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8.3 用单摆测量重力加速度的大小
题组1：基础实验........................................................................................................................................................... 1
题组2：拓展实验........................................................................................................................................................... 5
8.3 用单摆测量重力加速度的大小
题组1：基础实验
1.某同学利用单摆测量重力加速度。
①为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是 。
A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球
B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线
C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动
D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大
②如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1m的单摆。实验时，由于仅有量程为20cm、精度为
1mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标
记点，测出单摆的周期T 1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样
方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T 2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间
的距离△L。用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g= 。
【答案】BC
4 π
2 ΔL
T 1
2−T 2
2
【解析】①A、为减小空气阻力对实验的影响，减小实验误差，组装单摆须选用密度大、直径小的摆球，
故A 错误；
B、为减小实验误差，组装单摆须选用轻且不易伸长的细线，故B 正确；
C、实验时须使摆球在同一竖直面内摆动，不能使单摆成为圆锥摆，故C 正确；
D、单摆摆角最大摆角应小于5°，摆长一定的情况下，摆的振幅尽量小些，故D 错误。
故选BC。
②由单摆周期公式，根据题意得：T 1=2π√
L
g
，T 2=2π√
L−ΔL
g
，解得g= 4 π
2 ΔL
T 1
2−T 2
2 。
2.同学们在进行“利用单摆测重力加速度”的实验时，设计并实施了如下步骤：
(1)选择下列最合理的器材 。
1
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(2)用游标卡尺测量摆球的直径d，某次测量结果如图甲所示，从图中读出d = mm。
(3)将摆球用细线悬挂在铁架台上，测得摆线长L，通过计算得到摆长l。
(4)将摆球从平衡位置拉开一个微小的角度后由静止释放，使摆球开始摆动。待摆球到达最低点时，即刻
启动停表并开始计数，此时计数设为0。随后，每当摆球再次经过此计时起点时，计数值递增1。当计数到
达60时，停止计时，此时停表的读数为54.60 s，则单摆的周期为 s。(结果保留两位小数)
(5)某同学通过改变摆线长度，进行了多次测量，得到的T
2−l图线如图乙所示。经过细致观察，他发现图
线的延长线没有过坐标原点，原因在于所作的是T
2−L图线。通过分析，他认为仍可利用该图中的数据来
计算重力加速度，则其表达式为g= 。(用a、b和π表示)
【答案】B
17.4
1.82
