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压轴题03 功和功率、功能关系专题
1.本专题是功能关系的典型题型，包括功和功率、机车启动问题、动能定理及其应用、功能关系机械能守恒定
律
含功和能的综合题。是历年高考考查的热点。
2.通过本专题的复习，可以培养同学们的用功能关系解决问题的能力，提高学生物理核心素养和关键能力。
3.用到的相关知识有:功和功率的求解,如何求变力做功，动能定理、机械能守恒定律功能关系的灵活运用等。
实践中包括体育运动中功和功率问题，风力发电功率计算，蹦极运动、过山车等能量问题， 汽车启动问题，生
活、生产中能量守恒定律的应用等。要求考生在探究求解变力做功的计算，机车启动问题，单物体机械能守恒，
用绳、杆连接的系统机械能守恒问题，含弹簧系统机械能守恒问题，传送带、板块模型的能量等问题的过程中，
形成系统性物理思维，对做功是能量转化的量度这一功能观点有更深刻的理解。
考向一：变力功的求解
求变力做功的五种方法
方法
举例
微元法
质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩
擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效
转换法
恒力F 把物块从A 拉到B，绳子对物块做功W＝
F·(－)
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，F－x
图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
平均
值法
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，W＝Δx，可得
出弹簧弹性势能表达式为Ep＝k(Δx)2
1
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应用动
能定理
用力F 把小球从A 处缓慢拉到B 处，F 做功为WF，则有：
WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
考向二：机车启动问题
1．两种启动方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
Pt 图像和vt 图像
OA 段
过程分析
v↑⇒F＝↓
⇒a＝↓
a＝不变⇒F 不变
⇒P＝Fv↑直到P 额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB 段
分析过程
F＝F 阻⇒a＝0
⇒vm＝
v↑⇒F＝↓
⇒a＝↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC 段
无
F＝F 阻⇒a＝0⇒
以vm＝做匀速运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝。
(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v＝<vm＝。
(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F 阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车
以恒定功率启动过程的位移、速度或时间。
考向三：动能定理的理解和应用
1.应用动能定理解决变力做功的步骤
(1).分析物体的受力情况，确定哪些力是恒力，哪些力是变力，如果是恒力，写出恒力做功的表达式，如果是
变力，用相应功的符号表示出变力所做的功。
(2).分析物体运动的初、末状态，求出动能的变化量。
(3).运用动能定理列式求解。
2.动能定理解决多过程问题
对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理。
(1).分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分
析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，最后联立求解。
(2).全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，确定整个过程中合外力做的总功，然后
确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。
2
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(3).当题目已知量和所求量不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、更方便。
3.动能定理解决图像问题
