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第3 讲 自由落体运动和竖直上抛运动 多过程问题
核心考点
考点一 自由落体运动............................................................................................................................................1
考点二 竖直上抛运动............................................................................................................................................5
考点三 多过程问题..............................................................................................................................................10
考点一 自由落体运动
1.条件：物体只受重力，从静止开始下落。
2.运动性质：初速度为零、加速度为g 的匀加速直线运动。
3.基本规律：
(1)速度与时间的关系式：v ＝
gt 。
(2)位移与时间的关系式：h ＝
1
2gt 2 。
(3)速度位移关系式：v 2 ＝
2 gh
。
【例1】（2025·浙江绍兴·二模）某人在室内以窗户为背景摄影时，恰好把窗外从高处自由落
下的一个小石子摄在照片中，已知本次摄影的曝光时间是0.01s，重力加速度g 取10m/s2。测
得照片中石子运动痕迹的长度为0.8cm，实际长度为100cm 的窗框在照片中的长度为4.0cm。
根据以上数据估算，石子开始下落的位置距离窗户的高度约为（ ）
A．10m
B．20m
C．40m
D．50m
【答案】B
【详解】设在曝光时间0.01s 内石子实际下落的距离为x，则有
解得
在曝光时间0.01s 内石子的速度为
基础过关
1
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石子做自由运动，石子开始下落的位置距离窗户的高度约为
故选B。
【例2】（2025·北京昌平·二模）小明做家务时，发现家里自来水的出水情况有这样的特点：
当水流不太大时，从水龙头中连续流出的水会形成水柱，从上往下越来越细，如图所示。水
柱的横截面可视为圆，在水柱上取两个横截面A、B，粗测A、B 的直径之比
。
则经过A、B 处的水流速度大小之比
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】取相同的
时间，且
，则有
可得经过A、B 处的水流速度大小之比为
故选B。
【例3】（2025·重庆·模拟预测）我国计划在2030 年前实现载人登月。若宇航员在月球上进
行自由落体运动实验，让一可视为质点的小球从距地高 h 处自由下落，测得小球经过3s 落地，
且落地前1s 内下落的高度为4m。则h 等于（ ）
A．
B．
C．12m
D．45m
【答案】A
【详解】设月球上的重力加速度大小为g 月，由
可知,落地前1s 内位移大小
解得
2
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可知
故选A。
【例4】（2025·福建漳州·模拟预测）图甲为意大利著名建筑物比萨斜塔，相传伽利略在此做
过自由落体实验。如图乙所示，现将两个小铁球P 和Q 用长L=3.25m 不可伸长的轻绳连接，
从与比萨斜塔的塔顶等高的A 处将悬吊Q 球的P 球由静止释放。测得Q 球落地的时间
t=3.2s，忽略空气阻力，g 取10m/s2，求：
(1)比萨斜塔的高度H；
(2)P、Q 球落地的时间差Δt；
(3)P 球从释放到刚落地过程中的平均速度大小
。
【答案】(1)54.45m
(2)0.1s
(3)16.5m/s
【详解】（1）由静止释放P 球后，Q 球做自由落体运动，则
解得
（2）由静止释放P 球后，P 球做自由落体运动，则
解得
（3）P 球从释放到刚落地的过程中的平均速度大小
解得
【例5】（2024·四川成都·三模）在鸟类中，海鸟不但善于飞翔，也善于游泳，能在水中游泳
追捕鱼类。北方的塘鹅就具有这样的捕鱼本领，塘鹅为了追捕鱼类，可以从高空以流线型的
身姿沿竖直方向一头扎进海水里捕鱼。假设塘鹅从离水面
高处向下俯冲的过程为自由落体
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运动，进入水中后为匀减速直线运动。已知塘鹅入水后所受的水的阻力与浮力之和为塘鹅自
身重力的5 倍，重力加速度大小为
，塘鹅可视为质点。求：
(1)塘鹅入水前瞬间的速度大小；
(2)塘鹅入水后下降的最大深度。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设塘鹅的质量为
，自由落体运动过程中
解得塘鹅入水前瞬间的速度大小
（2）由牛顿第二定律有
设塘鹅在水中的运动时间为，则
塘鹅在水中下降的最大深度
解得
1．匀变速直线运动的所有规律均可运用于自由落体运动，特别是初速度为零的匀加速直
线运动的比例关系式，在自由落体运动中应用更频繁。
精讲考点
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2．物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是
自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此
类问题。
考点二 竖直上抛运动
1.运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自
由落体运动。
2.运动性质：匀变速直线运动。
3.基本规律
(1)速度与时间的关系式：v ＝