4 π
2a
b
【解析】(1)为了减小空气阻力的影响，小球应选择密度大一些的铁球；为了保证小球摆动过程中摆长不
变，应选用细丝线，且上端用铁夹夹住。故选B。
(2)10分度游标卡尺的精确值为 0.1mm ，由图甲可知摆球的直径为 d =17mm+ 4×0.1mm=17.4 mm。
(4)单摆的周期为 T = 54.60
60
2
s=1.82s。
(5)设小球半径为 r ，根据单摆周期公式可得 T =2π√
L+r
g
，可得 T
2= 4 π
2
g
L+ 4 π
2
g r，可知 T
2−L 图像
的斜率为 k = 4 π
2
g = b
a
，解得 g= 4 π
2a
b
。
3.如图所示的单摆摆线长为l，摆球直径为d
2
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(1)①利用该单摆测量当地的重力加速度g，测得单摆周期为T。则测量重力加速度g的表达式为 ;
②以下是实验过程中的一些做法，其中正确的是 ;
A.摆线粗些、弹性好些
B.摆球密度大些，体积小些
C.由静止释放摆球的同时开始计时，当摆球回到初始位置停止计时，由此测得单摆振动周期T
D单摆周期大些，可以提高测量精度，因此在拉开摆球时应使摆线与竖直方向有较大的角度
(2)将该单摆置于机车上，测量机车在水平路面上启动过程中的加速度。在机车上观测到摆线偏离竖直方
向的角度为θ角，则该机车加速度为 (已知重力加速度g);
(3)利用该单摆验证机械能守恒。将摆线拉直至水平位置，静止释放，则摆球绕悬点在竖直面内做圆周运
动，为了测量小球摆到最低点时的速度，在该位置放置了光电门，小球通过光电门的挡光时间为Δt，则从
静止到最低点过程中，
①机械能守恒需要验证的表达式为 (用题目中的已知量表示，当地重力加速度为g)
②实验发现小球重力势能的减小量小于动能的增加量，则可能的原因是
A.空气阻力对小球做负功
B.摆线没有拉直时静止释放
C.光电门位置偏低，小球球心没过光电门
【答案】g=
4 π
2(l+ d
2 )
T
2
B
a= g tanθ
gl(1−cosθ)=
d
2
2 Δt
2
C
【解析】(1)①由单摆周期公式 T =2π√
(l+ d
2 )
g
，可得 g=
4 π
2(l+ d
2 )
T
2
；
②A.摆线要选择无弹性、细一些的轻绳，故A 错误；
B.摆球尽量选择密度大，体积小些的，减少空气阻力的影响，故B 正确；
C.测量单摆周期时，要从平衡位置即最低点开始计时，测量多个周期，求平均值，误差会更小，故 C 错
误；
D.单摆的周期公式只适用于最大摆角≤5
∘ 的简谐振动，故 D 错误；
3
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故选B。
(2)受力分析，根据牛顿第二定律得mg tanθ =ma，所以 a= g tanθ;
(3)①摆球从静止释放到最低点下落高度 h=l−lcosθ =l(1−cosθ)，摆球到最低点时，v = d
Δt ，
若机械能守恒则 mgh= 1
2 m v
2，代入数据可得 gl(1−cosθ)=
d
2
2 Δt
2 ;
②A.存在空气阻力，导致减小的重力势能大于增加的动能，故A 错误;
B.摆线没有拉直时静止释放，对重力势能转化为动能没有影响，故B 错误;
C.光电门位置偏低，小球球心没过光电门，则算得的速度变大，导致增加的动能大于减小的重力势能，故
C 正确。
故选C。
4.某同学欲利用单摆测定重力加速度。
(1)该同学组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡
皮夹紧，如图1所示，这样做的目的是 。
A.可使周期测量得更加准确
B.防止运动过程中摆长发生变化
C.便于调节摆长
D.保证摆球在同一竖直平面内摆动
(2)改变摆线的长度l，测量不同摆线长度对应的周期T，若实验中所得到的T
2−l关系图线如图2所示，根
据图像分析，可得当地的重力加速度g= m/ s
2(π取3.14，结果保留两位小数)。
(3)若该同学利用单摆的周期公式T =2π√
L
g
，得出g= 4 π
2
T
2 L，从而计算重力加速度，发现测得的重力加
速度值偏大，其原因可能是 。
A.单摆的悬点未固定紧，摆动中出现松动，使摆线增长了
B.把50次摆动的时间误记为49次摆动的时间
