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第14 讲 功能关系 能量守恒定律
1.知道功是能量转化的量度，掌握重力的功、弹力的功、合力的功与对应的能量转化关系.
2.知道自然界中的能量转化，理解能量守恒定律，并能用来分析有关问题．
考点一 功能关系的应用力学中几种常见的功能关系
考点二 摩擦力做功的特点及应用
1．静摩擦力做功的特点
(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．
(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能．
2．滑动摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：
①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．
(3)摩擦生热的计算：Q＝Ffx 相对．其中x 相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移．
深化拓展 从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量；从能量的角度看
其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量．
考点三 能量守恒定律及应用
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转
移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式
ΔE 减＝Δ E 增．
3．基本思路
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加且减少量和增加量一定相等．
考点四 传送带模型中的动力学和能量转化问题
1．传送带模型是高中物理中比较成熟的模型，典型的有水平和倾斜两种情况．一般设问的角度有
两个：
(1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第
二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系．
(2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而
使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解．
2．传送带模型问题中的功能关系分析
(1)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q.
(2)对W 和Q 的理解：
①传送带做的功：W＝Fx 传；
②产生的内能Q＝Ffx 相对．
传送带模型问题的分析流程
一 水平传动带模型上物体的常见运动
二 倾斜传送带模型上物体的常见运动
项目
情景1：轻放
情景2：同向
情景3：反向
图示
滑块可
能
的
运
动
情
况
(1) 可能滑块一直加
速；
(2)可能滑块先加速后
匀
速；
(1)v0<v 时，可能一直加
速，也可能先加速再
匀速；
(2)v0>v 时，可能一直减
速，也可能先减速再
匀速．
(1)传送带较短时，滑块一直减速
达到左端．
(2)传送带较长时，滑块还要被传
送带传回右端．其中v0>v 和
v0<v 两种情况下滑块回到右端
时有何不同？
项目
情景1：上传
情景2：下载
情景2：反向
图示
滑块
可能
的运
动情
况
(1)可能一直加速；
(2)可能先加速后匀速；
(3)还有其他结论吗？
(1)可能一直加速；
(2)可能先加速后匀速；
(3)可能先以a1 加速后以a2 加
速．
(1)可能一直加速；
(2)可能一直匀速；
(3)可能先减速后反向加速
三 倾斜传送带——上传模型
四 倾斜传送带——下载模型
受力分析
运动分析（先加后共）
难点问题
μ>tanθ
①滑动摩擦力f=μmgcosθ
②加速度a=g(μcosθ-sinθ)
③上传条件：μ>tanθ
④共速摩擦力突变为静
摩擦力f'=mgsinθ
受力分析
运动分析（一直加速）
难点问题
μ<tanθ
⑤μ<tanθ ，物体向下加
速
⑥加速度a=g(μcosθ-sinθ)
⑦物体向下位移为L
⑧物体运动时间、末速