(1).首先看清楚图像的种类(如v－t 图像、F－s 图像、Ek－s 图像等)。
(2).挖掘图像的隐含条件，求出所需物理量，如利用v－t 图像与t 轴所包围“面积”求位移，利用F－s 图像
与s 轴所包围“面积”求功，利用Ek－s 图像的斜率求合力等。
(3).再分析还有哪些力做功，根据动能定理列方程，求出相应的物理量。
考向四：功能关系及其应用
1.功能关系概述
(1)不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的，做功的过程就是能量之间转化的过程。
(2)功是能量转化的量度。做了多少功，就有多少能量发生转化。
2.功与能的关系：由于功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，具体功能
关系如下表：
功
能量转化
关系式
重力做功
重力势能的改变
WG＝－ΔEp
弹力做功
弹性势能的改变
WF＝－ΔEp
合力做功
动能的改变
W 合＝ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其他力做功
机械能的改变
W＝ΔE 机
两物体间滑动摩擦力对物体系统做功
内能的改变
f·s 相对＝Q
考向五：机械能守恒定律
1.机械能守恒定律的三种表达形式
表达角度
表达式
意义
注意事项
守恒观点
E2＝E1或Ek1＋Ep1＝Ek2
＋Ep2
初状态的动能与势能
之和等于末状态的动
能与势能之和
初、末状态必须选择
同一零势能参考平面
转化观点
ΔEp 增＝ΔEk 减或ΔEp
减＝ΔEk 增
势能的增加(或减少)
量等于动能的减少
(或增加)量
关键是确定势能的减
少量或增加量
转移观点
ΔEA 增＝ΔEB 减或ΔEA
减＝ΔEB 增
A 物体机械能的增加
(或减少)量等于B 物
体机械能的减少(或
增加)量
常用于解决两个物体
组成的系统的机械能
守恒问题
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)正确选取研究对象(物体或系统)，确定研究过程。
(2)进行受力分析，考查守恒条件。
(3)选取零势能参考平面，确定初、末状态的机械能。
(4)运用守恒定律，列出方程求解。
3
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01 求变力做功
1.一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0 时速率为1 m/s。从此刻开始在与速度平行的方向上对其施加一水平
作用力F，力F 和滑块的速度v 随时间的变化规律分别如图甲、乙所示，则(两图取同一正方向，重力加速度g
＝10 m/s2)( )
A．滑块的质量为0.5 kg
B．滑块与水平地面间的动摩擦因数为0.5
C．第1 s 内摩擦力对滑块做功为－1 J
D．第2 s 内力F 的平均功率为1.5 W
02 机车启动问题
2.(多选)质量为m 的某新型电动汽车在阻力恒为f 的水平路面上进行性能测试，测试时的v－t 图像如图所示，
Oa 为过原点的倾斜线段，bc 与ab 相切于b 点，ab 段汽车以额定功率P 行驶，下列说法正确的是( )
A.0～t1时间内汽车的牵引力为m
B.t1～t2时间内汽车发动机的功率为v1
C.t2～t3时间内汽车受到的合外力做正功
D.t1～t3时间内汽车发动机做功为P(t3－t1)
03 动能定理的应用
3.人们用滑道从高处向低处运送货物．如图所示，可看作质点的货物从1
4 圆弧滑道顶端P点静止释放，沿滑道
运动到圆弧末端Q点时速度大小为6 m/s。已知货物质量为20kg，滑道高度h为4 m，且过Q点的切线水平，重
力加速度取10 m/s
2。关于货物从P点运动到Q点的过程，下列说法正确的有（ ）
A．重力做的功为360J
B．克服阻力做的功为440J
4
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C．经过Q点时向心加速度大小为9 m/s
2
D．经过Q点时对轨道的压力大小为380 N
04 功能关系及其应用
4.如图所示，质量为m0、长度为l 的小车静止在光滑的水平面上。质量为m 的小物块(可视为质点)放在小车的
最左端。现在一水平恒力F 作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力
为f。经过时间t，小车运动的位移为s，物块刚好滑到小车的最右端( )
A.此时物块的动能为F(s＋l)
B.这一过程中，物块对小车所做的功为f(s＋l)
C.这一过程中，物块和小车增加的机械能为Fs
D.这一过程中，物块和小车产生的内能为fl
05 机械能守恒定律的应用
5.如图所示，固定光滑斜面倾角
，其底端与竖直面内半径为R 的固定光滑圆弧轨道相切，位置D 为圆弧
轨道的最低点。质量为2m 的小球A 和质量为m 的小环B（均可视为质点）用
的轻杆通过轻质铰链相连。
