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第28 讲 实验：用单摆测量重力加速度
目录
.....1
.....3
考点一 原型实验................................................................................................................................................................... 3
考点二 拓展实验................................................................................................................................................................... 7
. .12
基础巩固练.............................................................................................................................................................................. 12
综合提升练.............................................................................................................................................................................. 19
核心考点
1.实验原理：
单摆做简谐运动时，周期T=2π√(l/g)。通过测量摆长 l（悬点到摆球重心的距离）和振
动周期 T，即可计算出当地的重力加速度g = 4π²l/T²。
2.实验操作步骤：
做摆线 → 测摆长 → 测周期 → 改变摆长重复测量 → 数据处理。
3. 数据处理：
公式法：测量多组l 和T，分别代入公式g = 4π²l/T² 求平均值。
图像法：作出T²-l 图像（或l-T² 图像），若为一条过原点的直线，则其斜率k= 4π²/g，
可得g=4π²/k。
4.误差分析：
主要误差来源：摆长测量不准（如未加小球半径）；周期测量不准（如从摆球摆到最
高点时开始计时）；空气阻力等。
图像法优势：利用图像处理数据，可以消除因摆长测量起点不准（如悬点位置测量有
误）带来的系统误差。
考情透析
1.题型与难度：主要以实验填空题或设计题的形式出现，属于必考实验。难度基础→中
档。
2.命题规律：
高频考查：实验操作细节（如“摆线要选细长且伸缩性小的线”、“摆球要选质量大
体积小的球”、“计时从平衡位置开始”）、摆长与周期的测量、数据处理（公式法或图
像法）、误差分析与减小措施。
常规考法：直接考查教材中的基本实验方案。
创新考法：在基本方案上拓展，如利用光电门或力传感器计时，或利用小磁片和霍尔
元件测周期，或研究不同摆角下的周期变化规律。
3.考查方向：侧重周期“累积法”测量（测30-50 次全振动的时间）、摆长 l 的正确测
量（悬线长度 + 摆球半径）、图像法处理数据的优势与斜率、截距的物理意义、系统误差
（未加小球半径、默认为理想单摆）。
素养对接
1.演绎与验证思维：从单摆周期公式这一理论出发，设计实验方案去测量重力加速度，
培养理论联系实际、科学验证的核心素养。
2.等效与累积法：将难以直接测准的微小量（单摆周期）通过累积法（测多次全振动时
间取平均）放大测量，减少偶然误差，培养实验设计思维。
3.图像转化与误差分析：将周期公式转化为一次函数，利用图像斜率求g，能消除系统
误差。培养学生数形结合和从原理层面分析误差的能力。
4.理想模型：理解单摆是一种理想化模型（忽略空气阻力、摆线质量、摆角足够小），
实验操作要尽量接近理想条件，培养建模意识。
学习目标
1.知识目标：
能写出单摆周期公式，并说出公式中各物理量的含义。
能说出实验所需的器材及正确的操作步骤（特别是“从平衡位置开始计时”的原
因）。
能说出摆长的定义和周期的测量方法（“累积法”）。
能说出两种数据处理方法（公式法、图像法）及图像法克服系统误差的原理。
2.能力目标：
仪器操作能力：能正确安装单摆，熟练使用秒表（或其它计时器）和刻度尺测量摆长
和周期。
数据处理能力：能正确记录多组 l 和 T 数据，并熟练利用公式或图像计算出 g 值。
误差分析能力：能分析系统误差和偶然误差的来源（如摆长测量、周期测量），并提
出减小误差的措施。
实验迁移能力：能理解并分析基于新装置（如使用力传感器、光电门、铁架台+摆球）
的变式实验设计。
备考建议
1.抓住“周期”和“摆长”的精确测量：
周期：“累积法” 是核心。测30-50 次全振动的时间，再算一个周期，可以极大减小
偶然误差。注意：
计时从摆球经过平衡位置（速度最快、时间最准）开始，而不是从最高点开始。
数“全振动”次数的技巧：摆球每经过平衡位置一次算半次振动。
摆长：摆长 = 悬线长度 + 摆球半径。
2.必须掌握“图像法”的数据处理及其优势：
图像法优势：
消除系统误差：如果摆长测量时，摆长起点（悬点位置）没有对准刻度零，导致所有
