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专题2 自由落体与竖直上抛运动模型
竖直上抛运动的基本规律（4-7 题）.........................................................................................................3
竖直上抛运动的对称性（8-9 题）..............................................................................................................6
竖直上抛运动的相遇问题（10-12 题）....................................................................................................6
有关竖直上抛运动的图像（13-18 题）....................................................................................................9
1.
（2021•湖北）2019 年，我国运动员陈芋汐获得国际泳联世锦赛女子单人10 米跳台冠
军。某轮比赛中，陈芋汐在跳台上倒立静止，然后下落，前5m 完成技术动作，随后5m 完成
姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10m/s2，则她用于姿态
调整的时间约为（ ）
A．0.2s
B．0.4s
C．1.0s
D．1.4s
【解答】解：陈芋汐做自由落体运动，由h= 1
2 gt
2可得
前5m 的运动时间t1=√
2h1
g =√
2×5
10
s＝1s，
整个下落过程的运动时间t2=√
2h2
g =√
2×10
10
s=√2s，
她用于姿态调整的时间约为Δt＝t2
t
﹣1=√2s
1s≈0.4s
﹣
，
故B 正确，ACD 错误。
故选：B。
2.
（2021•河北）铯原子钟是精确的计时仪器。图1 中铯原子从O 点以100m/s 的初速度
在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN 所用时间为t1；图2 中铯原子在真空中从P 点做竖直
上抛运动，到达最高点Q 再返回P 点，整个过程所用时间为t2。O 点到竖直平面MN、P 点到
Q 点的距离均为0.2m。重力加速度取g＝10m/s2；则t1：t2为（ ）
1
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A．100：1
B．1：100
C．1：200
D．200：1
【解答】解：由题意可知，O 点到竖直平面MN、P 点到Q 点的距离均为0.2m，设d＝0.2m
图1 中铯原子做平抛运动，平抛运动的初速度v0＝100m/s，水平方向：d＝v0t1，
代入数据解得：t1＝0.002s
图2 中铯原子做竖直上抛运动，上升时间与下降时间相等，为t2
2
，
由匀变速直线运动的位移—时间公式得：d= 1
2 g( t2
2 )
2
代入数据解得：t2＝0.4s，
则t1
t2
= 0.002
0.4 = 1
200
，故C 正确，ABD 错误。
故选：C。
3.
（2019•新课标Ⅰ）如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的
最大高度为H．上升第一个H
4
所用的时间为t1，第四个H
4
所用的时间为t 不计空气阻力，则t2
t1
满足（ ）
A．1＜t2
t1
＜2
B．2＜t2
t1
＜3
2
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C．3＜t2
t1
＜4
D．4＜t2
t1
＜5
【解答】解：逆向分析可以看作是自由落体运动，根据初速度为零的匀加速直线运动中，连续
相等的位移内时间之比等于1：(√2-1)：(√3-√2)：(2-√3)：……：√n-√n-1可得：
t2
t1
=
1
2-√3 =2+√3
，故3＜t2
t1
＜4，故C 正确、ABD 错误。
故选：C。
竖直上抛运动的基本规律（4-7 题）
4.
（2023•万州区校级模拟）有一喷泉，喷水管口的横截面积为S．流量（单位时间内流
出的水的体积）为Q．已知水的密度为ρ，重力加速度为g。假设喷出的水做竖直上抛运动，
不计水流之间的相互作用和空气阻力的影响，则空中水的质量为（ ）
A．ρQ
2
gS
B．2 ρQ
2
gS
C．ρQ
2
2gS
D．4 ρQ
2
gS
【解答】解：设水喷出的初速度为v 则有：Q＝Sv0
得：v0= Q
S
喷出的水做竖直上抛运动，水在空中运动的总时间为：
t= 2v0
g = 2Q
gS
空中水的质量为：
m＝ρQt= 2 ρQ
2
gS
故选：B。
5.
（2023 秋•阜阳期中）传感器的应用为研究物体的运动提供了极大的便利，某同学借
助图1 所示的装置来研究物体被竖直上抛时的运动规律。位移传感器借助红外线探测不同时刻
物体的位置，并将数据传输给电脑，通过运算即可得到物体相关的运动信息。某次实验，小球
3
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以一定的初速度正对着固定的传感器竖直抛出，随即在电脑中输出了小球与传感器间的距离d
与时间t 的关系图线，图线对应的解析式为d＝5t2
6t+2
﹣
（m），如图2 所示，由此可知
（ ）
A．落地前小球做匀减速直线运动
B．落地前小球做匀速直线运动
C．小球被拖出时的初速度大小为6m/s
D．小球竖直上抛后加速度不变，大小为5m/s2，方向竖直向下
【解答】解：CD．根据位移—时间公式可得：
x = v0t + 1
2 at
2
可得：v0＝﹣6m/s，1
2 a=5m/ s
2
则a＝10m/s2
故小球被拖出时的初速度大小为6m/s，小球竖直上抛后加速度不变，大小为10m/s2，方向竖直
向下，故C 正确，D 错误；
AB．根据速度—时间公式可得落地前小球的速度与运动时间的关系为
v＝v0+at＝10t
6
﹣（m/s）
故落地前小球先向上做匀减速直线运动，后向下做匀加速直线运动，故AB 错误。
故选：C。
6.