B 套在光滑的固定竖直长杆上，杆和圆轨道在同一竖直平面内，杆过轨道圆心O，初始轻杆与斜面垂直。在斜
面上由静止释放A，假设在运动过程中两杆不会碰撞，小球能滑过D 点且通过轨道连接处时无能量损失（速度
大小不变），重力加速度为g，从小球A 由静止释放到运动至最低点的过程中，下列判断正确的是（ ）
A．A 和B 组成的系统的机械能不守恒
B．刚释放时小球A 的加速度大小为
C．小环B 速度最大时轻杆弹力为
D．小球A 运动到最低点时的速度大小为
一、单选题
5
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1．（2024·青海海东·二模）如图所示，半径为r、质量不计的均匀圆盘竖直放置，可以绕过圆心O 且与盘面垂
直的水平光滑固定轴转动，在盘面的最右边边缘处固定了一个质量为m 的小球A，在圆心O 的正下方离O 点
处固定了一个质量为m 的小球B。现从静止开始释放圆盘让其自由转动，重力加速度大小为g，则小球B 上升的
最大高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·浙江温州·二模）如图所示，薄板B 放在倾角为
的光滑斜面上，斜面固定且足够长，薄板的下端
位于斜面底端，上端通过轻绳与固定在地面上的电动机连接，轻绳跨过定滑轮，定滑轮质量与摩擦均不计，斜
面上方的细绳与斜面平行。
时刻，一小物块A 从薄板上端由静止释放的同时，薄板在电动机带动下由静止
开始沿斜面向上做加速度
的匀加速直线运动。已知薄板长
，小物块A 的质量
，薄板B
的质量
，A、B 间的动摩擦因数
。下列说法正确的是（ ）
A．从
到小物块A 离开薄板前，细绳对薄板B 的拉力为7N
B．小物块A 到达斜面底端时速度为
C．小物块A 将要离开薄板时电动机的瞬时输出功率为16W
D．小物块A 与薄板B 之间因摩擦产生的内能为2.5J
3．（2024·广东·二模）某实验兴趣小组对新能源车的加速性能进行探究。他们根据自制的电动模型车模拟汽车
启动状态，并且通过传感器，绘制了模型车从开始运动到刚获得最大速度过程中速度的倒数
和牵引力F 之间
的关系图像
，如图所示。已知模型车的质量
，行驶过程中受到的阻力恒定，整个过程时间持续
5s，获得最大速度为4m/s，则下列说法正确的是（ ）
6
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A．模型车受到的阻力大小为1N B．模型车匀加速运动的时间为2s
C．模型车牵引力的最大功率为6W D．模型车运动的总位移为14m
4．（2024·山东淄博·一模）为了节能环保，地铁站的进出轨道通常设计成不是水平的，列车进站时就可以借助
上坡减速，而出站时借助下坡加速。如图所示，为某地铁两个站点之间节能坡的简化示意图（左右两边对称，
每小段坡面都是直线）。在一次模拟实验中，一滑块（可视为质点）以初速度
从A 站M 处出发沿着轨道运动，
恰能到达N 处。滑块在两段直线轨道交接处平稳过渡，能量损失忽略不计，滑块与各段轨道之间的动摩擦因数
均相同，不计空气阻力。重力加速度为g，则根据图中相关信息，若要使滑块恰能到达B 站P 处，该滑块初速
度的大小应调整为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·山东泰安·一模）如图所示，ABC 为一弹性轻绳，其弹力大小符合胡克定律。弹性轻绳一端固定于A
点，另一端连接质量为m 的小球，小球穿在竖直杆上。轻杆OB 一端固定在墙上，另一端为定滑轮。若弹性轻
绳自然长度等于AB，初始时ABC 在一条水平线上，小球从C 点由静止释放滑到E 点时速度恰好为零。已知C、
E 两点间距离为h，D 为CE 的中点，重力加速度为g，小球在C 点时弹性绳的拉力为
，小球与杆之间的动
摩擦因数为0.6，弹性轻绳始终处在弹性限度内，其弹性势能的表达式为
，其中k 为劲度系数、x 为伸
长量。则小球下滑经过D 点时的速度大小为（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
6．（2024·河南南阳·一模）如图，倾角为
的足够长的光滑斜面体ABC 固定放置在水平地面上，在A 点的上
方再固定一光滑的细杆，细杆与竖直方向的夹角为
。质量均为m 的小球甲、乙（均视为质点）用长为L 的
轻质杆通过铰链连接（铰链的质量忽略不计），小球甲套在细杆上，小球乙放置在斜面上A 点，重力加速度大
小为g。现让小球甲、小球乙由静止释放，小球乙一直沿着斜面向下运动，当小球甲刚要到达A 点还未与斜面
接触时，小球甲的动能为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·四川·一模）如图所示，一轻质杆长为R，一端可绕光滑转轴O 转动，另一端安装一质量为m 的小球
（可视为质点），轻质弹簧原长为
，一端系于A 点，另一端与小球相连，A、B、O、C 四点在同一水平
线上，
