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专题08 天体运动 宇宙航行
题型一 开普勒三定律的理解和应用.....................................................................................................2
题型二 万有引力定律的理解.................................................................................................................4
类型1 万有引力定律的理解和简单计算......................................................................................5
类型2 不同天体表面引力的比较和计算......................................................................................6
题型三 天体质量和密度的估算.............................................................................................................9
类型1 利用重力加速度求天体质量和密度..................................................................................9
类型2 利用天体的卫星来计算天体质量和密度.........................................................................12
题型四 卫星运行参量的分析...............................................................................................................14
类型1 卫星运行参量与轨道半径的关系....................................................................................15
类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较....................................................................18
类型3 宇宙速度.............................................................................................................................22
题型五 卫星变轨问题...........................................................................................................................25
类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较....................................................................................25
类型2 卫星的对接问题................................................................................................................28
题型六 双星问题...................................................................................................................................30
题型七 天体追及相遇问题...................................................................................................................33
题型八 天体自转稳定的临界问题.......................................................................................................37
题型一 开普勒三定律的理解和应用
1.定律内容
（1）开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是
椭圆
，太阳处在椭圆的一个
焦点
上。
（2）开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的
面积
相
等。
（3）开普勒第三定律：所有行星轨道的
半长轴
的三次方跟它的
公转周期
的二次方的
比
都相等
，即 a
3
T
2＝
k
。
2.适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
1.
如图1 所示，一颗地球的卫星绕以地球为焦点的椭圆轨道运行，轨道远地点为M，近
地点为N，卫星受到地球的万有引力大小F 随时间t 的变化情况如图2 所示。则（ ）
A．卫星运动周期为2T 0
B．卫星从C→M→D 的运动时间大于T 0
2
C．地心与M 点间距离是地心与N 点间距离的2 倍
D．卫星与椭圆中心O 点连线在相同时间内扫过的面积相等
【答案】BC
【详解】A．从图乙可知，卫星从近地点N到远地点M再回到近地点N，万有引力F完成一个周期
性变化，这个过程所用时间为T 0，而卫星运动的周期是完成一次完整的椭圆轨道运动的时间，所以
卫星运动周期为T 0，故A 错误；
B．卫星运动周期为T 0，卫星从C→M→D 和D→N→C 的轨迹长度相等，但经过远地点的速率最小，
经过近地点的速率最大，则C→M→D 的运动时间大于T 0
2
，从D→N→C 的运动时间小于T 0
2
，故B
正确；
C．根据万有引力定律F = GMm
r
2
，设地球与近地点N间的距离为r1，与远地点M再间的距离为r2，
则在点F N = GMm
r1
2
=8 F0，在点F M = GMm
r2
2
=2 F0，将两式相比可得
F N
F M
=
GMm
r1
2
GMm
r2
2
= r2
2
r1
2 = 8 F0
2 F0
= 4，
即
r2
r1
=2，所以地球与M点间距离是地球与N点间距离的2倍，故C 正确；
D．根据开普勒第二定律可知卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，故D 错误。
故选BC。
2.
地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的运行轨道则是一个非常扁的轨道，如图所示，哈
雷彗星最近出现的时间是1986 年，预计下次飞近地球将在2061 年左右。下列说法正确的是（
）
A．哈雷彗星绕太阳公转的周期大约是85 年
B．以太阳为参照系，哈雷彗星目前正在远离太阳
C．以太阳为参照系，哈雷彗星目前运行的速度正在增大
D．不考虑其他星体的影响，哈雷彗星目前运动的加速度正在减小
【答案】C
【详解】A．哈雷彗星绕太阳公转的周期大约是（2061-1986）年=75 年，选项A 错误；
BCD．目前（2025 年）距1986 年是39 年，大于哈雷彗星绕日公转的半周期，目前哈雷彗星正在靠
近太阳，运动的速度、加速度正在增大，选项BD 错误，C 正确。
故选C。
3.
如图所示，火星探测器从地球到达火星的轨道为霍曼转移轨道，该轨道为椭圆形轨道，
其近日点与地球绕太阳的公转轨道相切，远日点与火星绕太阳的公转轨道相切。发射火星探测
器时，“地—日”连线与“火—日”连线的夹角为θ，已知当探测器到达火星轨道上时恰好与
火星相遇，火星公转轨道约为地球公转轨道的1.5 倍。地球的公转周期为一年，则θ约为（
）（已知❑√5=2.236，❑√24=4.899）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
【答案】B
【详解】霍曼转移轨道的半长轴为a= R+1.5 R
2
= 5
4 R
根据开普勒第三定律可得转移轨道的周期T = ❑√（5
4 ）
3T 0= ❑√
125
64 T 0
火星的公转周期T
' = ❑√（3
2 ）
3T 0= ❑√
27
8 T 0
根据几何关系，π -θ = 2π
T
' ⋅（T
2 ）
解得θ = π - Tπ
T
' = π - ❑√
125
64 × 8
27 π ≈0.24 π
故选B。
题型二 万有引力定律的理解
1．万有引力定律的表达式：F＝G.
2．万有引力的特性
(1)普遍性：万有引力存在于宇宙中任何两个有质量的物体之间(天体间、地面物体间、微观粒子间)．
(2)相互性：两个物体间相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律．
(3)宏观性：天体间万有引力很大，它是支配天体运动的原因．地面物体间、微观粒子间的万有引力
很小，不足以影响物体的运动，故常忽略不计．
3．万有引力公式的适用条件
(1)两个质点间．
(2)两个质量分布均匀的球体间，其中r 为两个球心间的距离．
(3)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间，r 为球心到质点的距离．
4．引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2
(1)物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg 的质点相距1 m 时的相互吸引力．
(2)引力常量测定的意义
卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，得到了G 的数值及验证了万有引力定律的正确
性．引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值．
5．不同位置的重力加速度
类型1 万有引力定律的理解和简单计算
4.
二十四节气是古人智慧的结晶，他对于我们现在的生产和生活影响意义深远，我们把
春分夏至秋分冬至按照如图位置安排，则下列说法中正确的是（ ）
A．地球每年运行到冬至位置时线速度最小
B．由秋分到冬至的时间为周期的四分之一
C．地球经过冬至和夏至位置时速度比为r1
r2
D．地球在夏至与冬至位置时受到太阳的万有引力之比为(
r1
2
r2
2)
【答案】D
【详解】A．由开普勒第二定律可知，地球绕太阳做椭圆运动时，相同时间内，扫过相同的面积，
所以冬至时运行速度最大，故A 错误；
B．地球不是绕太阳做匀速圆周运动，由秋分到冬至的时间为不等于（小于）周期的四分之一，故
B 错误；
C．行星从轨道的冬至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积
S1= 1
2 ×v1t ×r1同理，行星从轨道的夏至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作
很小的扇形，其面积S2= 1
2 ×v2t ×r2
根据开普勒第二定律1
2 ×v1t ×r1= 1
2 ×v2t ×r2
可得
v1
v2
= r2
r1
故C 错误；
D．根据万有引力表达式有F =G Mm
r
2 可得地球在夏至和冬至时，所受太阳的万有引力之比为
F2
F1
=( r1
r2
)
2
，故D 正确。
故选D。
5.