（多选）（2023•越秀区校级模拟）在2020 东京奥运会女子跳水10m 跳台比赛中，我
国年仅14 岁的小将全红婵，多次上演“水花消失术”，最终夺得冠军，假设全红婵在完成某
次动作过程中，跳起的最大高度是0.8m，在离水面1m 的时候她已经完成所有动作，开始调整
姿态准备压水花，入水后减速的加速度大小是20m/s2，在粗略估算中，可以把运动员当作质点
处理，重力加速度取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
4
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A．起跳的竖直速度是4m/s
B．落水的速度约为18m/s
C．运动员在空中运动的时间约为1.4s
D．若要保证运动员安全，水池的深度至少要5.4m
【解答】解：A、运动员做竖直上抛运动，到达最高点时速度为0，由﹣2gh1＝0- v0
2得，v0
=√2 gh1=√2×10×0.8m/s＝4m/s，故A 正确；
B、下落过程为自由落体运动，由2gh2＝v2 得，v=√2 gh2=√2×10×10.8m/s＝14.7m/s，故B
错误；
C、运动员在空中的时间为t= v0
g + v
g = 4
10 s+ 14.7
10 s=1.97s，故C 错误；
D、若要保证运动员安全，水池的深度至少为h3= v
2
2a = 14.7
2
2×20
m＝5.4m，故D 正确；
故选：AD。
7.
（2022•南京二模）广场喷泉是城市一道亮丽的风景.如图，喷口竖直向上喷水，已知
喷管的直径为D，水在喷口处的速度为v0。重力加速度为g，不考虑空气阻力的影响，则在离
喷口高度为H 时的水柱直径为（ ）
5
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A．D
B．
D v0
√v0
2+2gH
C．√
D
2v0
√v0
2-2 gH
D．√
D
2v0
√v0
2+2gH
【解答】解：A、B、C、D、水从喷口中喷出，已知水在喷口处的速度为v0。所以单位时间内喷
水的体积为V 水= π D
2
4
×v0×Δt；（已知D 为直径）
设离喷口高度为H 时的水柱直径为D′，则有V 水= πD'
2
4
×v ×Δt；
由于水在做竖直上抛运动，则由运动学公式得：2gH= v
2- v0
2，解得：v=√v0
2-2 gH；
所以有D′2v＝D2v0；化简得：D′=√
D
2v0
v
=√
D
2v0
√v0
2-2gH
，故C 正确，ABD 错误。
故选：C。
竖直上抛运动的对称性（8-9 题）
8.
（2022•沈北新区校级四模）一名外墙清洁员乘坐吊篮从地面开始以2m/s 的速度匀速
上升，中途一个小物体从吊篮上掉落，随后2s 清洁员听到物体落地的声音，忽略空气阻力对
物体运动的影响，此时吊篮离地面的高度约为（ ）
A．15m
B．20m
C．24m
D．30m
【解答】解：设小物体掉落时距地面高度为h，选竖直向下为正方向，根据竖直上抛运动的规律
得h=- v0t + 1
2 gt
2=-2×2m+ 1
2 ×10×2
2m=16m
2s 吊篮继续上升的距离为h′＝vt＝2×2m＝4m
则听到落地声音时离地面的高度为
H＝h+h′＝16m+4m＝20m，故B 正确，ACD 错误。
故选：B。
9.
