第3 讲 自由落体与竖直上抛运动 导学案
【学习目标】
1.理解自由落体运动的规律及推论
2.对比分析理解竖直上抛运动相关规律。
3.能结合两者解决多过程问题
【学习重难点】
自由落体和竖直上抛运动。（重难点）
【课堂探究】
探究一：自由落体运动
一、自由落体运动
1.基本规律
(1)从静止开始的、只受重力作用的匀加速直线运动.
(2)基本公式:v= ;h= ;v2=2gh.
2.自由落体运动推论比例公式
可充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题.
(1)从运动开始连续相等的时间内位移之比为
.
(2)从运动开始的一段时间内的平均速度v=h
t
=v
2
=1
2
gt.
(3)连续相等的时间T 内位移的增加量相等,即Δh= .
一、1.(2)gt 1
2
gt2 2.(1)1∶3∶5∶7∶… (3)gT2
例1.某跳伞运动员做低空跳伞表演。他离开悬停的飞机后先做自由落体运动，当距离地面
125 m 时开始打开降落伞，到达地面时速度减为5 m/s。如果认为开始打开降落伞直至落
地前运动员在做匀减速运动，加速度为12 m/s2 ，g 取10 m/s2 。问：
（1）运动员打开降落伞时的速度是多少？
（2）运动员离开飞机时距地面的高度为多少？
（3）运动员离开飞机后，经过多少时间才能到达地面？
【解析】（1）v2−v0
2=2ah ，v0=√v2−2ah=√52−2×（−12）×125m/s=55m/s即为运
动员打开降落伞时的速度。
（2）自由落体运动的位移
h1= v2
2g=552
2×10 m=151.25m
运动员离开飞机时距地面的高度为H=h1+h=276.25m 。
（3）自由落体运动的时间
t1= v
g=55
10 s=5.5s
，运动员打开降落伞到落地的时间
t2=
v−v末
a
=55−5
12
s=25
6 =4.167s
。
运动员离开飞机后，经过t=t1+t2=9.667s 才能到达地面。
用计算机验证：
数据表：
t
v
h
0
0
0
0.5
5
1.25
1
10
5
1.5
15
11.25
2
20
20
2.5
25
31.25
3
30
45
3.5
35
61.25
4
40
80
4.5
45
101.25
5
50
125
5.5
55
151.25
6
49
177.25
6.5
43
200.25
7
37
220.25
7.5
31
237.25
8
25
251.25
8.5
19
262.25
9
13
270.25
9.5
7
275.25
9.666667
5
276.25
v-t 图象
v
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
10.
5
v
x-t 图象（红）
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
0
0.
5
1
1.
5
2
2.
5
3
3.
5
4
4.
5
5
5.
5
6
6.
5
7
7.
5
8
8.
5
9
9.
5
10
10
.5
11
v
h
例2.某人在室内以窗户为背景摄影时，恰好把窗外从高处落下的一个小石子摄在照片中，
已知本次摄影的曝光时间是0.01 s。量得照片中石子运动痕迹的长度为0.8 cm，实际长度
为100 cm 的窗框在照片中的长度为4.0 cm。根据以上数据估算，这个石子大约是从距离
窗户多高的地方落下的？ g 取10 m/s2 。
【解析】运动痕迹的实际长度为
l=0.8×100
4.0 cm =20cm =0.20m
，速度
v= l
Δt =0.20
0.01 m/s=20m/s
，根据v2−2gh ，得
h= v2
2g=20m
。
变式1 从离地面720 m 的空中自由落下一个小球,不计空气阻力,g 取10 m/s2.
(1)求小球经过多长时间落到地面;
(2)自小球开始下落开始计时,求小球在最初2 s 内及最后2 s 内的位移大小;
(3)求小球下落全程的平均速度大小.
(1)12 s (2)20 m 220 m
(3)60 m/s
[解析] (1)由h=1
2gt2,得落地时间t=❑√
2h
g
=12 s
(2)最初2 s 内的位移大小为h1=1
2
gt1
2=20 m
前10 s 内的位移大小为h2=1
2
gt2
2=500 m
最后2 s 内的位移大小为h3=h-h2=720 m-500 m=220 m
(3)根据公式可得v=h
t
=720
12
m/s=60 m/s
变式2 [2024·安徽黄山模拟] 某同学制作了一把“人的反应时间测量尺”,重力加速度g 取
10 m/s2,关于该测量尺样式正确的是( )
A B C D
A [解析] 根据h=1
2gt2,可得t=❑√
2h
g ,当h=10 cm=0.1 m 时,t≈0.14 s;当h=20 cm=0.2 m
时,t=0.2 s;当h=30 cm=0.3 m 时,t≈0.24 s;当h=40 cm=0.4 m 时,t≈0.28 s,故选A.