我国发射的嫦娥四号成功在月球背面软着陆，实现了人类历史上首次月球背面软着陆
与探测，为人类开发月球迈出坚实一步。太空船返回地球的过程中，一旦通过地球、月球对其
引力的合力为零的位置后，该合力将有助于太空船返回地球，已知地球质量约为月球的81 倍，
则该位置距地心的距离和距月球中心的距离之比为（ ）
A．81：1
B．10： 9
C．9：1
D．9：10
【答案】C
【详解】设太空舱质量为m，月球质量为m0，引力合力为零的位置到地心的距离为r1，地球质量为
81m0，引力合力为零的位置到月球中心的距离为r2，由万有引力定律和力的平衡有：
81G m0m
r1
2
= G m0m
r2
2
可得r1:r2=9:1
故选C。
6.
海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。太阳、月球对某一区
域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。已知太阳质量约为月球质量的3×107倍，太阳
到地球与地球到月球距离的比值约为400。对同一片海水来说，太阳对海水的引力与月球对海
水的引力的比值大约为（ ）
A．1 180
∶
B．180 1∶
C．75000 1∶
D．1 75000
∶
【答案】B
【详解】设月球质量为M，则太阳质量为3×10
7 M，地球到月球的距离为r，则太阳到地球的距离
为400r，设海水的质量为m，则月球对海水的引力F1=G Mm
r
2
则太阳对海水的引力F2=G 3×10
7 Mm
(400r)
2
则
F2
F1
≈180
1
故选B。
类型2 不同天体表面引力的比较和计算
7.
一部科幻小说中在地球飞向某一新的恒星的过程中，科学家分别测出距该恒星表面高
为h、1
3 h的引力加速度大小为a 和4a。若最后地球以距离该恒星表面高H 处近似做圆周运动，
求地球新的一“年”为（ ）
A．4 π
5h
❑
√
(
h
2 + H)
3
a
B．2π
3h
❑√
(h+ H )
3
a
C．3 π
2h
❑
√
(
h
3 + H)
3
a
D．2π
h
❑√
(h+ H )
3
a
【答案】C
【详解】设恒星半径r，根据题意
G
Mm
(h+r )
2 =ma
G
Mm
( 1
3 h+r )
2 =m×4 a
地球绕该恒星做圆周运动周期T，有
G
Mm
( H +r )
2 =m 4 π
2
T
2 ( H +r )
T =2π
❑√
( H +r )
3
GM
联立得
T = 3 π
2h
❑
√
(
h
3 + H)
3
a
故选C。
8.
如图1 所示，一半径为R、密度均匀的球体，在与球心O 相距2R 的P 处有一质量为
m 的质点，球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去“半径为R
2 的小球体（球心在
OP 连线上，右端位于O 点），如图2 所示，则剩余部分对该质点的万有引力大小为（ ）
A．7
8 F
B．7
16 F
C．23
25 F
D．23
50 F
【答案】C
【详解】设球体的密度为ρ，球体的质量为M，可得
M = ρ⋅4
3 π R
3
则小球体的质量
M
' = ρ⋅4
3 π(
R
2)
3
= M
8
球体对该质点的万有引力大小
F =G Mm
(2 R)
2
故挖去小球体后，剩余部分对该质点的万有引力大小
F 剩余= F -G M
' m
( 5
2 R)
2
解得
F剩余= 23
25 F
故选C。
9.
上世纪70 年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的
地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d 时，井底一个质量为m 的小球与地球之间的万有
引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为
R，质量为M，万有引力常量为G，则F 大小等于（ ）
A．GMm
(R -d)
2
B．GMm(R -d)
R
3
C．GMm R
3
R -d
D．GMm
R
2
【答案】B
【详解】将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d 球壳两部分，球壳对小球的引力为零
则F 等于半径为（R－d）的球对小球的引力，有
F = G m1m
(R -d)
2
设半径为（R－d）球的质量为m1，由密度公式得
m= ρV = ρ 4
3 π R
3
所以
m1
M = (R -d)
3
R
3
解得，F 的大小为
F = GMm(R -d)
R
3
B 正确，ACD 错误。
故选B。
题型三 天体质量和密度的估算
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝man＝m＝mω
2 r ＝m
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g 表示天体表面的重力加速
度)．
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R，则天体密度
ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
类型1 利用重力加速度求天体质量和密度
10. 我国的北斗系统可提供全球导航服务，在轨工作卫星共33 颗，包含5 颗地球静止同
步轨道卫星，7 颗倾斜地球同步轨道卫星和21 颗中圆地球轨道卫星。如图所示为北斗系统中的
两颗卫星，分别是中圆地球轨道卫星A 和地球静止同步轨道卫星B，卫星A 环绕方向为顺时针，
卫星B 环绕方向为逆时针。已知地球自转周期为T 0，地球的半径为R0，卫星A 和卫星B 到地
球表面的距离分别为3
4 R0、6 R0，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为
120°，下列说法正确的是（ ）
A．卫星B 的动能一定小于卫星A 的动能
B．地球的质量M = 4 π
2(7 R0)
3
GT 0
2
C．卫星A 围绕地球做圆周运动的周期T A= 1
7 T 0
D．从图示时刻开始，经过t = 1
27 T 0时间两卫星第一次相距最远
【答案】B
【详解】A．因两卫星的质量大小关系未知，则不能确定二者动能的大小关系，故A 错误；
B．对于地球静止同步轨道卫星B，有G
Mm
(7 R0)
2 =m 4π
2
T 0
2 ⋅7 R0
解得地球的质量M = 4 π
2(7 R0)
3
GT 0
2
，故B 正确；
C．对两卫星，由开普勒第三定律，有( R0+ 3
4 R0)
3
T A
2
= ( R0+6 R0)
3
T 0
2
解得T A= 1
8 T 0，故C 错误；
D．从图示时刻开始，到两卫星第一次相距最远，且由T A= 1
8 T 0
有t
T A
+ t
T 0
= 120
∘+180
∘
360
∘
解得时间t = 5
54 T 0，故D 错误。
故选B。
11. 设想在将来的某一天，一位航天员乘坐中国航天集团的飞行器，成功地降落在火星上。
他在离火星地面表面高h（h 远小于火星的半径）处无初速释放一小球，认为小球在火星表面
做初速度为零的匀加速直线运动，即火星上的自由落体运动，并测得小球落地时速度为v（不
计阻力），已知引力常量为G，火星半径为R，下列正确的是（ ）
A．小球下落所用的时间t = h
2v
B．火星表面的重力加速度g= v
2
