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模型36 类单摆问题
学校：_________班级：___________姓名：_____________
1.对l、g 的理解
1)公式中l 是摆长，即悬点到摆球球心的距离。
①普通单摆，摆长
，l′为摆线长，D 为摆球直径。
②等效摆长：(a)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin
α，其周期
。(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面
内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
2)等效重力加速度
①公式中g 是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
②等效重力加速度：一般情况下，公式中g 的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球
质量的比值。
如图中等效重力为
，其周期
2.几种类单摆模型
01 模型概述
1
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1）一切在竖直放置的光滑圆弧形内轨道上的小幅度振动(运动范围远小于圆弧半径)都可以等效成单摆
模型，其等效摆长
l 即为圆弧半径R，质点的振动周期为
2) 非惯性参考系中的单摆
周期公式
适合于惯性系中单摆在竖直平面内做小幅振动的情况，如果单摆处于做匀变速运
动的非惯性参考系中，仍可类比竖直平面内的单摆，通过求解平衡位置（相对参考系静止的位置）时细线
拉力的平衡力而得到等效重力加速度。
①参考系具有竖直方向的加速度时
如：在一升降机中有一摆长为L 的单摆，当升降机以加速度a 竖直向上匀加速运动时，如图所示,平衡
位置仍在悬点正下方,根据牛顿第二定律易知摆球静止在平衡位置时，摆线拉力FT的平衡力F=mg+ma，等
效重力加速度
，故其振动周期
2
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同理知，当升降机以加速度a 减速上升时单摆振动周期
。
②参考系具有水平方向加速度时
如：在沿水平路面向左匀加速行驶的车厢内有一单摆，当它做小幅振动时，平衡位置（相对车厢静止
的位置）不在悬点正下方，根据受力分析知摆球静止在平衡位置时，摆线拉力的平衡力
，F 产生的等效重力加速度
，故此单摆的振动周期
。
3）复合场中的单摆
①在重力场和电场中的单摆
如：单摆处于竖直向下的科强电场中，摆球的平衡位置在悬点的正下方，带正电的摆球静止在平衡位
置时，摆线拉力FT 的平衡力
，所以等效重力加速度
，振动周期
3
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。
如图所示，单摆处于水平向右的匀强电场中，摆球平衡位置与悬点的连线偏离竖直方向θ 角（
），当摆球在平衡位置处于静止时，摆线拉力FT的平衡力：
，
所以等效重力加速度
，故其振动周期：
。
如：库伦力始终沿着摆线方向，产生的等效重力加速度仍为g ，故周期仍为
。
②在磁场与重力场中的单摆
如：匀强磁场与单摆摆动平面垂直，摆球的平衡位置仍在悬点正下方，当摆球在平衡位置静止时，摆
线拉力与重力平衡，F=mg,摆动时受到洛伦兹力始终与速度方向垂直沿着摆线，产生的等效重力加速度仍
为g ，故周期仍为
。
4
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1.等效摆长问题
【典型题1】（2024·广东·模拟预测）如图，用两根完全相同、不可伸长的轻绳将小沙包（大小可忽略）对
称地吊在空中，轻推小沙包，测得其在垂直纸面平面内做简谐运动的周期为
（已知在一根竖直绳悬挂
下做简谐运动的小物体的周期为
，l 为绳长，g 为重力加速度），已知每根轻绳的长度为L，
小沙包的质量为m，则小沙包静止时，每根绳子张力为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】依题意，小沙包做简谐运动，设等效摆长为l，则有
对小沙包受力分析，如图
02 典题攻破
5
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根据平衡条件可得
联立解得
故选A。
2.等效重力加速度问题
【典型题2】（2024·湖南长沙·一模）如图所示，小球悬挂在箱子顶端的拉力传感器上，球心到悬挂点的距
离为L，当箱子沿竖直方向做变速运动时，传感器的示数会变大或者变小，当箱子的加速度向上为a 时，
可认为重力加速度由g 变为
，当箱子的加速度向下为a 时，可认为重力加速度由g 变为
，小球好像处在一个重力加速度为
的环境里，可把这个
称为等效重力加速度。下列说法
正确的是（ ）
A．当箱子向上做减速运动时，等效重力加速度
大于重力加速度g
B．当箱子向上的加速度等于3g 时，且小球做单摆运动（最大摆角小于5°），则小球的运动周期为
