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实验十三：用单摆测量重力加速度的大小
一、实验目的
1．练习使用秒表和刻度尺、测单摆的周期。
2．用单摆测重力加速度的大小。
二、实验原理
当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g
＝。因此，只要测出摆长l 和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g 的值。
三、实验器材
带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1 m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺。
四、实验步骤
1．让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆。
2．把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球
自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示。
3．测摆长：用毫米刻度尺量出摆线长L(精确到毫米)，用游标卡尺测出摆球直径D，则单摆的摆长l＝L
＋。
4．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放摆球，记下单摆摆动30～50 次的总时
间，算出平均每摆动一次的时间，即为单摆的振动周期。
5．改变摆长，重做几次实验。
五、数据处理
1．公式法：测出30 次或50 次全振动的时间t，利用T＝求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三
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次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝求重力加速度。
2．图像法：由单摆周期公式不难推出：l＝T2，因此，分别测出一系列摆长l 对应的周期T，作l－T2 的图
像，图像应是一条通过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k＝，即可利用g＝4π2k 求重力加速度。
六、误差分析
1．系统误差
主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可视为质点，球、线是否符合要
求，振幅是否足够小，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。
2．偶然误差
主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，并采
用倒计时计数的方法，即4,3,2,1,0 在数“0”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减
小偶然误差，应多次测量后取平均值。
七、注意事项
1．悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。
2．单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5。
3．选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。
4．摆球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长L。
知识一：教材原型实验
【例1】在“用单摆测定重力加速度”实验中，某同学进行如下步骤：
（1）用游标为10 分度（测量值可准确到
）的卡尺测量小球的直径。某次测量的示数如图1 所示，
读出小球直径d 的值为
；
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（2）把摆球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，使单摆在竖直平面内摆动，用秒表测出单摆做n 次全
振动所用的时间t，秒表读数如图2 所示，读数为 s；
（3）如果测得的g 值偏大，可能的原因是
A．先将单摆放在水平桌面上测出摆长l，后把单摆悬挂起来
B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．摆球不在同一竖直平面内运动，成为圆锥摆运动
D．测周期时，当摆球通过最低点时启动秒表并数“1”，数到摆球第40 次通过平衡位置时按下秒表，读出
时间t，得周期
【例2】甲、乙两同学利用单摆测定当地重力加速度。
（1）甲同学用10 分度的游标卡尺测量摆球的直径，如图1 所示，他测量的读数应该是 cm。
接着他正确测量了摆线长，加上摆球半径，得到了摆长l。
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（2）为了测定该单摆的振动周期T，下列做法中正确的是 。
A．将摆球拉离平衡位置一个小角度，从静止释放开始计时，小球第一次回到释放点停止计时
B．将摆球拉离平衡位置一个小角度，从静止释放开始计时，小球第30 次回到释放点停止计时
C．将摆球拉离平衡位置一个小角度，从静止释放摆球，当小球某次通过最低点时开始计时，并同时数0，
以后小球每次经过最低点时，他依次数为1、2、3…，数到60 时停止计时，以这段时间除以30 作为周期
D．将摆球拉离平衡位置一个小角度，从静止释放摆球，当小球某次向右通过最低点时开始计时，并同时
数30，以后小球每次向右经过最低点时，他依次计数为29、28、27…，数到0 时停止计时，以这段时间除
以30 作为周期
（3）他根据正确方法测出了摆长l 和周期T，计算当地的重力加速度的表达式为g= 。
（4）甲同学用上述方法测量重力加速度g，你认为最需要改进的是 。
（5）乙同学没有测量摆球直径，只正确测得了摆线长为l，和对应的单摆振动周期为T。然后通过改变摆
线的长度，计算出T2，作出l﹣T2图线，在图线上选取相距较远的A、B 两点，读出与这两点对应的坐标，
如图2 所示。乙同学计算重力加速度表达式为
。
（6）乙同学没有测量摆球直径，把摆线长当成了摆长。你认为他这种做法会不会引起实验的系统误差
（填“会”或“不会”）。
知识二：创新实验
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【例1】某探究性实验小组用如图1 所示的实验装置来测量重力加速度。他们将一个球形小磁铁用细线悬
挂起来构成一个能在竖直平面内摆动的单摆。在细线的悬挂点正下方放有一根与小磁铁摆动平面垂直的粗