2h
C．火星的质量M = v
2 R
2
2Gh
D．若火星可视为质量均匀分布的球体，则火星的密度ρ=
3 v
2
4Ghπ R
【答案】BC
【详解】AB．根据动力学公式v
2=2 gh
解得火星表面的重力加速度为g= v
2
2h
小球下落所用的时间t = v
g = 2h
v ，故A 错误，B 正确；
C．根据万有引力与重力的关系G Mm
R
2 =mg
解得火星的质量为M = v
2 R
2
2Gh ，故C 正确；
D．若火星可视为质量均匀分布的球体，则火星的密度为ρ= M
V =
M
4
3 π R
3 =
3 v
2
8Ghπ R ，故D 错误。
故选BC。
12. 如图，在地面上通过一个特制圆筒来估算太阳密度。一长为L=100cm的圆筒一端封
上厚纸，中间扎一直径很小的圆孔，另一端封上有刻度的同心圆薄白纸作测量尺度。用目镜
（放大镜）观察，将小孔正对着太阳，调整圆筒的方向，在薄白纸上得到太阳实像圆形光斑。
若测得光斑的半径r0=5.0 mm（小于圆筒半径），已知：G =6.67×10
-11N ⋅m
2/kg
2，一年约
为T =3.2×10
7s，取π=3.14，试根据以上数据估算太阳的密度为（ ）
A．1.4×10
3kg/ m
3
B．1.4×10
4kg/ m
3
C．1.4×10
5kg/ m
3
D．1.4×10
6kg/ m
3
【答案】A
【详解】设太阳质量为M、半径为R、体积为V、平均密度为ρ，地球质量为m、日地距离为r，由
万有引力定律和牛顿运动定律可以知道G M m
r
2 =m 4 π
2
T
2 r，M = 4
3 π R
3 ρ
由图中几何关系可近似得r
R = L
r0
三式联立解得ρ= 3 π
GT
2 ( L
r0
)
3
≈1.1×10
3kg/ m
3，故BCD 错，A 正确。
故选A。
类型2 利用天体的卫星来计算天体质量和密度
13. 木星是太阳系中最大的行星，它有众多卫星。观察测出：木星绕太阳做圆周运动的半
径为r1、 周期为T1；木星的某一卫星绕木星做圆周运动的半径为r2、 周期为T 2。已知万有引
力常量为G，则根据题中给定条件（ ）
A．能求出木星的密度
B．能求出木星与卫星间的万有引力
C．能求出太阳与木星间的万有引力
D．可以断定r1
3
T 1
2 = r2
3
T 2
2
【答案】C
【详解】A．对于木星的某一卫星绕木星做圆周运动，根据万有引力提供向心力有
G M 木m卫
r2
2
=m卫4 π
2
T 2
2 r2
可得M 木= 4 π
2r2
3
GT 2
2
但木星的半径未知，故无法计算木星的体积V 木，根据ρ木= M 木
V 木
可知，无法计算木星的密度，故A 错误；
B．根据木星的某一卫星绕木星做圆周运动的半径和周期可求出卫星的向心加速度a卫= 4 π
2
T 2
2 r2
木星与卫星间的万有引力F1=m卫a卫
但卫星的质量m卫未知，故无法计算出木星与卫星间的万有引力，故B 错误；
C．根据木星绕太阳做匀速圆周运动，可求得木星的向心加速度a木= 4 π
2
T 1
2 r1
在忽略木星卫星影响的情况下，该力约等于太阳与木星间的万有引力
F2= M 木a木= 4 π
2r2
3
GT 2
2 ⋅4 π
2
T 1
2 r1= 16 π
4r1r2
3
GT 1
2T 2
2 ，故C 正确；
D．木星绕太阳圆周运动，卫星绕木星圆周运动，开普勒第三定律不适用，即r1
3
T 1
2 ≠r2
3
T 2
2，故D 错误。
故选C。
14. 2024 年10 月30 日，神舟十九号载人飞船点火升空，3 名航天员成功进入中国空间站。
已知地球半径为R，空间站绕地球做圆周运动的轨道半径为kR，周期为T，引力常量为G。下
列说法正确的是（ ）
A．地球的质量为4 π
2k
2 R
3
GT
2
B．地球的平均密度为3 π k
3
GT
2
C．空间站的线速度大小为2πkR
T
D．空间站所在高度处的重力加速度为4 π
2 R
T
2
【答案】BC
【详解】A．对空间站，万有引力提供向心力，根据GMm
(kR)
2 =m 4 π
2
T
2 kR
联立解得地球质量M = 4 π
2(kR)
3
GT
2
故A 错误；
B．地球的平均密度ρ=
M
4
3 π R
3
联立以上解得ρ= 3 π k
3
GT
2
故B 正确；
C．空间站的线速度大小v = 2πkR
T
故C 正确；
D．空间站所在高度处的重力加速度为a= g= 4 π
2kR
T
2
故D 错误。
故选BC。
15. 在地球上，可通过天文观测估算太阳的密度。如图，地球上观测太阳的视角θ 极小，
与观测者眼睛相距为D、视角为θ 的物体宽度为d。已知地球公转周期为T，万有引力常量为
G，θ 极小时sinθ≈tanθ。则太阳密度ρ 可表示为（ ）
A．3π
GT
2(
D
d )
3
B．6π
GT
2(
D
d )
3
C．12π
GT
2(
D
d )
3
D．24π
GT
2 (
D
d )
3
【答案】D
【详解】设太阳质量为M，地球质量为m，地球绕太阳公转，有GMm
r
2
=m(
2π
T )
2
r
因为太阳密度ρ=
M
4
3 π R
3
由几何关系
R
d
2
= r
D
联立可得ρ= 24π
GT
2 (
D
d )
3
故选D。
题型四 卫星运行参量的分析
（1）卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
G Mm
r
2 ＝{
ma→a＝GM
r
2 →a∝1
r
2
m v
2
r →v ＝❑√
GM
r
→v ∝1
❑√r
mω
2r →ω＝❑√
GM
r
3 →ω∝1
❑√r
3
m 4 π
2
T
2 r →T ＝
❑√
4 π
2r
3
GM →T ∝
❑√r
3
即r 越大，v、ω、a
越小
，T
越大
。（越高越慢）
类型1 卫星运行参量与轨道半径的关系
16. 如图所示是卫星绕不同行星在不同轨道上运动的lgT -lgr图像，其中T 为卫星的周期，
r 为卫星的轨道半径。卫星M 绕行星P 运动的图线是a，卫星N 绕行星Q 运动的图线是b，若
卫星绕行星的运动可以看成匀速圆周运动，则（ ）
A．直线a 和直线b 可能不平行
B．行星P 的质量小于行星Q 的质量
C．卫星M 在1 处的向心加速度小于在2 处的向心加速度
D．卫星M 在2 处的线速度大于卫星N 在3 处的线速度
【答案】B
【详解】A．设中心天体质量为M，由万有引力提供向心力G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
2 r
得T
2= 4 π
2r
3
GM
两边同时取对数，整理可得lgT = 3
2 lgr - 1
2 lg GM
4 π
2
由该式可知，lgT -lgr图像的斜率为3
2 ，与行星的质量无关，故直线a 和直线b 一定平行，故A
错误；
B．由lgT = 3
2 lgr - 1
2 lg GM
4 π
2
可知，图像与纵轴的交点为- 1
2 lg GM
4 π
2 ，结合图像可知- 1
2 lg G M P
4 π
2 >- 1
2 lg G M Q
4 π
2
故M P< M Q，故B 正确；
C．根据万有引力提供向心力有G Mm
r
2 =man
得an= GM
r
2
由图像可知，卫星M 在1 处的轨道半径小于在2 处的轨道半径，故卫星M 在1 处的向心加速度大
于在2 处的向心加速度，故C 错误；
D．根据万有引力提供向心力有G Mm
r
2 =m v
2
r
得v = ❑√
GM
r
因行星P 的质量小于行星Q 的质量，卫星M 在2 处的轨道半径大于卫星N 在3 处的轨道半径，故卫
