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第36 讲 实验：用单摆测定重力加速度
目 录
模拟·基础演练......................................................................................................................1
题型01 教材原型实验.................................................................................................1
题型02 创新实验提升.................................................................................................7
重难·创新演练....................................................................................................................14
真题·实战演练....................................................................................................................21
模拟·基础演练
考查重点：测量原理、方法及其创新，误差分析
⏳题型01 教材原型实验
1．（25-26 高二上·内蒙古）某同学利用如图所示的单摆测量当地的重力加速度。
(1)若用L 表示单摆的摆长，T 表示单摆的周期，则可求出当地的重力加速度大小g=______。
(2)某同学为了提高实验精度，在实验中改变几次摆长L，并测出相应的周期T，算出T
2的值，再以L 为横
轴、T
2为纵轴建立直角坐标系，画出T
2−L图线并求得该直线的斜率为k，则当地的重力加速度大小g=
_______（用k 表示）。
(3)若该同学第一次测得摆线长为L1，对应的单摆的周期为T 1，第二次测得摆线长为L2，对应的单摆的周
期为T 2，利用这两次测得的数据求得的重力加速度大小g=_____。
【答案】(1)4π
2 L
T
2
(2)4π
2
k
(3)4π
2(L1−L2)
T 1
2−T 2
2
【详解】（1）根据T =2π ❑√
L
g
可得g= 4π
2 L
T
2
（2）根据T =2π ❑√
L
g
可得T
2= 4π
2
g
L
则k = 4π
2
g
可得g= 4π
2
k
（3）根据T =2π ❑√
L
g
可得T 1=2π
❑√
L1
g
，T 2=2π
❑√
L2
g
联立解得g= 4π
2(L1−L2)
T 1
2−T 2
2
2．（25-26 高二下·辽宁）在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，测得
摆球经过n 次全振动的总时间为Δt，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为L，再用游标
卡尺测量摆球的直径为D。回答下列问题：
(1)重力加速度的表达式为g=________。（用题干中给出的物理量符号表示）
(2)为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长L 并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L 和T
的数值，以L 为横坐标、T
2为纵坐标作出T
2−L图像，但同学们不小心每次都把摆线长当作摆长，由此得
到的T
2−L图像是图乙中的________（选填“①”“②”或“③”）。由此测出的重力加速度________
（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。
【答案】(1)2π
2n
2(2 L+ D)
( Δt )
2
(2)
③
不变
【详解】（1）测得摆球经过n 次全振动的总时间为Δt，则周期为T = Δt
n
根据单摆周期公式可得T =2π
❑
√
L+ 1
2 D
g
联立解得重力加速度的表达式为g= 2π
2n
2(2 L+ D)
( Δt )
2
（2）[1]同学们不小心每次都把摆线长当作摆长，设摆球的半径为r，则有T =2π ❑√
L+r
g
整理可得T
2= 4 π
2
g ⋅L+ 4 π
2r
g
可知T
2−L图像有正的纵轴截距，故得到的T
2−L图像是图乙中的③；
[2]设摆长为l，根据单摆周期公式可得T =2π ❑√
l
g
可得T
2= 4 π
2
g ⋅l
可知都把摆线长当作摆长，T
2−L图像的斜率保持不变，由此测出的重力加速度不变。
3．（25-26 高二下·辽宁营口）某实验小组利用单摆测量当地的重力加速度，设计如图1 所示装置：轻质细
线一端固定于一悬点O，另一端连接质量为m的金属小球P（直径d =0.80cm），初始时小球静止于最低
点。实验步骤如下：
(1)用毫米刻度尺测量悬点O到小球最低点的距离，如图2 所示，则摆长L=______m。（结果保留2 位有效
数字）
(2)将小球拉至摆角θ =3
∘，释放后用停表记录50 次全振动的总时间，秒表读数t =99s，则单摆周期T =
______s（结果保留2 位小数）。
(3)若实验中测得的重力加速度g值偏小，可能的原因是______（填正确选项标号）。