直导体棒，导体棒通过导线与电流传感器一起构成一个闭合回路。当小磁铁摆动时，在回路中就会产生感
应电流，电流传感器可以通过计算机记录相应的电流随时间变化的图像，如图2 所示。
（1）小李同学用20 分度的游标卡尺测量球形小磁铁的直径，读数如图3 所示，则其直径
，
小张同学用卷尺测得细线悬挂点到与小磁铁的连接点之间的长度为。
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（2）图2 中图线上（下）方标出的数据分别表示的是感应电流取极值时对应的时刻，由图可知，小磁铁摆
动的周期为
（结果保留两位有效数字），进一步计算重力加速度
的表达式为 （用题目
所给的符号表示）。
【例2】某智能手机中的“磁传感器”功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，磁感应强
度越大。宁德某中学的小宁在家里用手机、磁化的小球、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的
装置来测量重力加速度，实验步骤如下；
①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。
②打开夹子释放小球，小球运动，取下夹子。
③运行手机“磁传感器”功能，手机记录磁感应强度的变化。
④改变摆线长和夹子的位置，测量出各次实验的摆线长L 及相应的周期T。
（1）如图乙所示，图中记录了实验中磁感应强度的变化情况，测得第1 个到第N 个磁感应强度最大值之
间的时间间隔为t，则单摆周期T 的测量值为 。
（2）实验中用游标卡尺测量摆球直径如图丙所示，则摆球直径为 cm。
（3）得到多组摆线长L 及相应的周期T 后，作出了
图形，如图丁所示，根据图中数据可得当地重力
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加速度g=
。（结果保留三位有效数字）
（4）查表可知宁德地区的重力加速度为
，则本实验的相对误差为 %。（结果保留2
位有效数字）
1．在“用单摆测量重力加速度的大小”的实验中。
（1）用游标卡尺测量小球的直经d，测量情况如图所示，其读数 mm。
（2）固定悬点后，测得悬点到摆球上端的细线长度为l，完成n 次全振动的时间t，则重力加速度的表达式
为g＝ ；（用题中测得物理量的符号表示）
（3）某问学查阅资料得知，课本上所给的单摆周期
是初始摆角
很小时的近似值，实际上初始摆角对
理论周期T 有一定影响，
与
的关系图像如图所示。若实验时初使摆角达到
，考虑初始摆角的影
响，重力加速度的测量值会 。（填写“偏大”、“不变”或“偏小”）
2．如图甲所示，某学习小组在实验室做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验。
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（1）若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系，由图乙可知，该单摆的周期
s。
（2）在多次改变摆线长度测量后，根据实验数据，利用计算机作出周期与摆线长度的关系（
）图
线，并根据图线拟合得到方程
，由此可知当地的重力加速度
，摆球半径
（用k、b、π 表示）。
3．某同学利用如图甲所示装置测量当地的重力加速度，回答以下问题：
（1）以下是该同学在实验中进行的一些操作，正确的是 ；
A．选用塑料小球，质量较小，更符合单摆的理想化模型
B．先在桌面上将细线拉直，测完摆线长度之后再悬挂小球
C．测量多个周期的总时间，求出单摆周期
D．让小球摆动幅度尽量大一些，以免太快停下来
（2）该同学利用手机上的秒表进行计时，某次小球通过最低点时启动秒表，并数“1”，以后小球每经过
一次最低点均计数，数到“60”时停止计数，秒表读数如图乙所示，则小球振动的周期为
s；
（结果保留三位有效数字）
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（3）该同学多次改变摆线长L，正确测得其对应的周期T，并作出
的关系图线如图丙所示，若已知
该图线斜率为k，与纵轴的截距为b，则当地的重力加速度为 ，这样的数据处理方法 （选
填“存在”或“不存在”）系统误差。
4．（1）某实验小组在实验室做“单摆测定重力加速度”的实验，如图甲所示。
①摆球的直径用螺旋测微器测出，如图乙所示，读数是
；
②甲同学用正确的实验方法测出摆线的长度为L，摆球的直径为d，N 次全振动的总时间为t，当地的重力
加速度大小为
（结果用L、d、N、t 等字母表示）；
（2）某同学用图甲的装置验证机械能守恒定律。大小相同的两小球P、Q 分别固定在轻杆两端，轻杆可绕
固定于中点O 的光滑水平轴在竖直面内转动，O 点正下方有一光电计时器，小球通过计时器时其球心恰好
与光电门等高。测得小球的直径为d，两球球心间的距离为L，P 球质量是Q 球质量的2 倍。Q 球质量为
m，重力加速度为g。现将轻杆拉至水平位置并由静止释放，当P 球第一次通过光电门时，计时器显示的遮
光时间为
。回答下列问题：
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①用游标卡尺测量d 时如图乙所示，则
；
②小球P 经过光电门时速度的表达式为
（用已知量和测得量的符号表示）；
③小球P 从开始运动到最低点过程，PQ 系统重力势能的减小量
，若此过程中P、Q 构成
的系统机械能守恒，则需要验证的关系式为 （用已知量和测得量的符号表示）。
5．利用单摆可以测量当地的重力加速度。如图1 所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，
做成单摆。
（1）以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有 。
A．摆线要选择较细、伸缩性较小，并且线尽可能短一些
B．摆球尽量选择质量较大、体积较小的
C．为了使摆的周期大一些，以方便测量，摆线相对平衡位置的偏角越大越好
D．为减小误差可记下摆球做50 次全振动所用的时间Δt，则单摆周期
（2）悬挂后，用米尺测量悬点到小球上端摆线的长度L，将小球拉离平衡位置一个小角度，由静止释放小
球，稳定后小球在某次经过平衡位置时开始计时，并计数为0，此后小球每摆到平衡位置时，计数一次，
依次计数为1、2、3……，当数到50 时，停止计时，测得时间为t，计算出单摆周期 T。测量出多组单摆
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的摆长 L 和运动周期 T，作出 T2—L 图像，如图2 所示。造成图线不过坐标原点的原因可能是 。
（3）由图2 求出重力加速度