星M 在2 处的线速度小于卫星N 在3 处的线速度，故D 错误。
故选B。
17. 已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零。假设距离某星球球心h处的重力
加速度g 与h 的关系图像如图所示，已知引力常量为G，取球心处重力势能为零。则下列说法
不正确的是（ ）
A．可依据图像求出该星球质量
B．可求出距球心h(h<h0)处质量为m物体的重力势能
C．该星球的第二宇宙速度为❑√g0h0
D．在距球心2h0轨道上运行的卫星速度大小为
❑√2 g0h0
2
【答案】C
【详解】A．根据图像可得当h=h0时，此时加速度最大，故根据G Mm
h0
2 =m g0
可得M = g0h0
2
G
，故可求出该星球质量，故A 正确，不符合题意；
B．距球心h(h<h0)处质量为m物体的重力势能为Ep=mgh，由图像可求出在h<h0时，可得出对应
的距离某星球球心h处的重力加速度g 的大小，故可求出此点的重力势能，故B 正确，不符合题意；
C．根据G Mm
h0
2 =m v1
2
h0
可得第一宇宙速度为v1= ❑√g0h0
由于第一宇宙速度与第二宇宙速度的关系为v2= ❑√2v1
则该星球的第二宇宙速度为❑√2 g0h0，故C 错误，符合题意；
D．在距球心2h0轨道上运行的卫星，根据G Mm
(2h0)
2 =m v
2
2h0
解得在距球心2h0轨道上运行的卫星速度大小为v =
❑√2g0h0
2
，故D 正确，不符合题意。
故选C。
18. 截至2024 年7 月，我国在轨卫星的数量已超过900 颗，这些卫星服务于通信、导航、
遥感、气象、科学研究等多个领域。现有一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，近地点到地心
距离为a，远地点到地心距离为b，周期为T。已知引力常量为G，地球为质量均匀的球体，下
列说法正确的是（ ）
A．绕地球运转的所有卫星与地心的连线单位时间扫过的面积均相等
B．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为b
2
a
2
C．根据已知条件，可估算地球的密度为3 π
GT
2
D．根据已知条件，可估算地球的质量为π
2(a+b)
3
2GT
2
【答案】BD
【详解】A．绕地球运转的同一卫星与地心的连线单位时间扫过的面积相等，故A 错误；
B．对卫星，由G Mm
r
2 =ma
解得加速度a= GM
r
2
可知加速度与到地心的距离平方成反比，则卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为b
2
a
2，故B 正
确；
C．假设近地卫星周期为T 1，对近地卫星满足G Mm
R
2 =m 4 π
2
T 1
R
可得地球密度ρ=
M
4
3 π R
3 = 3π
GT 1
2
但此卫星不是近地卫星，运动半径不等于地球半径，故C 错误；
D．根据开普勒第三定律可知r
3
T
'2 =(
a+b
2 )
3
T
2
且有M = 4 π
2r
3
GT
'2
可得M = π
2(a+b)
3
2GT
2
故D 正确。
故选BD。
类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
19. 如图所示，a 为地球赤道上的物体，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，
c 为地球静止卫星。关于a、b、c 做匀速圆周运动的说法中错误的是（ ）
A．a、b、c 三物体，都仅由万有引力提供向心力
B．周期关系为T a=T c>T b
C．线速度的大小关系为va<vc<vb
D．向心加速度的大小关系为ab>ac>aa
【答案】A
【详解】A．b、c 围绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，a 为地球赤道上的物体，由
万有引力垂直于地轴的分力提供向心力，故A 错误，符合题意；
B．c 为地球静止卫星，a 为地球赤道上的物体，两者的周期与地球自转周期相等，根据开普勒第三
定律有
Rc
3
T c
2 = Rb
3
T b
2
由于
Rc> Rb
则有
T c>T b
可知
T a=T c>T b
故B 正确，不符合题意；
C．c 为地球静止卫星，根据
v =ωra、c 角速度相等，a 的轨道半径小一些，则有
va<vc
根据
G Mm
r
2 =m v
2
r
则有
v = ❑√
GM
r
c 的轨道半径大于b 的轨道半径，则c 的线速度小于b 的线速度，则有
va<vc<vb
故C 正确，不符合题意；
D．c 为地球静止卫星，根据
a=ω
2ra、c 角速度相等，a 的轨道半径小一些，则有
aa<ac
根据
G Mm
r
2 =ma
则有
a= GM
r
2 c 的轨道半径大于b 的轨道半径，则c 的加速度小于b 的加速度，则有
ab>ac>aa
故D 正确，不符合题意。
故选A。
20. a 为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b 为沿地球表面
附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c 为地球的静止卫星。下列关
于a、b、c 的说法中正确的是（ ）
A．b 卫星的发射速度小于7.9km /s
B．a、b、c 做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>ac
C． a、b、c 做匀速圆周运动的周期关系为T a=T c<T b
D．在a、b、c 中，b 的线速度最大
【答案】D
【详解】A．第一宇宙速度7.9km/s 是最小的发射速度，可知b 卫星的发射速度大于7.9km /s，选
项A 错误；
B．a、c 的角速度相等，根据
a=ω
2r
可知
aa<ac
对b、c 两颗卫星，根据
a= GM
r
2
可知
ab>ac
可知a、b、c 做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为
ab>ac>aa
选项B 错误；
C．a、c 的角速度相等，周期相等
T a=T c
根据开普勒第三定律
r
3
T
2 =k
可知
T c>T b
即a、b、c 做匀速圆周运动的周期关系为
T a=T c>T b
选项C 错误；
D．a、c 的角速度相等，根据
v =ωr
可知
va<vc
对b、c 两颗卫星，根据
v = ❑√
GM
r
可知
vb>vc
可知a、b、c 做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为
ab>ac>aa
选项D 正确。
故选D。
21. 地球赤道上有一个观察者a，赤道平面内有一颗自西向东做匀速圆周运动的近地卫星
b，a 观测发现，每隔时间t 卫星b 就会从其正上方飞过。已知地球质量为M、半径为R，引力
常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．a 的加速度等于b 的加速度
B．a 的线速度大于b 的线速度
C．近地卫星b 的周期为4π
2 R
3
GM
D．地球自转的周期为
2πtR ❑√R
t ❑√GM -2π R ❑√R
【答案】D
【详解】AB．对于任一卫星，根据万有引力等于向心力，得
GMm
r
2
=m v
2
r =ma
则
a= GM