C.开始计时，秒表过早按下
D.测摆线长时摆线拉得过紧
【答案】BC
9.86
D
【解析】(1)组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将
橡皮夹紧，这样做的目的是防止单摆在运动过程中摆长发生变化，同时便于调节摆长，故选BC。
4
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(2)根据单摆周期公式有 T =2π√
L
g
，变形得 T
2= 4 π
2
g
L，结合图2可得 4 π
2
g =
4.0
(99.0+1.00)×10
−2 s
2/m，
解得 g≈9.86m/ s
2。
(3) A .单摆的悬点未固定紧，摆动中出现松动，使摆线增长了，结合上述由 g= 4 π
2
T
2 L 可知，测得的重力
加速度值偏小，故A 错误；
B.把50次摆动的时间误记为49次摆动的时间，周期测量值偏大，根据 g= 4 π
2
T
2 L 可知测得的重力加速度值
偏小，故B 错误；
C.开始计时，秒表过早按下，时间测量值偏大，则周期测量值偏大，根据 g= 4 π
2
T
2 L 可知测得的重力加速
度值偏小，故C 错误；
D.测摆线长时摆线拉得过紧，摆长测量值偏大，根据 g= 4 π
2
T
2 L 可知测得的重力加速度值偏大，故D 正确。
故选D。
题组2：拓展实验
5.实验小组的两位成员用如图所示的装置设计了测量当地重力加速度和验证机械能守恒定律的实验方案。
质量为m的小球(直径为d)通过轻绳连接在力传感器上，光电门安装在小球平衡位置处且与球心等高。测得
悬挂点到球心的距离为L，忽略空气阻力。
环节一：测量当地重力加速度
让单摆做简谐运动并开启光电门的计数模式，当光电门第一次被遮挡时计数器计数为1并同时开始计时，
以后光电门每被遮挡一次计数增加1，若计数器计数为N时，单摆运动时间为t，则由此可测得当地的重力
加速度g= 。(用题中所给的字母表示)
环节二：验证机械能守恒定律
(1)拉起小球至某一位置由静止释放，使小球在竖直平面内摆动，在最低点时可测得小球通过光电门的时
间记为Δt，则小球到达最低点的速度大小v = (用题中所给的字母填空)。
(2)将小球摆动过程中拉力传感器示数的最大值和最小值之差记为ΔF。
(3)为避免将环节一中重力加速度的测量误差引入该环节，要验证小球从释放点到最低点的过程机械能守
恒，则只需验证 成立即可。(用含有ΔF、L、m、v的表达式填空)
5
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【答案】π
2 L( N −1)
2
t
2
d
Δt
ΔF = 3m v
2
2 L
【解析】环节一：测量当地重力加速度，根据单摆周期公式，单摆的周期为T =2π√
L
g
，其中L是摆长，
g是重力加速度。根据题目描述，单摆运动时间为t，计数器计数为N，则单摆的周期T =
2t
N −1，将周期公
式代入，可以解出重力加速度g= π
2 L( N −1)
2
t
2
；
环节二：验证机械能守恒定律
(1)小球通过光电门的时间记为Δt，则小球到达最低点的速度大小v = d
Δt ；
(3)将小球摆动过程中拉力传感器示数的最大值和最小值之差记为ΔF。由Fmax−mg=m v
2
L
，
Fmin=mgcosθ，mgL(1−cosθ)= 1
2 mv
2，联立得ΔF = Fmax−Fmin= 3m v
2
2 L
。
6.某同学利用双线摆和光传感器测量当地的重力加速度，如图甲，A为激光笔，B为光传感器。
实验过程如下：
(1)用20分度的游标卡尺测量小球的直径，如图乙，则小球的直径d = mm。
(2)①测出两悬点(两悬点位于同一水平高度)间的距离s和摆线长l(两摆线等长)。
②使悬线偏离竖直方向一个较小角度并将摆球由静止释放，同时启动光传感器，得到光照强度随时间变化
的图像如图丙，则双线摆摆动的周期T = 。
(3)根据上述数据可得当地重力加速度g= (用Δt、d、l、s表示)。
(4)该双线摆装置测重力加速度较传统的单摆实验优势在于 (回答一点即可)。
【答案】20.80
2 Δt
6
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π
2
( Δt )
2 (√l
2−s
2
4 + d