m/s2。（取
，结果保留两位有效数字）
（4）图2 中图线不过原点，（选填“会”或“不会”） 影响重力加速度的测量
6．在“用单摆测定重力加速度”实验中：
（1）先用游标卡尺测小球的直径D，如图1 所示，则小球的直径D= mm
（2）调节好装置，用毫米刻度尺测得摆线长为l，拉开一个小角度（小于5%）释放小球开始摆动，记小
球某次经过最低点为“1”并按下秒表开始计时，再次经过最低点记为“2”，一直数到“n”时停止计时，秒
表记录时间为t，请写出重力加速度的字母表达式g= （用D，l，n，t 表示）
（3）为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长L 并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L 和
T 的数值，以L 为横坐标、T2为纵坐标作出T2—L 图线，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计
算摆长，由此得到的T2—L 图像是图2 中的 （选填①、②、③）
7．某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50 分度的
游标卡尺、摄像装置等。
（1）用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示
数如图甲所示，则摆球的直径d 为 mm。
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（2）用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1mm 时，记录并分析单摆的振动视频，得
到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g 为 m/s2（保留3 位有效数字）。
（3）改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l 和
作
为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg 随摆线长度l 的变化曲线如图所示。由图可
知，该实验中，随着摆线长度l 的增加，Δg 的变化特点是 ，原因是 。
8．实验小组用图示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。
（1）将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是 。
A．测量摆线长时用手将摆线沿竖直方向拉紧
B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C．在摆球经过平衡位置时开始计时
D．用秒表测量单摆完成1 次全振动所用时间并作为单摆的周期
（2）甲同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据画出了如图所示的图像，但忘记在
图中标明横坐标所代表的物理量。你认为横坐标所代表的物理量是 （选填“l2”、“l”或
“
”），若图线斜率为k，则重力加速度g= （用k 表示）。
（3）乙同学实验时误将摆线长记为摆长l，当他用（2）中甲同学的方法处理数据后， （选填“能”
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或“不能”）得到正确的重力加速度值。
（4）同学们用如图所示的“杆线摆”研究摆的周期与等效重力加速度的关系。杆线摆可以绕着立柱OO′来
回摆动（立柱并不转动），使摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内。为了简明直观的体现周期与等
效重力加速度的关系，请你将下面具体操作步骤补充完整，写出需要测量的物理量、相应的测量方法和数
据处理方法。
①测量“斜面”的倾角。将铁架台放在水平桌面上，在铁架台立柱上绑上重垂线，调节杆线摆的线长，使
重垂线与摆杆垂直。把铁架台底座的一侧垫高，使立柱倾斜。测出静止时摆杆与重垂线的夹角为β。
②根据摆杆与重垂线的夹角，求出等效重力加速度a。
③ 。
④ 。
⑤ 。
9．某同学研究单摆。
①利用单摆测重力加速度的实验中，为了减小测量周期的误差，应在 （选题字母）位置开始计时
和结束计时。
A．平衡位置 B．最大位移处 C．以上均可
②在一次用单摆测定加速度的实验中，图A 是用毫米刻度尺测摆长，若测得悬点到小球最下端长为，小
球直径为
，则摆长
。（字母表示）该单摆摆动
次全振动时，所用时间，用以上直接测量
的L、t、n 表示出重力加速度的计算式为
（不必代入具体数值）。
③若某同学测摆长时，忘记测摆球的半径，而只把悬点到小球最下端长度作为摆长，则他根据以上计算式
求得的重力加速度 （选填“偏大”“偏小”或“准确”）。
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10．在“用单摆测量重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到
，只要测出多组
单摆的摆长l 和运动周期T，作出
图像，就可以求出当地的重力加速度，理论上
图像是一条过
坐标原点的直线。
（1）某同学在家里做用单摆测量重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块外形不规则的长
条状的大理石块代替了摆球（如图），以下实验步骤中存在错误或不当的步骤是 （只填写相应的
步骤前的字母即可）。
A．将石块用细尼龙线系好，结点为N，将尼龙线的上端固定于O 点
B．用刻度尺测量ON 间尼龙线的长度L 作为摆长
C．将石块拉开一个大约5°的角度，然后由静止释放
D．从石块摆到最低点时开始计时，当石块第30 次到达最低点时结束计时，记录总时间为t，由
得
出周期
E．改变ON 间尼龙线的长度再做几次实验，记下相应的L 和T
F．求出多次实验中测得的L 和T 的平均值作为计算时使用的数据，代入公式
，求出重力加速
度g
（2）该同学根据实验数据作出的
图像如图所示：
①由图像求出的重力加速度g= m/s2（取
）。
②由于图像没有能通过坐标原点，求出的重力加速度g 值与当地真实值相比 （选填“偏大”“偏
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小”或“不变”）；若利用
，采用公式法计算，则求出重力加速度g 值与当地真实值相比
（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。
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