r
2 ，v = ❑√
GM
r
因为地球静止卫星的轨道半径大于b 的轨道半径，则地球静止卫星的加速度、线速度小于b 的加速
度，a 的角速度等于地球静止卫星的角速度，根据
v =rω，a=r ω
2
可知地球静止卫星的线速度和加速度大于a 的，则b 的线速度和加速度大于a 的线速度和加速度，
故AB 错误；
C．b 为近地卫星，可认为其运动半径为R，设其周期为T 1，由万有引力提供向心力有
GMm
R
2
= m4 π
2 R
T 1
2
解得
T 1
❑=
❑√
4 π
2 R
3
GM
C 错误；
D．设地球自转周期为T 0，根据题意得
2π
T 1
t - 2π
T 0
t =2π
解得地球自转周期
T 0=
2πtR ❑√R
t ❑√GM -2πR ❑√R
D 正确。
故选D。
类型3 宇宙速度
22. 2024 年10 月24 日，第三届北斗规模应用国际峰会在湖南株洲开幕。其中北斗三号系
统包括5 颗静止轨道卫星和25 颗非静止轨道卫星，为全球提供定位和通信服务的系统。静止
轨道卫星是轨道倾角（轨道平面和赤道平面的夹角）为零的圆形地球同步卫星。假设第5 号非
静止轨道卫星离地高度与静止轨道卫星相同，但轨道平面和赤道平面的夹角为30°，自西南向
东北绕地球运行。下列说法正确的是（ ）
A．5 颗静止轨道卫星在任一时刻的线速度是相同的
B．第5 号非静止轨道卫星的发射速度大小约为7.9km/s
C．静止轨道卫星每天都要准时经过首都北京的正上方
D．第5 号非静止轨道卫星的运行周期与地球自转周期相同
【答案】D
【详解】A．静止轨道卫星的轨道半径相同，线速度大小相等，但方向不同（分布在赤道不同经
度），因此线速度矢量不同，故A 错误；
B．7.9km/s 是第一宇宙速度（近地轨道运行速度），发射到更高轨道需更大能量，实际发射速度需
通过火箭多次加速，最终进入同步轨道的运行速度约为3.07km/s，但发射速度应大于7.9km/s，故B
错误；
C．静止轨道卫星位于赤道上空固定点，北京位于北纬约40°，不在赤道上，因此卫星不会经过北京
正上方，故C 错误；
D．第5 号非静止轨道卫星上圆形地球同步卫星，其运行周期与地球自转周期相同，故D 正确。
故选D。
23. 华为Mate60Pro 成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机，在无信号环境下，该手
机通过“天通一号”卫星与外界进行联系。已知“天通一号”卫星位于离地球表面约为6R 的
地球同步轨道上，地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．“天通一号”可以在北京的上空保持相对静止
B．“天通一号”在轨运行的向心加速度约为g
7
C．“天通一号”在轨运行的周期约为14π❑√
7 R
g
D．“天通一号”在轨运行的线速度小于7.9km/s
【答案】CD
【详解】A．地球同步卫星的轨道在赤道上空，故“天通一号”不可能在北京的上空保持相对静止，
故A 错误；
B．某物体在地球表面上，则有G M m
'
R
2 =m
' g
“天通一号”在轨运行，则有G Mm
(7 R)
2 =ma
联立解得“天通一号”在轨运行的向心加速度a= 1
49 g，故B 错误；
C．“天通一号”在轨运行，则有G Mm
(7 R)
2 =m(
2π
T )
2
⋅7 R
又某物体在地球表面上，则有G M m
'
R
2 =m
' g
联立解得“天通一号”在轨运行的周期T =14π❑√
7 R
g ，故C 正确；
D．7.9km/s 是第一宇宙速度，是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度，故“天通一号”在轨运
行的线速度小于7.9km/s，故D 正确。
故选CD。
24. 古希腊某地理学家通过长期观测，发现6 月21 日正午时刻，在北半球A城阳光与竖直
方向成7.5
∘角下射，而在A城正南方，与A城地面距离为L的B城，阳光恰好沿竖直方向下射，
射到地球的太阳光可视为平行光，如图所示，已知地球表面的重力加速度大小为g，万有引力
常量为G，则（ ）
A．地球半径的表达式R = 12 L
π
B．地球质量是M = 144 g L
2
G π
2
C．地球的平均密度是ρ=
g
32GL
D．地球的第一宇宙速度是v1= ❑√
48 gL
π
【答案】C
【详解】A．由题意，根据几何关系可得7.5❑
∘
360
∘×2πR = πR
24 = L
解得地球半径的表达式是R = 24 L
π
，故A 错误；
B．在地球表面，根据万有引力提供向心力G Mm
R
2 =mg
解得M = g R
2
G
将R的表达式代入解得地球质量为M = 576 g L
2
G π
2
，故B 错误；
C．地球的平均密度是ρ=
M
4
3 π R
3
代入M的表达式得ρ=
g
32GL，故 C正确；
D．根据万有引力提供向心力G Mm
R
2 =m v1
2
R
又M = g R
2
G
联立解得地球的第一宇宙速度是v1= ❑√gR
代入R的表达式得v1= ❑√
24 gL
π
，故D 错误。
故选C。
题型五 卫星变轨问题
1．当卫星的速度突然增大时，G<m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原
来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时减
小．
2．当卫星的速度突然减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离
原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时
增大．
卫星的发射和回收就是利用这一原理．
类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较
25. 2024 年6 月25 日14 时07 分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，
工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回。如
图为返回器着陆地球时的简易图，返回器经地月转移轨道、椭圆轨道3 和2，最后到达圆周轨
道1，已知N 为椭圆轨道的近地点，地球半径约是月球半径的4 倍，地球质量约是月球质量81
倍，下列说法正确的是（ ）
A．返回器经轨道2 和轨道1 上的N 点时，加速度相同
B．返回器在3 轨道和2 轨道上，与地球球心连线在相同时间内扫过的面积相等
C．发射嫦娥六号的速度要大于11.2km/s
D．地球第一宇宙速度与月球第一宇宙速度的比值约为2 9∶
【答案】A
【详解】A．根据牛顿第二定律G Mm
r
2 =ma，所以a= GM
r
2 ，可知返回器经轨道2 和轨道1 上的N
点时，加速度相同，故A 正确；
B．由于返回器在2 轨道、3 轨道两个不同轨道上，根据开普勒第二定律，相同时间内扫过的面积并
不相同，故B 错误；
C．嫦娥六号仍受到地球引力的束缚，发射嫦娥六号的速度要大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，
故C 错误；
D．在星球表面G Mm
R
2 =m v
2
R ，解得v = ❑√
GM
R
，可计算得地球的第一宇宙速度与月球第一宇宙速度
的比值约为9：2，故D 错误。
故选A。
26. 如图所示，轨道1 是圆轨道，轨道2 是椭圆轨道，轨道3 是近火圆轨道，“天问一
