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第 2 课时 实验九：用单摆测量重力加速度
目标要求 1.知道利用单摆测量重力加速度的原理。2.掌握利用单摆测量重力加速度的方法。
考点一 实验技能储备
1．实验原理
当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为 T＝2π，由此得到g＝，因此，只要测出摆
长 l 和 振动周期 T ，就可以求出当地的重力加速度g的值。
2．实验器材
铁架台、单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。
3．实验过程
(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆。
(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，
让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示。
(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径
r，计算出摆长l＝ l ′ ＋ r 。
(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(小于5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，
待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T。
(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度。
(6)改变摆长，重做几次实验。
4．数据处理
(1)公式法：利用T＝求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝求重力加
速度。
(2)图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝
T2，图像应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝ 4π 2 k 求重力
加速度。5．误差分析
系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，
球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆
长等等。
偶然误差：本实验的偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。为了减小偶然误差，应
进行多次测量后取平均值。
6．注意事项
(1)一般选用一米左右的细线。
(2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。
(3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。
(4)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°。
(5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。
例1 (2023·新课标卷·23)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测
微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，
该示数为________ mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________
mm，则摆球的直径为________ mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在
角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在 O点上方，则摆线在角度盘上所指
的示数为5°时，实际摆角________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________ cm。实验中观测到从摆球
第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________
s，该小组测得的重力加速度大小为______ m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)答案 (1)0.006(0.005、0.007也可) 20.035(20.034、20.036均可) 20.029(20.027、20.028、
20.030均可) (2)大于 (3)82.5 1.82 9.83
解析 (1)题图(a)读数为0＋0.6×0.01 mm
＝0.006 mm(0.005 mm、0.007 mm也可)；
题图(b)读数为20 mm＋3.5×0.01 mm
＝20.035 mm(20.034 mm、20.036 mm均可)；
则摆球的直径为20.035 mm－0.006 mm
＝20.029 mm(20.027 mm、20.028 mm、20.030 mm均可)
(2)若角度盘上移则形成如图所示图样，则实际摆角大于5°。
(3)摆长＝摆线长度＋半径，代入数据计算可得摆长为82.5 cm；
小球从第1次到61次经过最低点经过了30个周期，则T＝ s＝1.82 s
根据单摆周期公式T＝2π，
可得g＝≈9.83 m/s2。
例2 (2023·广东东莞市模拟)实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重力加速度”的实
验。
(1)下列最合理的装置是________。
(2)为使重力加速度的测量结果更加准确，下列做法合理的有________。
A．测量摆长时，应测量水平拉直后的摆线长
B．在摆球运动过程中，必须保证悬点固定不动C．摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大
D．测量周期时，应该从摆球运动到最高点时开始计时
(3)某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验。由于没有合适的摆球，于是他
找到了一块鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进行实验。如图甲所示，实验过程中
他先将石块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点。然后利用刻度尺测出OM
间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测出石块做简谐运动的周期T。在测出几组
不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2－l图像如图乙所示。
①该图像的斜率为______(重力加速度为g)。
A．g B. C. D.