A．测量摆长时未扣除小球半径
B．摆线在振动中出现轻微拉伸（摆长实际增大）
C．计时时将49 次全振动误记为50 次
(4)若某次实验中小球的运动是小角度的圆锥摆，则测得的周期T将_______（选填“增大”“减小”或
“不变”）。
【答案】(1)0.88
(2)1.98
(3)B
(4)减小
【详解】（1）因摆长为悬点O到小球球心的距离，故为88.00cm=0.88m
（2）周期为T = t
n =1.98s
（3）A．由单摆的周期公式T =2π ❑√
L
g
得g= 4 π
2 L
T
2
测量摆长时未扣除小球半径,把摆长算成摆线长加摆球直径，则摆长测量值偏大，重力加速度测量值偏大，
故A 错误；
B．摆线在振动中出现轻微拉伸（摆长实际增大），即摆长的测量值小于真实值，则重力加速度测量值偏
小，故B 正确；
C．计时时将49 次全振动误记为50 次，则周期的测量值偏小，重力加速度测量值偏大，故C 错误；
故选B。
（4）圆锥摆中mg tanθ =m 4 π
2
T
′2 Lsinθ
解得T
′ =2π ❑√
Lcosθ
g
则测得的周期T将减小。
4．（25-26 高二下·辽宁）某同学利用如图甲所示装置测量当地重力加速度。
首先选择带有小孔的金属球，利用游标卡尺测量金属球的直径。用轻绳将金属球悬挂在铁架台上，做成单
摆，改变摆绳的长度，测量并记录多组摆长L 和对应的摆动周期T，并计算T
2的值，在T
2−L坐标系中描
出记录的实验数据点如图乙所示。
(1)根据所学单摆知识及图像中的数据点分布状况，在图乙中画出T
2−L关系图线。
(2)根据图像和单摆周期公式，可得重力加速度的测量值为________m/s
2（π取3.14，结果保留2 位小数）。
(3)图线不过坐标原点的原因可能是________。
A．测摆长时忘记加上小球半径
B．测摆长时将小球直径当作半径
【答案】(1)
(2)9.70
(3)A
【详解】（1）由坐标图可以看出，各点分布趋势为一条直线，应该用直线将各点按分布趋势连起来，各
点尽可能落在直线上，落不到直线上的点均匀分布在直线两侧。第三个点偏差太大，为错误数据，直线不
参考第三个点的位置。
（2）根据单摆周期公式T =2π❑√
L
g
得T
2= 4π
2
g
L
可知T
2与L 为正比例函数，图像应为一条过原点的直线。由图像计算斜率
k = 4π
2
g
= 2.5−0.1
59×0.01 s
2/ m ≈4.07s
2/ m
解得g= 4π
2
k
≈9.70 m/s
2
（3）根据实验数据做出的图像与纵轴正半轴有交点，而实际上应该过原点。说明每次测量时，摆长的测
量值小于真实值，因此是因为忘记加上小球半径。
故选A。
5．（2026·湖北·一模）某同学利用手机内的磁传感器做“用单摆测量重力加速度”的实验.
(1)如图甲所示，细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球（下方吸附有小磁片），做成一个单摆。
使小钢球在竖直平面内做小角度摆动，打开手机的磁传感器软件，并将手机置于悬点正下方。某次采集到
的磁感应强度B 的大小随时间t 变化的图像如图乙所示，则单摆的振动周期T =______s（结果保留两位有
效数字）；
(2)该同学用刻度尺测出摆线的长度为l，用游标卡尺测出小钢球直径为d，则重力加速度g 的表达式为
______（用T、l 和d 表示）；
(3)该同学查阅科研资料，发现本次实验测得的重力加速度g 比精确值偏大，可能的原因是（ ）
A．测量的小钢球直径偏小
B．测量的摆线长度偏大
C．单摆振动中出现松动，摆线长度增加D．测量的单摆振动周期偏大
【答案】(1)1.4
(2)g= 4π
2
T
2 (l+ d
2)
(3)B
【详解】（1）[1]单摆7 次周期性运动所经历的时间约为9.7s，因此单摆的振动周期T =1.4s
（2）[1]根据单摆周期公式T =2π
❑
√
l+ d
2
g
，得出g= 4π
2
T
2 (l+ d
2)
（3）根据公式g= 4π
2
T
2 (l+ d
2)
测量的小钢球直径偏小，g 值偏小；测量的摆线长度偏大，g 值偏大；单摆振动中出现松动，摆线长度增
加，测得的T 偏大，g 值偏小；测量的单摆振动周期T 偏大，g 值偏小。
故选B。
6．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）实验小组要利用下图（a）装置来测量当地的重力加速度。
(1)将摆线上端固定在铁架台上，下端系在小球上，做成图（a）所示的单摆。在测量单摆的摆长时，先用
毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长为l，再用20 分度游标卡尺测得摆球的直径为d（读数如图（b）所
示），摆球的直径d=__________cm；
(2)将小球由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，小球经平衡位置时开始计时，小球完成n 次全振动所
用时间为t，则单摆周期T=_____；
(3)根据已知信息，当地重力加速度的表达式应为g=_____（用π、n、t、l、d 表示）。
【答案】(1)2.150
(2) t
n
(3)π
2n
2(4l+2d)
t
2
【详解】（1）由图可知直径d =21+10×0.05=21.50 mm =2.150cm
（2）单摆周期为一次全振动所用时间则T = t
n
（3）由单摆周期公式T =2π ❑√
l
g
可得g= π
2n
2(4l+2d)
t