，从C 点现给小球一初速度，小球可在竖直平面内沿顺时针方向做完整的
圆周运动，途经C、D、P、B、Q 五点，测得小球经过P 点时的速度大小为v，重力加速度大小为g（整个过程
轻质弹簧始终处于弹性限度内），下列说法正确的是（ ）
A．小球在运动过程中的机械能守恒
B．小球经过Q 点时速度大小为
C．小球经过D 点和P 点时动能相同
D．小球经过P 点时所受的合力为零
8．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图所示，质量为m 的小球甲穿过一竖直固定的光滑杆拴在轻弹簧上，质量
为4m 的物体乙用轻绳跨过光滑定滑轮与甲连接，开始用手托住乙，轻绳刚好伸直，滑轮左侧绳竖直，右侧绳
与水平方向夹角
，甲位于P 点，某时刻由静止释放乙（乙离地面足够高），经过一段时间小球甲运动到
Q 点（未与横杆相碰），O、Q 两点的连线水平，O、Q 的距离为d，且小球在P、Q 两点处时弹簧弹力的大小
相等。已知重力加速度为g，
，
，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
8
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A．弹簧的劲度系数为
B．物体乙释放瞬间的加速度大小等于g
C．小球甲到达Q 点时的速度大小
D．小球甲和物体乙的机械能之和始终保持不变
9．（23-24 高三上·四川成都·期末）如图所示，竖直放置有一半圆轨道，在其左侧连有一水平杆，现将光滑的小
球
、
分别套在水平杆与圆轨道上，
、
用一不可伸长的轻细绳相连，
、
质量相等，且可看做质点，
开始时细绳水平伸直，
、
静止。由静止释放
后，已知当
和圆心连线与竖直方向的夹角为30°时，滑块
下滑的速度为，则半圆的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
10．（2024·河南·二模）如图甲所示，距离水平面一定高度的桌边缘有一质量为
的小球，某时刻给小球一水
平冲量
，此后小球的动能与竖直方向的位移
图像如图乙所示，小球触地前、后，分别计算位移，并分别
取竖直向下和向上为位移的正方向，空气阻力不计，重力加速度为
．下列说法正确的是
A．
图像中
为桌边缘距离水平面高度，数值为
B．小球第一次落地点距桌边缘的水平距离为
C．小球触地弹起过程中，平行于地面的速度分量不变，垂直于地面的速度分量也不变
D．小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为
9
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11．（2024·湖南邵阳·二模）如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体P 和物体Q 用不可伸长的轻绳相连，悬挂
在定滑轮上，物体P 与物体Q 的质量之比为1 4∶，t=0 时刻将两物体由静止释放，物体Q 的加速度大小为a。T 时
刻轻绳突然断开，物体P 能够达到的最高点恰与物体Q 释放位置处于同一高度，取t=0 时刻物体P 所在水平面
为零势能面，此时物体Q 的机械能为E。重力加速度大小为g，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下
列说法正确的是（ ）
A．
B．2T 时刻物体P 的机械能为
C．2T 时刻物体P 重力的功率为
D．2T 时刻物体Q 的速度大小为
12．（2024·山东济宁·一模）如图所示，一轻质弹簧两端分别栓接甲、乙两木块，并竖直停放在水平桌面上。现
用一竖直向下的外力F 将木块乙缓慢压至某位置，然后撤去外力F，木块乙由静止向上运动，最终木块甲恰好
未离开桌面。已知木块甲质量为m，木块乙质量为2m，弹簧劲度系数为k，弹簧始终处于弹性限度内，重力加
速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．木块乙上升过程中机械能一直增加
B．弹簧的最大压缩量为
C．木块甲对桌面的最大压力大小为5mg
D．外力F 对木块乙做的功为
13．（2024·河南郑州·模拟预测）如图所示，固定斜面的倾角
，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于
原长时上端位于C 点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A 和B，滑轮左侧绳子与斜面平
行，A 的质量是B 的质量2 倍，初始时物体A 到C 点的距离
，现给A、B 一初速度
，使A 开始
沿斜面向下运动，B 向上运动，物体A 向下运动刚到C 点时的速度大小
，物体A 将弹簧压缩到最短后，
10
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物体A 又恰好能弹回到C 点。已知弹簧的最大弹性势能为6J，重力加速度