摆长都多测或少测一个固定值 d。真实摆长 l_真 = l_测 ± d，带入公式会得到 T² = (4π²/g)
(l_测 ± d)，图像为一条不过原点的直线。但斜率 k = 4π²/g 不变，因此利用斜率 k 计算出
的 g 值不受这个测量起点误差的影响。
避免偶然误差：用直线拟合大量数据点，比单个数据点更可靠。
3.重视“实验创新”与“器材替换”：
换成小磁片+霍尔开关：用霍尔元件记录摆球每次经过最低点的信号，自动计算周期，
更精确。
换成光电门：用光电门记录遮光条（装在摆球上）通过的时间，精确测量周期。
探究周期与振幅的关系：验证在小振幅下，周期与振幅无关。
4.牢固掌握“误差分析”的分析方法。
5.强化易错点专项训练：
易错点一：混淆“摆长”与“悬线长度”。计算时必须加上摆球半径，不能直接用悬
线长度。
易错点二：计时开始位置选择错误。不应从最高点开始计时，因为最高点速度为零，
判断时刻不准；必须从平衡位置（最低点）开始计时。
易错点三：不会用“累积法”计算周期。直接测量一次全振动的时间（未使用累积
法），导致偶然误差极大。
易错点四：不理解图像法如何消除误差。问“为什么用图像法求得的g 更准确？”答：
可以消除因悬点位置或摆长起算点不准带来的系统误差。
考点一 原型实验
【必备知识回顾】
一、原理装置图
(1)测摆长l 和周期T
(2)由T=2π√(l/g)计算g = 4π²l/T²。
二、实验步骤
1.做单摆
将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁
架台上，让摆球自然下垂。
2．测摆长
用米尺量出摆线长l′(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。
3．测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30～50 次的总时间，算
出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
4．改变摆长，重复做几次实验。
三、数据处理
1.公式法：g＝，算出重力加速度g 的值，再求出g 的平均值。
2．图像法：根据测出的一系列摆长l 对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，
图像应是一条通过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k 求重力加速度。
四、误差分析
1.本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求：悬点是否固定、小球与细线是否符
合要求、是单摆运动还是圆锥摆运动等。
2．本实验的偶然误差主要来源于：
(1)振动时间t 的测量：没有从摆球通过平衡位置开始计时、多记或漏记全振动的次数、停表读数
时的误差等。
(2)长度的测量：测量摆线长、摆球的直径读数时的误差等。
五、注意事项
1.摆线要选1 m 左右、柔软不易伸长的丝线，不要过长或过短。
2．悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。
3．单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。
4．要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数。
【重难模型精讲】
【典例1】(2026·福建省·期中考试)某同学利用如图甲所示的单摆装置测量当地的重力加速度。
(1)测量中，该同学用游标卡尺测量摆球的直径如图乙所示，其读数为 cm;
(2)若在实验过程中，该同学误将摆球59次全振动的时间记为60次，则重力加速度的测量值会 。
(选填“偏大”、“偏小”或“不变”)
(3)改变摆长，测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T
2- L的关系如图丙所示，则当地的重力加速
度g= (用图丙中的字母a、b及π表示)。
【答案】1.35
偏大
4 a π
2
b
【解析】(1)游标卡尺的最小分度值为0.1mm，主尺读数13mm，游标尺读数5×0.1mm=0.5mm，
则摆球的直径为13mm+0.5mm=13.5mm=1.35cm
(2)实验中误将59次全振动记为60次，则测得的周期偏小，则得到的g值偏大；
(3)根据单摆周期公式T
2= 4 π
2
g
L，则4 π
2
g = b
a，解得g= 4 a π
2
b
【变式训练与拓展】
【变式1】(2026·安徽省合肥市·月考试卷)同学们想利用单摆测定芜湖本地的重力加速度。
(1)王华同学在实验室里将一根不可伸长的细线的上端固定在铁架台横杆上，下端系一个小钢球，做
成了单摆，如图甲所示。
①用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为 mm。
②通过实验测得重力加速度g=9.65m/ s
2，王华通过查找资料发现，芜湖的重力加速度为9.79m/ s
2，
实验值偏小，其原因可能是
A.测量摆长时，将摆线长度误认为摆长
B.摆球不在同一竖直平面内运动，而是做圆锥摆运动
C.测出n次全振动时间为t，误作为(n+1)次全振动时间进行计算
(2)李蕾同学在家里找到了细线和铁锁，也制成了一个单摆悬挂于天花板上，如图丙所示。由于家里
只有一把量程为20cm的刻度尺，不足以测量细线的长度。于是她通过调节合适的线长，让铁锁自然悬垂