度与传送带快慢无关
f=μmgcosθ
f 突变为静
f'=mgsinθ
v
v
L
θ
t
O
v
共速
痕迹
a
v
传送带
物体
t1
t2
a
f=μmgcosθ
v
v'
L
θ
t
O
v
a
v
传送带
物体
t1
L
[例题1] 如图所示，在水平如镜的湖面上方，一颗钢珠从离水面不高处由静止落入水中，
会溅起几滴小水珠。下列说法正确的是（ ）
A．部分小水珠溅起的高度可以超过钢珠下落时的高度
B．小水珠在空中上升过程处于超重状态
C．所有溅起的小水珠运动到各自最高点时速度一定为零
D．所有溅起的小水珠机械能总和等于钢珠静止下落时的机械能
[例题2] 轻弹簧上端连接在箱子顶部中点，下端固定一小球，整个装置静止在水平地面上
受力分析
运动分析
难点问题
μ≥tanθ
①滑动摩擦力f=μmgcosθ
②加速度a=g(μcosθ+sinθ)
③共速后，若μ≥tanθ
一起匀速，摩擦力突变为
静摩擦力f'=mgsinθ
μ<tanθ
④共速后，若μ<tanθ
继续加速，滑动摩擦力方
向突变、大小不变，加速
度a'=g(sinθ-μcosθ)
⑤痕迹问题：共速前，x
传>x 物，痕迹Δx1=x 传-x
物，共速后，x 物>x 传，痕
迹Δx2=x 物-x 传，总痕迹取
二者中大的那一段
f=μmgcosθ
f 突变为静
f'=mgsinθ
v
v
L
θ(
t
O
v
共速
痕迹
a
v
传送带
物体
t1
t2
f=μmgcosθ
f 方向突变
f'=μmgcosθ
v
v
L
θ(
t
O
v
共速
痕迹1
a
v
传送带
物体
t1
t2
物体
2
a'
方。现将箱子和小球由静止释放，箱子竖直下落h后落地，箱子落地后瞬间速度减为零且不会
反弹。此后小球运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零。整个过程小球未碰到箱底，
弹簧劲度系数为k，箱子和小球的质量均为m，重力加速度为g。忽略空气阻力，弹簧的形变
始终在弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
A．箱子下落过程中，箱子机械能守恒
B．箱子落地后，弹簧弹力的最大值为3mg
C．箱子落地后，小球运动的最大速度为3 g ❑√
m
k
D．箱子与地面碰撞损失的机械能为2mgh- 2m
2 g
2
k
[例题3] 如图为位于新疆哈密的熔盐塔式光热发电站，电站中有约14000 块五边形定日镜
随太阳转动，每块约50 平方米，定日镜将吸收的阳光反射到中心位置的吸热塔上。太阳落山
后，熔盐继续放热保证24 小时不间断发电。已知地球的半径R=6400km，地球到太阳的距离r
=1.5×1011m，太阳能照射到地球上时，有约30％在穿过大气层的过程中被云层或较大的粒子等
反射，有约20％被大气层吸收，现测得在地球表面垂直太阳光方向每平方米面积上接收到太
阳能的平均功率为P=6.8×102W。哈密全年日照时数约3400 小时，该电站已实现年供电
2.0×108kW·h，可供24 万人一整年的生活用电。已知我国燃煤电厂平均每发一度电，消耗的煤
炭约为300 克。则（ ）
A．该电站每年可节约煤炭约6000 万吨
B．该电站光能转化为电能的效率约为12%
C．太阳辐射能量的总功率约为7.0×1017W
D．太阳辐射能量中只有二十二亿分之一到达地球大气层上表面
[例题4] 嘉兴海盐大风车地区有一风力发电机，它的叶片转动可形成500m2的圆面，某段
时间内风速为12m/s，风向恰好跟圆面垂直，已知空气的密度为1.3kg/m3，假使这个风力发电
机能将30%的风能转化为电能，则风力发电机的发电功率约为（ ）
A．1.4×105W
B．1.7×105W
C．3.4×105W
D．5.6×105W
[例题5] (24-25 高三上·浙江金华金丽衢十二校·)某地区常年有风，风速基本保持在5m/s，
该地区有一风力发电机，其叶片转动可形成半径为10m 的圆面，若保持风垂直吹向叶片，空
气密度为1.3kg/m
3，风的动能转化为电能的效率为20％。现用这台风力发电机给一小区供电，
则下列说法正确的是（ ）
A．该风力发电机的发电功率约为25.5kw
B．风力发电机一天的发电量2.2×10
9J
C．假设一户家庭在晚上同时开着两盏40W 的灯，为保证供电正常，则该风力发电机同时能给
约64 户家庭供电
D．若风速变为2.5m/s，则该风力发电机的发电功率变为原来的一半