2
⏳题型02 创新实验提升
7．（2026·内蒙古赤峰·一模）某学习小组用图甲装置测量当地重力加速度。
将细绳一端固定在O 点，另一端系一磁性小球（质量很大，体积很小），在摆球的正下方放置一手机。打
开手机中测量磁感应强度的软件，调整手机位置使手机磁传感器恰好位于磁性小球的悬挂点正下方。用毫
米刻度尺测出细绳悬挂点到摆球球心的长度L=99.50cm；
(1)使磁性球做小角度摆动，手机呈现出沿x 轴方向磁感应强度随时间变化曲线，当磁感应强度测量值最大
时，磁性小球位于最高点，当磁感应强度约为0 时，小球所在位置为______（选填“最低点”或“最高
点”）。
(2)实验采集到磁感应强度随时间变化的图像如图乙，可知5s-15s 内有______个周期；
(3)通过计算得到当地重力加速度大小为______m/s
2（取π
2=9.87，结果保留三位有效数字）；
(4)另一组同学多次改变摆长，根据测得数据，画出单摆周期平方T 与摆长L 的关系图线，发现其延长线未
过原点，如图丙所示，原因可能是______（选填正确选项前的字母）。
A．将摆线的长度作为摆长
B．将摆线的长度与小球半径的和作为摆长
C．将摆线的长度与小球直径的和作为摆长
【答案】(1)最低点
(2)5
(3)9.82
(4)C
【详解】（1）磁感应强度最大时小球位于最高点，磁性小球运动到最低点（平衡位置）时，沿x 方向的磁
感应强度分量近似为0，因此B 约为0 时小球在最低点。
（2）单摆一个周期内会两次到达最高点（左右各一次），对应B 出现两次峰值。由图乙可知，5 s∼15 s
内有5 个完整周期。
（3）由上述分析得单摆周期，摆长L=99.50cm=0.9950m
根据单摆周期公式T =2π ❑√
L
g
变形得g= 4 π
2 L
T
2
= 4×9.87×0.9950m
(2s)
2
≈9.82m/ s
2
（4）C．设真实摆长为l真，测量摆长为L，若测量摆长时，将摆线长度与小球直径之和作为摆长，真实摆
长l真= L−r（r为小球半径，测量多了一个r），代入周期公式得
T
2= 4 π
2l真
g
= 4 π
2( L−r )
g
= 4 π
2
g ⋅L−4 π
2r
g
当T
2=0时，L=r >0
即图线延长线与L轴交于正半轴L0=r >0符合图丙的情况，故C 正确；
A．只将摆线长作为摆长，会得到T
2=0时L<0，不符合，故A 错误；
B．测量正确时图线过原点，不符合，故B 错误。
故选C。
8．（25-26 高二上·湖南永州）某同学利用在半径为R 的光滑圆弧球面上做简谐运动的匀质小球来测定当地
的重力加速度，实验装置如图甲所示，在该实验条件下，小球在圆弧球面上的运动可视为单摆。
(1)该同学首先利用游标卡尺测量小球的直径，示数如图乙所示，则小球的直径为d = __________cm。
(2)该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A 点由静止释放后，压力传感器的示数变化如图丙
所示，则小球摆动的周期为T = __________。
(3)根据已知的物理量，可得当地重力加速度g 的表达式为g = __________（用d、t0、R 表示）。
(4)另一同学将光滑圆弧球面半径R 当作小球等效单摆长度测得重力加速度，则测得的重力加速度的值
__________（选填“大于”、“小于”或“等于”）当地重力加速度的真实值。
【答案】(1)1.050
(2)T = 4 t0
(3)g=
4 π
2( R−d
2 )
16t0
2
(4)大于
【详解】（1）由游标卡尺读数有，小球的直径d =10 mm +10×0.05 mm =1.050cm
（2）小球从A运动到O，再到B，返回O最后运动到A，运动的时间为一个周期，当小球运动到O点时，
压力传感器示数最大，所以一个周期内压力传感器示数出现两次最大，由图丙可知，小球摆动的周期为
T = 4t0。
（3）由题意可知周期T = 4 t0，摆长为L= R−d
2
根据单摆周期公式T =2π ❑√
L
g ，可得g= 4 π
2 L
T
2
解得g=
4 π
2( R−d
2 )
16t0
2
（4）由（3）可知g=
4 π
2( R−d
2 )
16t0
2
若将光滑圆弧球面半径R当作小球等效单摆长度测得重力加速度，显然等效摆长变大，所以重力加速度g
的测量值大于当地重力加速度的真实值。
9．（25-26 高二上·内蒙古包头）如图（a）所示为小朋友玩的不倒翁玩具，某兴趣小组想测量该不倒翁重
心的位置，设计如图（b）所示实验，轻质细绳上端连接一力传感器，可测摆绳上的张力F，力传感器连接
电脑可描绘出F −t的关系如图（c）所示，忽略空气阻力。
(1)该单摆的周期T 与t0的大小关系为_______。
A．T =t0
B．T =2t0
C．T = 4 t0
(2)该兴趣小组的同学测量并改变绳长l 并测出对应的周期T，绘制图（d），其中T
2为纵轴，l 为横轴，不
倒翁与轻绳的连接点到其重心的距离为d。则T
2关于绳长l 的函数表达式为T
2=________。
(3)图线的纵截距大小为a，斜率为b，则不倒翁与轻绳的连接点到其重心的距离d =_______。（用a、b 表
示）
【答案】(1)C
(2)4π
2
g
(l+d)
(3)a
b
【详解】（1）最高点绳子拉力最小，最低点绳子拉力最大，所以1
4 T =t0，即T = 4t0
故选C。
（2）由单摆周期T =2π ❑√
l+d
g
可得T
2= 4π
2
g
l+ 4π
2
g
d
（3）图线的纵截距大小为a，斜率为b，则a= 4π
2
g
d，b= 4π
