文档文本内容
第18 讲 用单摆测定重力加速度
内容导航
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
考点精讲·靶向突破
拆解核心考点，归纳解题范式
考点一 教材原型实验
知识点1 实验原理及步骤
考向1 教材原型实验
考点二 创新实验
知识点1 实验方法改进
知识点2 实验器材改进
考向1 创新实验
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
探究单摆周期与摆长的关系
黑吉辽高考卷12 题8
分
考情分析
题型与考向：
1. 命题频率稳定：近5 年高考中，全国卷及各自主命题卷累计考查超过12
次，最近2 年（2024-2025）考查频次明显上升，分别在海南卷、浙江卷、
新课标卷、八省联考中都有考查，2026 年高考依然会是高频考点。
2. 题型与分值：以实验填空题、实验大题为主，偶尔出选择题考查操作要
点与误差分析，分值一般在4—8 分，属于中等难度得分题，区分度适中。
3. 核心考查重点：
基础必考点（占比约60%） 主要考查实验的基本操作与计算
高频难点 （占比约30%）误差分析是每年必考难点。
创新热点（占比约10%，逐年增加）
情境与立意：
1. 教材原型情境：基于教材常规实验，给出基础器材，要求完成相关计
算，多出现在填空题；（立足基础，考查实验核心素养）
2. 数据处理创新：给出相应数据，要求绘制图像或进行分析，是近年高考
热门。（突出能力，考查数据处理与误差分析）
3. 实验改进创新：结合现代器材改进实验，要求推导分析新设计误差，属
于拉开区分度的创新情境。（体现创新，考查原理迁移能力）
复习目标
1. 基础达标目标（全体考生必掌握）
2. 能力突破目标（冲击高分需掌握）
3. 创新迁移目标（应对新高考创新考法）
思维建模·脉络梳理
考点精讲·靶向突破
——拆解核心考点，归纳解题范式
考点一 教材原型实验
知识点1 实验原理及步骤
知●识●解●构
一、实验目的
1.学会用单摆测量当地的重力加速度。
2.能正确熟练地使用停表。
二、实验原理
当摆角很小时，单摆做简谐运动，其振动周期T＝
，它与摆角的大小及摆球的质量无关，由此
得到g＝
。因此，只要测出摆长l 和振动周期T，就可以求出当地重力加速度g 的值。
三、实验器材
带有铁夹的铁架台、中心有小孔的小钢球、不易伸长的细线（约1 米）、停表、毫米刻度尺和游标
卡尺。
四、实验步骤
1.做单摆
将细线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把细线的另一端
用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球
自然下垂。实验装置如图。
2.测摆长
用毫米刻度尺量出摆线长l′，用游标卡尺测出小钢球直径D，则单摆的摆长l＝
。
3.测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度（小于5°），然后释放摆球，当单摆经过 时开始计时，记下单
摆做30～50 次全振动的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
4.改变摆长，重复做几次实验。
知识点2 数据处理与误差分析
知●识●解●构
一、数据处理
1.公式法
将测得的几组周期T 和摆长l 代入公式g＝中算出重力加速度g 的值，再算出g 的平均值，即当地重
力加速度的值。
2.图像法
由单摆的周期公式T＝2π 可得l＝T2，因此以摆长l 为纵轴、以T2为横轴作出的l－T2图像是一条过原
点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g＝
。
拓展：（1）测量摆长，未加小球半径时，用公式法求得的g 值偏小，但根据T2－l 图线，由斜率求
得的g 值是准确的，因为T2＝(L＋r)＝L＋r（L 为绳长），此时图线如图中a 所示。
（2）同理，如果把绳长加小球直径作为摆长，此时，T2＝(l－r)＝l－r，其T2－l 图线如图中b 所示，
由斜率求得的g 值仍然是准确的。
二、注意事项
（1）一般选用一米左右的细线。
（2）悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。
（3）应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。
（4）单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°。
（5）选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。
三、误差分析
产生原因
减小方法
偶然误差
测量时间（单摆周期）及摆长时
产生误差
①多次测量再求平均值；
②计时从单摆经过平衡位置时开始
系统误差
主要来源于单摆模型本身
①摆球要选体积小，密度大的；
②最大摆角要小于5°
