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[-考点-03-] 单摆及其周期公式
[典例1]
答案 C
解析 根据单摆的周期公式T＝2π 知，周期与摆球的质量和摆角无关，摆长增加为原来的2
倍，周期变为原来的倍，故A、B、D 错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加
速度，由周期公式T＝2π 知将此摆从地球移到月球上，单摆的周期将变长，C 正确.
[典例2]
答案 C
解析 根据单摆周期公式知，未加钉子时，周期T1＝T＝2π，碰到钉子后，T′＝2π＝π，所
以加了钉子后单摆的周期为T2＝T＋T′＝π，所以周期变为原来的，A、B、D 错误，C 正
确．
[典例3]
答案 AD
解析 当小球在纸面内做小角度的摆动时，摆动圆弧的圆心为O 点，摆长为L，故周期为
T＝2π，故A 正确，C 错误；当小球在垂直纸面方向做小角度的摆动时，圆心在A、B 所在
水平面上且在O 点正上方，由几何关系知摆长为L′＝(1＋)L，故周期为T＝2π＝π，故B
错误，D 正确．
[典例4]
答案 A
解析 回复力由重力沿斜面向下的分力的切向分量提供，重力沿斜面向下的分力为mgsin
α，沿斜面向下的分力的切向分量为mgsin αsin θ，故A 正确，B 错误；该模型类似于单摆
模型，等效重力加速度为gsin α，故周期为T＝2π，故C 错误；摆球在运动过程中，经过
平衡位置时，摆线的拉力和重力沿斜面向下的分力的合力提供向心力，故FT－mgsin α＝
m，故FT＞mgsin α，故D 错误．
[典例5]
答案 D
解析 处于竖直向下的匀强电场中的摆球，受到竖直向下的合力F 合＝mg＋qE，摆球在摆
动的过程中沿圆弧切线方向的分力F 切＝(mg＋qE)sin θ＞mgsin θ(θ 为摆角)，由于切线方向
的分力增大，则等效重力加速度增大，所以单摆的周期减小，即T′＜T＝2π，故D 正确，
A、B、C 错误．
[典例6]
答案 A
解析 球A 做自由落体运动，到达C 点的时间为tA＝＝ .
当弧BC 所对的圆心角小于5°时，球B 在圆弧的支持力FN和重力G 的作用下做简谐运动
(与单摆类似)，它的振动周期为T＝2π＝2π，
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因此球B 运动到C 点所需的时间是
tB＝＝，
故tA<tB，显然球A 先到达C 点．故选A.
1.答案 B
解析 根据单摆的周期公式T＝2π，振动变快了，则周期变短了，说明乙地的重力加速度
大于甲地的重力加速度，即g 乙>g 甲，为了增大周期，可以增大摆长，B 正确．
2.答案 B
解析 由单摆的周期公式T＝2π 可知，当摆长l 不变时，周期不变，故C、D 错误；由能量
守恒定律可知mv2＝mgh，其摆动的高度与质量无关，因摆球经过平衡位置时的速度减小，
则最大高度减小，知振幅减小，选项B 正确，A 错误.
3.答案 B
解析 因为AP 弧长为s，且s≪R，所以小球的运动等效为单摆运动，根据单摆的周期公式
可得T＝2π，由题意可知，摆长l＝R－r，小球从A 运动到P 所用的时间为四分之一个周期，
即有t＝，故B 正确．
4.答案 BCD
解析 根据题图可知，单摆振动的周期关系T 甲＝T 乙，所以周期之比为＝，所以频率之比
＝，故B、C 正确；若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则重力加速度相同，根据周期公式T
＝2π，可得摆长之比为4∶9，故A 错误；若甲、乙两单摆在不同地点摆动，摆长相同，根
据T＝2π 得：重力加速度之比为9∶4，故D 正确．
5.答案 见解析
解析 (1)摆球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律并结合图像可知，周期T＝0.4π
s≈1.256 s.
由单摆的周期公式T＝2π 知，摆长l＝＝ m＝0.4 m.
(2)在最低点B 时，摆球的速度最大，此时细线对摆球的拉力最大．根据牛顿第二定律得
Fmax－mg＝m，解得最大速度v＝0.2 m/s.
6.答案 BD
解析 假设摆动过程中，细线与竖直方向夹角为θ，重力沿细线方向分力为mgcos θ，垂直
于细线方向分力为mgsin θ.摆球在A 点和C 点时，速度为零，沿细线方向的合力为零，有
F＝mgcos θ，F 回＝mgsin θ，即细线的拉力与重力沿细线方向分力等大且不为零，回复力
与重力沿切向方向的分力等大，也不为零，故A 错误；摆球由A 点向B 点摆动过程中，速
度变大，根据F－mgcos θ＝m，F 回＝mgsin θ，可得细线拉力增大，回复力减小，故B 正
确；摆球在摆动过程机械能守恒，从最高点摆到B 点过程中，重力做正功，其重力势能一
直在减小，动能一直在增加，所以摆球在B 点时，重力势能最小，动能最大，故C 错误；
摆球在B 点时对其受力分析，可得F－mg＝m，可知此时细线拉力最大，合力不为零，故
D 正确．
7.答案 D
解析 若m1＝m2，则两球碰撞后交换速度，所以A、B 在摆动过程中最大振幅相等，两球
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的振动完全一样，所以每经过2π 时间A 回到最高点，A、B 错误；摆长为L 的周期为T＝
2π，摆长为0.81L 的周期为T′＝1.8π，若m1>m2，则碰后A 球向右运动，摆长变为0.81L，
B 球摆回最低点后向左运动时，摆长为0.81L，所以两摆的周期均为T″＝T＋T′＝1.9π，
即第一次在最低点碰撞后，经过一个周期发生第二次碰撞，位置仍然在最低点，C 错误；
若m1<m2，则A 与B 碰后，A 反弹，两球的摆长一样，周期一样，所以各经过半个周期后，
在最低点发生第二次碰撞，D 正确．
8.答案 (1)π∶4 (2)(n＝1，2，3，…)
解析 (1)甲球沿圆弧做简谐运动，它第一次到达O 点的时间为t1＝T＝×2π＝.
乙球做自由落体运动，到达O 点的时间为t2
R＝gt2
2，所以t2＝，t1∶t2＝π∶4.
(2)小球甲从A 点由静止释放运动到O 点的时间为t＝(2n－1)，n＝1，2，3，…，由O 点正
上方自由落下的小球丙到达O 点的时间也为t 时两球才能在O 点相碰，所以h＝gt2＝(n＝
1，2，3，…).
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