，不计空气阻力，整个过
程中轻绳始终处于伸直状态。则（ ）
A．物体A 与斜面之间的动摩擦因数
B．物体A 向下运动到C 点的过程中，A 的重力势能转化为B 的重力势能
C．弹簧的最大压缩量
D．B 的质量为2kg
14．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图甲所示，某建筑工地正用吊车将装混凝土的料斗竖直向上起吊到高处，料
斗从静止开始向上运动的加速度随上升高度变化的规律如图乙所示，若装有混凝土的料斗总质量为0.5 吨，重
力加速度为
，下列说法正确的是（ ）
A．从静止开始到
运动过程，料斗做匀加速运动
B．从静止开始上升到高度
时，料斗的速度大小为
C．从静止开始上升
过程中，吊车对料斗做功为
D．从静止开始上升
过程中，料斗运动的时间为
15．（2024·宁夏银川·一模）某实验研究小组为探究物体冲上粗糙斜面能达到的最大位移x 与斜面倾角θ 的关系，
使某一物体每次以不变的初速率v0沿足够长的斜面向上运动，如图甲所示，调节斜面与水平面的夹角θ，实验
测得x 与θ 的关系如图乙所示，取g=10m/s2。则由图可知（ ）
A．物体的初速率v0=5m/s
B．物体与斜面间的动摩擦因数µ=0.75
C．图乙中xmin=0.36m
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D．取初始位置所在水平面为重力势能参考平面，当θ=37°，物体上滑过程中动能与重力势能相等时，物体上滑
的位移为0.1875m
16．（2024·山东聊城·一模）如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮
，一端和质量为m 的小
球连接，另一端与套在光滑固定直杆上质量也为m 的小物块连接，直杆与两定滑轮在同一竖直面内，与水平面
的夹角θ=53°，直杆上O 点与两定滑轮均在同一高度，O 点到定滑轮
的距离为L，直杆上D 点到
点的距离
也为L，重力加速度为g，直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰。现将小物块从O 点由静止释放，
下列说法正确的是（ ）
A．小物块刚释放时，轻绳中的张力大小为mg
B．小球运动到最低点时，小物块加速度的大小为
C．小物块下滑至D 点时，小物块与小球的速度大小之比为5：3
D．小物块下滑至D 点时，小物块的速度大小为
17．（2024·甘肃·一模）如图所示，固定在地面的OAB 为半径为R 的四分之一圆环，圆心O 的正上方
处有
一定滑轮C，定滑轮C 右侧有另一个定滑轮D，小球1 套在圆环上并通过轻绳绕过两个定滑轮连接物体2，物体
2 又与一轻质弹簧连接在一起，轻质弹簧另一端固定在地面上。现有两种情况，情况1：小球1 可在AB 圆弧任
意位置保持静止；情况2：小球1 在A 点时，轻绳刚好伸直但无张力，此时弹簧压缩量为
，现给小球1 轻微
的扰动，小球1 沿AB 圆弧运动到B 点时速度为零，此时左边的绳沿着BC 方向绷紧，物体2 不会碰到滑轮。已
知小球1 质量为m1，物体2 质量为m2，弹簧劲度系数为k，重力加速度为g，不计滑轮质量、大小和一切摩擦。
下列说法中正确的是（ ）
A．情况1 中
B．情况1 中
C．情况2 中
D．情况2 中
18．（2024·山西·二模）运动员为了练习腰部力量，在腰部拴上轻绳然后沿着斜面下滑，运动的简化模型如图所
12
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示，倾角为
的光滑斜面固定放置，质量为m 运动员与质量为m 的重物通过轻质细绳连接，细绳跨过天花板
上的两个定滑轮，运动员从斜面上的某点由静止开始下滑，当运动到A 点时速度大小为
，且此时细
绳与斜面垂直，当运动到B 点时，细绳与斜面的夹角为
，已知A、B 两点之间的距离为L，重力加速度为
g，运动员在运动的过程中一直未离开斜面，细绳一直处于伸直状态，不计细绳与滑轮之间的摩擦，运动员与重
物（均视为质点）总在同一竖直面内运动，下列说法正确的是（ ）
A．运动员在A 点时，重物的速度大小为
B．运动员从A 点运动到B 点，重物重力势能的增加量为
C．运动员从A 点运动到B 点，系统总重力势能的增加量为
D．运动员在B 点时，其速度大小为
19．（2024·湖南长沙·一模）图甲所示为电梯的结构示意图，配重和轿厢质量均为
，A 与电机（未画
出）相连，缆绳质量以及其与滑轮B 间的摩擦均可忽略。家住21 楼的小明要爸爸送他上幼儿园，电梯下行过程
经加速、匀速、减速三个阶段，最后停在一楼。已知小明质量为
，爸爸的质量为
，小明对
轿厢底的压力随时间变化的关系图像如图乙所示，重力加速度
。则下列说法正确的是（ ）
A．小明家所在楼栋楼层的平均高度为
B．加速阶段，缆绳对配重的拉力大小为
C．整个过程，电动机的最大功率为
D．整个过程，电动机对外做的功大小为