2
g
解得d = a
b
10．（25-26 高二下·黑龙江哈尔滨）在“用单摆测重力加速度”的实验中
(1)某组同学的常规操作步骤为：
a、取一根不可伸长的细线，下端系住直径为d 的金属小球，上端固定在铁架台上；
b、用米尺量得细线长度l；
c、在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球；
d、用秒表记录小球完成n 次全振动的总时间t，得到周期T = t
n；
e、用公式g= 4π
2l
T
2
计算重力加速度。
按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比________（选填“偏大”、“相同”或“偏小”）。
(2)另外一组同学用创新形式做该实验。
①如图1 所示，在摆球的平衡位置处安装光电门。利用光电门，从小钢球第1 次遮光开始计时，记下第n
次遮光的时刻t，则单摆的周期为T =________；
②实验中发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的l−T
2
关系图线，如图2 所示。由此得出图线的斜率k 和截距b，则重力加速度g=________，小钢球重心到摆线
下端的距离h=________；（结果均用k、b 表示）
【答案】(1)偏小
(2) 2t
n−1 4π
2k kb
【详解】（1）单摆的实际摆长为细线长度l加小球半径d
2 ，本题计算时公式中只代入了细线长度l，测得的
摆长小于实际摆长。根据公式g= 4 π
2 L
T
2
可知，L偏小，计算得到的重力加速度比实际值偏小。
（2）[1]单摆一个周期内两次经过平衡位置（光电门处），从第1 次遮光开始计时，到第n次遮光，共有
（n−1）个时间间隔，每个间隔为半个周期，即总时间t =(n−1)⋅T
2
整理得周期T = 2t
n−1
[2]小钢球重心到摆线下端距离为h，则悬点到重心的实际摆长为L=l+h
代入单摆周期公式，得T =2π ❑√
l+h
g
整理得l = g
4 π
2 T
2−h
这是l−T
2的一次函数，斜率k = g
4 π
2
因此g= 4 π
2k
[3]由图可知，当l =0时，T
2=b
代入l =k T
2−h，得0=k ⋅b−h
整理得h=kb
11．（25-26 高三上·山西临汾）某实验小组用自己改进的装置完成“用单摆测量重力加速度”实验，把一
个较重的匀质磁性小球，用两根长度均为L 的轻绳悬挂在一根水平绝缘杆上摆动，如图甲所示。
(1)关于本实验及操作，下列说法正确的有______（单选，填序号）
A．两轻绳可用轻质橡皮筋代替
B．为了方便固定绳子，可以将绳子的A、B 端缠绕在水平绝缘杆上
C．让小球在垂直于OAB的平面内做小角度的摆动
D．为了方便测量周期，可以将小球拉离竖直方向较大的角度后由静止释放
(2)用20 分度的游标卡尺测量小球的直径d 如图乙所示，则小球直径d=_____cm；
(3)实验时磁性小球的N 极在小球的正下方，他们将智能手机放置在小球摆动最低点的正下方，打开手机磁
力传感器，采集到磁感应强度B 及随时间t 变化的图像如图丙所示，则单摆的周期T=_____s（结果保留2
位有效数字）；
(4)实验中，测得所用轻绳的长度为L，悬点AB的间距为x，则当地的重力加速度可表示为g=_____。（用
L、x、d、T 表示）。
【答案】(1)C
(2)2.200
(3)2.0
(4)2π
2(❑√4 L
2−x
2+d)
T
2
【详解】（1）AB．单摆的摆长不能改变，两轻绳不能用轻质橡皮筋代替，绳子的A、B 端需固定，不能
缠绕在水平绝缘杆上，故AB 错误；
C．单摆在摆角小于5°的情况下的振动是简谐运动，小球应在竖直平面内做小角度摆动，故C 正确；
D．为了方便测量周期，应在小球经过最低点时计时，故D 错误；
故选C。
（2）游标卡尺的精确度为0.05mm，读数为2.2cm +0×0.05 mm =2.200cm
（3）一个周期内摆球两次经过最低点，小球经过最低点时磁感应强度最大，根据图丙所示可知，单摆的
周期为T = 12−2
5
s=2.0s
（4）根据几何关系可知摆长为l =
❑√L
2−( x
2 )
2
+ d
2
根据单摆周期公式T =2π ❑√
l
g
解得g= 2π
2(❑√4 L
2−x
2+d)
T
2
12．（25-26 高三上·辽宁辽阳）钟同学欲利用一固定光滑圆弧面测定重力加速度，圆弧面如图甲所示，图
中虚线为圆弧面最低处，圆弧面半径约为1.0m，该同学取一小铁球进行实验。
(1)用游标卡尺测量小铁球直径，读数如图乙所示，则小铁球的直径d =_________cm。
(2)钟同学将小铁球从槽中虚线左侧接近虚线处由静止释放，小铁球的运动可等效为一单摆。当小铁球第一
次经过虚线处时开始用秒表计时，并计数为1，当计数为99 时，所用的时间为t，则等效单摆的周期T =
_________。
(3)更换半径不同的小铁球进行实验，正确操作，根据实验记录的数据，绘制T
2−d
2 的图像如图丙所示，图
中图线的横、纵截距均已标出，则当地的重力加速度g=___________，圆弧面的半径R =___________。
【答案】(1)1.060
(2) t
49
(3) 4 π
2 x0
y0
x0
【详解】（1）游标卡尺的游标尺为20 分度，游标尺的第12 个刻度与主尺的刻度对齐，因此游标卡尺的读
数为d =10 mm +12×0.05 mm =10.60 mm =1.060cm
（2）当计数为99 时，等效单摆经过了99−1
2