Ek = 1
2 m v
2= 1
2 ρV 0 v
2该风力发电机的发电功率
n= P
P0
= 5100
2×40 ≈64则该风力发电机同时能给约64 户家庭供电,故C 正确；
[例题6] 如图是由某种高硬度的金属丝制作的解压玩具的主要组成部分，其中AB是半径
为0.2m的光滑半圆，BC是与水平面成37
°角的粗糙斜线，AB与BC平滑相接，且C点刚好与
圆心O等高。C点固定着弹簧的一端（不计弹簧长度），弹簧被压缩并处于锁定状态，锁定装
置受到轻微碰撞后会解除锁定。游戏时，把一个质量为0.2kg的小圆环轻放在A端，圆环受到
轻微扰动开始沿AEB滑下，并滑上BC撞击弹簧，再被弹簧弹回。重力加速度g取10 m /s
2，
sin37
°=0.6。
(1)若小圆环刚好能解除弹簧的锁定，斜线BC与圆环间的动摩擦因数是多少；
(2)若在（1）的条件下，圆环被弹簧弹回后，刚好能回到A点，弹簧被锁定时的弹性势能是多少；
(3)若在（2）的条件下，圆环运动到E点时对半圆AB恰好无压力，且EO与竖直方向AB的夹角是α，
求α的余弦值。
[例题7] 为了进一步解决水资源短缺和人工成本增加等问题，越来越多的绿化工程采用自
动灌溉系统。如图所示，地下的水泵将水从水管（管壁厚度不计）底部O点推向上方，水沿着
水管上升H =1.25 m后从水平水管喷出，已知水管横截面积S0= 4 cm
2，水的密度ρ=1×
10
3kg/ m
3，水管上端水平部分长L=0.3 m，通过拍摄照片发现水落地时的速度方向与水平地
面的夹角θ = 45
∘，忽略摩擦和空气阻力，取重力加速度大小g=10 m /s
2。
(1)求水管中水流的速度大小；
(2)求水泵对水做功的功率；
(3)为了能向各个方向喷水，现在让竖直水管沿竖直轴线匀速旋转，角速度ω=14 rad/s，求水落
地点围成的区域的面积。（结果保留两位有效数字）
[例题8] 图甲是风力发电机的发电原理简化图，水平风力推动叶片转轴a 低速旋转，通过
齿轮升速箱使转轴b 高速旋转，驱动发电机的线圈同步转动，实现将机械能转化为电能的过程。
某型号的风力发电机叶片旋转半径为40m，调整其叶尖速比（叶片尖端线速度与自然风速的比
值），可以优化发电效率。
(1)已知自然风速为20m/s，叶尖速比为4 时，转轴b 的转速为50
π r/s，求齿轮升速箱使转轴b 的转
速提高到a 的多少倍；
(2)线圈发电功率与自然风速的关系如图乙，自然风可认为垂直叶片组所在平面吹入，叶片旋转一圈
所扫过的面积为风吹入的有效面积，已知空气密度为1.3kg/ m
3，取1.3π= 4。当风速为10m/s 时，
求：
1min
①
内通过有效面积的风的总动能；
②该风力发电机的发电效率。
题型1 功能关系及能量守恒定律的应用
1.
一辆小车以一定的初速度冲上高度为h、长度为L 的斜坡，已知小车的质量为m，小
车受到沿斜面向下的阻力为f，则对小车由坡底冲到坡顶的运动过程分析正确的是（ ）
A．此过程中小车的动能减少了(mgh+fL)
B．此过程中小车的势能增加了(mgh－fL)
C．此过程中自然界中的能量减少了fL 了
D．此过程中小车的机械能减少fL
2.
物体在万有引力场中具有的势能叫做引力势能。取两物体相距无穷远时的引力势能为
零，一个质量为m0的质点距离质量为M0的引力源中心为r0时，其引力势能Ep=-G M 0m0
r0
（式中G 为引力常数）。现有一颗质量为m 的人造地球卫星以圆形轨道环绕地球飞行，由于
受高空稀薄空气的阻力作用，卫星的圆轨道半径从r1缓慢减小到r2，已知地球的质量为M，引
力常数为G，则此过程中（ ）
A．卫星的引力势能减小GMm(
1
r1
- 1
r2)
B．卫星克服阻力做的功为GMm
2 (
1
r2
- 1
r1)
C．外力对卫星做的总功为GMm(
1
r2
- 1
r1)
D．卫星的势能减少量小于动能增加量
3.
如图所示，固定斜面倾角为30
°，质量为2kg 的小物块自斜面底端以一定初速度沿斜
面向上运动，加速度大小为10m/s
2，物块沿斜面向上运动的最大距离为0.8m。斜面足够长，g
取10m/s
2，物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。关于小物块在斜面上的运动，下列说
法中正确的是（ ）
A．物块最终会回到斜面底端
B．物块克服重力做功的平均功率为20W
C．合力对物块做功-16J
D．物块机械能损失了16J
题型2 摩擦力做功与能量转化
4.