号”经过变轨成功进入近火圆轨道3，A、B 两点是椭圆轨道与两个圆轨道的切点，已知引力
常量G，以下选项中正确的是（ ）
A．“天问一号”在A 点需要点火加速才能从轨道1 进入轨道2
B．只要测出“天问一号”在轨道2 上的周期T 和半长轴a，即可以计算出火星的质量
C．若只测出“天问一号”在轨道3 上的周期T，由于不知道火星的半径，因此不能计算出火星
的密度
D．“天问一号”在轨道3 上经过B 点的速度大于在轨道2 上经过B 点的速度
【答案】B
【详解】A．“天问一号”在A点从轨道1 进入轨道2，相当于向心运动，所以要减速，故A 错误；
B．已知引力常量G，只要测出“天问一号”在轨道2 上的周期T和半长轴a，根据开普勒第三定律
得a
3
T
2 = r
3
T 1
2
设火星的质量为M，由万有引力定律得G Mm
r
2 =mr 4π
2
T 1
2
可解得M = 4 π
2a
3
GT
2 ，故B 正确；
C．轨道3 是近火圆轨道，轨道半径r可以近似等于火星半径R，若只测出“天问一号”在轨道3 上
的周期T，根据G Mm
r
2 =mr 4π
2
T
2 可求得火星的质量M = 4π
2 R
3
GT
2
根据密度公式ρ= M
V =
M
4
3 π R
3
联立后可得火星的密度ρ= 3π
GT
2，故C 错误；
D．“天问一号”在轨道2 上要减速才能到轨道3，所以“天问一号”在轨道3 经过B点的速度小于
在轨道2 上经过B点的速度，故D 错误。
故选B。
27. 如图是神舟十九号载人飞船与天和核心舱成功对接的示意图。天和核心舱处于半径为
r3的圆轨道Ⅲ上；神舟十九号飞船处于半径为r1的圆轨道I 上，运行周期为T 1，经过A 点时，
通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B 点与核心舱对接，则神舟十九号飞船（ ）
A．沿轨道Ⅱ运动过程中，v A<vB
B．沿轨道Ⅱ从A 点运动到B 点过程中，机械能增大
C．轨道I 上的速度大于沿轨道Ⅱ运动经过B 点的速度
D．从A 点沿椭圆轨道Ⅱ运动到B 点用时T 1
2
❑√
( r1+r3
2r1
)
3
【答案】CD
【详解】A．神舟十九号飞船沿轨道Ⅱ运动过程中，A 点为近地点，B 点为远地点，根据开普勒第二
定律可知，近地点的速度大于远地点的速度，即v A>vB，故A 错误；
B．飞船沿轨道Ⅱ从A 点运动到B 点的过程中，万有引力做负功，神舟十九号飞船动能减小，势能
增大，机械能守恒，故B 错误；
C．神舟十九号飞船在圆轨道做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有G Mm
r
2 =m v
2
r
解得v = ❑√
GM
r
轨道I 和轨道III 都是圆轨道，且r1<r3，则有v1>v3；飞船从轨道Ⅱ运动到B 处时加速做离心运动进
入轨道Ⅲ，因此在轨道Ⅰ上的速度大于沿轨道Ⅱ运动经过B 点的速度，故C 正确；
D．神舟十九号飞船沿轨道Ⅱ运动时，由开普勒第三定律可得r1
3
T 1
2 =(
r1+r3
2 )
3
T 2
2
解得T 2=T 1
❑√
( r1+r3
2r1
)
3
故飞船从A 点沿椭圆轨道Ⅱ运动到B 点所用的时间t = T 2
2 = T 1
2
❑√
( r1+r3
2r1
)
3
，故D 正确。
故选CD。
类型2 卫星的对接问题
28. 如图所示，某卫星的发射过程经历了3 个轨道：轨道2 是半径为R 的圆轨道，轨道1
和3 为椭圆轨道且分别与轨道2 相切，轨道1 和3 的长轴在同一直线上。已知轨道3 的远地点
到地心的距离为R1，轨道1 的近地点到地心的距离约等于地球半径R0。则该卫星在轨道1 和3
上运行时的周期之比为（ ）
A．R1+ R
R0+ R
B．R0+ R
R1+ R
C．❑√
（R1+ R
R0+ R ）
3
D．❑√
（R0+ R
R1+ R ）
3
【答案】D
【详解】由题知，轨道1 的半长轴r1= R+ R0
2
，轨道3 的半长轴r3= R+ R1
2
，由开普勒第三定律有
r3
3
T 3
2 = r1
3
T 1
2
解得该卫星在轨道1 和3 上运行时的周期之比为T 1
T 3
= ❑√
（R0+ R
R1+ R ）
3。
故选D。
29. 2025 年3 月初，随嫦娥六号登月归来的四种饲草种子将进行解封试种。去年嫦娥六号
返回器携带来自月背的月球样品安全着陆在内蒙古四子王旗预定区域。若嫦娥六号探测器在月
球附近轨道上运行的示意图如图所示，嫦娥六号探测器先在圆轨道上做匀速圆周运动，运动到
A 点时变轨为椭圆轨道，B 点是近月点。下列说法正确的是（ ）
A．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期短
B．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上从B 点运动到A 点的过程中动能增大
C．嫦娥六号探测器要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A 点加速
D．嫦娥六号探测器被月球捕获的过程中，月球对它的作用力大于它对月球的作用力
【答案】A
【详解】A．令图中圆轨道半径为R1，椭圆轨道的半长轴为R2，根据开普勒第三定律有R1
3
T 1
2 = R2
3
T 2
2
由于R1> R2，可知T 1>T 2，即在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期短，选项A 正确；
B．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上经过B 点时的速度是近月点速率，大于远月点速率即经A 点时的
速度，故从B 点运动到A 点的过程中动能减小，选项B 错误；
C．图中圆轨道相对于椭圆轨道为高轨道，可知要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A 点减速，选项
C 错误；
D．嫦娥六号探测器被月球捕获的过程中，月球对它的作用力与它对月球的作用力是一对相互作用
力，大小始终相等，方向相反，选项D 错误。
故选A。
30. 我国现有多款手机支持天通卫星通讯。“天通”卫星发射过程如图：先用火箭将卫星
送上椭圆轨道1，P、Q 是远地点和近地点，随后变轨，至圆轨道2，再变轨至同步轨道3。轨
道1、2 相切于P 点，轨道2、3 相交于M、N 两点。忽略卫星质量变化，下列说法正确的是（
）
A．卫星在轨道2 和轨道3 上的机械能E2=E3
B．卫星在轨道1 和轨道2 上的周期T1>T2
C．由轨道1 变至轨道2，卫星在P 点向前喷气
D．卫星在轨道1 上P 点的线速度大于在轨道3 上的线速度
【答案】A
【详解】A．因为轨道2、3 都是圆心相同的圆轨道，且能够相交于M、N 点，所以圆轨道2、3 半
径相同势能相同，根据GMm
r
2
=m v
2
r
卫星在轨道2、3 的速度相同动能相同，故机械能相同E2=E3，故A 正确；
B．卫星在轨道2、3 的半径相同且都大于轨道1 的半长轴，根据开普勒第三定律可知T3＝T2＞T1，
故B 错误；
C．由轨道1 变至轨道2，由近心运动变至圆周运动，故需增加速度，卫星在P 点向后喷气获得向前
的反推力实现加速，故C 错误。
D．卫星在轨道1 上P 点加速变轨到轨道2，线速度小于在轨道2 上P 点的线速度，故小于轨道3 上
的线速度，故D 错误。
故选 D。
题型六 双星问题
