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专题12 功能关系能量守恒
[题型导航]
题型一 功能关系的理解....................................................................................................................... 1
题型二 摩擦力做功与能量转化...........................................................................................................3
题型三 能量守恒定律的理解和应用...................................................................................................4
题型四 传送带模型中的动力学和能量转化问题...............................................................................6
[考点分析]
题型一 功能关系的理解
几种常见的功能关系及其表达式
力做功
能的变化
定量关系
合力的功
动能变化
W＝Ek2－Ek1＝ΔEk
重力的功
重力势能变化
(1)重力做正功，重力势能减少
(2)重力做负功，重力势能增加
(3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
弹簧弹力的功
弹性势能变化
(1)弹力做正功，弹性势能减少
(2)弹力做负功，弹性势能增加
(3)WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、弹簧弹
力做功
机械能不变化
机械能守恒ΔE＝0
除重力和弹簧弹力
之外的其他力做的
功
机械能变化
(1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少
(2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少
(3 )W 其他＝ΔE
一对相互作用的滑
动摩擦力的总功
机械能减少
内能增加
(1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系
统内能增加
1
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(2)摩擦生热Q＝Ff·x 相对
[例题1]
（多选）如图，在升降机内固定一光滑的斜面体，一轻弹簧的一端连在位于斜面
体上方的固定木板B 上，另一端与质量为m 的物块A 相连，弹簧与斜面平行。整个系统由静
止开始加速上升高度h 的过程中（ ）
A．物块A 与斜面始终相对静止
B．物块A 的重力势能增加量小于mgh
C．物块A 的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和
D．物块A 的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和
[例题2]
如图所示，物体A 的质量为m，置于水平地面上，A 的上端连一轻弹簧，原长为
L，劲度系数为k，现将弹簧上端B 缓慢地竖直向上提起，使B 点上移距离为L，此时物体A
也已经离开地面，则下列论述中正确的是（ ）
A．提弹簧的力对系统做功为mgL
B．物体A 的重力势能增加mgL
C．系统增加的机械能小于mgL
D．以上说法都不正确
[例题3]
（多选）如图，一固定斜面倾角为30°，一质量为m 的小物块自斜面底端以一定
的初速度，沿斜面向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小g．若物块上升的
最大高度为H，则此过程中，物块（ ）
2
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A．动能损失了2mgH
B．重力做功mgH
C．摩擦力做功mgH
D．机械能损失了mgH
题型二 摩擦力做功与能量转化
1．静摩擦力做功的特点
(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．
(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能．
2．滑动摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：
①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．
(3)摩擦生热的计算：Q＝Ffx 相对．其中x 相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移．
深化拓展 从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量；从能量的角度看
其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量．
[例题4]
如图所示，足够长的传送带以恒定速率顺时针运行。将一个物体轻轻放在传送带
底端，第一阶段物体被加速到与传送带具有相同的速度，第二阶段与传送带相对静止，匀速运
动到达传送带顶端。下列说法中正确的是（ ）
A．第一阶段物体受到滑动摩擦力作用，第二阶段物体不受摩擦力作用
B．第一阶段摩擦力对物体做正功，第二阶段摩擦力对物体不做功
C．第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加
D．物体从底端到顶端全过程机械能的增加等于全过程摩擦力对物体做的功
[例题5]
如图所示，在匀速转动的电动机带动下，足够长的水平传送带以恒定速率V1匀
速向右运动。一质量为m 的滑块从传送带右端以水平向左的速率V2（V2＞V1）滑上传送带，
最终滑块又返回至传送带的右端。就上述过程，下列判断正确的有（ ）
3
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A．此过程中滑块与传送带间摩擦产生的热量为1
2 m(v1+ v2)
2
B．此过程中传送带对滑块做功为1
2 m v2
2- 1
2 m v1
2
C．滑块返回传送带右端时的速率为V2
D．此过程中电动机做功为2m v1
2
[例题6]
如图所示，在光滑水平地面上放置质量M＝2kg 的长木板，木板上表面与固定的
竖直弧形轨道相切．一质量m＝1kg 的小滑块自A 点沿弧面由静止滑下，A 点距离长木板上表
面高度h＝0.6m．滑块在木板上滑行t＝1s 后，和木板以共同速度v＝1m/s 匀速运动，取g＝
10m/s2．求：
（1）滑块与木板间的摩擦力．
（2）滑块沿弧面下滑过程中克服摩擦力做的功．
（3）滑块相对木板滑行的距离及在木板上产生的热量．
题型三 能量守恒定律的理解和应用
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转
移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式
ΔE 减＝Δ E 增．
3．基本思路
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加且减少量和增加量一定相等．
4
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[例题7]
如图所示，长木板A 放在光滑的水平地面上，物体B 以水平速度冲上A 后，由
于摩擦力作用，最后停止在木板A 上，则从B 冲到木板A 上到相对板A 静止的过程中，下述
说法中正确的是（ ）
A．物体B 动能的减少量等于系统损失的机械能
B．物体B 克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量
C．物体B 损失的机械能等于木板A 获得的动能与系统损失的机械能之和
D．摩擦力对物体B 做的功和对木板A 做的功的总和等于零
[例题8]
如图所示，一物体质量m＝2kg，在倾角为θ＝37°的斜面上的A 点以初速度v0＝
3m/s 下滑，A 点距弹簧上端B 的距离AB＝4m。当物体到达B 后将弹簧压缩到C 点，最大压缩
量BC＝0.2m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D 点，D 点距A 点AD＝3m。挡
板及弹簧质量不计，g 取10m/s2，sin37°＝0.6，求：
（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ。
（2）弹簧的最大弹性势能Epm。
[例题9]
如图1 所示为某种弹射小球的游戏装置，水平面上固定一轻质弹簧及长度可调节
的竖直管AB．细管下端接有一小段长度不计的圆滑弯管，上端B 与四分之一圆弧弯管BC 相
接，每次弹射前，推动小球将弹簧压缩到同一位置后锁定．解除锁定，小球即被弹簧弹出，水
平射进细管的A 端，再沿管ABC 从C 端水平射出．已知弯管BC 的半径R＝0.3m，小球的质
量为m＝50g，每次弹射时弹簧对小球所做的功W＝0.6J．不计小球运动中机械能损失，取
√8=2.8，重力加速度g 取10m/s2．
（1）当L＝0.5m 时，求小球到达管口C 处时的速度大小；
（2）当L＝0.5m 时，小球落到水平面上的位置与竖直管AB 间距离；
（3）调节L 时，小球到达管口C 时管壁对球的作用力FN也相应变化，考虑到游戏装置的实际
情况，L 不能小于0.15m，请在如图2 的坐标纸上作出FN随长度L 变化的关系图线．（取管壁对
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球的作用力FN方向向上为正，并要求在横、纵轴上标上必要的刻度值）
题型四 传送带模型中的动力学和能量转化问题
1．传送带模型是高中物理中比较成熟的模型，典型的有水平和倾斜两种情况．一般设问的角度有
两个：
(1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第
二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系．
(2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而
使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解．
2．传送带模型问题中的功能关系分析
(1)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q.
