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第40 讲 实验8 用单摆测量重力加速度
核心考点
考点一 实验：用单摆测量重力加速度........................................................................................1
考点二 创新实验提升....................................................................................................................8
考点一 实验：用单摆测量重力加速度
1.实验原理
当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π√
l
g，由此得到g＝4 π
2l
T
2 ，因此，只要
测出摆长
l 和振动周期
T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值。
2.实验器材
铁架台、单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。
3.实验过程
(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆。
(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让
摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示。
(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l'，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，
计算出摆长l＝l' ＋
r 。
(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(小于5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，
待摆动平稳后测出单摆完成30~50 次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T。
(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度。
基础过关
1
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(6)改变摆长，重做几次实验。
4.数据处理
(1)公式法：利用T＝t
N 求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝4 π
2l
T
2 求
重力加速度。
(2)图像法：根据测出的一系列摆长l 对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝
g
4 π
2T2，图像应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π
2 k 求重
力加速度。
5.误差分析
系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，
球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆
长等等。
偶然误差：本实验的偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。为了减小偶然误差，应
进行多次测量后取平均值。
6.减小误差的方法
(1)一般选用一米左右的细线。
(2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。
(3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。
(4)单摆必须在同一平面内摆动，且摆角小于5°。
(5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。
【例1】（2025·天津红桥·二模）某班同学们用单摆测量重力加速度，实验装置如图甲所示。
(1)如图乙所示，摆球的直径为
mm。
(2)第一组同学在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第
次经
过最低点所用的时间为。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长
2
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度
（从悬点到摆球的最上端），再用螺旋测微器测得摆球的直径为
。则计算
的表达式
为：
（用题中所给的字母来表示）。
(3)第二组同学经测量得到7 组摆长L 和对应的周期T，画出
图线，如图丙所示。若取
，利用
图线的斜率，求得当地重力加速度大小
（结果保留
三位有效数字）
。
【答案】(1)5.979/5.980/5.981
(2)
(3)9.87
【详解】（1）摆球的直径为
（2）由
得
其中
，
代入得
（3）由
得
3
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所以
图线的斜率
即
由图丙可知，
代入得
【例2】（2025·天津北辰·三模）实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重力加速度”的实
验。
(1)下列操作正确的是______；
A．选用弹性较好的细线
B．应该先悬挂摆球后再测量摆线的长度
C．尽可能让小球摆动的幅度大一些
D．通过测量多个全振动的时间计算周期