②由此得出重力加速度的测量值为____ m/s2。(π取3.14，计算结果保留三位有效数字)
(4)实验中，该同学测量摆长使用细线长，而非悬点到石块重心之间的距离，这对重力加速
度测量结果的影响是：测量值________(填“>”“＝”或“<”)真实值。
答案 (1)D (2)BC (3)①C ②9.86 (4)＝
解析 (1)为减小空气阻力的影响，摆球应采用密度较大、体积较小的铁球，为使单摆摆动
时摆长不变化，摆线应用不易形变的细丝线，悬点应该用铁夹来固定，故选D。
(2)根据单摆周期公式有T＝2π，可得重力加速度为g＝，测量摆长时，应该测量竖直拉直后
的摆线长，故A错误；在摆球运动过程中，必须保证悬点固定不动，故 B正确；摆球运动
过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大，如摆角太大，将不能看作简谐运动，单摆周期公
式失效，故C正确；测量周期时，应该从摆球运动到最低点时开始计时，因为最低点位置
摆球速度最大，相同的视觉距离误差引起的时间误差较小，则周期测量比较准确，故 D错
误。
(3)由题图可知，设M点到石块重心的距离为d，根据周期公式T＝2π，可得T2＝(l＋d)，故
T2－l图像的斜率为k＝，故选C。由于k＝＝×102＝4，解得重力加速度的测量值为g＝π2
m/s2≈9.86 m/s2。
(4)由之前的分析可知，有T2＝(l＋d)，T2－l图像的斜率为k＝，其重力加速度为g＝，由上
述分析可知，其摆长的测量不影响重力加速度的测量结果，所以其测量值等于真实值。考点二 探索创新实验
例3 (2023·湖北省华中师范大学第一附属中学检测)如图甲，双线摆也是一种单摆，它的
优点是可以把摆球的运动轨迹约束在一个确定的平面上。现把双线摆的其中一根悬线，换成
一根很轻的硬杆，组成一个“杆线摆”，如图乙所示。杆线摆可以绕着悬挂轴OO′来回摆
动，杆与悬挂轴OO′垂直，其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内。某实验小组为
探究在相同摆长下、摆角很小时，“杆线摆”的周期T跟等效重力加速度的关系，设计了如
下实验：
(1)测量斜面倾斜角θ。如图丙，铁架台上装一重垂线。在铁架台的立柱跟重垂线平行的情况
下把“杆线摆”装在立柱上，调节摆线的长度，使摆杆与立柱垂直，则此时摆杆是水平的。
如图丁，把铁架台底座的一侧垫高，立柱倾斜，绕立柱摆动的钢球实际上是在一倾斜平面上
运动。测出静止时摆杆与重垂线的夹角为β，则该倾斜平面与水平面的夹角θ＝90°－β。
(2)测量周期T。让“杆线摆”做小偏角下的振动，用停表测量完成 20次全振动所用的时间
t，则周期T＝。同样的操作进行三次，取平均值作为该周期的测量值。
1
(3)记录数据。改变铁架台的倾斜程度，测出不同倾斜程度下斜面倾斜角θ的值以及该倾斜
角下“杆线摆”的周期T，把各组θ和T的值填在实验数据表格中。取g＝9.8 m/s2，计算a
＝gsin θ的值作为表格中的一列，再计算的值，得到表格中的另一列，如表所示：
斜面倾
等效重力加速度a
次数 斜角 周期T/s /(m－1/2·s)
＝gsin θ/(m·s－2)
θ(°)
1 11.0 2.52 1.87 0.731
2 14.5 2.11 2.45 0.639
3 19.0 1.83 3.19 0.560
4 22.5 1.73 3.75 0.5165 25.5 1.62 4.22 0.487
6 29.0 1.50 4.75 0.459
(4)数据处理。在图戊中以周期T为纵坐标轴、以____________为横坐标轴建立坐标系，并
把以上表格中相应的各组数据在坐标系中描点、作图。
(5)得出结论。根据该图线可知：__________________________________________________。
答案 (4)或 见解析图 (5)在误差允许范围内，“杆线摆”在摆长一定的情况下，T和成
正比，即周期跟(等效)重力加速度的平方根成反比
解析 (4)根据单摆周期公式可知T＝2π＝2π，在图中以周期T为纵坐标轴、以(或者)为横坐
标轴建立坐标系，作图：
(5)根据该图线可知：在误差允许范围内，“杆线摆”在摆长一定的情况下，T和成正比，即
周期跟(等效)重力加速度的平方根成反比。
课时精练
1．(2023·黑龙江鹤岗市第一中学期中)某同学做“用单摆测量重力加速度”的实验，实验装
置如图甲所示，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器，记录小球经过光电
门的次数。(1)下列说法中正确的是________。
A．测出摆球做一次全振动的时间作为周期的测量值
B．质量相同的铁球和软木球，应选用铁球作为摆球
C．可将摆球从平衡位置拉开一个任意角度然后释放摆球
D．可以选择有弹性的细绳作为摆线
(2)在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺测得从悬点至摆球顶端的长度为L，再用游标卡
尺测量摆球直径d结果如图乙所示，则摆球直径d＝__________ cm；
(3)将摆球从平衡位置拉开一个合适的角度(小于5°)，静止释放摆球，摆球在竖直平面内稳定