= 49个周期的时间，由题意所用时间为t，因此等效单摆的周
期T = t
49
（3）[1]单摆的周期表达式为T =2π ❑√
l
g
小铁球球心做简谐运动，其等效摆长l = R−d
2
将l代入周期表达式推导得T
2=−4 π
2
g ⋅d
2 + 4 π
2 R
g
T
2−d
2 图像的斜率表示−4 π
2
g =−y0
x0
解得g= 4 π
2 x0
y0
[2]T
2−d
2 图像的纵轴截距表示4 π
2 R
g
= y0
解得R = y0 g
4 π
2
将g的表达式代入得R = x0
重难·创新演练
设题创新:实验仪器，实验方法创新
1．（2026·湖南衡阳·三模）某同学遇到一个还未安装的超大排水管，他想通过实验间接测量管道的内径。
实验器材有：铁架台、细线、摆球、秒表、米尺等。
(1)先在实验室测量当地的重力加速度g。
①如图1 所示，将细线的一端连接摆球，另一端固定在铁架台上O点，然后将摆球拉离平衡位置，释放摆
球，让单摆开始摆动。下列做法有助于减小实验误差的有______；（多选）
A．摆球选择半径较小、密度较大的
B．使摆角大一些，方便观察
C．让摆球尽量在同一竖直面内摆动
D．在摆球摆至最高点时开始计时
②选取摆线长度为l时，测得摆球摆动30 个完整周期的时间t，计算出单摆周期T。改变摆线长度重复实验，
记录相关数据，在坐标纸上作出的l−T
2图线为一条直线，如图2 所示。设直线斜率为k，则重力加速度可
表示为g=______（用k表示）；
③本实验没有测量摆球直径，对测量结果______（选填“有”或“无”）影响。
(2)再测量排水管道的内径。排水管道水平放置，截面为圆形，内壁较光滑。先让小钢球停在管底，标记管
底位置。再让小钢球从一个较小高度释放，开始滚动，钢球通过管底时开始计时，记录滚动10 个完整周
期的时间为30.0 s，可算出管道内径（直径）为D =______m（π
2取9.86，结果保留2 位有效数字）。
【答案】(1) AC 4π
2k 无
(2)4.4
【详解】（1）[1]A．摆球选半径小、密度大的，可减小空气阻力的影响，故A 正确；
B．单摆测重力加速度的实验中，单摆只有摆角小于5°时才近似做简谐运动，摆角过大会偏离简谐运动，
增大误差，故B 错误；
C．摆球需在同一竖直面内摆动，若变成圆锥摆会导致周期测量错误，故C 正确；
D．应在摆球经过最低点（速度最大，位置易判断）时计时，最高点速度小，计时误差大，故D 错误。
故选AC。
[2]设小球半径为r，根据单摆周期公式T =2π❑√
l+r
g
整理得l =
g
4π
2 ⋅T
2−r
因此l−T
2图线的斜率k =
g
4π
2
可得g= 4π
2k
[3]根据上述推导可知重力加速度g只由l−T
2图线的斜率决定，摆球半径只影响图线截距，不影响斜率，因
此不测量摆球直径对结果无影响。
（2）小钢球在管道内做小角度摆动，等效为单摆，设管道内径为D，忽略钢球半径，等效摆长为L= D
2
由题意得摆动周期T
′ = 30.0s
10
=3s
代入单摆周期公式T
′ =2π❑√
L
g =2π❑√
D
2 g
整理得D = gT
′2
2π
2
由图2 计算斜率k = Δl
ΔT
2 = 0.98−0.49
4.0−2.0 =0.245 m /s
2
代入得g= 4π
2k = 4×9.86×0.245 m /s
2≈9.66 m /s
2
解得D = 9.66×3
2
2×9.86 m ≈4.4 m
2．（2026·湖南长沙·模拟预测）用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示。
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用_____（选填选项前的字母）。
A．长度为1m左右的细线
B．长度为30cm左右的细线
C．直径为1.8cm的塑料球
D．直径为1.8cm的铁球
(2)某同学某次实验中用刻度尺测出摆线长l，球直径d如图所示，d =_____cm；
(3)用多组实验数据作出T
2−L图像，也可以求出重力加速度g。已知三位同学作出的T
2−L图线的示意图
如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。
则相对于图线b，下列分析正确的是_____（选填选项前的字母）。
A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B．出现图线c的原因可能是误将49 次全振动记为50 次
C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值
(4)将单摆挂在力传感器的下端，通过力传感器测定摆动过程中摆线受到的拉力F，由计算机记录拉力F随
时间t的变化，图像如图所示。测得摆长为L，则重力加速度的表达式为g=_____。
【答案】(1)AD
(2)2.01
(3)B
(4)π
2 L
4t0
2
【详解】（1）AB．单摆实验要求摆线长远大于摆球直径，且摆线不可伸长，故选长度约为1m的细线，A
正确，B 错误；
CD．摆球应选用密度大、体积小的金属球，以减小空气阻力的影响，故选直径为1.8cm的铁球，C 错误，
D 正确。
故选AD。
（2）10 分度游标卡尺的精确值为0.1mm，由图可知球的直径为d =2cm +1×0.1mm =2.01cm
（3）A．由单摆周期公式T =2π ❑√
L
g
可得T
2= 4 π
2
g
L
可知T
2−L图像的斜率为k = 4 π
2
g
当地的重力加速度为g= 4 π
2
k
