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第40 课时 实验九：用单摆测量重力加速度
目标要求 1.知道利用单摆测量重力加速度的原理，掌握利用单摆测量重力加速度的方法。2.会对测量数
据进行处理并进行误差分析。
考点一 实验技能储备
1.实验原理
当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝ ，由此得到g＝4 π
2l
T
2 ，因此，只要
测出 和 ，就可以求出当地的重力加速度g 的值。
2.实验器材
铁架台、单摆、 、毫米刻度尺、 。
3.实验过程
(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆。
(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，
在单摆平衡位置处做上标记，如图所示。
(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l'，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l
＝ 。
(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(小于5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳
后测出单摆完成30~50 次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T。
(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度。
(6)改变摆长，重做几次实验。
4.数据处理
(1)公式法：利用T＝t
N 求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝4 π
2l
T
2 求重力加速度。
(2)图像法：根据测出的一系列摆长l 对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝g
4 π
2T2，图像应
是一条 ，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝ 求重力加速度。
1
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5.误差分析
系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，球、线是否符
合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等等。
偶然误差：本实验的偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。为了减小偶然误差，应进行多次测量
后取平均值。
6.减小误差的方法
(1)一般选用一米左右的细线。
(2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。
(3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。
(4)单摆必须在同一平面内摆动，且摆角小于5°。
(5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。
例1 (2023·新课标卷·23)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测
砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为
mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为 mm，则摆球的直径为
mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O 处，摆线在角度盘上所
指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O 点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆
角 5°(填“大于”或“小于”)。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为 cm。实验中观测到从摆球第1 次经过
最低点到第61 次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为 s，该小组测得的重力加
速度大小为 m/s2。(结果均保留3 位有效数字，π2取9.870)
例2 利用单摆可以测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一
小球，制成单摆。
2
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(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为 cm。
(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的是 (填标号)。
A.摆线要选择较细、伸缩性小些的，并且线尽可能短一些
B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C.为了使摆的周期大一些，以方便测量，摆线相对平衡位置的偏角越大越好
D.用刻度尺测量摆线的长度，就是单摆的摆长
(3)悬挂后，用米尺测量摆长L1，将小球拉离平衡位置一个小角度(小于5°)，由静止释放小球，稳定后
小球在某次经过平衡位置时开始计时，经过50 个全振动时停止计时，测量结果如图丙所示，则通过测
量和计算可得出单摆周期T＝ s。
(4)实验中改变摆长L 获得多组实验数据，正确操作后作出的T2－L 图像为图丁中②图线。某同学误将
悬点到小球下端的距离记为摆长L，其他实验步骤均正确，作出的图线应当是图丁中的 (填
“①”“③”或“④”)，利用该图线求得的重力加速度 (填“大于”“等于”或“小于”)利
用图线②求得的重力加速度。
考点二 探索创新实验
例3 (2024·湖北卷·12)某同学设计了一个测量重力加速度大小g 的实验方案，所用器材有：2 g 砝码
若干、托盘1 个、轻质弹簧1 根、米尺1 把、光电门1 个、数字计时器1 台等。
具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)
所示。
3
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②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30 次全振动所用时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2π√
M
k ，其中k 为弹簧的劲度系数，
M 为振子的质量。
(1)由步骤④，可知振动周期T＝ 。
(2)设弹簧的原长为l0，则l 与g、l0、T 的关系式为l＝ 。
(3)由实验数据作出的l－T2图线如图(b)所示，可得g＝ m/s2(保留三位有效数字，π2取
9.87)。
(4)本实验的误差来源包括 (填标号)。
A.空气阻力
B.弹簧质量不为零
C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
4
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答案精析
考点一
1.2π√
l
g
摆长l 振动周期T
2.游标卡尺 停表
3.(3)l'+r
4.(2)过原点的直线 4π2k
例1 (1)0.006(0.005、0.007 也可) 20.035(20.034、20.036 均可)
20.029(20.027、20.028、20.030 均可)
(2)大于 (3)82.5 1.82 9.83
解析 (1)题图(a)读数为0+0.6×0.01 mm
＝0.006 mm(0.005 mm、0.007 mm 也可)；
题图(b)读数为20 mm+3.5×0.01 mm
＝20.035 mm(20.034 mm、20.036 mm 均可)；
则摆球的直径为20.035 mm－0.006 mm
＝20.029 mm(20.027 mm、20.028 mm、20.030 mm 均可)
(2)若角度盘上移则形成如图所示图样，则实际摆角大于5°。
(3)摆长＝摆线长度+半径，代入数据计算可得摆长为82.5 cm；
小球从第1 次到61 次经过最低点经过了30 个周期，
则T＝54.60
30
s＝1.82 s
根据单摆周期公式T＝2π√
L
g ，
可得g＝4 π
2 L
T
2
≈9.83 m/s2。
例2 (1)1.86 (2)B (3)2.6
(4)③ 等于
解析 (1)钢球直径读数为18 mm+0.1 mm×6＝18.6 mm＝1.86 cm。
(2)为减小实验误差，摆线要选择较细、伸缩性小些的，并且线尽可能长一些，A 错误；为减小空气阻力，
摆球尽量选择质量大些、体积小些的，B 正确；若摆线相对平衡位置的偏角超过5°，摆球的运动将不是简
谐运动，C 错误；摆长为摆线长加上摆球半径，D 错误。
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(3)秒表读数为t＝2 min+10.0 s＝130.0 s。单摆周期为T＝130.0
50
s＝2.6 s。
(4)单摆周期公式为T＝2π√
l
g，得T2＝4 π
2
g l，若误将悬点到小球下端的距离记为摆长，则T2＝4 π
2
g (L－
r)，作出的图线应当是图丁中的③。T2－L 图像斜率不受影响，故利用该图线求得的重力加速度等于利用图
线②求得的重力加速度。
例3 (1) t
30 (2)l0+gT
2
4 π
2 (3)9.59
(4)AC
解析 (1)30 次全振动所用时间t，则振动周期T＝t
30
(2)弹簧振子的振动周期T＝2π√
M
k
可得振子的质量M＝k T
2
4 π
2
振子平衡时，根据平衡条件Mg＝kΔl
可得Δl＝gT
2
4 π
2
则l 与g、l0、T 的关系式为l＝l0+Δl＝l0+gT
2
4 π
2
(3)根据l＝l0+gT
2
4 π
2整理可得
l＝l0+ g
4 π
2·T2
则l－T2图像斜率k＝g
4 π
2
＝0.542−0.474
0.58−0.30 m/s2
解得g≈9.59 m/s2
(4)空气阻力的存在会影响弹簧振子的振动周期，是实验的误差来源之一，故A 正确；
弹簧质量不为零导致振子在平衡位置时弹簧的长度变化，不影响其他操作，根据(3)解析可知对实验结果没
有影响，故B 错误；
根据实验步骤可知光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置会影响振子周期的测量，是实验的误差来源之一，
故C 正确。
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