(2)对W 和Q 的理解：
①传送带做的功：W＝Fx 传；
②产生的内能Q＝Ffx 相对．
传送带模型问题的分析流程
[例题10] 如图所示，一足够长的绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，传送带在电动机的
带动下，始终保持v0＝2m/s 的速率运行，现把一质量为m＝10kg 的工件（可看做质点）轻轻
放在传送带的底端，工作和传送带之间μ= √3
2
，取g＝10m/s2，求：
（1）经1.9s 的时间，工件被传送的高度；
（2）在1.9s 内产生的热量Q；
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（3）在这1.9s 内，电动机由于传送工件多消耗的电能。
[例题11] 如图所示，一质量为m＝1kg 的可视为质点的滑块，放在光滑的水平平台上，平
台的左端与水平传送带相接，传送带以v＝2m/s 的速度沿顺时针方向匀速转动（传送带不打
滑），现将滑块缓慢向右压缩轻弹簧，轻弹簧的原长小于平台的长度，滑块静止时弹簧的弹性
势能为EP＝4.5J，若突然释放滑块，滑块向左滑上传送带．已知滑块与传送带的动摩擦因数为
μ＝0.2，传送带足够长，g＝10m/s2．求：
（1）滑块第一次从滑上传送带到离开传送带所经历的时间；
（2）滑块第一次从滑上传送带到离开传送带由于摩擦产生的热量．
[例题12] 如图甲所示，足够长的光滑平台与一倾斜传送带平滑相接，传送带与水平面的夹
角为37°，以v＝2.0m/s 的速度沿顺时针方向转动。平台上质量为m2＝1kg 的小物块B 固定有
水平轻弹簧，质量为m1＝3kg 的小物块A 以初速度v0沿A、B 连线向左运动。弹簧与A 作用的
过程中，弹簧始终位于弹性限度内，且不与A 粘连。当弹簧第一次恢复原长后B 与其左侧的固
定挡板C 相碰，不计B 与C 碰撞过程中的机械能损失，碰后立即将C 撤走，弹簧第二次恢复
原长后，A 滑上传送带，以A 滑上传送带时作为计时起点，A 的速度﹣时间图像如图乙所示。
已知2.0s 后传送带开始以8m/s2的加速度做匀加速运动，重力加速度为g＝10m/s2。（sin37°＝
0.6，cos37°＝0.8）求：
（1）物块A 与传送带间动摩擦因数大小；
（2）物块A 初速度v0大小；
（3）若挡板C 位置可适当调整，且与B 碰后立即撤走，则B 与C 碰后弹簧的性势能最大值Em
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的范围是多少？
[例题13] 传送带两端AB 距离L＝31m，以v＝5m/s 速度匀速运行，现将质量m＝0.2kg 相
同工件以v0＝1m/s 速度沿水平方向一个接一个投放到传送带的A 端，工件初速度方向与传送
带运动方向相同，投放工件的时间间隔恒定。若一个工件从A 端运动到B 端所用时间为t＝
7s。g＝10m/s2．求：（1）工件与传送带之间的动摩擦因数μ；
（2）若原来每一时刻在传送带上总能看到14 个工件，现当一个工件刚投射到A 端的瞬间，传
送带以a＝1m/s2的加速度开始加速。与不运送任何工件时相比，上述传送带刚开始加速的短时
间内，电动机要给传送带增加多大的动力。（不计传送带自身加速所需的外力）
[例题14] 如图所示，一足够长的倾斜传送带以速度v＝2m/s 顺时针匀速运动，传送带与水
平方向的夹角θ＝37°。质量m1＝5kg 的小物块P 和质量m2＝7kg 的小物块Q 由跨过定滑轮的
轻绳连接，P 与定滑轮间的绳子与传送带平行，轻绳足够长且不可伸长。某时刻物块P 从传送
带上端以速度v0＝6m/s 冲上传送带（此时P、Q 的速率相等），已知物块P 与传送带间的动摩
擦因数μ＝0.5，不计滑轮的质量与摩擦，整个运动过程中物块Q 都没有上升到定滑轮处。
（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2）求：
（1）物块P 刚冲上传送带时的加速度大小；
（2）从P 刚冲上传送带到沿传送带运动到最远处的过程中，P、Q 系统机械能的改变量及摩擦
产生的热量。
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