若测量摆长时忘了加上摆球的半径，则摆长变成摆线的长度L，则有T
2= 4 π
2
g ( L+r )= 4 π
2
g L+ 4 π
2r
g
可知图线与b 线斜率相等，两图线应该平行，4 π
2r
g
为纵轴截距，故出现图线a的原因可能是误将悬点到小
球上端的距离记为摆长L 造成的，故A 错误；
B．实验中误将49 次全振动记为50 次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜
率k 偏小，故出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次，故B 正确；
C．由图可知，图线c 对应的斜率k 偏小，根据T
2−L图像的斜率k = 4 π
2
g
可得当地的重力加速度g= 4 π
2
k
可知图线c对应的g值大于图线b对应的g值，故C 错误。
故选B。
（4）由题图可知周期为T =5t0−t0= 4 t0
根据T =2π ❑√
L
g
联立解得重力加速度的表达式为g= π
2 L
4t0
2
3．（2026·安徽合肥·模拟预测）某实验小组用Tracker 软件探究单摆运动规律（将小球摆动视频上传软件
分析轨迹和数据），测得摆长l =25cm，以摆球最低点为坐标原点，对水平位移x随时间t变化的数据进行
正弦拟合，拟合函数为x = x0+ Asin (Bt +C)，拟合结果如图所示。从拟合波形中读得周期T=1s。
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在本次实验中，不必要用到的器材是（ ）
A．手机（或相机）
B．天平
C．直尺D．小球和细绳
(2)根据实验数据，拟合参数B 的数值最接近下列哪一项？（ ）
A．3.14rad/s
B．6.28rad/s
C．1.00rad/s
D．9.80rad/s
(3)关于该实验，以下说法正确的是（ ）
A．用沙漏和纸板研究单摆运动的传统方法，精度比Tracker 软件更高
B．Tracker 软件通过追踪视频中摆球的运动轨迹，可快速拟合出位移–时间图像
C．增大摆长会使单摆周期减小
【答案】(1)B
(2)B
(3)B
【详解】（1）ACD．手机用于拍摄视频，直尺用于设置标尺，小球和细绳为摆的主要装置，故ACD 必须
用到的器材，不符合题意；
B．实验不需要测量质量，天平不必使用，故B 不必要用到的器材，符合题意。
故选B。
（2）根据拟合图为正弦函数，可得B 为角速度（圆频率ω），则ω= 2π
T
=6.28rad/s
故选B。
（3）A．用沙漏和纸板研究单摆运动的传统方法，精度比Tracker 软件更低，误差较大，故A 错误；
B．Tracker 软件精度高，误差小，故可以通过追踪视频中摆球的运动轨迹，快速拟合出位移–时间图像，
故B 正确；
C．根据T =2π ❑√
L
g
可知摆长增长，周期增大，故C 错误。
故选B。
4．（2026·陕西西安·模拟预测）在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，
测得摆球N次全振动的总时间为Δt，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为l，再用游标
卡尺测得摆球的直径为D .回答下列问题：
(1)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置作一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记
应该在摆球摆动轨迹的_______。
A．最高点
B．最低点
C．任意位置
(2)用题目中给出的字母表示出重力加速度大小为g=_______。
(3)为了提高实验的准确度，在实验中可多次改变摆长L，并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L 和T
的数值，以L 为横坐标，T
2为纵坐标，作出T
2−L图线，但同学们不小心，每次都把小球直径当作半径来
计算摆长，由此得到的T
2−L图线是图乙中的_______（填“①”“②”“③”）。
(4)在没有游标卡尺的情况下，某同学先测出摆长较长时的摆线长度L1，并测出此时单摆的周期T 1；然后把
摆线长度缩短为L2，再测出其周期T 2.则当地重力加速度大小的表达式为g=_______（结果用L1、L2、T 1、
T 2表示）。
【答案】(1)B
(2)2π
2 N
2(2l+ D)
(Δt )
2
(3)①
(4) 4 π
2
T 1
2−T 2
2 (L1−L2)
【详解】（1）摆球通过最低点时速度最大，在最低点开始计时误差最小。
故选B。
（2）由单摆周期公式T =2π ❑√
L
g
可得g= 4 π
2 L
T
2
由题意可知L=l+ D
2 ，T =Δt
N
整理可得g= 2π
2 N
2(2l+ D)
(Δt )
2
（3）根据题意可知，单摆的实际摆长为L实= L−D
2
由单摆周期公式可得T =2π⋅
❑
√
L−D
2
g
化简可得T
2= 4 π
2
g
L−2π
2 D
g
由此得到的T
2−L图线纵轴截距为负值，即为图乙中的①。
（4）摆线长度为L1时，单摆的振动周期为T 1=2π
❑
√
L1+ D
2
g
摆线长度为L2时，单摆的振动周期为T 2=2π
❑
√
L2+ D
2
g
联立解得当地重力加速度大小的表达式为g=
4 π
2
T 1
2−T 2
2 (L1−L2)
5．（2026·北京朝阳·二模）某同学做“用单摆测量重力加速度”实验。