时，铁锁下端到地面间的距离小于刻度尺量程，并用刻度尺测量铁锁下端到地面的高度h，让铁锁做小幅
度摆动，测得50次全振动所用时间t，改变线长，测量多组h与t的值。在坐标纸上描点连线作图，如图丁
所示。根据图像，可求得当地重力加速度g= m/ s
2。(结果保留三位有效数字，π取3.14)
【答案】21.25
A
9.86
【解析】(1)
20
①
分度游标卡尺读数为2.1cm+5×0.05mm=21.25mm;
②根据单摆周期公式T =2π √
L
g ，可得g= 4 π
2
T
2 L，将摆线长度误认为摆长，L偏小，g偏小，A可能;
摆球不在同一竖直平面内运动，成为圆锥摆运动，圆锥摆的周期：T =2π √
Lcosθ
g
，有效摆长lcosθ变
短，而测量摆长偏大，所测重力加速度偏大，B不可能；
全振动次数偏大，周期T偏小，所测重力加速度偏大，C不可能．
实验值偏小，其原因可能是A ;
(2)设悬点到地面距离为H，有T =2π √
H -h
g
，T = t
50
联立可得t
2= 10
4 π
2
g
( H -h)
根据图像可知，斜率绝对值K = 1.00×10
3
0.1
= 10
4 π
2
g
求得当地重力加速度g= π
2=9.86m/ s
2
【变式2】(2026·广东省·入学测验)单摆实验装置如图1所示。
(1)根据图2所示，已知悬点对齐零刻度，测得的摆长L= cm；
(2)小张为减小实验误差，多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用多组实验数据绘制得到如图3
的T
2- L图像，由图可知当地重力加速度g= (用图中字母表示)。
(3)小刘同学将一个摆长未知的单摆挂在测力传感器的探头上，用测力探头和计算机组成的实验装置
来测定单摆摆动过程中摆线受到的拉力(摆角小于5°)，计算机屏幕上得到如图4所示的F -t图像，由图像
可确定此单摆的周期为 s。
图4
【答案】98.50
4 π
2(L2- L1)
T 2
2-T 1
2
0.4 π
【解析】(1)摆长是绳长与小球半径之和，刻度尺的分度值为1mm，读数为98.50cm。
(2)根据单摆周期公式有T =2π √
L
g ，变形可得T
2= 4 π
2 L
g
，根据图像的斜率可知4 π
2
g = T 2
2-T 1
2
L2- L1
，解
得g= 4 π
2(L2- L1)
T 2
2-T 1
2
。
(3)每个周期内小球两次通过最低点，摆线的拉力两次最大，结合图4可知，单摆的周期为
。
考点二 拓展实验
【必备知识回顾】
实验器材及数据处理创新
(1)如图所示，应用光敏电阻及传感器测量单摆的周期，应用R－t 图像可求得单摆的周期为2t0。
(2)如图所示，利用拉力传感器记录拉力随时间变化的F－t 图像，应用F－t 图像得到单摆的振动周期
为2.0 s。
【重难模型精讲】
【典例2】(2026·内蒙古自治区·期中考试)某同学设计了一个用拉力传感器进行“测量重力加速度”并
“验证机械能守恒定律”的实验。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接小钢球，如图①所示。
(1)用游标卡尺测出小钢球直径结果如图②所示。则其直径D = mm；
(2)让小钢球以较小的角度在竖直平面内摆动，从计算机中得到拉力大小随时间变化的关系图像如图
③，则小球摆动的周期为T = s；
(3)该同学还测得该单摆的摆线长为L，则重力加速度的表达式为g= (用物理量T、L、D表示)；
(4)将摆球多次拉离竖直方向一定角度后由静止释放，测得拉力的最小值F1与最大值F2并得到F2- F1
图线，如图④，如果小球在摆动的过程中机械能守恒，则该图线斜率的绝对值等于 。
【答案】9.3
2.0
4 π
2( L+ D
2 )
T
2
/ 2π
2(2 L+ D)
T
2
2
【解析】
(1)读数为9mm+3×0.1mm=9.3mm；
(2)小球在经过最低点时绳上的拉力最大，且一个周期内经过二次最低点，所以小球做单摆运动的周
期为T =2×(1.5-0.5)s=2.0 s；
(3)由单摆周期公式可知T =2π
√
L+ D
2
g
，解得g=
4 π
2( L+ D
2 )
T
2
= 2π
2(2 L+ D)
T
2
；
(4)根据向心力方程以及机械能守恒可知
F1-mg
L+ D
2 -h
L+ D
2
=0，
F2-mg=m
v
2
L+ D
2
，
mgh= 1
2 mv
2，
联立解得F2=3mg-2 F1，
所以图像的斜率的绝对值应为2。
【变式训练与拓展】
【变式3】(2026·福建省·期中考试)某同学利用双线摆和光传感器测量当地的重力加速度，如图甲所示，
A为激光笔，B为光传感器。
实验过程如下：
(1)用20分度的游标卡尺测量小球的直径，如图乙所示，则小球的直径d = mm。
(2)①测出两悬点(两悬点位于同一水平高度)间的距离s和摆线长l(两摆线等长)。
②使悬线偏离竖直方向一个较小角度并将摆球由静止释放，同时启动光传感器，得到光照强度随时间
变化的图像如图丙所示，则双线摆摆动的周期T = 。
(3)根据上述数据可得当地重力加速度g= (用T、d、l、s表示)，若小球经过最低点时，球心位
置比激光光线高度高些，则重力加速度的测量值与真实值相比 (填“偏大”“偏小”或“相等”)。
【答案】20.80
2 Δt
4 π
2
T
2 (
√l
2- s
2
4 + d
2)
相等