（2022•湖南二模）小明在一匀速上升的电梯内，观察到电梯顶部有一螺丝因松动而
掉落。已知电梯顶部离电梯地板的高度为2.45m，电梯匀速上升的速度大小为2m/s，不考虑空
6
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气阻力的影响，g 取10m/s2，则螺丝从电梯顶部掉落到地板上的时间为（ ）
A．0.48s
B．0.7s
C．1.12s
D．0.32s
【解答】解：以地面为参考系，匀速运动的电梯上脱落的螺丝做竖直上抛运动，上升过程是匀
减速的，电梯一直匀速运动，由匀变速规律：vt﹣（vt- 1
2 gt
2）＝h，
即h= 1
2 gt
2，解得t＝0.7s，故B 正确，ACD 错误；
故选：B。
竖直上抛运动的相遇问题（10-12 题）
10. （2023•德州一模）甲、乙两个小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度
竖直向上抛出，小球距抛出点的高度h 与时间t 的关系图像如图所示。不计空气阻力，重力加
速度为g，则两小球同时在同一水平线上时，距离抛出点的高度为（ ）
A．1
2 gt2
2
B．1
2 (gt2
2- gt1
2）
C．1
4 (gt2
2- gt1
2）
D．1
8 (gt2
2- gt1
2)
【解答】解：根据图象可知，两小球同时在同一水平线上时，乙上升的时间为：t 乙= t2-t1
2
甲从达到最高点到在同一条水平线上经过的时间为：t 甲= t2
2 -t 乙
设抛出的速度大小为v0，则：v0＝g•t2
2
根据位移计算公式可得：h= v0
2
2 g - 1
2 gt甲
2
联立解得：h= 1
8 (gt2
2- gt1
2)，故D 正确、ABC 错误。
7
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故选：D。
11. （2022 秋•坪山区校级期末）视为质点的甲、乙两个小球先后在同一水平面相邻的两
个位置以相同的初速度做竖直上抛运动，小球与出发位置的高度差h 与时间t 的图像如图所示，
重力加速度为g，根据图像所给的信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲回到抛出点的时刻为2t2
B．乙回到抛出点的时刻为2t2
C．甲距抛出点的最大高度为g(t2-t1)
2
2
D．甲、乙在同一水平线上时离抛出点的高度为1
2 g(t2-t1)
2
【解答】解：A．设甲回到抛出点时刻为t3，根据两个h
t
﹣图像对称性，可知t3
t
﹣2＝t2
t
﹣1
得t3＝2t2
t
﹣1
故A 错误；
B．乙回到抛出点时刻t4＝t3+t1＝2t2
故B 正确；
C．设竖直上抛最大高度hm，根据自由落体公式和竖直上抛运动对称性：hm= 1
2 g( t3
2 )
2
其中t3＝2t2
t
﹣1
hm= g(2t2-t1)
2
8
故C 错误；
D．设甲运动到最高点时刻为t，由h
t
﹣图像对称性：t = t3
2
t 至t2，甲下落高度h1= 1
2 g(t2-t )
2
甲、乙在同一水平线高度h2＝hm
h
﹣1
8
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h2= 1
2 gt2(t2-t1)
故D 错误。
故选：B。
12. （2023 秋•江岸区校级月考）杂技表演中有一节目叫抛球，在抛球游戏的表演过程中，
难度会越来越高，并且会有越来越多的小球，而小球之间发生的碰撞，更会让玩家来不及反应，
可谓挑战十足。小明在家练习抛球，他以初速度2v0竖直上抛一小球A 后，又以初速度v0在同
一高度竖直上抛另一小球B，多次发现两球在空中相遇，则两球抛出的时间间隔Δt 必须满足
的条件是（ ）（不计空气阻力，重力加速度为g）
A．2v0
g ＜Δt＜4 v0
g
B．v0
g ＜Δt＜2v0
g
C．Δt＜2v0
g
D．Δt＞v0
t
【解答】解：球A 竖直上抛上升到最高点的时间为
t1= 2v0
g
根据竖直上抛运动的对称性可知球A 在空中运动的总时间为
t2= 4 v0
g
球B 上升和在空中运动的总时间分别为
t3= v0
g
t 4= 2v0
g
根据题中条件可知两球的位移随时间的变化规律满足
s=w - 1
2 gt
2
作出两球的s
t
﹣图象，则两条图线的相交点的横坐标表示A、B 相遇时刻，如图所示
纵坐标对应位移
9
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SA＝SB
由图象可直接看出Δt 应满足关系式
2v0
g ＜Δt ＜4 v0
g
故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
有关竖直上抛运动的图像（13-18 题）
13. （2023 秋•河南月考）一小球从地面竖直上抛，小球的速率用v 表示，运动的路程用s
表示，不计空气阻力，则小球从拖出到落回地面的过程中，其v
s
﹣图像可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：小球第一个上升阶段，根据匀变速直线运动的位移—速度公式有：v
2- v0
2=-2 gs
整理得：v =√v0
2-2 gs，可知v
s
﹣图象为抛物线，抛物线开口沿s 轴负方向
小球第一个下落阶段，设小球运动至第一个上升阶段最高点的路程为s0