考向1 教材原型实验
例1 ．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）同学们用如图（a）所示的装置做“用单摆测量重力加速度”
实验。在单摆悬点处安装拉力传感器，并获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图（b）所示。
(1)关于本实验的操作，下列说法正确的是_______
A．需要用天平称出摆球的质量
B．摆线要选择较细的、伸缩性小些的，并且适当长一些
C．测摆长时应先在水平桌面上将细线拉直测得细线长度，再悬挂小球
D．为了使单摆的周期大一些，以方便测量，初始摆角应大于20°
(2)由图（b）可知，该单摆的周期为_______（用t0表示）；
(3)同学们改变摆长L ，测量不同摆长单摆的周期T，得到多组数据。以T2为横轴，L 为纵轴，做出L−T
2
图像，如图（c）所示。根据图中数据，重力加速度g=_______（用a、b 表示）。
▶新思维◀【变式训练1·变考法】 （2026·辽宁·二模）某学习小组用如图（a）所示的单摆实验装置测量
当地的重力加速度并验证单摆摆动过程中机械能守恒，实验过程如下：
(1)先测量当地重力加速度：
①用游标卡尺测量小球的直径如图（b）所示，小球直径d =______cm；
②竖直悬挂小球，调整悬点的高度，使小球能正好通过光电门，测出悬点与小球上端的距离l =78.00cm，
单摆的摆长L=______cm；
③将小球在竖直平面内拉离一个小角度后由静止释放，通过光电计时器记录下小球连续两次经过光电门
的时间间隔t =0.90s；
④根据以上测量数据，可计算出当地重力加速度g=______m/s
2（π
2取9.87；计算结果保留2 位有效数
字）；
⑤多次改变细线的长度，重复②③④的操作，计算出g 的平均值．
(2)在测出重力加速度g 后，该小组继续用此实验装置来验证小球摆动过程中机械能是否守恒，操作如下：
①将小球在竖直平面内拉离一个小角度，测出角度θ后由静止释放；
②通过光电计时器读出小球通过光电门的时间，计算出速度v；
③改变角度θ，重复实验，作出v
2−cosθ图像，若图像的斜率为_______（用L 和g 表示），则说明小球
摆动过程中机械能守恒．
【变式训练2·变考法】（2026·吉林白山·一模）用单摆测定重力加速度的实验装置如图甲所示。
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用___________（多选，填选项前的字母）。
A．直径为2.0cm 的塑料球
B．直径为2.0cm 的铁球
C．长度为90cm 左右的细线
D．长度为10cm 左右的细线
(2)某同学某次实验中用刻度尺测出摆线长l，球直径d；从小球第一次经过最低点开始计时，记为第0 次。
秒表记录下单摆第 n 次经过最低点的时间为t。重力加速度g 的表达式为___________（填选项前的字
母）。
A．4 n
2π
2(l+ d
2 )
t
2
B．4 n
2π
2(l+ d
2 )
2
t
2
C．n
2 π
2(l+ d
2 )
t
2
D．nπ(l+ d
2 )
t
(3)用多组实验数据作出T
2−L图像，也可以求出重力加速度g。已知三位同学作出的T
2−L图线的示意图
如图乙中的a、b、c 所示，其中a 和b 平行，b 和c 都过原点，图线b 对应的g 值最接近当地重力加速度
的值。则相对于图线b，下列分析正确的是___________（填选项前的字母）。
A．出现图线a 可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L
B．出现图线c 可能是误将51 次全振动记为50 次
C．图线c 对应的g 值小于图线b 对应的g 值
考点二 创新实验
知识点1 实验方法改进
知●识●解●构
一、周期测量方法创新
1.积累计数法优化：传统测量30—50 次全振动的基础上，创新采用倒计时预计数法：提前从“5、
4、3、2、1、0”倒计数，在“0”时刻按下秒表，解决了单次启动计时反应延迟的问题，大幅降低偶然
误差。
2.传感器自动计时：
利用智能手机自带的距离传感器/加速度传感器，通过专用APP（如phyphox）直接记录单摆周期，
无需人工计数；距离传感器可感知摆球经过最低点的时间，自动生成距离－时间图像，直接读取周期。
3.使用光敏电阻、光电门等传感器搭配单片机，挡光时自动触发计数，累计N 次全振动后自动停止计
时，完全消除人工计数错误。
二、摆长测量方法创新
1.等效摆长法适配特殊场景：当摆球形状不规则（如石块）无法测量球半径时，采用两次摆长法
2.激光测距自动化：采用激光测距仪直接测量悬点到摆球球心的距离
三、数据处理方法创新
1.图像法优化
2.利用Excel、Python 对多组数据做最小二乘法线性拟合，自动计算斜率，相比人工描点连线，避免
了主观绘图误差，结果更精准。
3.数字化实验系统可自动绘制图像并计算重力加速度，直接输出误差分析结果，省去人工计算环节。