(2)经测量得到5 组不同的摆长
和对应的周期
，画出
图线，然后在图线上选取A、B
两个点，坐标如图所示。则当地重力加速度的表达式
，图中图像不过原点的原因是
以下： 。
A．计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球半径
B．计算摆长时用的是摆线长度加上小球直径
【答案】(1)BD
(2)
A
【详解】（1）A．为了确保摆长一定，实验中应选用弹性差的细线，故A 错误；
B．为了精确测定摆长，减小误差，实验中应该先悬挂摆球后再测量摆线的长度，故B 正确；
C．在摆角小于5°范围内单摆的运动才能够近似看为简谐运动，可知，实验中应尽可能让小
4
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球摆动的幅度小一些，故C 错误；
D．为了减小测量误差，实验中，应通过测量多个全振动的时间计算周期，故D 正确。
故选BD。
（2）[1]摆长等于摆线长与摆球半径之和，则有
变形得
结合图像有
解得
[2]根据图像，图像与纵轴的截距为负值，结合上述可知，图中图像不过原点的原因是计算摆
长时用的是摆线长度而未计入小球半径。
故选A。
【例3】（2025·天津·二模）在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)为了较精确地测量重力加速度的值，以下单摆组装方式最合理的是______。
A．
B．
C．
D．
(2)在摆球自然下垂的状态下，用毫米刻度尺测得从悬点到摆球最低点长度为；用游标卡尺
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测量摆球的直径
，示数如图所示，则
mm。
(3)将小球从平衡位置拉开一个小角度静止释放，使其在竖直面内振动。待振动稳定后，从小
球经过平衡位置时开始计时，测量
次全振动的时间为，由本次实验数据可求得
（用
表示）。
【答案】(1)C
(2)16.5
(3)
【详解】（1）为了尽量减小空气阻力的影响，应选择钢球，另外摆长应尽量长且摆动过程中
摆长不能改变。
故选C。
（2）摆球的直径
（3）由
得
其中
，
代入得
【例4】（2025·山西太原·二模）如图所示，某同学用单摆测重力加速度，实验时改变摆长，
测出几组摆长l 和对应的周期T 的数据，画出
图像，下列说法正确的是（ ）
A．测量重力加速度的表达式为
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B．测量重力加速度的表达式为
C．利用此图像计算，可以消除因摆球质量分布不均匀而造成的误差
D．利用此图像计算，不可以消除因摆球质量分布不均匀而造成的误差
【答案】AC
【详解】A B．由单摆的周期公式
得
由图像可知，图线的斜率
整理得重力加速度的表达式
故A 正确，B 错误；
C D．通过上述结论可知，若摆球的质量分布不均匀，
图像的斜率仍然不变，由此可消
除因摆球质量分布不均匀而造成的测量误差，故C 正确，D 错误；
故选AC。
【例5】（2025·海南·三模）某实验小组的同学利用如图1 所示装置做“用单摆测重力加速
度”的实验，进行了如下操作步骤：
(1)测量摆球的直径如图2 所示，则摆球的直径为 cm；
(2)在测量单摆周期时，为了减小实验误差，该组同学先测量了完成多个周期所需要的时间，
实验时应从摆球经过 （选填“最低点”或“最高点”）时开始计时；
(3)该组同学正确操作后，测出多组摆长L 与周期T 的数据，根据实验数据，作出了T2-L 的关
系图像如图3 所示，造成该图像不过坐标原点的最可能原因是（ ）
A．用绳长加小球的直径代替摆长
B．用绳长代替摆长
【答案】(1)1.240
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(2)最低点
(3)A
【详解】（1）游标卡尺的读数为主尺读数与游标尺读数之和，所以摆球的直径为
（2）实验时应从摆球经过最低点时开始计时；
（3）A．若用绳长加小球的直径代替摆长，根据单摆的周期公式可得
所以
此时T2-L 图线不过原点，且纵截距为负值，故A 正确；
B．若用绳长代替摆长，则
所以
此时T2-L 图线不过原点，且纵截距为正值，故B 错误。
故选A。
考点二 创新实验提升
【例6】（2025·山西大同·三模）某同学用双线摆测当地的重力加速度，装置如图所示．用
长为L 的不可伸长的细线穿过球上过球心的V 型小孔，细线两端固定在水平杆上的A、B 两
点．球的直径远小于细线长．
(1)使小球在垂直于
的竖直平面内做小幅度摆动，小球经过最低点时开始计时并记为1，
基础过关
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第n 次经过最低点时停止计时，总时长为t，则该双线摆的周期
；
(2)改变细线的长度，细线的两端分别固定在A、B 两点不变，多次重复实验，记录每次细线
的长L 及相应的周期T，若A、B 间距离为d，则等效摆长为 ，为了能直观地看出物理
量之间的关系，根据测得的多组L、T，应作出 图像；
A．
B．
C．
D．
(3)若作出的图像为直线且斜率为k，则可求得当地的重力加速度
．
【答案】(1)
(2)
D
(3)
【详解】（1）根据题意有
解得
（2）[1]根据几何关系，可得等效摆长
[2]根据
解得
可见，
和
是线性关系，因此为了能直观地看出物理量之间关系，根据测得的多组L、T
数据，应作出
的图像。
故选D。
（3）若图像的斜率为k，则有
解得
【例7】（2025·广西北海·模拟预测）假设我国宇航员已成功登上了月球。若想在月球上测量
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月球表面的重力加速度，设计了如下实验步骤：
A．拿出一根较长的细线将一个月球石块系好，结点为M，将细线的上端固定于返回架上的
O 点
B．用刻度尺测量OM 间细线的长度L 作为摆长