变式3 [2024·北京房山区模拟] 有一种照相机,其光圈(进光孔径)随被拍摄物体的亮度自动
调节,而快门(曝光时间)固定不变.此相机拍摄的石子从砖墙前的某一高度处自由落下的照片,
如图甲所示.由于石子的运动,它在照片上留下了一条模糊的径迹.已知曝光时间为0.02 s,每
块砖的平均厚度为6.0 cm.(不计空气阻力,g 取10 m/s2)
(1)计算石子经过AB 时的平均速度大小?
(2)估算石子下落点到A 点的高度?
(3)频闪摄影也是研究变速运动常用的实验手段.在暗室中,照相机的快门处于常开状态,频闪
仪每隔一定时间T 发出一次短暂的强烈闪光,照亮运动的物体,于是胶片上记录了物体在几个
闪光时刻的位置,如图乙所示为小球自由下落的频闪照片示意图,照片中的数字是小球落下的
距离,单位是厘米.
①判断小球运动是否为匀变速运动,并写出理由;
②如果要通过这幅照片测量自由落体的加速度,可以采用哪几种方法?(至少写出两种测量方
案)
(1)6 m/s (2)1.74 m (3)①是,理由见解析 ②见解析
[解析] (1)由图甲可知,石子经过AB 时的平均速度大小v= x AB
t
=2d
t =2×0.06
0.02
m/s=6 m/s
(2)设石子下落到A 点的速度大小为vA,下落到B 点的速度大小为vB,则有v=v A+ vB
2
=6
m/s,vB=vA+gt
解得vA=5.9 m/s
则石子下落点到A 点的高度为h=v A
2
2g
=5.9
2
20
m≈1.74 m
(3)①根据小球自由下落的频闪照片示意图可得Δx1=(3.2-0.8) m-0.8 m=1.6 m
Δx2=(7.1-3.2) m-(3.2-0.8) m=1.5 m
Δx3=(12.5-7.1) m-(7.1-3.2) m=1.5 m
Δx4=(19.6-12.5) m-(12.5-7.1) m=1.7 m
可知在误差允许的范围内,小球在相邻相等时间内的位移为一定值,则小球运动是匀变速
运动
②方法一:由匀变速直线运动推论Δx=gT2
可得重力加速度为g= Δx
T
2
方法二:根据x=1
2gt2,测量自下落点与图中某一位置的距离x,确定相应时间t,代入公式求
解
方法三:根据匀变速直线运动中间时刻等于该段过程的平均速度,计算出图中某一位置的
瞬时速度,再由v=gt,得到重力加速度
探究二：竖直上抛运动
二、竖直上抛运动
1.基本规律
(1)运动特点:初速度方向竖直向上,加速度为g,上升阶段做匀减速运动,下降阶段做自由落体
运动.
(2)基本公式
①速度与时间的关系式: ;
②位移与时间的关系式:x= .
2.竖直上抛运动的特性
(1)对称性
①时间对称:物体上升过程中从A→C 所用时间tAC和下降过程中从C→A 所用时间tCA相等.
②速度对称:物体上升过程经过A 点的速度与下降过程经过A 点的速度大小相等.
(2)多解性:当物体经过抛出点上方某个位置时,可能处于上升阶段,也可能处于下降阶段,造成
多解,在解决问题时要注意这个特性.
二、1.(2)①v=v0-gt ②v0t-1
2
gt2
竖直上抛运动的两种研究方法
分段
法
上升阶段:a=g 的匀减速直线运动;下降阶段:自由落体运动
全程
法
初速度v0向上、加速度g 向下的匀变速直线运动,v=v0-gt,h=v0t-1
2gt2(以竖直向
上为正方向)
(1)若v>0,物体上升,若v<0,物体下落
(2)若h>0,物体在抛出点上方,若h<0,物体在抛出点下方
例3 为测试一物体的耐摔性,在离地25 m 高处,将其以20 m/s 的速度竖直向上抛出,重力加
速度g 取10 m/s2,不计空气阻力.求:
(1)经过多长时间到达最高点;
(2)抛出后离地的最大高度;
(3)经过多长时间回到抛出点;
(4)经过多长时间落到地面;
(5)经过多长时间离抛出点15 m.