C．当箱子向上的加速度等于3g 时，同时小球在箱子中做单摆运动（最大摆角小于5°），则运动过程
6
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小球的机械能守恒
D．拉力传感器的示数F 与小球的重力
的合力与小球的质量m 之比等于等效重力加速度
【答案】B
【详解】A．当小球向上做减速运动时，加速度向下，等效重力加速度
小于重力加速度g，故A 错误；
B．当小球向上的加速度等于3g 时，由
可得
单摆的周期公式
故B 正确；
C．由于小球一直向上加速，则机械能一直在增加，故C 错误；
D．由牛顿第二定律可知
或
即
或
则拉力传感器的示数F 与小球的质量m 之比等于等效重力加速度，故D 错误。
故选B。
【典型题3】（2023·北京·模拟预测）在光滑水平面上的O 点系一长为L 的绝缘细线，线的另一端系一质
量为m、带电量为q 的小球。当沿细线方向加上场强为E 的匀强电场后，小球处于平衡状态，如图所示。
现给小球一垂直于细线的初速度
，使小球在水平面上开始运动。若
很小，则小球第一次回到平衡位
置所需时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】若
很小，则小球摆动的幅度很小，即摆角很小，则小球的运动是简谐运动，小球处于平衡状
7
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态时，绳的弹力
则等效重力加速度为
小球简谐运动的周期
小球第一次回到平衡位置所需时间
解得
故选A。
3.类单摆问题
【典型题4】（2024·浙江湖州·二模）如图甲，小球在光滑球面上的A、B 之间来回运动。t=0 时刻将小球
从A 点由静止释放，球面对小球的支持力大小F 随时间t 变化的曲线如图乙，若弧长AB 远小于半径，
则（ ）
A．小球运动的周期为0.2πs
B．光滑球面的半径为0.1m
C．小球的质量为0.05kg
D．小球的最大速度约为0.10m/s
【答案】C
【详解】A．小球在一个周期内经过两次最低点，根据图乙可知，小球的运动周期为
，故A 错误；
B．小球在光滑球面上做简谐振动，根据周期公式
式中的
即为光滑球面的半径
，代数数据可得
故B 错误；
8
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CD．设小球在光滑球面上最高点时与其做圆周运动的圆心连线与竖直方向的夹角为
，小球到达最低
点时的速度的最大值为，则在最高点有
在最低点有
从最高点到最低点由动能定理有
其中
，
联立以上各式解得
，
故C 正确，D 错误。
故选C。
1．（2024·江苏南通·模拟预测）如图所示，小球在半径为R 的光滑圆弧轨道上A、B 间来回运动，轨道弧
长远小于R，则（ ）
A．弧长AB 变小，周期不变
B．弧长AB 变小，周期变大
C．小球质量变小，周期变小
D．小球质量变小，周期变大
【答案】A
【详解】因为弧长远小于半径R，小球都做单摆运动，根据单摆的周期公式
03 针对训练
9
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可知小球的周期与弧长大小和小球质量无关。
故选A。
2．（2021·浙江宁波·模拟预测）如图所示为相同的小球（可看作质点）构成的单摆，所有的绳子长度都相
同，在不同的条件下的周期分别
，关于周期大小关系的判断，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设单摆摆长均为L，根据单摆的周期公式可得
则
故选C。
3．（2023·江苏·模拟预测）一单摆在竖直平面内做小角度摆动。摆球从左侧最高点A 运动到最低点C 时，
摆线被悬点O（未画出）正下方的钉子P 挡住，之后球运动到右侧最高点B，该过程中的频闪照片如图
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所示，已知闪光的时间间隔相等，PC=l。则O、P 两点间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设相邻两次闪光的时间间隔为，则摆球在左侧的摆动周期为
摆球在右侧的摆动周期为
可得
根据单摆周期公式
可解得
则O、P 两点间的距离为
故选B。
4．（2024·江苏南京·二模）如图所示，一带正电的小球用绝缘细绳悬于O 点，将小球拉开较小角度后静止
释放，其运动可视为简谐运动，下列操作能使周期变小的是（ ）
A．增大摆长
B．初始拉开的角度更小一点
C．在悬点O 处放置一个带正电的点电荷
D．在此空间加一竖直向下的匀强电场
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【答案】D
【详解】单摆周期公式为
A．增大摆长，周期变大，A 错误；
B．初始拉开的角度更小一点，不影响周期，B 错误；
C．在悬点O 处放置一个带正电的点电荷，则库仑力始终沿绳的方向，不影响回复力，则单摆周期不变，
C 错误；
D．在此空间加一竖直向下的匀强电场，小球所受电场力与重力同向，即等效重力加速度增大，周期变
小，D 正确。
故选D。
5．（2024·全国·模拟预测）如图所示，有直角三角形光滑轨道框架