(1)在测量单摆周期时，他在摆球某次经过平衡位置时开始计时并计为第1 次，摆球第N 次经过平衡位置时
停止计时，测得所用时间为t，则周期T=__________。
(2)该同学多次测量单摆的摆长L 和周期T，在作图求重力加速度g 时，为得到线性图线，若纵轴选用L，
则横轴应选用__________（选填“T”、“T2”或“❑√T”）。
(3)如图甲所示为惠更斯摆钟示意图，将其下方钟摆的运动视为简谐运动。若发现该钟比设计要求走得快，
为校准时间，应采取的措施是（ ）
A．将摆杆上的摆球向上调节
B．将摆杆上的摆球向下调节
C．增加摆球的质量
D．减小初始摆角
(4)人类使用摆计时始于17 世纪，而在公元前16 世纪的古埃及则使用水钟计时。图乙所示是某同学设计的
水钟，在横截面积足够大的水瓶侧壁开一小孔，用带孔的小胶塞密封后插入出水管，当出水管排水时，瓶
内水面缓慢下降，从而通过记录水面位置来计时。将水面最初位置标记为时间刻度0，出水管水平线标记
为时间刻度1，请推导说明二者中点时间刻度t 能否标记为刻度0.5。不计各种阻力_____。
【答案】(1) 2t
N −1
(2)T
2
(3)B
(4)不能，推导见解析
【详解】（1）从第1 次经过平衡位置到第N 次经过平衡位置，一共经过了N −1
2
个周期，总时间为t，因
此周期T =
t
N −1
2
=
2t
N −1
（2）由单摆周期公式T =2π ❑√
L
g
，变形得L= g
4 π
2 T
2
L与T
2满足线性关系，因此纵轴选L时，横轴应选T
2。
（3）钟走得偏快，说明钟摆周期T偏小，单位时间内摆动次数偏多。根据周期公式T =2π ❑√
L
g
，要增大周
期校准时间，需要增大摆长L，因此应将摆球向下调节；单摆周期和摆球质量、小摆角无关。
故选B。
（4）设质量为m的水从液面下落到小孔处，水面到出水管的高度为h，不计各种阻力，重力势能减少mgh，
全部转化为动能1
2 m v
2，即mgh= 1
2 m v
2
可得出水速度满足v = ❑√2gh
水面下降过程中h不断减小，出水速度v逐渐减小，相同高度对应的排水量相同，流速越小用时越长。从
0、1 刻度的中点位置，将整个过程分成前后两段，流完前半段高度的平均流速大于后半段，因此流完前半
段高度的时间t < T
2 ，即位置中点对应的时间小于总时间的一半，因此不能标记为刻度0.5。
真题·实战演练
高频考点：原型实验、创新实验
1．（2023·新课标卷·高考真题）一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
（1）用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测
砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图（a）所示，该示数为
___________mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图（b）所示，该示数为___________mm，则摆球的直
径为___________mm。
（2）单摆实验的装置示意图如图（c）所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O 处，摆线在角度盘上
所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O 点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角
___________5°（填“大于”或“小于”）。
（3）某次实验所用单摆的摆线长度为81.50cm，则摆长为___________cm。实验中观测到从摆球第1 次经
过最低点到第61 次经过最低点的时间间隔为54.60s，则此单摆周期为___________s，该小组测得的重力加
速度大小为___________m/s2.（结果均保留3 位有效数字，π2取9.870）
【答案】 0.006/0.007/0.008 20.034/20.033/20.035/20.032 20.027/20.028/20.029 大于
82.5 1.82 9.83
【详解】（1）[1]测量前测微螺杆与测砧相触时，图（a）的示数为
d0=0 mm +0.7×0.01mm =0.007 mm
[2]螺旋测微器读数是固定刻度读数(0.5mm 的整数倍)加可动刻度（0.5mm 以下的小数）读数，图中读数为
d1=20 mm +3.4×0.01mm =20.034 mm
[3]则摆球的直径为
d =d1−d0=20.027 mm
（2）[4]角度盘的大小一定，即在规定的位置安装角度盘，测量的摆角准确，但将角度盘固定在规定位置
上方，即角度盘到悬挂点的距离变短，同样的角度，摆线在刻度盘上扫过的弧长变短，故摆线在角度盘上
所指的示数为5°时，实际摆角大于5°；
（3）[5]单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为
l =l0+ d
2 =81.50cm + 2.0027
2
cm =82.5cm
结果保留三位有效数字，得摆长为82.5cm；
[6]一次全振动单摆经过最低点两次，故此单摆的周期为
T = 2t
N = 54.60
30
s=1.82s
[7]由单摆的周期表达式T =2π ❑√
l
g
得，重力加速度
g= 4 π
2l
T
2 =9.83 m/s
2
2．（2025·海南·高考真题）小组用单摆测量重力加速度，装置如图。