(1)2 s (2)45 m (3)4 s (4)5 s (5)1 s 或3 s 或(2+ ❑√7) s
[解析] (1)运动到最高点时速度为0,由匀变速运动规律可得v=v0-gt1
解得t1=v0−v
g
=v0
g =2 s
(2)根据匀变速运动规律有v0
2=2ghmax
解得hmax=v0
2
2g
=20 m
所以Hmax=hmax+h0=45 m
(3)方法一:由(1)(2)知上升时间t1=2 s
下落回到抛点时hmax=1
2
gt2
2
解得t2=2 s
故回到抛点的时间t=t1+t2=4 s
方法二:由对称性知返回抛出点时速度为20 m/s,方向向下,则由v1=v0-gt
解得t=-v1−v0
g
=4 s
方法三:将整个过程看成匀减速运动,则有h=v0t-1
2gt2
回到抛点时h=0
解得t=0(舍去)或t=4 s
(4)方法一:分段法,根据上述计算可知,物体上升到最高点的时间t1=2 s
物体从最高点落回地面的时间满足Hmax=1
2gt'2
解得t'=❑√
2 H max
g
=3 s
落回地面的总时间t 总=t1+t'=5 s
方法二:全程法,把整个过程看成匀减速运动,以抛点为坐标原点,竖直向上为正方向,则有-
h0=v0t 总-1
2
gt 总
2
解得t 总=-1 s(舍去)或t 总=5 s
(5)当物体在抛出点上方时,即h1=15 m
根据匀变速运动规律有
h1=v0t3-1
2
gt3
2
解得t3=1 s 或t3=3 s
同理,当物体在抛出点下方时h2=-15 m
根据h2=v0t4-1
2gt 4
2
解得t4=(2+❑√7) s 或t4=(2-❑√7) s(舍去)
【要点总结】
1.多过程问题的解题步骤
(1)准确选取研究对象,根据题意画出物体在各阶段运动的示意图,直观呈现物体运动的全过
程.
(2)明确物体在各阶段的运动性质,找出题目给定的已知量、待求未知量,设出中间量.
(3)合理选择运动学公式,列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程.
2.多过程问题的解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带,因此,对连接点速度的求解往往是解
题的关键.
例4 高抛发球是网球发球的一种,是指运动员把网球竖直向上抛出,在网球下降过程中某时
刻将网球击出.若某次竖直抛出的网球在上升的过程中,开始0.6 s 内上升的高度与最后0.6 s
内上升的高度之比为4∶1,不计空气阻力,重力加速度g 取10 m/s2,则网球( )
A.最后0.6 s 内上升的高度为2.1 m
B.最初0.6 s 中间时刻的速度大小为15 m/s
C.上升过程的时间为1.7 s
D.上升的最大高度为11.25 m
D [解析] 根据题意,由逆向思维可知,竖直上抛最后0.6 s 即自由落体开始0.6 s,则最后
0.6 s 内上升的高度为h1=1
2gt2=1
2×10×0.62 m=1.8 m,故A 错误;最初0.6 s 上升的高度为
h2=4h1=7.2 m,由中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度可得,最初0.6 s 中间时刻
的速度大小为v1= h2
Δt =12 m/s,故B 错误;从最初0.6 s 中间时刻到最高点的时间为t=v1
g
=1.2 s,上升过程的时间为t 升=t+1
2Δt=1.5 s,上升的最大高度为h=1
2gt 升
2=1
2×10×1.52
m=11.25 m,故C 错误,D 正确.
例5 在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中,需要重力加速度g 的精确值,
这可由实验精确测得.近年来测g 值的一种方法叫“对称自由下落法”,它是将测g 转变为测
量长度和时间,具体做法是:如图所示,将真空长直管沿竖直方向放置,自其中O 点竖直上抛小
球,测得小球从离开O 点到落回O 点所用的时间为T1,小球在运动过程中经过比O 点高H 的
P 点,小球从离开P 点到落回P 点所用的时间为T2,则g 等于
( )
A.
4 H
T 1
2-T 2
2
B.
8 H
T 1
2-T 2
2
C.
8 H
(T 1-T 2)
2
D.
H
4(T 1-T 2)
2
B [解析] 将小球的运动分解为竖直向上的匀减速直线运动和竖直向下的自由落体运
动,根据t 上=t 下,则从最高点下落到O 点所用时间为T 1
2 ,设小球从O 点上升的最大高度为
h1,则h1=1
2
g·(
T 1
2 )
2,设小球从P 点上升的最大高度为h2,同理有h2=1
2
g·(
T 2
2 )
2,依据题意有
h1-h2=H,联立解得g=
8 H
T 1
2−T 2
2,故B 正确,A、C、D 错误.
【概念辨析】
1.同一地点,轻重不同的物体g 值一样大.
( )
2.自由落体运动中相等时间内速度变化量相同.( )
3.不计空气阻力,物体从某高度由静止下落,任意两个连续相等的时间间隔T 内的位移之差恒
定. ( )
4.物体做竖直上抛运动,速度为负值时,位移也一定为负值.
( )
5.做竖直上抛运动的物体,在上升过程中,速度变化量方向是竖直向下的.
( )
1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.√