2 )
使小球在同竖直一平面内摆动
【解析】【解答】(1)游标卡尺的精确度为0.05mm，小球直径为d =36mm−0.95×16mm=20.80mm
(2)因为每半个周期挡光一次，故双线摆摆动的周期T =2 Δt
(3)根据几何关系可得摆长L=√l
2−( s
2 )
2+ d
2
根据单摆周期公式T =2π√
L
g
可得g=
π
2
( Δt )
2 (√l
2−s
2
4 + d
2 )
(4)该装置测重力加速度可使小球在同一竖直平面内摆动。
故答案为：(1)20.80；(2)2 Δt；(3)
π
2
( Δt )
2 (√l
2−s
2
4 + d
2 )； (4)使小球在同竖直一平面内摆动
7.某同学欲测量当地的重力加速度，利用的实验器材有：带有滑槽的水平导轨，足够长的一端带有滑轮的
木板，不可伸长的细线，重物，沙漏(装有沙子)，立架，加速度传感器，刻度尺．具体操作如下：
①按图甲所示安装好实验器材，并测量摆线的长度L(沙漏的大小可忽略)；
②将沙漏拉离平衡位置(摆角较小)由静止释放，使沙漏在竖直面内振动；
③沙漏振动稳定后，由静止释放重物，使木板沿滑槽运动，记下加速度传感器的示数a0，漏出的沙子在木
板上形成的曲线如图乙所示(忽略沙子落在木板上后木板的质量变化)；
④缓慢移出木板，测量曲线上相邻三点A、B、C之间的间距x AB、xBC，并计算出Δx = xBC−x AB；
⑤改变立架的高度及摆线的长度，重复②③④的操作。
回答下列问题：
(1)对该实验，下列说法正确的是 (填字母)；
A.随着沙漏中沙子的流出，Δx将减小
B.其他条件不变，若仅增大重物的质量，Δx将增大
C.其他条件不变，若仅增大摆线的长度，Δx将增大
(2)沙漏振动稳定后的周期T = (用Δx、a0表示)；
(3)该同学依据测出的L和Δx，作出的L−Δx图像如图丙所示，若测得该图像的斜率为k，则计算重力加速
度的表达式为g= (用题中字母表示)。
【答案】BC
7
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2√
Δx
a0
a0 π
2k
【解析】解：(1) A、根据逐差法可知Δx =a0( Δt )
2，
其中Δt = 1
2 T，
T =2π√
L
g
，
联立可有Δx = a0 π
2 L
g
，
由该式可看出Δx与沙漏中沙子的质量无关，故A 错误；
B、重物质量增大时，a0增大，由上式可知Δx将增大，故B 正确；
C、摆线长度增大时，Δx也增大，故C 正确。
故选：BC。
(2)由(1)可知Δt =√
Δx
a0
，
T =2 Δt =2√
Δx
a0
；
(3)由(1)分析Δx = a0 π
2 L
g
，
可知L=
g
a0 π
2 Δx，
则有k =
g
a0 π
2，
即g=a0 π
2k。
故答案为：(1)BC；(2)2√
Δx
a0
；(3)a0 π
2k。
8.某同学利用如图甲所示的一半径较大的固定光滑圆弧面测定当地重力加速度。该同学将小钢球从最低点
移开一小段距离由静止释放，则小钢球的运动可等效为一单摆的简谐运动。
具体步骤如下：
(1)用螺旋测微器测量小钢球的直径，示数如图乙所示，则小钢球的直径d = mm。
(2)用秒表测量小钢球的运动周期T时，开始计时的位置为图甲中的 (选填“A”、“O”或“A '”)。
8
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(3)更换不同的小钢球测出对应直径d进行实验，根据实验记录的数据，绘制如图丙所示的d
2 −T
2图像，横
纵轴截距分别为a、b。由图像可得当地的重力加速度g= ，圆弧的半径R = 。(用字母π、a、
b表示)
(4)该同学查阅资料得知，单摆做简谐运动的周期T 0是初始摆角很小时的近似值，实验过程中初始摆角对
周期T有一定的影响，T
T 0
与初始摆角θ的关系如图丁所示，由图像可知随θ角的增大，重力加速度g的测量
值 (选填“增大”、“减小”或“不变”)。
【答案】13.870
O
4 π
2b
a
b
减小
【解析】(1)螺旋测微器的精确度为0.01mm，读数为13.5mm+37.0×0.01m=13.870mm；
(2)O点运动速度最快，造成的时间误差最小，故从O点开始计时；
(3)由单摆周期公式可得T =2π√
R−d
2
g
，变形可得d
2 = R−gT
2