四、特殊场景方法创新
1.圆锥摆修正法：如果摆动不小心形成圆锥摆，可引入等效摆长修正公式修正周期，依然可以得到准
确结果，拓展了实验的容错范围。
2.双线摆法：采用两根等长摆线固定摆球，保证单摆在竖直平面内摆动，避免圆锥摆形成，比传统单
摆更容易控制摆动平面，提升稳定性。
知识点2 实验器材改进
知●识●解●构
一、核心摆体结构创新
双线摆结构：用两根等长细线固定摆球两端，替代传统单线悬挂，让摆球始终限定在竖直平面内摆
动，完全避免圆锥摆带来的周期误差，结构简单易改造，稳定性远高于传统单线摆。
固定悬点改进：传统用手缠绕或简易悬挂容易导致摆长松动，创新采用带锁紧旋钮的悬点固定装置，
夹紧摆线后摆长不会随摆动滑动，从装置上消除摆长变动的系统误差。
可调节模块化摆杆：部分大学实验采用带刻度的金属摆杆替代细线，搭配可滑动重锤，可直接读取
摆长，省去摆线长度和球半径两次测量，简化操作。
二、长度测量工具创新
解决传统刻度尺、游标卡尺读数误差大、操作繁琐问题：
激光测距仪替代传统尺：采用激光直接测量悬点到摆球球心的距离，精度可达0.1mm，远高于刻度
尺1mm 的精度，无需接触即可完成测量，避免操作中碰动摆球改变摆长。
集成刻度摆杆：将刻度直接印在固定摆线上方的刚性杆上，摆长可直接从刻度读取，无需额外测量
摆线长度，仅需一次测量即可得到摆长，减少测量次数带来的误差。
三、计时工具数字化创新
光电门+数字计时器组合：将光电门固定在摆球平衡位置（最低点），摆球经过光电门时自动触发计
时，自动完成N 次全振动计数，计时精度可达0.001s，无需人工计数，大幅降低偶然误差；仅测量2～3
个周期就可以得到准确结果，节省实验时间。
智能手机集成测量方案：利用手机自带的传感器替代专业器材，成本极低且实现简单：
加速度传感器/陀螺仪：通过记录摆动过程的加速度变化，直接提取周期数据
距离传感器：手机放在最低点，感知摆球每次经过的时间，自动计算周期
配套实验APP（如phyphox）可直接完成数据处理，输出重力加速度结果，适合学生自主创新实验
单片机+光敏电阻自动化计时：通过Arduino 等开源单片机控制光敏电阻，摆球挡光时自动计数计时，
可自定义测量周期数，自动计算重力加速度，适合科创类创新实验设计。
考向1 创新实验
例1（2026·黑龙江、吉林·二模）某同学利用双线摆测量重力加速度的实验装置如图a 所示，两根不易形
变的、长度相同的细线一端拴在小钢球上，另一端分别固定在等高的A、B 两点，实验时轻轻拨动小钢球，
让它绕O 点摆动。
(1)小钢球摆动过程中，摆角应该小于5°的是图中的______（填α或β）
(2)用螺旋测微器测量小钢球直径d=______mm
(3)测得A 点到小钢球之间细线的长度为l1， A、B 两点间距离为l2，摆球的直径d，n 次全振动的时间为
t，则当地重力加速度为g=______（用l1、l2、d、n、t、π表示）
【变式训练1·变考法】（2026·辽宁·一模）某同学在实验室利用单摆和光电计数器测量当地的重力加速度。
实验室提供的器材有：铁架台、不可伸长的细线、金属小球（半径为r）、刻度尺、光电计数器（包含光
源A 和接收器B）、拉力传感器等。
（1）按图示安装实验装置：测得悬线长度为d，将光电计数器安装在单摆平衡位置处，光束沿水平方向
射向球心。
（2）实验步骤：
①启动光电计数器，将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度（小于5°），并
由静止释放。
②当小球第一次经过图中虚线（光束）位置O 时，由光源A 射向接收器B 的光束被挡住，计数器计数一
次，显示为“1”，同时计时器开始计时。此后，每当小球经过O点时，计数器都会计数一次。当计数器上
显示的计数次数刚好为n时，所用的时间为t。
（3）实验数据处理，本实验中，单摆的摆长L=______；单摆的周期T =______（用题目给出的物理量符
号表示）。
（4）实验结论：重力加速度g=______（用题目给出的物理量符号和常量表示）。
（5）若将光电计数器工作模式改成光电门模式，测得小球经过O 点的时间为Δt，同时开启力传感器，
显示最大拉力为F，则该装置可以测小球的质量m=______（用题目给出的物理量符号表示，其中重力加
速度可以用g 表示）。
【变式训练2·变考法】（25-26 高二下·辽宁锦州）某同学利用如图甲所示的一半径较大的固定光滑圆弧面
测定当地重力加速度，其中圆弧半径为R，小钢球直径为d。该同学将小钢球从最低点移开一小段距离由
静止释放，则小钢球的运动可等效为一单摆的简谐运动。具体步骤如下：
(1)用螺旋测微器测量小钢球的直径，示数如图乙所示，则小钢球的直径d =________mm。
(2)用秒表测量小钢球的运动周期T时，开始计时的位置为图甲中的________（选填“A”、“O”或“A
′
”）。
(3)更换不同的小钢球测出对应直径d进行实验，根据实验记录的数据，绘制如图丙所示的d
2 −T
2图像，横
纵轴截距分别为a、b。由图像可得当地的重力加速度g=________，圆弧的半径R =________。（用字母