【解析】(1)小球直径为d =36mm-0.95×16mm=20.80mm；
(2)因为每半个周期挡光一次，故双线摆摆动的周期T =2 Δt；
(3)根据几何关系可得摆长L=
√l
2-(
s
2)
2
+ d
2
，根据单摆周期公式T =2π √
L
g ，可得
g= 4 π
2
T
2 ⋅(
√l
2- s
2
4 + d
2)，因为不在同一高度会影响遮光时间，但不影响遮光周期，故重力加速度的测量
值等于真实值。
【变式4】(2026·广东省·期末考试)某学习小组利用多种方法测量重力加速度．
(1)甲同学利用打点计时器、重锤等器材测量重力加速度.实验获得的纸带如图甲所示，已知每相邻两
计数点间还有四个点未画出，电源频率为50 Hz，则该地的重力加速度为 m/ s
2(结果保留3位有效数
字)．
(2)乙同学利用双线摆测重力加速度，如图乙，双线摆上端系在间距为D、等高的两螺钉上，长均为L
的两细绳下端悬挂磁性小铁球，手机置于磁性小铁球正下方．
①用螺旋测微器测量磁性小铁球的直径，其读数如图丙所示，直径d = mm;
②开启手机磁力计，使双线摆前后摆动起来(最大摆角不超过5
∘)，测得磁感应强度随时间的变化如图
丁所示，发现磁性小铁球摆动过程中，磁感应强度的最小值在逐渐增大，其原因是： ;该同学测出图
中第1至第11个峰值之间的时间间隔为t，则当地重力加速度的大小g= (用d、D、L、t表示)．
【答案】9.78
10.753/10.750∼10.754
由于阻力作用，小球能摆到的最高点越来越靠近手机
100 π
2
t
2
(
√L
2- D
2
4 + d
2 )/ 50 π
2
t
2
(
√4 L
2- D
2+d)/ 100 π
2
t
2
( √L
2-( D
2 )
2+ d
2 )
【解析】(1)由逐差法得：g= (44.01+34.23-24.45-14.67)×10
-2
4×0.1
2
m/ s
2=9.78m/ s
2
(2)d =10.5mm+25.3×0.01mm=10.753mm；
由于阻力作用，小球能摆到的最高点越来越靠近手机，磁感应强度的最小值在逐渐增大；
单摆周期为T，第1至第11个峰值之间的时间间隔为t，则5T =t，即T = t
5，
摆长l =
√
L
2-(
D
2 )
2
+ d
2
，
根据T =2π √
l
g ，
解得g= 100 π
2
t
2
(
√L
2- D
2
4 + d
2 )
【变式5】(2026·四川省·联考题)某同学利用在半径R =1.00m的光滑圆弧球面上做简谐运动的匀质小
球来测定当地的重力加速度，实验装置如图甲所示，已知π
2=9.86。
(1)该同学首先利用螺旋测微器测量小球的直径，示数如图乙所示，则小球的直径d = mm。
(2)该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A点由静止释放后，压力传感器的示数变化
如图丙所示，则小球摆动的周期T = s。
(3)当地重力加速度g的表达式为g= (用π、d、T、R表示)，代入已知数据得g= m/ s
2(结
果保留两位小数)。
【答案】8.020
2.0
2π
2(2 R -d)
T
2
9.82
【解析】(1)小球的直径d =8mm+0.01×2.0mm=8.020mm；
(2)小球在O点时压力最大，每个周期经历2次压力最大，则由图丙可得周期T =2.0 s；
(3)根据单摆周期公式有T =2π √
l
g =2π
√
R - d
2
g
，解得g= 2π
2(2 R -d )
T
2
≈9.82m/ s
2。
基础巩固练
1.(2026·广东省·期末考试)某同学利用单摆测量重力加速度。
①为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是 。
A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球
B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线
C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动
D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大
②如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1m的单摆。实验时，由于仅有量程为20cm、精
度为1mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做
一标记点，测出单摆的周期T 1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用
同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T 2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点
之间的距离△L。用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g= 。
【答案】BC
4 π
2 ΔL
T 1
2-T 2
2
【解析】①A、为减小空气阻力对实验的影响，减小实验误差，组装单摆须选用密度大、直径小的摆
球，故A 错误；
B、为减小实验误差，组装单摆须选用轻且不易伸长的细线，故B 正确；