如图甲所示，倾角为θ 的斜面足够长，质量为m 的物块受沿斜面向上的拉力F 作用，
静止在斜面中点O 处，现改变拉力F 的大小（方向始终沿斜面向上），物块由静止开始沿斜
面向下运动，运动过程中物块的机械能E 随离开O 点的位移x 变化关系如图乙所示，其中O～
x1过程的图线为曲线x1～x2过程的图线为直线，物块与斜面间动摩擦因数为μ。物块从开始运
动到位移为x2的过程中（ ）
A．O～x1过程物块的加速度在不断变大
B．物块减少的机械能等于物块克服合力做的功
C．物块减少的机械能等于物块克服摩擦力做的功
D．物块减少的机械能小于减少的重力势能
5.
如图甲，有一固定在水平地面上倾角为37°、足够长的斜面，质量m=1kg 的物块，受
到一个沿斜面方向的外力F 作用，从斜面底端以初速度v0=3m/s 沿斜面向上运动，已知物块与
斜面间的动摩擦因数μ=0.4。利用DIS 实验系统进行测量，得到物块向上运动过程中，一段时
间内的v-t 图像（如图乙所示）（g 取10m/s 2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）。
(1)求物块向上运动过程中加速度的大小；
(2)求物块所受的外力F；
(3)对于物块由斜面底端运动到最高点的过程，通过计算说明物块损失的机械能ΔE、物块克服外力
F 做的功WF和物块克服摩擦力做的功W f 三者之间的关系。
6.
如图甲所示，物体以一定的初速度从倾角为α ＝37°的斜面底端沿斜面向上运动，上
升的最大高度为3.0 m。选择地面为参考平面，上升过程中物体的机械能E 机随高度h 的变化如
图乙所示。g 取10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80。则（ ）
A．物体的质量m＝1.0 kg
B．物体与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.80
C．物体上升过程中的加速度大小a＝10 m/s2
D．物体回到斜面底端时的动能Ek＝10 J
题型3 传送带类的功能转化
7.
如图甲所示，一木板静置于足够大的水平地面上，木板右端放置一质量为0.5kg 的物
块（可视为质点），t =0时对木板施加一水平向右的恒定拉力F，t =2s时撤去F，物块在木板
上先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，且恰好不能从木板左端掉落，整个过程中木板
运动的v -t图像如图乙所示。已知各接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度
大小g=10 m /s
2，下列说法正确的是（ ）
A．木板的长度为3m
B．木板的质量为0.2kg
C．物块与木板间因摩擦产生的热量为0.75J
D．木板与地面间因摩擦产生的热量为2.55J
8.
如图，一质量为m=1kg的长木板放置在光滑水平面上，木板的正中间放置一质量为
M =3kg的滑块，滑块与木板间的动摩擦因数为μ=0.5。一条弹性绳一端系于天花板上的O 点，
另一端系于滑块中心，弹性绳的弹力与其伸长量满足胡克定律F =kx，劲度系数为
k =100 N / m，弹性绳所具有的弹性势能Ep= 1
2 k x
2。在O 点正下方A 点固定一光滑的圆环，
弹性绳从环中穿过，已知O、A 之间距离与弹性绳原长相等，当滑块在O、A 的正下方的B 点
时，弹性绳的伸长量为h=0.1m。某时刻突然在B 处给予两者一共同向右的速度v，在此后的
运动过程中，滑块都不会从木板上滑下。
(1)v 为何值时，滑块到达某处时将与木板出现相对滑动，并求此位置与B 的距离。
(2)若v =2❑√3 m /s，在刚好出现相对滑动时，使木板的速度瞬间变为0 且固定不动，求此后滑块向
右运动距B 点的最大距离。
(3)（2）问条件下滑块在木板上滑动因摩擦而产生的热量。
9.