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特
点：
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝
(5)双星的运动周期T＝2π
(6)双星的总质量公式m1＋m2＝
(7)常见的多星模型及其规律：
常
见
的
三
星
模
型
①G m
2
(2 R)
2 ＋GMm
R
2
＝ma 向
②G m
2
L
2 ×cos 30°×2＝ma 向
常
见
的
四
星
模
型
①G m
2
L
2 ×cos 45°×2＋Gm
2
(❑√2 L)
2＝ma 向
②G m
2
L
2 ×cos 30°×2＋
GMm
( L
❑√3 )
2＝ma 向
31. 依托我国自主研制的国家重大科技基础设施郭守敬望远镜，我国科学家发现了一颗迄
今为止质量最大的恒星级黑洞LB-1。这个黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，黑洞和恒星
都绕二者连线上的一点做匀速圆周运动，恒星的质量约为8 M 0，恒星距黑洞的距离约为r，运
动的周期为T，万有引力常量为G。由此计算该黑洞的质量为（ ）
A．4π
2r
3
GT
2
B．4π
2r
3
GT
2 -8 M 0
C．4π
2r
3
GT
2 +8 M 0
D．4π
2r
2
GT
2 -8 M 0
【答案】B
【详解】在双星系统中，黑洞和恒星绕共同质心做匀速圆周运动，二者间的万有引力提供向心力。
设黑洞质量为M，恒星质量为8 M 0，轨道半径分别为r1和r2，有r1+r2=r
根据角速度相同和向心力相等，有G M ⋅8 M 0
r
2
= M 4 π
2r1
T
2
，G M ⋅8 M 0
r
2
=8 M 0
4 π
2r2
T
2
化简得GM
r
2 =
4 π
2 Mr
(8 M 0+ M )T
2
整理得M = 4 π
2r
3
GT
2 -8 M 0
故选B。
32. 地球和月球可视作一个双星系统，它们同时绕转他们连线上的A 点转动。同时在这个
转动的平面内存在五个拉格朗日点，在这些点上的卫星能够在地球和月球的共同引力作用下也
绕A 点转动，并且在转动过程中与地球和月球的相对位置保持不变。如图所示，在拉格朗日点
L4处存在一个监测卫星，与地球球心、月球球心的连线恰构成一个等边三角形，其主要作用是
监测其他月球卫星的工作情况，已知监测卫星到A 点的距离大于月球到A 点的距离，地球的质
量为月球的81 倍，则稳定运行时（ ）
A．监测卫星周期小于月球周期
B．监测卫星速度小于月球速度
C．监测卫星加速度大于月球加速度
D．地球与月球运动半径之比为1:81
【答案】CD
【详解】A．地球、月球以及在任一拉格朗日点上的卫星都具有相同的运行周期，监测卫星的运行
周期等于监测卫星的运行周期，故A 错误；
B．根据v = 2πr
T 可知，监测卫星速度大于月球速度，故B 错误；
C．根据a= 4 π
2
T
2 r可知，监测卫星加速度大于月球加速度，故C 正确；
D．设地球质量为M，地球球心到A 点的距离为r1。月球质量为月球到月球球心到A 点的距离为
r2。地球和月球可视作一个双星系统，双星系统实际绕其质心转动，根据相互间万有引力提供向心
力得G Mm
L
2 = M ω
2r1=mω
2r2
可得
r1
r2
= 1
81
即地球与月球运动半径之比为1:81，故D 正确。
故选CD。
33. 天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法，我国研究人员通过对双星系统G3425 中
的红巨星进行天体观测，发现了一个恒星质量级别的低质量黑洞。假设一个双星系统中的两颗
恒星a、b 绕O 点做圆周运动，在双星系统外、与双星系统在同一平面上一点A 观测双星的运
动，得到a、b 的中心到O、A 连线的距离x 与观测时间的关系图像如图所示，引力常量为G，
求：
(1)a、b 的线速度之比；
(2)a、b 的质量分别为多大？
【答案】(1)4:3
(2)147 π
2 x0
3
Gt0
2
，196 π
2 x0
2
Gt0
2
【详解】（1）由图像可知， 图示中a、b 的中心和O 点间距离从零到最远所用时间为四分之一个
周期， 可知该双星系统的周期为2t0， a 与轨迹中心间的距离为4 x0， b 与轨迹中心间的距离为
3 x0，可得ra:rb= 4:3
由线速度v =ωr
可知a、b 的线速度之比为va:vb= 4:3
（2）由题意可知maω
2ra=mbω
2rb
联立解得ma:mb=3:4
对b 由万有引力提供向心力可知mb
4 π
2
T
2 rb= G mamb
L
2
解得ma= 147 π
2 x0
3
Gt0
2
，mb= 196 π
2 x0
2
Gt0
2
题型七 天体追及相遇问题
若某时刻两卫星正好同时同向通过地面同一点正上方，经过一定的时间，两星又会相距最近和相距
最远。
（1）两星相距最远的条件：ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)
（2）两星相距最近的条件：ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝1,2,3…)
（3）若反方向转动的天体相距最近的条件：ωaΔt+ωbΔt＝2nπ(n＝1,2,3…)
（4）轨道平面不重合时，两天体只有在同一时刻位于中心天体同一侧的同一直线上时发生相遇。
34. 中国载人登月初步方案已公布，计划 2030 年前实现载人登月科学探索。假如在登月
之前需要先发射两颗探月卫星进行科学探测，a、b 两卫星在同一平面内绕月球的运动可视为
匀速圆周运动，且绕行方向相反，如图所示，测得两卫星之间的距离∆r 最小为3r、最大为
5r，∆r 的变化周期为T，不考虑两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（ ）
A．a、b 两卫星的线速度大小之比 va：vb= ❑√5：❑√3
B．a、b 两卫星的加速度大小之比 aa：ab= 4：1
C．a 卫星的运行周期为9
8 T
D．b 卫星的运行周期为7T
【答案】C
【详解】A．设a、b 两卫星的轨道半径分别为ra、rb，根据题意及题图可知ra+rb=5r，rb-ra=3r
联立解得ra=r，rb=4r
根据G Mm
r
2 =m v
2
r 可得v = ❑√
GM
r
可得va
vb
= ❑√
rb
ra
= 2
1
，A 错误；
B．根据G Mm
r
2 =ma可得a= GM
r
2
可得aa
ab
=( rb
ra
)
2
= 16
1 ，B 错误；
CD．a、b 两卫星两次相距最近的时间为T，可知T
T a
+ T
T b
=1
因T a
T b
=
❑√
( ra
rb
)
3
= 1
8
解得T a= 9
8 T，T b=9T，C 正确，D 错误。
故选C。
35. 如图所示，a为极地卫星（周期2h<T <6h），b为静止卫星，a、b绕地球运行的轨
道半径分别为r1，r2。t =0时刻，a、b与地心O的连线相互垂直，且速度方向均垂直纸面向
外。t =6h时刻，a、b第一次相距最近。地球视为质量均匀分布的球体，则下列说法正确的
是（ ）
A．a、b每天有一个时刻距离为(r2-r1)
B．a、b每天有两个时刻距离为(r2-r1)
C．a、b每天有一个时刻距离为(r2+r1)
D．a、b每天有两个时刻距离为(r2+r1)
【答案】B
【详解】AB． b 为静止卫星，周期T b=24 h，一直在地球赤道面上随地球自转“同步”转动；