C、实验时须使摆球在同一竖直面内摆动，不能使单摆成为圆锥摆，故C 正确；
D、单摆摆角最大摆角应小于5°，摆长一定的情况下，摆的振幅尽量小些，故D 错误。
故选BC。
②由单摆周期公式，根据题意得：T 1=2π √
L
g
，T 2=2π √
L- ΔL
g
，解得g= 4 π
2 ΔL
T 1
2-T 2
2 。
2.(2026·北京市·月考试卷)用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示。
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用 (选填选项前的字母)。
A.长度为1m左右的细线 B.长度为30cm左右的细线
C.直径为1.8cm的塑料球 D .直径为1.8cm的铁球
(2)如图，为某同学用10等分游标卡尺测量小球直径，则直径d = mm，用秒表记录小球摆动时间，
则时间t = s
(3)实验中测出单摆的摆线长为L、摆球直径为d、单摆完成n次全振动所用的时间为t，则重力加速度
g= (用L、d、n、t表示)。
(4)该同学测得的g值偏大，可能的原因是 (多选)
A.测摆线长时摆线拉得过紧
B.摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动使摆线长度增加了
C.开始计时的时候，秒表过迟按下
D.实验中误将49次全振动数为50次
E.摆球的质量偏大
F.单摆振动的振幅偏小
(5)为了提高实验的准确度，小红在实验中改变几次摆长L并测出相应的周期T，从而得出几组对应的
L和T的数值，以L为横坐标、T
2为纵坐标作出T
2- L图线，通过图像求得重力加速度g。但不小心他每次
都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的T
2- L图像是图中的 (选填“①”“②”或“③”)。
请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将 (选填“偏大”“偏小”或
“相同”)。
(6)小明同学实验时将人工记录振动次数改为自动记录，如图A所示的装置，摆球在垂直纸面的平面
内摆动，在摆动最低点的左、右两侧分别放置光敏电阻(接自动记录仪相连)和激光光源，记录仪显示的光
敏电阻阻值R随时间t变化的关系如图B所示，则该单摆的振动周期为 。若保持悬点到小球顶点的线
长不变，改用直径小些的球进行实验，则该单摆的周期将 (选填“变大”、“不变”或“变小”)。
【答案】AD
18.5
99.8
4 n
2π
2(L+ d
2)
t
2
ACD
①
相同
2t0
变小
【解析】(1)实验时为了减小小球直径对实验结果的影响，在选取细线的长度时，应该选择细线的长
度远远大于小球的直径，同时，为了减小实验过程中球受到空气阻力对实验结果的影响，需要尽量选择小
球体积小但是质量相对大，故选AD;
(2)由游标卡尺的读数方法可得d =18mm+0.1×5mm=18.5mm，用秒表记录小球摆动时间，则时间
t =90 s+9.8 s=99.8 s;
(3)单摆周期T =2π √
l
g ，小球的周期等于单摆完成一次全振动所用的时间，即T = t
n，
摆长等于摆线长再加上小球的半径，即l = L+ d
2 ，联立解得g=
4 n
2π
2(L+ d
2)
t
2
；
(4) A .由单摆的周期公式T =2π √
l
g ，可得g= 4 π
2l
T
2 ，测摆线长时摆线拉得过紧，测量的摆长偏大，
则重力加速度偏大，A 正确；
B.振动中出现松动使摆线长度增加了，测量的摆长偏小，则重力加速度偏小，B 错误；
C.开始计时的时候，秒表过迟按下，测量的周期偏小，则重力加速度偏大，C 正确；
D.实验中误将49次全振动数为50次，测量的周期偏小，则重力加速度偏大，D 正确；
EF .重力加速度值与摆球的质量、单摆振动的振幅无关，EF 错误。
故选ACD。
(5)由单摆的周期公式T =2π √
l
g 可得T
2= 4 π
2l
g
，
把小球直径当作半径来计算摆长，则有T
2=
4 π
2( L- d
2 )
g
= 4 π
2
g L- 2π
2d
g
，可见由此得到的 T
2 - L图
像是图中的①。
通过 T
2 - L图像求得当重力加速度，则有k = 4 π
2
g ，解得g= 4 π
2
k
，重力加速度值与摆长无关，可见该
同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将相同。
(6)单摆在一个周期内经过平衡位置两次，由图知两次时间间隔为 2t0 ，故该单摆的振动周期为 2t0 ，
单摆周期T =2π √
L
g ，改用直径小些的球进行实验，则摆长减小，该单摆的周期将变小。
3.(2026·广东省揭阳市·入学测验)(1)某同学设计利用如图甲所示装置验证单摆的周期公式，传感器固
定在悬点O正下方，该传感器可记录光的强弱随时间的变化情况。当小球摆到最低点遮挡光线时，传感器
采集的光线最弱，计算机采集数据后得到光的强弱与时间图像如图乙所示。
①第1次光最弱到第N次光最弱的时间为t，则该单摆的周期可表示为T 1= 。(用N、t表示)
②该同学用游标卡尺测小球直径D如图丙所示，则D = mm，用米尺测量出摆线长为L，重力加
速度为g，用D、L、g表示单摆周期公式为T 2= 。在误差允许范围内若T 1=T 2，即可验证单摆周期
公式正确。