C．由于月球没有空气阻力，为使摆动明显，将石块拉至摆角约20°，由静止释放
D．从石块摆到最低点时开始计时，测出50 次全振动总时间t，由
得出周期
(1)以上步骤中说法有错误的是 （多选，填标号）；
(2)实际实验时，若多次改变OM 间距离，并使石块做简谐运动，计算了对应的周期T。用实
验数据描绘出的T²-L 的图像可能是 （选填“甲”“乙”或“丙”），利用该图线斜率
算得的重力加速度 （选填“大于”“等于”或“小于”）真实值。
【答案】(1)BC
(2) 甲 等于
【详解】（1）摆长为悬点到重心距离，偏角应小于5℃与是否有空气阻力无关，可知BC 步
骤错误；
（2）[1][2]将摆线长当作了摆长L，则周期表达式
可得
因此图像可能是图甲，利用图线斜率算的加速度等于真实值。
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【例8】（2025·贵州贵阳·二模）某学习小组用单摆实验装置进行有关力学实验，实验装置如
图（a）所示，其中光电门位于悬点的正下方。
(1)该小组先用该装置测量当地重力加速度，操作如下：
①先测出小球的直径d；
②测出此时悬点与小球上端的距离l，则单摆的摆长L= ，然后调整悬点的高度，使小球
能正好通过光电门；
③保持细线拉直，使小球在竖直平面内偏离平衡位置一小段距离后静止释放，通过光电计时
器记录下小球连续两次经过光电门的时间间隔为t0，则单摆的周期T= ；
④多次改变细线的长度，重复②③的操作，记录下多组摆长L 和对应的周期T；
⑤作出T2L 图像，并得到该图像的斜率k=4.05s2/m，则当地重力加速度g= m/s2
（π29.86，计算结果保留三位有效数字）。
(2)在测出重力加速度g 后，该小组继续用此实验装置来验证小球摆动过程中机械能是否守恒，
操作如下：
①拉直细线，使小球偏离平衡位置；
②测量此时小球球心与其在最低点时球心的距离x，如图（b）所示，然后将小球由静止释放；
③利用光电计时器记录下小球通过光电门的挡光时间t，则小球通过光电门最低点的速度v=
；
④逐渐增大摆角，重复上述实验步骤。
该小组通过理论分析，小球在摆动过程中，若x= （用L、d、t 和g 表示），则说明小球
摆动过程中机械能守恒。该小组对实验数据进行分析后发现，当摆角α 小于90º 时，在误差
范围内上述关系式成立；但摆角α 大于90º 时，上述关系式明显不成立，说明小球机械能有
较大损失，原因是 。
【答案】(1) l+
2t0 9.74
(2)
小球先做自由落体运动，在细线绷直的瞬间有动能损失
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【详解】（1）[1]单摆的摆长应为摆线长l 加上小球的半径
，即
[2]由于摆球一个周期内两次经过最低点，结合题意小球连续两次经过光电门的时间间隔为
t0，则有
解得单摆的周期为
[3]根据单摆的周期公式
可得
故在
图像中，其斜率为
解得
（2）[1]由题可知，小球通过最低点的速度为
[2]如图所示
由几何知识可得
则
故有
解得
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若小球摆动过程中机械能守恒，则有
其中
联立解得
[3]小球刚开始做自由落体运动，细线绷紧的瞬间损失一部分机械能，因此整个过程机械能不
再守恒。
【例9】（2025·山东济宁·模拟预测）某同学尝试测量单摆周期和当地的重力加速度。
（1）如图（a），用一个磁性小球制作一个单摆，在单摆下方放置一个磁传感器，其轴线恰
好位于单摆悬挂点正下方，图中磁传感器的引出端A 接数字采集器。
（2）使单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于 （选填“最高
点”、“最低点”）。若测得连续N 个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期的
测量值为 （用N 和t 表示）。
（3）多次改变摆长使单摆做小角度摆动，测量摆长L 及相应的周期T。分别取L 和T 的对数，
利用计算机得到
图线如图（b），读得图线与纵轴交点的纵坐标为c，由此得到该
地重力加速度g= 。
【答案】 最低点
【详解】（2）当磁感应强度测量值最大时，小球离传感器最近，所以小球位于最低点
每隔半个周期磁感应强度达到最大值一次，所以t 时间内共经历
个周期
即
，故得周期
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（3）由单摆周期公式
得
两边取对数整理得
故得
图象横轴截距为
，斜率为
又已知纵轴截距
故得
【例10】（2025·湖北·模拟预测）某同学在实验室测量单摆的周期和当地的重力加速度大小。
(1)将摆线上端固定于铁架台，下端系一小球，做成单摆，如图（a）所示。将小球由平衡位置
拉开一个小角度静止释放，传感器连接的计算机屏幕显示的拉力F 随时间t 变化的关系如图
（b）所示。现测得单摆摆长为L，则单摆的振动周期
（用字母
表示）；
(2)观察图（b）变化的趋势，引起该情况最可能的原因是_________；
A．传感器损坏
B．小球摆动的振幅减小
C．小球由单摆运动变为圆锥摆运动
(3)改变单摆摆长L，重复实验，测得多组数据，得到振动周期的平方
与单摆摆长L 的关系
图像，如图（c）所示。已知图像的斜率为k，则当地重力加速度大小
（用字母
k、
表示）。
【答案】(1)
(2)B
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【详解】（1）小球经过最低点时拉力最大，从最低点开始计时，一个周期内两次经过最低点，
即周期
（2）小球经过最高点时绳子拉力最小，由图（b）可知经过最高点的拉力逐渐变大，设在最
高点时绳子与竖直方向的夹角为
，则
可知最高点时绳子与竖直方向的夹角变小，即小球摆动的振幅减小。
故选B。
（3）根据单摆周期公式
可得
可知
图像斜率
可得重力加速度
15