4 π
2 ，
由d
2 −T
2图像可知R =b，g
4 π
2 =k = b
a，解得g= 4 π
2b
a
，R =b；
(4)根据单摆周期公式有T =2π√
l
g测
，T 0=2π√
l
g真
，
解得g测= 4 π
2l
T
2 ，g真= 4 π
2l
T 0
2 ，由题意得T >T 0，故g测< g真，故填减小。
故答案为：(1)13.870；(2)O；(3) 4 π
2b
a
；b；(4)减小。
9.某同学用图甲所示的装置测定当地的重力加速度。已知光滑圆弧形轨道ABC的半径为R，弧长为
l( R≫l)，B为圆弧轨道的最低点，A、C关于B点所在的竖直线对称。小钢球的半径为r(r ≪l)。当小
钢球经过B点时，光传感器发出的光，恰好能过小钢球的球心。现将小钢球由A点静止释放，沿圆弧轨道
ABC自由往复运动，光传感器接收端接收到一段时间内的光信号强度变化情况如图乙所示。
9
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(1)该同学经过分析光信号变化情况，可得出小钢球往复运动的周期T = (结果用ΔT和Δt表示)。
(2)小钢球在圆弧轨道上的运动可视为简谐运动，且小球视为质点，则重力加速度的表达式g= (结
果用R、ΔT和Δt表示)。
(3)由于在计算重力加速度时忽略了小球的半径，由此重力加速度的测量值 (填“大于”“小于”或“等
于”)真实值。
【答案】2( ΔT + Δt )
π
2 R
( ΔT + Δt )
大于
【解析】(1)小球每次通过B点时，光信号强度为零，连续两次光信号为零，小球经过半个周期，根据图
乙可知小钢球往复运动的周期T =2( ΔT + Δt )。
(2)根据单摆周期公式T =2π√
R
g
，结合周期的表达式，解得重力加速度g=
π
2 R
( ΔT + Δt )
2。
(3)小球做简谐运动的实际摆长为R−r，结合重力加速度的表达式可知，重力加速度的真实值小于测量值，
因此测得的重力加速度大于重力加速度的真实值。
故答案为：(1)2( ΔT + Δt )；(2)
π
2 R
( ΔT + Δt )；(3)大于。
10.在“用单摆测当地重力加速度”实验中，甲、乙两同学为一小组。
(1)两同学利用“手机物理工坊”app中的“磁力计”来测单摆的周期。如图甲，先将小球磁化，小球上下分别
为S、N极，将手机放在小球静止位置的下方，并让小球做简谐运动，手机测出其所在空间中磁感应强度
大小随时间的变化，其中z轴磁力计显示如图乙。该单摆的振动周期T为O点与______(选填“A”、“B”、“C”
或“D”)点之间的时间差。
(2)两同学在测单摆的摆长时，将绳长加小球直径作为摆长L，测量了多组T、L数据，并分别处理数据。
10
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①甲同学利用计算法进行处理，其计算的表达式为g=______(用T、L表示)；
②乙同学利用图像法进行处理，画“T
2−L”图像，其图像应该是图丙的______(选填“a”、“b”或“c”)；
③甲的测量值将______(选填“大于”、“等于”、“小于”)真实值，乙同学的测量值将______(选填“大于”、“等
于”、“小于”)真实值。
【答案】(1)D；(2)①4 π
2 L
T
2
；②c；③大于；等于
【解答】(1)小球在最低点时手机测得的磁感应强度最大，小球在最高点时手机测得的磁感应强度最小，
所以由图乙可知，从O→D，小球恰好完成一次完整的周期运动，因此该单摆的振动周期T为O点与D点
之间的时间差。
(2)①由单摆的周期公式T =2π√
L
g
可得，重力加速度表达式为g= 4 π
2 L
T
2
；
②由题意可知，单摆的摆长应是绳长加摆球的半径，即摆长l = L−d
2
由单摆的周期公式可得T
2=
4 π
2( L−d
2 )
g
= 4 π
2
g
L−2π
2d
g
可知T
2−L图像应该是图丙的c。
③甲同学利用计算法进行处理，其计算的表达式为g= 4 π
2 L
T
2
，可知由于单摆的摆长L偏大，则甲同学测量
的重力加速度g甲将大于真实值。
乙同学利用图像法进行处理，由T
2−L图像的函数表达式T
2= 4 π
2
g
L−2π
2d
g
可知T
2−L图像的斜率不变，因此乙同学测量的重力加速度g乙将等于真实值。
11