(2)某次实验用打点计时器打下如图丁所示的纸带，图中O、A、B、C、D、E、F为相邻的计数点，
相邻两计数点间还有4个点未画出，已知打点计时器所接交流电的频率为50 Hz，则纸带运动的加速度大小
为 m/ s
2。(结果保留3位有效数字)
【答案】2t
N -1
10.60
2π
√
L+ D
2
g
2.00
【解析】(1)①摆球在一个周期内有2次经过最低点，摆球经过最低点时接收到的光最弱，所以该单摆
的周期可表示为T 1=
t
N -1
2
= 2t
N -1；
②游标卡尺是20分度的，则小球的直径D =10mm+12×0.05mm=10.60mm，单摆的摆长为
l = L+ D
2 ，则单摆的周期公式为T 2=2π
√
L+ D
2
g
。
(2)两个相邻计数点之间的时间间隔为t =5 1
f =5× 1
50 s=0.1s，纸带的加速度大小为
a= xCF - xOC
(3t )
2
= 41.96-11.98-11.98
(3×0.1)
2
×0.01m/ s
2=2.00m/ s
2。
4.(2026·重庆市市辖区·期末考试)某同学在家中测量当地重力加速度。实验过程如下：
(1)用细棉线穿过手机壳上的挂孔，把手机悬挂于固定点，制成一个单摆。悬挂时使手机摄像头位于
上方，如图所示；
(2)打开手机中的物理实验软件，使手机在竖直平面内小角度摆动(摆角小于5°)，记录摆动周期T；
(3)用卷尺测量出悬线的长度l和手机的长度d；
(4)假设手机的重心位于其几何中心，则重力加速度的测量值可表示为g= (用T、l、d表示)；
(5)该同学分析发现，手机的质量分布不均匀，重心实际偏向摄像头一侧，则以上重力加速度的测量
值 (填“大于”或“小于”)真实值；
(6)不改变现有器材，为消除上述系统误差，请写出一条改进实验的措施： 。
【答案】4 π
2
T
2 (l+ d
2 )
大于
改变悬线长度，重复几次实验，利用T
2-l图像的斜率求重力加速度
【解析】(4)单摆的摆长是悬点到摆球重心的距离，所以摆长L=l+ d
2 ，由单摆周期公式T =2π √
L
g ，
可得g= 4 π
2
T
2 (l+ d
2 )；
(5)因手机质量分布不均匀，重心偏向摄像头一侧，实际重心位置比假设的几何中心更靠近悬点，故
实际摆长小于测量摆长L=l+ d
2 ，而周期T是准确测量的，因此重力加速度的测量值大于真实值。
(6)设手机实际重心与手机壳挂孔距离为x，T
2-l图像的函数为T
2= 4 π
2
g l+ 4 π
2
g
x，x未知，也可以由
图像的斜率求出重力加速度，不需要考虑手机重心的实际位置，故改变悬线长度，重复几次实验，利用
T
2-l图像的斜率求重力加速度。
5.(2026·河南省·单元测试)某探究性实验小组用如图1所示的实验装置来测量重力加速度。他们将两个
完全相同的圆柱形小磁铁叠放在一起并用细线悬挂起来构成一个能在竖直平面内摆动的单摆。在细线的悬
挂点正下方放有一根与小磁铁摆动平面垂直的粗直导体棒，导体棒通过导线与电流传感器一起构成一个闭
合回路。当小磁铁摆动时，在回路中就会产生感应电流，电流传感器可以通过计算机记录相应的电流随时
间变化的图像，如图2所示。
(1)小李同学用20分度的游标卡尺测量一个圆柱形小磁铁的厚度，读数如图3所示，则其厚度d =
cm，小张同学用卷尺测得细线悬挂点到与小磁铁的连接点之间的长度为l =99.67cm。
(2)图2中图线上(下)方标出的数据分别表示的是感应电流取极值时对应的时刻，由图可知，小磁铁摆
动的周期为T = s(结果保留两位小数)，进一步计算重力加速度g的表达式为 (用题目所给的符号
表示)
【答案】0.330
2.01
4 π
2(l+d)
T
2
【解析】
(1)小磁铁的厚度d =3mm+6×0.05mm=0.330cm
(2)感应电流连续两个最大值(或最小值)对应的时间差等于小磁铁摆动的周期
T = (2.29-0.29)+(4.30-2.29)+(3.30-1.29)+(5.30-3.30)
4
s≈ 2.01s
根据T =2π √
l+d
g
得g= 4 π
2(l+d)
T
2
。
综合提升练
1．（2024·广西·高考真题）单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中_____不
变；
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为_____cm；
(3)若将一个周期为T 的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐
运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x 与时间t 的关系为
_____。
【答案】(1)摆长
(2)1.06
(3)x = gT
2
144 π cos(
2π
T t)
【详解】（1）选择图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变；
（2）摆球直径为d =1.0cm +6×0.1mm =1.06cm
（3）根据单摆的周期公式T =2π ❑√
L
g
可得单摆的摆长为L= gT
2
4 π
2
从平衡位置拉开5°的角度处释放，角度很小，有sinθ≈θ，则可得振幅为A = Lsin5°≈5°
180° πL= πL
36
以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x 与时间t 的关系为