v 0－
gt 。
(2)位移与时间的关系式：x ＝
v 0t －
1
2gt 2 。
4.竖直上抛运动的对称性(如图所示)
(1)时间对称：物体上升过程中从A→C 所用时间tAC和下降过程中从C→A 所用时间tCA相等，
同理tAB＝tBA。
(2)速度对称：物体上升过程经过A 点的速度与下降过程经过A 点的速度大小相等。
【例6】（2025·黑龙江·二模）如图，质量为
的弹性小球A 从距地面
高处由静止释放。
释放A 球的同时，在A 球的正下方，以20m/s 的速度将另一弹性球B 从地面竖直向上抛出，
B 球的质量为4m。忽略空气阻力，两球碰撞时间极短，重力加速度g=10m/s2。求：
(1)两球碰撞时A 球距地面的高度及速度；
(2)两球相碰后A 球的最高点距地面的高度。
基础过关
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【答案】(1)20m/s，20m
(2)27.2m
【详解】（1）设经时间两球相遇，则有
解得
此时
球的速度为
此时
球的速度为
相碰位置距地面高度为
（2）A 球、B 球碰撞过程动量守恒、机械能守恒有
，
解得
碰后上升高度为
求两球相碰后A 球的最高点距地面的高度为
【例7】（2025·山东·二模）甲、乙两个小球从同一水平面上两个不同的位置先后以等大速度
竖直上抛，小球与抛出点的高度差
与时间的关系图像如图所示，忽略空气阻力，重力加速
度为
，甲、乙同时在同一高度时离抛出点的高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设甲回到抛出点的时刻为
，两个
图像具有对称性，则有
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解得
设竖直上抛运动的最大高度为
，根据竖直上抛运动对称性
联立可得
设甲运动到最高点的时刻为t，由
图像的对称性可得
t 至t2，甲下落的高度为
甲、乙在同一水平线时的高度为
联立可得
故选C。
【例8】（2025·辽宁本溪·二模）中国最高的喷泉是位于湖南省长沙市梅溪湖国际文化艺术中
心附近的梅溪湖音乐喷泉。这个喷泉喷水高度可达200 米左右，是目前中国最高的喷泉之一。
梅溪湖音乐喷泉结合了音乐、灯光和水柱的表演，成了当地的一个著名景点，吸引了大量游
客前来观赏。如果某时刻喷泉喷出的高度为180m，重力加速度g 取
，则水离开喷头
的初速度大小约为（ ）
A．18m/s
B．36m/s
C．60m/s
D．180m/s
【答案】C
【详解】根据竖直上抛运动的规律有
可得
故选C。
【例9】（24-25 高一上·辽宁鞍山·期末）长为
的管从地面以
的速度竖直上
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抛，上管口正上方
处有一可视为质点的小球同时自由下落。重力加速度取
，不计空气阻力，管运动过程保持竖直，小球穿过管的过程与管间无相互作用，
求：
(1)管经过多长时间上升到最高点；
(2)小球穿出下管口时离地的高度。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）管上升到最高点时速度为0，由
解得
（2）设从静止开始经过
小球到达下管口，此过程中小球的位移
管的位移
由几何关系
解得
此时下管口离地的距离为
【例10】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，有一上下无底的圆筒，它的下端距水平地面的
高度为H。圆筒上端中心处有一小球。现让小球和圆筒同时由静止自由下落，圆筒碰地后的
反弹速率为落地速率的
不计碰撞时间和空气阻力，运动过程中圆筒始终保持竖直，重力加
速度为g。
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(1)求圆筒第一次落地后，弹起的最大高度hm；
(2)若圆筒第一次反弹后落下时，下端与小球同时落地（此前小球未碰地），圆筒的长度L。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）圆筒做自由落体运动，设第一次落地速率为
，有
圆筒第一次落地后弹起到最高点过程中做匀减速运动，有
联立解得
（2）设圆筒下端运动到地面的时间为
，根据自由落体运动规律有
设圆筒第一次弹起后到最高点的时间为
，则
圆筒第一次弹起后与小球同时到达地面，所以小球从释放到第一次落地所经历的时间
小球下落高度
圆筒长度
解得
精讲考点
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1．竖直上抛运动的两种研究方法
分段法
上升阶段：a＝g 的匀减速直线运动
下降阶段：自由落体运动
全程法
初速度v0向上、加速度g 向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖
直向上为正方向)；
若v>0，物体上升，若v<0，物体下落；
若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方
2．竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也
可能处于下降阶段，形成多解，在解决问题时要注意这个特性。
3．竖直上抛运动的对称性
如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B 为途中的任意两点，C 为最高点，则：
(1)时间对称性：物体上升过程中从A→C 所用时间tAC和下降过程中从C→A 所用时间tCA
相等，同理有tBC＝tCB。
(2)速度对称性：物体上升过程经过A 点的速度与下降过程经过A 点的速度大小相等，方
向相反。
考点三 多过程问题
匀变速直线运动多过程中的0－v－0 模型
1.题型特征：物体的初速度为0，先匀加速到v，再匀减速到末速度为0。
2.分段结论：
t1
t2
＝x1
x2
＝a2