摆动后，启动数字计时器，摆球通过平衡位置时从1开始计数，同时开始计时，当摆球第n
次(为大于 3 的奇数)通过光电门时停止计时，记录的时间为 t，此单摆的周期 T＝
______________(用t、n表示)，重力加速度的大小为______________(用L、d和T表示)；
(4)实验中该同学测得的重力加速度值经查证明显大于当地的重力加速度值，下列原因可能
的是________。
A．摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了
B．计算时用L＋d作为单摆的摆长
C．摆球的振幅偏小
D．把n当作单摆全振动的次数
答案 (1)B (2)1.07 (3)(n＝5,7,9,11…) (L＋) (4)BD
解析 (1)为了减小实验误差，应测多次全振动的时间，再求出一次全振动的时间作为周期，
故A错误；为减小实验误差，提高测量精度，相同质量下应选择体积小的铁球作为摆球，
故B正确；单摆在摆角小于5°时的运动才是简谐运动，因此单摆的摆角不能过大，故C错
误；根据单摆的周期公式T＝2π可知，单摆的周期跟摆线与摆球半径之和有关，若使用弹性
绳，在摆球下降或是上升的过程中，式中的l会不断发生变化，从而导致重力加速度测量不
准确，故D错误。
(2)该游标卡尺的游标尺为10分度值，则读数为
d＝1 cm＋0.1×7 mm＝1.07 cm
(3)由题意可知在时间t内摆球全振动的次数为(n＝5,7,9,11…)，则可得单摆的周期为T＝＝(n＝5,7,9,11…)
由单摆的周期公式T＝2π
其中l＝L＋，可得g＝(L＋)
(4)摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了，则实际所测摆
线长度偏小，所测重力加速度将偏小，故A不符合题意；若计算重力加速度时用L＋d作为
单摆的摆长，则摆长比实际偏大，因此计算得到的重力加速度值比实际偏大，故B符合题
意；摆球的振幅偏小不影响重力加速度的测量，故C不符合题意；若把n当作单摆全振动的
次数，则会导致测量周期偏小，从而导致所测重力加速度偏大，故D符合题意。
2．(2023·北京市第四中学检测)某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中：
(1)如图所示，该同学用游标卡尺测得单摆小球的直径为________ cm；用秒表记录的时间为
______ s；
(2)如果某同学在实验时，用的摆球质量分布不均匀，无法确定其重心位置。他第一次量得
悬线长为L(不计摆球半径)，测得周期为T ；第二次量得悬线长为L ，测得周期为T 。根据
1 1 2 2
上述数据，可求得g值为( )
A. B.
C. D.
该同学又想出另一个办法测重力加速度，他测出多组摆线长L与周期T的数据，根据实验数
据，作出了T2－L的关系图像如图所示。理论上T2－L图像是一条过坐标原点的直线，根据
图中数据，可算出重力加速度的值为________ m/s2(取π2＝9.86，结果保留三位有效数字)，
仅考虑该数据处理方法，他得到的加速度 g与真实值相比____________(填“偏大”“偏
小”或“相同”)。
答案 (1)1.070 96.8 (2)B 9.86 相同
解析 (1)用游标卡尺测得单摆小球的直径为1 cm＋0.05 mm×14＝1.070 cm，用秒表记录的
时间为
1 min＋36.8 s＝96.8 s；
(2)根据T＝2π，可得T＝2π，
1
T＝2π，
2
可得g＝，故选B。根据T2＝(L＋)＝L＋，
可得k＝＝＝4，
解得g＝9.86 m/s2，仅考虑该数据处理方法，没有系统误差，则他得到的加速度 g与真实值
相比相同。
3．(2023·重庆卷·11)某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的
轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。
(1)用游标卡尺测量摆球直径d。当测量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球
后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为__________ mm。
(2)用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1 mm时，记录并分析单摆的振
动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为________ m/s2(保留3位
有效数字)。
(3)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用
l和l＋作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变
化曲线如图丙所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度 l的增加，Δg的变化特点是