x = A cosωt = gT
2
144 π cos(
2π
T t)
2．（2025·海南·高考真题）小组用单摆测量重力加速度，装置如图。
(1)游标卡尺测得摆球直径d =20 mm，刻度尺测得摆线长l =79cm，则摆长L=_____cm（保留四位有效
数字）；
(2)使摆线与竖直方向夹角为θ（θ<5°），无初速度释放摆球，摆球位于_____选填：“最高点”或
“最低点”）开始计时，记录摆球做30次全振动t =54.00 s，则单摆周期T =_____s，由此测得当地重力加
速度g=_____m/s
2（取π
2≈10，保留三位有效数字）。
【答案】(1)80.00
(2) 最低点 1.80 9.88
【详解】（1）单摆的摆长为L=l+ d
2 =80.00cm
（2）[1]为减小实验计时误差，需摆球经过最低点时开始计时；
[2]单摆周期T = t
n = 54
30 s=1.80s
[3]根据单摆周期公式T =2π ❑√
L
g
可得g= 4 π
2 L
T
2
代入数值得g=9.88 m/s
2
3．（2023·重庆·高考真题）某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻
质摆线、刻度尺、50 分度的游标卡尺、摄像装置等。
（1）用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡
尺示数如图甲所示，则摆球的直径d 为________mm。
（2）用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1mm 时，记录并分析单摆的振动视频，
得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g 为_____m/s2（保留3 位有效数字）。
（3）改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l 和
l+ d
2 作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg 随摆线长度l 的变化曲线如图所示。
由图可知，该实验中，随着摆线长度l 的增加，Δg 的变化特点是____________，原因是____________。
【答案】 19.20 9.86 随着摆线长度l 的增加，Δg 逐渐减小 随着摆线长度l 的增加，
则l+ d
2 越接近于l，此时计算得到的g 的差值越小
【详解】（1）[1]用游标卡尺测量摆球直径d=19mm+0.02mm×10=19.20mm
（2）[2]单摆的摆长为
L=990.1mm+1
2×19.20mm=999.7mm
根据
T =2π ❑√
L
g
可得
g= 4 π
2 L
T
2
带入数据
g= 4×3.14
2×0.9997
2
2
m/s
2=9.86 m/s
2
（3）[3][4]由图可知，随着摆线长度l 的增加，Δg 逐渐减小，原因是随着摆线长度l 的增加，则l+ d
2
越接近于l，此时计算得到的g 的差值越小。
4．（2023·河北·高考真题）某实验小组利用图装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点，下端悬挂
一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。
（1）关于本实验，下列说法正确的是_______________。（多选）
A．小钢球摆动平面应与光电门U形平面垂直 B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度
C．小钢球可以换成较轻的橡胶球 D．应无初速度、小摆角释放小钢球
（2）组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度L，用螺旋测微器测量小钢球直径d。螺旋测微器示数
如图，小钢球直径
_______________mm，记摆长l = L+ d
2 。
（3）多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周期T，并作出l -T
2图像，如
图。
根据图线斜率可计算重力加速度g=_______________m/ s
2（保留3 位有效数字，π
2取9.87）。
（4）若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将_______________
（填“偏大”“偏小”或“不变”）。
【答案】 ABD 20.035/20.036/20.034 9.87 不变
【详解】（1）[1]A．使用光电门测量时，光电门U形平面与被测物体的运动方向垂直是光电门使用的
基本要求，故A 正确；
B．测量摆线长度时，要保证绳子处于伸直状态，故B 正确；
C．单摆是一个理想化模型，若采用质量较轻的橡胶球，空气阻力对摆球运动的影响较大，故C 错误；
D．无初速度、小摆角释放的目的是保持摆球在竖直平面内运动，不形成圆锥摆，且单摆只有在摆角
很小的情况下才可视为简谐运动，使用T =2π ❑√
l
g 计算单摆的周期，故D 正确。
故选ABD。
（2）[2]小钢球直径为
d =20 mm +3.5×0.01mm =20.035 mm
（3）[3]单摆周期公式
T =2π ❑√
l
g
整理得
l = g
4 π
2 T
2
由图像知图线的斜率