a 为极地卫星，周期 Ta 在2 h 到 6 h 之间，绕地球南北极方向运动，每昼夜(24 h)要绕行若干圈；
t =6h时刻，a、b第一次相距最近，有(n+ 1
4)T a=6h(n=1.2.3⋯)
周期T a=
24
4 n+1 h在2 h 到 6 h 之间，n可取1 和2。
ab相距最近为(r2-r1)和ab相距(r2+r1)只出现在两卫星共面共线的情况。
b 卫星来到与a 卫星共面的两极平面一天内有两个时刻t1=6h和t2=18h；
a 卫星来到赤道平面需转动π
2 +2kπ或3 π
2 +2kπ (k =1.2.3⋯)
ab相距最近为(r2-r1)时，当t1=6h，有2π
T a
t =2kπ + π
2
当t1=18h，有2π
T a
t =2kπ + 3 π
2
分别解得k =1和k =3，故A 错误B 正确；
CD．ab相距(r2+r1)时，当t1=6h，有2π
T a
t =2kπ + 3 π
2
当t1=18h，有2π
T a
t =2kπ + π
2
k无整数解，故CD 错误。
故选B。
36. 如图所示，某星球赤道上的A 点有一卫星观测站，高空中有一探测卫星B，其轨道与
赤道共面。探测卫星B 的绕行方向与该星球自转方向相反，角速度为该星球自转角速度的2 倍。
已知该星球半径为R，高空探测卫星B 距星球表面的高度也为R，星球表面两极的重力加速度
为g，下列说法正确的是（ ）
A．探测卫星B 的加速度大小为g
4
B．该星球同步卫星的轨道半径为2
3√4 R
C．每经过4π
3
❑√
2 R
g
时间，探测卫星B 经过A 点正上方一次
D．卫星观测站能持续监测到探测卫星B 的时间最长为4π
9
❑√
2 R
g
【答案】AB
【详解】A．由万有引力提供向心力G Mm
r
2 =ma，r =2 R，黄金代换式GM = g R
2
联立解得a= g
4 ，A 正确；
B．由G Mm
(2 R)
2 =mω
2×2 R，解得卫星的角速度为ω= ❑√
GM
(2 R)
3
则该星球自转的角速度为ω0= 1
2
❑√
GM
(2 R)
3
该星球自转角速度与其同步卫星角速度相同G Mm
r
2 =mω0
2r
联立解得r =2
3√4 R，B 正确；
C．由绕行方向相反，则卫星与观测站下一次相遇满足ωt +ω0t =2π
解得时间为
t =
2π
❑√
GM
(2 R)
3 + 1
2
❑√
GM
(2 R)
3
代入黄金代换式可解得t = 8π
3
❑√
2 R
g ，C 错误；
D，如下图所示，由几何关系可得，卫星相对观测站转过的角度为2π
3
则卫星观测站能持续监测探测卫星的时间最长为t =
2π
3
❑√
GM
(2 R)
3 + 1
2
❑√
GM
(2 R)
3
= 8π
9
❑√
2 R
g ，D 错误。
故选AB。
题型八 天体自转稳定的临界问题
37. 科技日报北京2017 年9 月6 日电，英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称，某
科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞。科学研究表明，当天体的逃逸
速度（逃逸速度为其第一宇宙速度的❑√2倍）超过光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地
球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度（第一宇宙速度）为v1，光速为c，则要
使该天体成为黑洞，其半径应小于（ ）
A．2v1
2 R
k c
2
B．2k c
2 R
v1
2
C．k v1
2 R
2c
2
D．2k v1
2 R
c
2
【答案】D
【详解】地球的第一宇宙速度v1满足GMm
R
2
=m v1
2
R
该天体成为黑洞时其半径为r，第一宇宙速度为v2，则有GkMm
r
2
=m v2
2
r
因为c = ❑√2v2
联立解得r = 2k v1
2 R
c
2
故选D。
38. 理论研究表明，黑洞是宇宙空间内存在的一种密度极大的天体，黑洞的引力很大，连
光都无法逃逸。已知某恒星的质量为M，半径为R，忽略自转影响，引力常量为G，真空中的
光速为c，黑洞的逃逸速度为其第一宇宙速度的❑√2倍。则下列说法正确的是（ ）
A．该恒星的平均密度3 M
4 π R
3
B．该恒星表面的重力加速度为GM
R
C．若该恒星演化为黑洞，则其半径的最大值为GM
c
2 （假设该恒星质量不变）
D．若该恒星演化为黑洞，则其半径的最大值为2GM
c
2
（假设该恒星质量不变）
【答案】AD
【详解】A．该恒星的平均密度为
ρ= M
V =
M
4
3 π R
3 = 3 M
4 π R
3
故A 正确；
B．由
G Mm
R
2 =mg
解得
g= GM
R
2
故B 错误；
CD．光无法逃逸，则黑洞的最小逃逸速度大于等于光速，逃逸速度最小时黑洞的半径最大，由
G Mm
R
2 =m v
2
R
c = ❑√2v
联立解得
R = 2GM
c
2
故C 错误，D 正确。
故选AD。
39. 物体在引力场中具有的势能叫做引力势能，取无穷远处为引力势能零点。质量为m的
物体在地球引力场中具有的引力势能E p=- GMm
r0
（式中G为引力常量，M为地球的质量，r0
为物体到地心的距离），如果用R表示地球的半径，g 表示地球表面重力加速度，c表示光在真
空中的速度，则下列说法正确的是（ ）
A．在半径为r的圆形轨道上运行的质量为m的人造地球卫星的机械能为GMm
2r
B．如果地球的第一宇宙速度为v1，则将质量为m的卫星从地球表面发射到半径为r的轨道上运
行时至少需要的能量E = 1
2 m v1
2+ mgR (r - R)
2r
C．若考虑卫星在高空所受稀薄空气的阻力作用，质量为m的卫星从半径为r1的圆轨道缓慢减小
到半径为r2的圆轨道的过程中克服空气阻力做的功为GMm
2 (
1
r1
- 1
r2)
D．黑洞的密度、质量极大，以至连光都不能逃离它的引力，无法通过光学观测直接确定它的
存在，假如地球能成为黑洞，则其半径R最大不能超过GM
c
2
【答案】B
【详解】A．在半径为r 的圆形轨道上运行的质量为m 的人造地球卫星有
G Mm
r
2 =m v1
2
r
动能
Ek= 1
2 m v1
2= GMm
2r
引力势能为
Ep=- GMm
r
则机械能为
E = Ek+ Ep= GMm
2r
- GMm
r
=- GMm
2r
选项A 错误；
B．将质量为m 的卫星从地球表面发射到半径为r 的轨道上运行时至少需要的能量
E = 1
2 mv1
2+（Er - ER）= 1
2 mv1
2+ GMm
2
× r - R
Rr
又
GM = g R
2
所以
E = 1
2 m v1
2+ GMm
2
× r - R
Rr = 1
2 m v1
2+ mgR(r - R)
2r
选项B 正确；
C．由于受高空稀薄空气的阻力作用，质量为m 的卫星从半径为r1的圆轨道缓慢减小到半径为r2的
圆轨道的过程中克服空气阻力做的功为
W f= E1- E2=- GMm
2r1
-(- GMm
2r2
)= GMm
2 (
1
r2
- 1
r1)
选项C 错误；
D．设质量为m 的物体，从黑洞表面至无穷远处，根据能量守恒定律有
1
2 m v
2+(-G Mm
R )=0
解得
R = 2GM
v
2
假如地球能成为黑洞，因为连光都不能逃离，有
v=c
所以其半径R 最大不能超过2GM
c
2
，选项D 错误。
故选B。