，其中AB 竖直。
，光
滑圆弧轨道CB 为
的外接圆上的一部分。小球1、2 分别沿轨道AB、AC 从A 点由静止开始运动，
到B、C 点对应的时间分别为、
，小球3 沿轨道CB 从C 点由静止开始运动，到B 点的时间为；小
球4 在圆弧轨道CB 上某一点（对应的圆心角很小）由静止开始运动，到B 点的时间为
。则下列时间
的关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设AB 为2R，小球1 做自由落体运动，则有
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解得
设
，根据几何关系可知AC 为2R
，根据牛顿第二定律可知
则有
解得
同理可知小球3 的位移为
，加速度为
则有
解得
小球4 的运动可看作是摆长为R 的单摆运动，则时间为
综上分析可知
=
故选C。
6．（2024·湖北·二模）如图所示，水平面上固定一半圆形凹槽，凹槽的质量为
，半圆弧的圆心为
点，
最低点为
点，半径为
。现将一质量为
的光滑小球从圆弧上的
点释放，已知
与
的夹角为
，重力加速度为
，小球大小可以忽略不计。从
点运动到
点的过程中，小球对凹槽的弹
力的冲量大小为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【详解】
与
的夹角为
，可知小球做单摆运动，从
点运动到
点的过程中，小球运动
时间为
从
点运动到
点的过程中，根据动能定理
从
点运动到
点的过程中，小球对凹槽的弹力的冲量大小为
重力的冲量大小为
联立解得
故选A。
7．（2024·江苏苏州·三模）如图所示，单摆在光滑斜面上做简谐运动，若要使其做简谐运动的周期变大，
可以（ ）
A．使斜面倾角变大
B．使单摆摆长变长
C．使摆球质量变大
D．使单摆振幅变大
【答案】B
【详解】在斜面上单摆的等效重力加速度为
单摆在光滑斜面上做简谐运动的周期
若要使其做简谐运动的周期变大，可以让摆长变大或斜面倾角变小都可以。
14
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故选B。
8．（2024·河北张家口·三模）“杆线摆”结构如图所示，轻杆一端通过活动绞链与立柱
垂直连接，另
一端安装质量为m 的摆球，细线一端拉住摆球，另一端系在立柱上的A 点，给摆球一垂直于纸面的较
小速度，使轻杆垂直于立柱
来回摆动，摆动角度小于5°，摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平
面内。已知立柱
与竖直方向的夹角及细线与轻杆的夹角均为
，重力加速度为g。下列说法正
确的是（ ）
A．摆球在摆动过程中细线上的拉力大小为
B．摆球静止在平衡位置时轻杆对摆球作用力大小为
C．摆球向平衡位置运动过程中轻杆对球作用力增大
D．若增大细线长度使A 点上移则摆球运动周期增大
【答案】A
【详解】ABC．摆球在平衡位置静止时，对球受力分析，如图所示
由平衡条件得杆对球为支持力，大小为
，细线上的拉力大小
小球摆动过程中，运动轨迹被约束在一个倾角为30°的平面内，垂直该平面小球一直处于平衡状态，故
细线拉力大小不变，向平衡位置摆动过程中沿杆方向向心力大小不断增大，杆上支持力逐渐减小，故A
正确，BC 错误；
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D．增大细线长度使A 点上移，摆球运动平面不变，等效为一个在斜面上的单摆，周期为
摆长为杆的长度不变，摆球运动周期不变，故D 错误。
故选A。
9．（2024·贵州黔西·一模）（多选）如图所示，一小球（质量为m、电荷量为q）用长为L 的绝缘轻质细
线悬挂于天花板上做单摆运动，此单摆可以视为简谐运动，O 点为最低点，周期为T。现给空间加上竖
直方向的匀强电场，此时单摆的最大摆角不变，周期为2T。已知重力加速度为g，不计空气阻力，下列
说法正确的是（ ）
A．电场方向竖直向下
B．电场强度大小为
C．单摆做简谐运动的周期与振幅无关
D．单摆做简谐运动的周期与振幅有关
【答案】BC
【详解】AB．未加电场前，单摆的周期为
加电场后，单摆的周期为
则加电场后，等效重力加速度为
根据牛顿第二定律
解得电场强度大小为
电场方向竖直向上，故A 错误，B 正确；
CD．根据单摆周期公式，单摆做简谐运动的周期与振幅无关，故C 正确，D 错误。
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故选BC。
10．（2024·江西·一模）（多选）如图所示为某演示机械能守恒的实验示意图。细绳的一端固定于O 点，
另一端系一个小球，摆长为l。在O 点的正下方钉一个钉子A，已知
，摆球质量为m，小球从一
定高度位置P 摆下，摆角θ 小于5°，向右摆到最高点Q，摆角
也小于5°，不计阻力，重力加速度为
g。下列说法正确的是（ ）
A．摆球受到绳子最大拉力为
B．摆球到达最低点时，绳子拉力的功率为
C．摆球摆动的周期为
D．摆球从P 到M 和从Q 到M 过程中重力做功的平均功率相等
【答案】AC