________________________，原因是______________________________________________。
答案 (1)19.20 (2)9.86 (3)随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小 随着摆线长度l的增加，
则l＋越接近于l，此时计算得到的Δg越小
解析 (1)摆球直径
d＝19 mm＋0.02×10 mm＝19.20 mm；
(2)单摆的摆长为L＝990.1 mm＋×19.20 mm＝999.7 mm，根据T＝2π，可得g＝，代入数据
得g＝ m/s2≈9.86 m/s2；
(3)由题图丙可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小，原因是随着摆线长度l的增加，则l＋越接近于l，此时计算得到的Δg越小。
4．(2024·江苏南京航空航天大学苏州附属中学月考)某同学设计了一个用拉力传感器进行
“测量重力加速度”并“验证机械能守恒定律”两个实验。一根轻绳一端连接固定的拉力传
感器，另一端连接小钢球，如图甲所示。
(1)用游标卡尺测出小钢球直径结果如图乙所示，则其直径D＝________ mm；
(2)让小钢球以较小的角度(<5°)在竖直平面内摆动，从计算机中得到拉力大小随时间变化的
关系图像如图丙，则小钢球摆动的周期为T＝________ s；
(3)该同学还测得该单摆的摆线长用 L 表示，则重力加速度的表达式为 g＝
__________________(用π、T、L、D表示)；
(4)将小钢球多次拉离竖直方向一定角度后由静止释放，测得拉力的最小值F 与最大值F 并
1 2
得到F －F 图像如图丁，如果小钢球在摆动的过程中机械能守恒，则该图像的图线斜率的
2 1
绝对值等于________；
(5)若实际测得 F －F 图线的斜率与理论值总是存在一定偏差，可能是以下哪种原因
2 1
________。
A．测量单摆摆长时漏加小钢球半径
B．小钢球初始释放位置不同
C．小钢球摆动角度偏大
D．小钢球摆动过程中存在空气阻力
答案 (1)9.3 (2)2.0 (3)
(4)2 (5)D
解析 (1)直径D＝9 mm＋3×0.1 mm＝9.3 mm。
(2)小钢球在经过最低点时绳上的拉力最大，且一个周期内经过两次最低点，所以小钢球摆
动的周期为T＝2×(1.5－0.5) s＝2.0 s
(3)由单摆周期公式可知T＝2π，
解得g＝
(4)根据向心力方程以及机械能守恒可知
F－mg＝0，F－mg＝m，
1 2
mgh＝mv2，联立解得F＝3mg－2F，
2 1所以F－F 图像的图线斜率的绝对值等于2；
2 1
(5)由以上分析可知，绳长可以约掉，释放高度和角度也在计算过程中约掉，因此，存在误
差的原因应该是有阻力做功，机械能不守恒，即存在空气阻力，故A、B、C错误，D正确。
5.(2023·湖南卷·11)某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图(a)所示，轻
质弹簧上端悬挂在铁架台上，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁，其正下方放置智
能手机，手机中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像，实验步骤如下：
(1)测出钩码和小磁铁的总质量m；
(2)在弹簧下端挂上该钩码和小磁铁，使弹簧振子在竖直方向做简谐运动，打开手机的磁传
感器软件，此时磁传感器记录的磁感应强度变化周期等于弹簧振子振动周期；
(3)某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图(b)所示，从图中可以算出弹
簧振子振动周期T＝________(用“t”表示)；
0
(4)改变钩码质量，重复上述步骤；
(5)实验测得数据如下表所示，分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是
________(填“线性的”或“非线性的”)；
m/kg 10T/s T/s T2/s2
0.015 2.43 0.243 0.059
0.025 3.14 0.314 0.099
0.035 3.72 0.372 0.138
0.045 4.22 0.422 0.178
0.055 4.66 0.466 0.217
(6)设弹簧的劲度系数为k，根据实验结果并结合物理量的单位关系，弹簧振子振动周期的表
达式可能是________________(填正确答案标号)；
A．2π B．2π
C．2π D．2πk
(7)除偶然误差外，写出一条本实验中可能产生误差的原因：__________________________。答案 (3) (5)线性的 (6)A (7)见解析
解析 (3)由题图(b)可知弹簧振子振动周期T＝；
(5)分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的比值接近常量3.95，则弹簧振子振动
周期的平方与质量的关系是线性的；
(6)因2π的单位为＝＝s
因为s(秒)为周期的单位，则其他各项单位都不是周期的单位，故选A；
(7)除偶然误差外，钩码振动过程中受空气阻力的影响可能会使本实验产生误差。
