测得的重力加速度g值偏小，可能的原因是 （选填字母代号）；
A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长
B．把摆线的长度记为摆长
C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动
D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次
（4）某同学利用质量分布不均匀的球体作摆球测定当地重力加速度，摆球的重心不在球心，但是在球心与悬点的连线上。他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得
6组L和对应的周期T，画出T2﹣L图线，然后在图2线上选取A、B两个点，坐标分别为
（L ， ）（L ， ）如图所示。由图2可计算出重力加速度g＝ 。
A T2 B T2
A B
6. 某同学为了测量当地的重力加速度，设计了一套如图甲所示的实验装置。拉力传感器
竖直固定，一根不可伸长的细线上端固定在传感器的固定挂钩上，下端系一小钢球，钢球底部
固定有遮光片，在拉力传感器的正下方安装有光电门，钢球通过最低点时遮光片恰能通过光电
门。小明同学进行了下列实验步骤：
（1）用游标卡尺测量遮光片的宽度d，如图乙所示，则d＝ mm；
（2）用游标卡尺测量小钢球的直径为D，用刻度尺测量小钢球到悬点的摆线长为I；
（3）拉起小钢球，使细线与竖直方向成不同角度，小钢球由静止释放后均在竖直平面内运动，
记录遮光片每次通过光电门的遮光时间Δt和对应的拉力传感器示数F；
1
（4）根据记录的数据描绘出如图所示的F- 图像，已知图像与纵轴交点为a，图像斜率为
(Δ) 2
k，则通过以上信息可求出当地的重力加速度表达式为g＝ （用题目中所给物理量的符号
表示）；
（5）如果在实验过程中所系的细线出现松动，则根据实验数据求出的当地重力加速度 g的值比
实际值 （选填“偏大”、“偏小”、“不变”）。7. 居家防疫期间，小明在家里做“用单摆测定重力加速度”的实验。如图 1他找到了一
块外形不规则的小石块代替摆球，设计的实验步骤是：
A．将小石块用不可伸长的细线系好，结点为N，细线的上端固定于O点；
B．用刻度尺测量ON间细线的长度l作为摆长；
C．将石块拉开一个大约 ＝5°的角度，然后由静止释放；
α t
D．从石块摆至某一位置处开始计时，测出30次全振动的总时间t，由T= 得出周期；
30
E．改变ON间细线的长度再做几次实验，记下相应的l和T；
F．根据公式g 4π2 ，分别计算出每组l和T对应的重力加速度g，然后取平均值即可作为重
= l
T2
力加速度的测量结果。
（1）小石块摆动的过程中，充当回复力的是 。
A．重力
B．拉力
C．拉力沿水平方向的分力
D．重力沿圆弧切线方向的分力
（2）为使测量更加准确，步骤D中，小明应从 （选填“最大位移”或“平衡位置”）处
开始计时。
（3）小明用 ON的长 l为摆长，利用公式 4π2 求出的重力加速度的测量值比真实值
g= l
T2
（选填“偏大”或者“偏小”）。
（4）小红利用小明测出的多组摆长l和周期T的值，作出T2﹣l图线如图2所示，通过测量计算出图线的斜率为k，由斜率k求重力加速度的表达式是g＝ 。
（5）在步骤F中，有同学认为可以先将多次测量的摆长l取平均值得到l，周期T取平均值得到
，再代入公式g 4π2 ，得到重力加速度g的测量结果，你认为这种做法是否正确并说明理由。
T = l
T2