(1)游标卡尺测得摆球直径d =20 mm，刻度尺测得摆线长l =79cm，则摆长L=_____cm（保留四位有效数
字）；
(2)使摆线与竖直方向夹角为θ（θ<5°），无初速度释放摆球，摆球位于_____选填：“最高点”或“最低
点”）开始计时，记录摆球做30次全振动t =54.00s，则单摆周期T =_____s，由此测得当地重力加速度
g=_____m/s
2（取π
2≈10，保留三位有效数字）。
【答案】(1)80.00
(2) 最低点 1.80 9.88
【详解】（1）单摆的摆长为L=l+ d
2 =80.00cm
（2）[1]为减小实验计时误差，需摆球经过最低点时开始计时；
[2]单摆周期T = t
n = 54
30 s=1.80s
[3]根据单摆周期公式T =2π ❑√
L
g
可得g= 4 π
2 L
T
2
代入数值得g=9.88 m/s
2
3．（2024·湖北·高考真题）某同学设计了一个测量重力加速度大小g 的实验方案，所用器材有：2g 砝码若
干、托盘1 个、轻质弹簧1 根、米尺1 把、光电门1 个、数字计时器1 台等。
具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图（a）
所示。
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30 次全振动所用时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T =2π ❑√
M
k ，其中k 为弹簧的劲度系数，
M 为振子的质量。
(1)由步骤④，可知振动周期T =_____。
(2)设弹簧的原长为l0，则l 与g、l0、T 的关系式为l =_____。
(3)由实验数据作出的l−T
2图线如图（b）所示，可得g=_____m/s
2（保留三位有效数字，π
2取9.87）。
(4)本实验的误差来源包括_____（双选，填标号）。
A．空气阻力
B．弹簧质量不为零
C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
【答案】(1) t
30
(2)l0+ gT
2
4 π
2
(3)9.59
(4)AB
【详解】（1）30 次全振动所用时间t，则振动周期
T = t
30
（2）弹簧振子的振动周期
T =2π ❑√
M
k
可得振子的质量
M = k T
2
4 π
2
振子平衡时，根据平衡条件
Mg=k Δl
可得
Δl = gT
2
4 π
2
则l 与g、l0、T 的关系式为
l =l0+ Δl =l0+ gT
2
4 π
2
（3）根据l =l0+ gT
2
4 π
2 整理可得
l =l0+ g
4 π
2 ⋅T
2
则l−T
2图像斜率
k = g
4 π
2 = 0.542−0.474
0.58−0.3
解得
g≈9.59 m/s
2
（4）A．空气阻力的存在会影响弹簧振子的振动周期，是实验的误差来源之一，故A 正确；
B．根据弹簧振子周期公式可知，振子的质量影响振子的周期，通过光电门测量出的周期T为振子考虑弹
簧质量的真实周期，而根据（3）问求出的l−T
2的关系时不考虑弹簧质量的关系式子，二者的中的T是不
相等的，所以弹簧质量不为零是误差来源之一，故B 正确；
C．利用光电门与数字计时器的组合测量周期的原理：根据简谐运动的规律可知，只要从开始计时起，振
子的速度第二次与开始计时的速度相等即为一个周期，与是否在平衡位置无关，故C 错误。
故选AB。
4．（2023·重庆·高考真题）某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆
线、刻度尺、50 分度的游标卡尺、摄像装置等。
（1）用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示
数如图甲所示，则摆球的直径d 为________mm。
（2）用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1mm 时，记录并分析单摆的振动视频，得
到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g 为_____m/s2（保留3 位有效数字）。
（3）改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l 和l+ d
2 作
为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg 随摆线长度l 的变化曲线如图所示。由图可
知，该实验中，随着摆线长度l 的增加，Δg 的变化特点是____________，原因是____________。
【答案】 19.20 9.86 随着摆线长度l 的增加，Δg 逐渐减小 随着摆线长度l 的增加，则
l+ d
2 越接近于l，此时计算得到的g 的差值越小
【详解】（1）[1]用游标卡尺测量摆球直径d=19mm+0.02mm×10=19.20mm
（2）[2]单摆的摆长为
L=990.1mm+1
2×19.20mm=999.7mm
根据
T =2π ❑√
L
g
可得
g= 4 π
2 L
T
2
代入数据
g= 4×3.14
2×0.9997
2
2
m/s
2=9.86 m/s
2
（3）[3][4]由图可知，随着摆线长度l 的增加，Δg 逐渐减小，原因是随着摆线长度l 的增加，则l+ d
2 越接
近于l，此时计算得到的g 的差值越小。