【详解】A．摆球摆到M 点以A 为圆心做圆周运动时，绳子拉力最大，根据牛顿第二定律
摆球从P 到M，根据动能定理有
解得
故A 正确；
B．摆球到达最低点时，由于拉力与速度垂直，因而绳子拉力功率为零，故B 错误；
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C．摆球摆动周期为
故C 正确；
D．根据能量守恒，摆球从P 到M 和Q 到M 过程中重力做功相等，由于
但时间不同，因而做功的平均功率不同，故D 错误。
故选AC。
11．（2024·云南曲靖·一模）（多选）惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期
与重力加速度的二次方根成
反比”。为了通过实验验证这一结论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境。如图1
所示，在水平地面上固定一倾角
可调的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的
点，使摆线平行于斜面。
拉开摆球至A 点，静止释放后，摆球在
之间做简谐运动，摆角为
。摆球自然悬垂时，通过力传
感器（图中未画出）测得摆线的拉力为
，摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关
系如图2 所示，其中
、
、
均已知。当地的重力加速度为
。下列选项正确的是（ ）
A．多次改变图1 中
角的大小，即可获得不同的等效重力加速度
B．单摆次全振动的时间为
C．多次改变摆角
，只要得出
就可以验证该结论成立
18
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D．在图2 的测量过程中，满足
的关系
【答案】AD
【详解】A．对小球进行受力分析可知，小球的 垂直于斜面的分力始终与斜面的支持力平衡，令等效
重力加速度为g0，则有
解得
可知，多次改变图1 中
角的大小，即可获得不同的等效重力加速度，故A 正确；
B．单摆在运动过程中，A、C 两位置摆线的拉力最小，根据图2 可知，相邻两个摆线拉力最小的位置
的时间间隔为半个周期，可知，单摆次全振动的时间为
故B 错误；
C．根据单摆周期公式有
可知，多次改变斜面倾角
，只要得出
就可以验证该结论成立，故C 错误；
D．摆球自然悬垂时，通过力传感器（图中未画出）测得摆线的拉力为
，根据平衡条件有
在图2 的测量过程中，摆球在A 位置有
摆球在B 位置有
摆球从A 位置运动到B 位置过程有
解得
故D 正确。
故选AD。
12．（2024·重庆·一模）如图，光滑圆槽的半径L 远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三小球（均可视为
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质点）同时由静止释放，开始时乙球的位置B 低于甲球位置A，甲球与圆心连线和竖直方向夹角为θ，
丙球释放位置C 为圆槽的圆心，Q 为圆槽最低点；重力加速度为g。若甲、乙、丙三球不相碰，求：
（1）求甲球运动到O 点速度大小；
（2）通过计算分析，甲乙丙三球谁先第一次到达O 点；
（3）若单独释放甲球从释放到第15 次经过O 点所经历的时间。
【答案】（1）
；（2）丙球最先到达；（3）
【详解】（1）设甲球质量为m 根据题意可知甲球静止释放，运动到O 点过程，由动能定理
解得甲球运动到O 点速度大小为
（2）对于丙球，根据自由落体运动规律有
解得
对于甲乙两球可看成类似单摆的简谐运动，其运动周期为
甲乙两球第一次到达点O 时运动
周期，则
丙球最先到达，甲乙同时到达。
（3）根据题意可知甲球做简谐运动，运动一个周期经过两次O 点，第15 次经过O 点所经历的时间为
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已知周期
联立解得
13．（2024·江苏·模拟预测）如图所示，光滑绝缘水平面上，长度为l 的绝缘细线一端系着带电荷量为+q
（q＞0），另一端固定在O'点，空间中存在水平向右的匀强电场，现保持细线伸直，将小球拉开一个
很小的角度（小于5°），小球运动到O 点时的速度大小为v。已知小球的质量为m，重力加速度大小为
g，则小球由释放到第一次运动到O 点的过程中，求：
（1）电场力对小球做的功；
（2）电场力对小球的冲量的大小。
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）根据动能定理进行解答；
（2）根据单摆周期公式求解振动周期，求出小球由释放到第一次运动到O 点的过程中经过的时间，由
此得到电场力对小球的冲量的大小。
【详解】（1）根据动能定理可得
（2）将小球拉开一个很小的角度（小于5°）后由静止释放，小球的运动可以看作是简谐运动。等效重
力加速度大小为
振动周期为
小球由释放到第一次运动到O 点的过程中经过的时间为
电场力对小球的冲量的大小I 冲＝qEt
联立解得
21
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