k = g
4 π
2 = 1.10-0.60
4.40-2.40 m/ s
2= 1
4 m/ s
2
解得
g=9.87m/ s
2
（4）[4]若将摆线长度L误认为摆长l，有
T =2π
❑
√
L+ d
2
g
则得到的图线为
L= gT
2
4 π
2 - d
2
仍用上述图像法处理数据，图线斜率不变，仍为g
4 π
2，故得到的重力加速度值不变。
5．（2024·湖北·高考真题）某同学设计了一个测量重力加速度大小g 的实验方案，所用器材有：2g 砝
码若干、托盘1 个、轻质弹簧1 根、米尺1 把、光电门1 个、数字计时器1 台等。
具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图
（a）所示。
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30 次全振动所用时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T =2π ❑√
M
k ，其中k 为弹簧的劲度系
数，M 为振子的质量。
(1)由步骤④，可知振动周期T =_____。
(2)设弹簧的原长为
，则l 与g、
、T 的关系式为l =_____。
(3)由实验数据作出的l -T
2图线如图（b）所示，可得g=_____
（保留三位有效数字，π
2取
9.87）。
(4)本实验的误差来源包括_____（双选，填标号）。
A．空气阻力
B．弹簧质量不为零
C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
【答案】(1) t
30
(2)l0+ gT
2
4 π
2
(3)9.59
(4)AB
【详解】（1）30 次全振动所用时间t，则振动周期
T = t
30
（2）弹簧振子的振动周期
T =2π ❑√
M
k
可得振子的质量
M = k T
2
4 π
2
振子平衡时，根据平衡条件
Mg=kΔl
可得
Δl = gT
2
4 π
2
则l 与g、l0、T 的关系式为
l =l0+ Δl =l0+ gT
2
4 π
2
（3）根据l =l0+ gT
2
4 π
2整理可得
l =l0+ g
4 π
2 ⋅T
2
则l -T
2图像斜率
k = g
4 π
2 = 0.542-0.474
0.58-0.3
解得
g≈9.59 m/s
2
（4）A．空气阻力的存在会影响弹簧振子的振动周期，是实验的误差来源之一，故A 正确；
B．根据弹簧振子周期公式可知，振子的质量影响振子的周期，通过光电门测量出的周期T为振子考
虑弹簧质量的真实周期，而根据（3）问求出的l -T
2的关系是不考虑弹簧质量的关系式子，二者的中的T
是不相等的，所以弹簧质量不为零是误差来源之一，故B 正确；
C．利用光电门与数字计时器的组合测量周期的原理：根据简谐运动的规律可知，只要从开始计时起，
振子的速度第二次与开始计时的速度相等即为一个周期，与是否在平衡位置无关，故C 错误。
故选AB。
6．（2025·浙江·高考真题）在用单摆测重力加速度的实验中，
(1)如图1 所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力
传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2 所示，则单摆的周期为___________s（结果保留
3 位有效数字）。乙同学利用光电门，从小钢球第1 次遮光开始计时，记下第n 次遮光的时刻t，则单摆的
周期为T =___________；
(2)丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的
l -T
2关系图线，如图3 所示。由此算出图线的斜率k 和截距b，则重力加速度g=___________，小钢球重
心到摆线下端的高度差h=___________；（结果均用k、b 表示）
(3)丁同学用3D 打印技术制作了一个圆心角等于5°、半径已知的圆弧槽，如图4 所示。他让小钢球在
槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为
。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏
离实际值的最主要原因是___________。
【答案】(1) 1.31 2t
n-1
(2) 4 π
2k kb
(3)见解析
【详解】（1）[1]单摆摆动过程中，在最低点绳子的拉力最大，相邻两次拉力最大的时间间隔为半个
周期。从图2 可知，从起始值到终止值经历的时间间隔Δt =7.6530 s-1.1277 s=6.5253 s
则有Δt =10⋅T
2
解得T =1.31s
[2]由题可得(n-1) T
2 =t
解得周期为T = 2t
n-1
（2）[1][2]设小钢球重心到摆线下端的高度差为h，则摆长为L=h+l
根据单摆周期公式有T =2π ❑√
L
g
可得T =2π ❑√
h+l
g
变形得l = g
4 π
2 T
2-h
可得l -T
2图像的斜率为k = g
4 π
2
解得g= 4 π
2k
[2]当T
2=b时l =0，则有0= g
4 π
2 ×b-h
解得小钢球重心到摆线下端的高度差h=kb
（3）存在空气阻力，且小球不是纯平动而有滚动，导致实际测出的周期大于理想情况下的周
期，导致g 的测量值小于真实值。