根据匀变速直线运动的位移—速度公式有：v2＝2g（s
s
﹣0）
整理得：v =√2g(s- s0)，可知v
s
﹣图象为抛物线，抛物线开口沿s 轴正方向，故C 正确，
ABD 错误。
故选：C。
14. （2022 秋•昌平区期末）小明同学将手中的苹果竖直向上抛出，经过t0时间，苹果又
重新落回手中，不计空气阻力。用x 表示苹果运动的位移、v 表示苹果运动的速度、a 表示苹
果运动的加速度、F 表示苹果所受合力，以苹果离开手的时刻作为计时起点，如图所示的四个
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图像与上述过程相符的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：AB.由于不计空气阻力，苹果在整个运动过程中只受重力作用，苹果在上升过程中
做匀减速运动，下落过程中做自由落体运动；由于x
t
﹣图像斜率的绝对值表示速度的大小，图
A 中表示苹果做匀速运动，与实际不符合；v
t
﹣图像的斜率表示加速度的，图B 中表示苹果做
先向上做匀减速运动，达到最高点后向下做匀加速运动，与实际符合，故A 错误，B 正确；
CD.由于不计空气阻力，苹果在整个运动过程中只受重力作用，因此合力F＝mg，可见苹果所受
合力F 不随时间变化；取竖直向下为正方向，根据牛顿第二定律mg＝ma，得加速度a＝g，可见
苹果的加速度不随时间变化，故CD 错误。
故选：B。
15. （2023 春•东城区校级月考）以不同初速度将两个物体同时竖直向上抛出并开始计时，
一个物体所受空气阻力可以忽略，另一个物体所受空气阻力大小与物体速率成正比，下列用虚
线和实线描述两物体运动的v
t
﹣图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：没有空气阻力时，物体只受重力，是竖直上抛运动，v
t
﹣图象是直线；
11
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有空气阻力时，上升阶段，根据牛顿第二定律，有：mg+f＝ma，故a＝g+ f
m
，由于阻力随着速
度减小而减小，故加速度逐渐减小，最小值为g；
v
t
﹣图象的斜率表示加速度，故图线与t 轴的交点对应时刻的加速度为g，切线与虚线平行，故
B 正确、ACD 错误。
故选：B。
16. （2024•天河区一模）排球是人们最喜爱的运动之一。如图所示，运动员在原地向上
做抛接球训练，排球在空中受到空气的阻力大小可视为不变，下列能反映排球上升和下落运动
过程的图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：AB．受力分析，上升阶段，排球在空中受到空气的阻力与重力方向相同，合力较
大，下落阶段，排球在空中受到空气的阻力与重力方向相反，合力较小，根据牛顿第二定律可
知，上升阶段的加速度比下落阶段的要大，方向相同，故A 错误，B 正确；
CD．由h= 1
2 at
2，上升所需的时间短，下落所需的时间稍长，且上升和下落运动方向相反，落
回抛球点时，速度比抛出时稍小，故C、D 错误。
故选：B。
17. （2023 秋•双流区校级月考）全红婵在东京奥运会女子10 米跳台比赛过程中可视为竖
直上抛运动，下图为其速度与时间的关系图像，以其离开跳台时作为计时起点，则下列说法正
确的是（ ）
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A．t2时刻达到最高点
B．t1时刻达到最高点
C．t2时刻速度方向发生变化
D．t3时刻开始进入水面
【解答】解：由图像可知，0～t1时刻的速度为负方向的，且逐渐减小，结合跳水运动，可知在
0～t1时间内全红婵向上运动，t1时刻速度方向发生变化，则判断全红婵此时达到最高点；
t1～t3的速度为正方向，则可判断全红婵向下运动，t2时刻速度达到正向最大，故全红婵此时开
始进入水中；
t3时刻速度减为零，此时到达水中最低点，故B 正确，ACD 错误；
故选：B。
18. （2023 秋•长安区校级期中）在某星球表面，t＝0 时刻小球以初速度v0开始做竖直上
抛运动，取抛出位置位移x＝0，以v0方向为正方向，则小球位移x 随速度的平方v2变化的x
v
﹣2图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小球的初速度为100m/s
B．小球位移x＝5m 时对应的运动时间为2s
C．小球加速度与初速度方向相反
D．图中a 点坐标值为7.2
【解答】解：A、根据速度—位移公式v2
- v0
2=2ax 可得：x= v
2
2a - v0
2
2a
，由x
v
﹣2图像可得：斜率
13
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为k= 1
2a = 5.0
100
，得a＝﹣10m/s2，纵截距为- v0
2
2a =5.0，可得初速度为：v0＝10m/s，故A 错误；
BC、小球加速度与初速度方向相反，做匀减速直线运动，当小球位移x＝5m 时，有x＝v0t
+ 1
2 at
2，解得t＝1s，故B 错误，C 正确；
D、由图可得x=- 1
20
v2+5，将v2＝144 代入得x＝﹣2.2m，所以图中a 点坐标值为﹣2.2，故D 错
误。
故选：C。
14