a1，t1、t2、x1、x2、a1、a2分别是前段和后段的时间、位移大小和加速
度大小。
3.全程结论：加速阶段、减速阶段和全程的平均速度相同，最大速度vm＝2v ＝2 x
t 。
【例11】（24-25 高一上·四川南充·阶段练习）国庆假期，高速免费通行。小轿车（可视为质
点）在行驶过程中，司机忽然发现前方150m 处有浓烟。司机立即刹车，刹车过程中，小轿
车做匀减速直线运动直至停止。若小轿车刚开始刹车时速度大小为90km/h，3s 内小轿车的位
基础过关
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移大小为52.5m。
(1)求小轿车做匀减速直线运动的时间以及加速度大小；
(2)小轿车司机停车后，发现前方道路出现交通事故，为保证后方车辆安全，抓紧开启双闪，
这时小轿车同一车道内正后方100m 处，以90km/h 的速度匀速行驶的大客车司机看到警示灯
后抓紧采取刹车措施，大客车司机的反应时间
，为了避免突然刹车让乘客有明显不
舒服的顿挫感，司机踩刹车踏板的力度先增大后减小，导致大客车的加速度的大小按右图所
示规律变化。若刹车结束时恰好没有撞上小汽车，求大客车做减速运动的时间以及从看到警
示灯至减速停止过程中平均速度的大小。
【答案】(1)
，
(2)
，
【详解】（1）小轿车刚开始刹车时速度大小为
设小轿车经过3s 还未停下来，则有
代入数据解得加速度大小为
则小轿车做匀减速直线运动的时间为
假设成立。
（2）大客车开始减速时的速度为
根据
图像可知，大客车先做加速度逐渐增大的减速运动，再做加速度逐渐减小的减速运
动，其
图像如图所示
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根据
图像与横轴围成的面积表示位移，结合对称性可知，大客车减速过程的位移可以用
图中阴影部分的面积表示，则有
其中
联立解得大客车做减速运动的时间为
从看到警示灯至减速停止过程中平均速度的大小为
【例12】（24-25 高三上·湖南·阶段练习）无人驾驶汽车车头装有一个激光雷达，可以探测前
方的车辆和行人，在距离车辆或行人比较近的时候，可以自发启动制动系统，能有效避免碰
撞事故的发生。该无人驾驶汽车在平直公路匀速行驶时速度大小不超过
，加速和减
速时的最大加速度均为
，不计激光传播时间。
(1)若该无人驾驶汽车正全速行驶，正前方同一车道有一摩托车沿同一方向以
的速度匀
速行驶，为避免相撞，求无人驾驶汽车离前面摩托车至少多远自发启动制动系统；
(2)如图所示，在平直公路的
段正中间有一斑马线供行人通行，一乘客在
处下单，在其
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西侧相距
的
点处有一辆无人驾驶汽车立即自动接单。若该车接单
后由静止启动向
乘客出发，但在斑马线前需停车让行
，求乘客下单后至少等多久才能上车。
【答案】(1)2m
(2)117s
【详解】（1）设两车共速所用时间为，则
代入数据解得
此过程中，无人驾驶汽车运动的距离为
摩托车运动的距离为
所以，无人驾驶汽车自发启动制动系统至少到前面摩托车的距离
（2）当无人驾驶车辆以最大加速度加减速，以最大速度做匀速时，从
到
的时间最短。
将整个过程分成4 个匀变速直线运动，其余过程做匀速直线运动，启动至最大速度用时
整个匀速过程的位移
匀速行驶时间
所用总时间
【例13】（24-25 高一上·云南保山·阶段练习）一质点沿直线Ox 方向做变速运动，它离开O
点的距离随时间变化的关系为x=5+2t3（m），它的速度随时间t 变化的关系为v=6t2（m/s）。
该质点在t=2s 时刻的速度和t=1s 到t=3s 间的平均速度分别为（ ）
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A．12m/s，12m/s
B．24m/s，6m/s
C．13m/s，26m/s
D．24m/s，
26m/s
【答案】D
【详解】由速度随时间变化的关系
当
时，代入得
该质点在
到
间的位移为
平均速度
故选D。
【例14】（24-25 高一上·河北保定·阶段练习）如图所示，竖直井中的升降机可将地下深处的
矿石快速运送到地面。某一竖井的深度约为104m，升降机运行的最大速度为8m/s，加速度
大小不超过
，假定升降机到井口的速度为零，则将矿石从井底提升到井口的最短时间
是（ ）
A．21s
B．17s
C．16s
D．13s
【答案】A
【详解】升降机先做加速运动，后做匀速运动，最后做减速运动，在加速阶段，所需时间
通过的位移为
在减速阶段与加速阶段相同，在匀速阶段所需时间为
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总时间为
故选A。
【例15】（23-24 高一上·四川凉山·期中）某质点做
，
的直线运动，加速度
的
值先由零增大到某一值后，再逐渐减小到零的过程中，该质点（ ）
A．当加速度达最大值时，速度也达到最大值
B．位移一直在增大，加速度减小到零后仍然继续增大
C．速度一直在增大，最后保持不变
D．速度一直在增大，位移先增大后减小
【答案】BC
【详解】依题意，质点做
，
的直线运动，则质点做加速运动，其速度逐渐增大，
当加速度减为0 时，速度达到最大，之后保持不变。位移逐渐增大，加速度减小到零后仍然
继续增大。
故选BC。
匀变速直线运动多过程的解题策略
1.一般的解题步骤
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过
程。
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量。
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程。
2.解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是
解题的关键。
精讲考点
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