19．（23-24 高三上·江西·期末）如图所示，在倾角为30°底端具有挡板的固定斜面上，滑块b 的一端通过一劲度
系数为k=200N/m 的轻质弹簧与另一滑块a 连接后置于斜面上，滑块b 的另一端通过一不可伸长的轻绳跨过光滑
的定滑轮与带孔的小球c 连接，小球c 穿在光滑的固定轻杆上，轻杆与水平方向的夹角为37°，初始用手托住小
球c 置于M 点，此时MO 水平，弹簧被拉伸且弹力大小为8N，释放小球c，小球恰好能滑至N 点，滑块a 始终
13
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未离开挡板，已知MO=NO=20cm，
，
，若整个运动过程中，绳子一直绷紧，
sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2。则下列说法正确的是（ ）
A．滑块b 与斜面间的动摩擦因数为0.5
B．小球c 滑至MN 的中点处的速度
C．小球c 从M 点滑至N 点的过程中，经过MN 中点处时重力的功率最大
D．小球c 从M 点滑至N 点的过程中，弹簧的弹性势能经历了先减小再增大再减小再增大的过程
20．（2024·湖南岳阳·一模）如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上的光滑转轴O 上，另一端与套在粗糙固
定直杆N 处质量为0.2kg 的小球（可视为质点）相连。直杆与水平面的夹角为30°，N 点距水平面的高度为
0.4m，NP=PM，ON=OM，OP 等于弹簧原长。小球从N 处由静止开始下滑，经过P 处的速度为2m/s，并恰能停
止在M 处。已知重力加速度取10m/s2，小球与直杆的动摩擦因数为
，则下列说法正确的是（ ）
A．小球通过P 点时的加速度大小为3m/s2
B．弹簧具有的最大弹性势能为0.5J
C．小球通过NP 段与PM 段摩擦力做功相等
D．N 到P 过程中，球和弹簧组成的系统损失的机械能为0.4J
21．（2024·湖南株洲·一模）如图，质量为m 的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v 运动，
已知圆轨道的半径为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k 倍，重力加速度为g， P、Q 为圆轨道
上同一竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（ ）
A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg B．通过 P、Q 两点时对轨道的压力大小之和为
C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv² D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR
三、解答题
22．（2024·湖南长沙·一模）可利用如图所示装置测量滑块与某些材料间的动摩擦因数。将原长为L 的轻质弹簧
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放置在光滑水平面AB 上，一端固定在A 点，另一端与滑块P（可视为质点，质量为m）接触但不连接，AB 的
长度为
（
），B 端与半径为L 的光滑半圆轨道BCD 相切，C 点与圆心O 等高，D 点在O 点的正上方，
是半圆轨道的最高点，用滑块P 将弹簧压缩至E 点（图中未画出），AE 的长度为R，静止释放后，滑块P 刚好
能到达半圆轨道的最高点D；在水平面AB 上铺被测材料薄膜，滑块P 仍从E 点由静止释放，恰能运动到半圆轨
道上的F 点，O、F 连线与OC 的夹角为
，重力加速度为g，
。
（1）求滑块P 与被测材料间的动摩擦因数；
（2）在不撤去被测材料的基础上仅将滑块P 换为质量
的同种材质的滑块Q，滑块Q 最终不与弹簧接触，试
判断滑块Q 由静止释放后能否压缩弹簧2 次。
23．（2024·安徽·一模）为激发学生参与体育活动的兴趣，某学校计划修建用于滑板训练的场地。老师和同学们
围绕物体在起伏地面上的运动问题，讨论并设计了如图所示的路面，其中
是倾角为
的斜面，凹圆弧
和凸圆弧
的半径均为R，且D、F 两点处于同一高度，B、E 两点处于另一高度，整个路面无摩擦且
各段之间平滑连接。在斜面
上距离水平面
高度为h（未知量）的地方放置一个质量为m 的小球（可视为
质点），让它由静止开始运动。已知重力加速度为g，取
。
（1）当
时，求小球经过最低点C 时，路面受到的压力；
（2）若小球一定能沿路面运动到F 点，求h 的取值范围；
（3）在某次试验中，小球运动到
段的G 点时，重力功率出现了极大值，已知该点路面倾角
，求h 的
值。
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