如图所示，固定在水平面上的光滑斜面，倾角θ =30°，底端固定弹性挡板，长木板B
放在斜面上，小物块A 放在B 的上端沿斜面向上敲击B，使B 立即获得初速度v0=3.0 m /s，
此后B 和挡板发生碰撞，碰撞前后速度大小不变，方向相反，A 始终不脱离B 且与挡板不发生
碰撞。已知A、B 的质量均为m=1.0kg，A、B 间的动摩擦因数μ=
❑√3
2
，最大静摩擦力等于滑
动摩擦力，取重力加速度g=10 m /s
2。求：
(1)敲击B 后的瞬间，A、B 的加速度大小aA、aB；
(2)B 上升的最大距离s；
(3)B 的最小长度L。
题型4 板块类的功能转化
10. 如图甲所示，一木板静置于足够大的水平地面上，木板右端放置一质量为0.5kg 的物
块（可视为质点），t =0时对木板施加一水平向右的恒定拉力F，t =2s时撤去F，物块在木板
上先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，且恰好不能从木板左端掉落，整个过程中木板
运动的v -t图像如图乙所示。已知各接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度
大小g=10 m /s
2，下列说法正确的是（ ）
A．木板的长度为3m
B．木板的质量为0.2kg
C．物块与木板间因摩擦产生的热量为0.75J
D．木板与地面间因摩擦产生的热量为2.55J
11. 如图，一质量为m=1kg的长木板放置在光滑水平面上，木板的正中间放置一质量为
M =3kg的滑块，滑块与木板间的动摩擦因数为μ=0.5。一条弹性绳一端系于天花板上的O 点，
另一端系于滑块中心，弹性绳的弹力与其伸长量满足胡克定律F =kx，劲度系数为
k =100 N / m，弹性绳所具有的弹性势能Ep= 1
2 k x
2。在O 点正下方A 点固定一光滑的圆环，
弹性绳从环中穿过，已知O、A 之间距离与弹性绳原长相等，当滑块在O、A 的正下方的B 点
时，弹性绳的伸长量为h=0.1m。某时刻突然在B 处给予两者一共同向右的速度v，在此后的
运动过程中，滑块都不会从木板上滑下。
(1)v 为何值时，滑块到达某处时将与木板出现相对滑动，并求此位置与B 的距离。
(2)若v =2❑√3 m /s，在刚好出现相对滑动时，使木板的速度瞬间变为0 且固定不动，求此后滑块向
右运动距B 点的最大距离。
(3)（2）问条件下滑块在木板上滑动因摩擦而产生的热量。
12. 如图所示，固定在水平面上的光滑斜面，倾角θ =30°，底端固定弹性挡板，长木板B
放在斜面上，小物块A 放在B 的上端沿斜面向上敲击B，使B 立即获得初速度v0=3.0 m /s，
此后B 和挡板发生碰撞，碰撞前后速度大小不变，方向相反，A 始终不脱离B 且与挡板不发生
碰撞。已知A、B 的质量均为m=1.0kg，A、B 间的动摩擦因数μ=
❑√3
2
，最大静摩擦力等于滑
动摩擦力，取重力加速度g=10 m /s
2。求：
(1)敲击B 后的瞬间，A、B 的加速度大小aA、aB；
(2)B 上升的最大距离s；
(3)B 的最小长度L。
题型5 常见功能关系图像分析
13. 竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC（图甲），B 点为AC 轨道的中点，小球以
一定的初速度从最低点A 冲上轨道，小球在半圆形轨道上从A 运动到C 的过程中，其速度的平
方与对应高度的关系图象如图乙。已知小球在最高点C 受到轨道的弹力为11 N，不计空气阻
力，g=10m/ s
2，则（ ）
A．图乙中x =16
B．小球质量为0.5kg
C．小球在B 点所受合力等于26 N
D．小球在B 点所受合力大于26 N
14. 如图所示，A 为一足够长的固定斜面，物块B 由静止释放后能沿斜面匀加速下滑，现
使物块B 在t=0 时由静止释放，并同时受到一随时间变化规律为F=kt 的垂直于斜面的作用力，
x、v、f 和E 分别表示物块位移、速度、所受的摩擦力和机械能，下列图像中可能正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
15. 如图甲所示，传送带与水平方向的夹角θ =37°，以某一速度逆时针匀速运行，将一
质量为1kg 的物块无初速度地放在传送带上端A 处，物块在从A 到B 运动过程中，其机械能E
随下降的高度h变化的关系图像如图乙所示（取地面为重力势能的零势能面），物块与传送带
之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m /s
2，sin37° =0.6，下列说法正确
的是（ ）
A．物块受到的传送带的摩擦力一直做正功
B．物块与传送带间的动摩擦因数为0.5
C．物块从上端A 处开始运动1.5s 时的速度大小为15 m /s
D．物块从A 端运动到B端需要的时间是2s