π、a、b表示）
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2024·辽宁·高考真题）图（a）为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。某
同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T 与外径D 之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如图（b）所示，从图中读出D =
______cm。
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，
如图（c）所示。当积木左端某次与O 点等高时记为第0 次并开始计时，第20 次时停止计时，这一过程中
积木摆动了______个周期。
(3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T 与D 之间的函数关系，可用它们的自然对数
作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示：
颜色
红
橙
黄
绿
青
蓝
紫
ln D
2.9392
2.7881
2.5953
2.4849
2.197
⋯
1.792
lnT
−0.45
−0.53
−0.56
−0.65
−0.78
−0.92
−1.02
根据表中数据绘制出lnT −ln D图像如图（d）所示，则T 与D 的近似关系为______。
A．T ∝❑√D
B．T ∝D
2
C．T ∝
1
❑√D
D．T ∝1
D
2
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施：______。
2．（2026·湖南·高考真题）某同学借助视频分析软件进行“用单摆测量重力加速度”的实验，步骤如下：
（1）准备好单摆，用支架将手机竖直放置。
（2）打开手机录像，将单摆拉离平衡位置4°摆角由静止释放。
（3）将录制的视频导入软件进行分析，得到摆球的v—t 图像，拟合后如图1 所示，可知此单摆的周期T
为______s。
（4）如图2，用刻度尺测量单摆摆长，该同学将刻度尺竖直放置，刻度尺0 刻度线与单摆悬点对齐，读
出______（填“a”“b”或“c”）位置的读数，该读数即为摆长l。
（5）重力加速度g = ______（用题中给出的字母“T”和“l”表示）。
（6）该同学发现所得实验结果小于当地重力加速度，可能的原因是刻度尺0 刻度线______（填“高于”
或“低于”）悬点。
3．（2025·浙江·高考真题）在用单摆测重力加速度的实验中，
(1)如图1 所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传
感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2 所示，则单摆的周期为___________s（结果保留3
位有效数字）。乙同学利用光电门，从小钢球第1 次遮光开始计时，记下第n 次遮光的时刻t，则单摆的
周期为T =___________；
(2)丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的l−T
2
关系图线，如图3 所示。由此算出图线的斜率k 和截距b，则重力加速度g=___________，小钢球重心到
摆线下端的高度差h=___________；（结果均用k、b 表示）
(3)丁同学用3D 打印技术制作了一个圆心角等于5°、半径已知的圆弧槽，如图4 所示。他让小钢球在槽中
运动，测出其运动周期，算出重力加速度为8.64 m /s
2。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离
实际值的最主要原因是___________。
4．（2025·北京·高考真题）(1)下列实验操作，正确的是________（填选项前的字母）。
A．用单摆测重力加速度时，在最高点释放摆球并同时开始计时
B．探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系时，使用多用电表的交流电压挡测电压
C．用多用电表测电阻前应先把两表笔短接，调整欧姆调零旋钮使指针指向欧姆零点
(2)用双缝干涉实验测量光的波长的实验装置如图1 所示。
①双缝应该放置在图1 中________处（填“A”或“B”）。
②分划板中心刻线与某亮纹中心对齐时，手轮上的示数如图2 所示，读数为________mm。
(3)某电流表出现故障，其内部电路如图3 所示。用多用电表的欧姆挡检测故障，两表笔接A 、B时表头
Rg指针不偏转，接A 、C和B、C时表头Rg指针都偏转。出现故障的原因是________（填选项前的字
母）。
A．表头Rg断路
B．电阻R1断路
C．电阻R2断路
