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压轴题03 功和功率、功能关系专题
1.本专题是功能关系的典型题型，包括功和功率、机车启动问题、动能定理及其应用、功能关系机械能守恒定
律
含功和能的综合题。是历年高考考查的热点。
2.通过本专题的复习，可以培养同学们的用功能关系解决问题的能力，提高学生物理核心素养和关键能力。
3.用到的相关知识有:功和功率的求解,如何求变力做功，动能定理、机械能守恒定律功能关系的灵活运用等。
实践中包括体育运动中功和功率问题，风力发电功率计算，蹦极运动、过山车等能量问题， 汽车启动问题，生
活、生产中能量守恒定律的应用等。要求考生在探究求解变力做功的计算，机车启动问题，单物体机械能守恒，
用绳、杆连接的系统机械能守恒问题，含弹簧系统机械能守恒问题，传送带、板块模型的能量等问题的过程中，
形成系统性物理思维，对做功是能量转化的量度这一功能观点有更深刻的理解。
考向一：变力功的求解
求变力做功的五种方法
方法
举例
微元法
质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩
擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效
转换法
恒力F 把物块从A 拉到B，绳子对物块做功W＝
F·(－)
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，F－x
图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
平均
值法
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，W＝Δx，可得
出弹簧弹性势能表达式为Ep＝k(Δx)2
1
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应用动
能定理
用力F 把小球从A 处缓慢拉到B 处，F 做功为WF，则有：
WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
考向二：机车启动问题
1．两种启动方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
Pt 图像和vt 图像
OA 段
过程分析
v↑⇒F＝↓
⇒a＝↓
a＝不变⇒F 不变
⇒P＝Fv↑直到P 额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB 段
分析过程
F＝F 阻⇒a＝0
⇒vm＝
v↑⇒F＝↓
⇒a＝↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC 段
无
F＝F 阻⇒a＝0⇒
以vm＝做匀速运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝。
(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v＝<vm＝。
(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F 阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车
以恒定功率启动过程的位移、速度或时间。
考向三：动能定理的理解和应用
1.应用动能定理解决变力做功的步骤
(1).分析物体的受力情况，确定哪些力是恒力，哪些力是变力，如果是恒力，写出恒力做功的表达式，如果是
变力，用相应功的符号表示出变力所做的功。
(2).分析物体运动的初、末状态，求出动能的变化量。
(3).运用动能定理列式求解。
2.动能定理解决多过程问题
对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理。
(1).分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分
析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，最后联立求解。
(2).全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，确定整个过程中合外力做的总功，然后
确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。
2
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(3).当题目已知量和所求量不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、更方便。
3.动能定理解决图像问题
(1).首先看清楚图像的种类(如v－t 图像、F－s 图像、Ek－s 图像等)。
(2).挖掘图像的隐含条件，求出所需物理量，如利用v－t 图像与t 轴所包围“面积”求位移，利用F－s 图像
与s 轴所包围“面积”求功，利用Ek－s 图像的斜率求合力等。
(3).再分析还有哪些力做功，根据动能定理列方程，求出相应的物理量。
考向四：功能关系及其应用
1.功能关系概述
(1)不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的，做功的过程就是能量之间转化的过程。
(2)功是能量转化的量度。做了多少功，就有多少能量发生转化。
2.功与能的关系：由于功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，具体功能
关系如下表：
功
能量转化
关系式
重力做功
重力势能的改变
WG＝－ΔEp
弹力做功
弹性势能的改变
WF＝－ΔEp
合力做功
动能的改变
W 合＝ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其他力做功
机械能的改变
W＝ΔE 机
两物体间滑动摩擦力对物体系统做功
内能的改变
f·s 相对＝Q
考向五：机械能守恒定律
1.机械能守恒定律的三种表达形式
表达角度
表达式
意义
注意事项
守恒观点
E2＝E1或Ek1＋Ep1＝Ek2
＋Ep2
初状态的动能与势能
之和等于末状态的动
能与势能之和
初、末状态必须选择
同一零势能参考平面
转化观点
ΔEp 增＝ΔEk 减或ΔEp
减＝ΔEk 增
势能的增加(或减少)
量等于动能的减少
(或增加)量
关键是确定势能的减
少量或增加量
转移观点
ΔEA 增＝ΔEB 减或ΔEA
减＝ΔEB 增
A 物体机械能的增加
(或减少)量等于B 物
体机械能的减少(或
增加)量
常用于解决两个物体
组成的系统的机械能
守恒问题
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)正确选取研究对象(物体或系统)，确定研究过程。
(2)进行受力分析，考查守恒条件。
(3)选取零势能参考平面，确定初、末状态的机械能。
(4)运用守恒定律，列出方程求解。
3
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01 求变力做功
1.一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0 时速率为1 m/s。从此刻开始在与速度平行的方向上对其施加一水平
作用力F，力F 和滑块的速度v 随时间的变化规律分别如图甲、乙所示，则(两图取同一正方向，重力加速度g
＝10 m/s2)( )
A．滑块的质量为0.5 kg
B．滑块与水平地面间的动摩擦因数为0.5
C．第1 s 内摩擦力对滑块做功为－1 J
D．第2 s 内力F 的平均功率为1.5 W
【答案】D
【解析】滑块运动的加速度大小a＝＝1 m/s2，由题图知，第1 s 内有Ff＋F＝ma，第2 s 内有F′－Ff＝ma，则
Ff＋1＝3－Ff，故Ff＝1 N，m＝2 kg，又由Ff＝μmg 可得动摩擦因数μ＝0.05，故A、B 错误；第1 s 内的位移
大小为x＝×1×1 m＝0.5 m，根据功的公式可得第1 s 内摩擦力对滑块做功为－0.5 J，故C 错误；根据vt 图
像可知，第2 秒内的平均速度大小＝ m/s＝0.5 m/s，所以第2 s 内力F 的平均功率P＝F′＝3×0.5 W＝1.5
W，故D 正确。
02 机车启动问题
2.(多选)质量为m 的某新型电动汽车在阻力恒为f 的水平路面上进行性能测试，测试时的v－t 图像如图所示，
Oa 为过原点的倾斜线段，bc 与ab 相切于b 点，ab 段汽车以额定功率P 行驶，下列说法正确的是( )
A.0～t1时间内汽车的牵引力为m
B.t1～t2时间内汽车发动机的功率为v1
C.t2～t3时间内汽车受到的合外力做正功
D.t1～t3时间内汽车发动机做功为P(t3－t1)
【答案】BD
【解析】0～t1时间内，电动汽车做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得F－f＝ma，a＝，联立解得F＝m＋f，故A
错误；由瞬时功率公式P＝Fv，可知t1～t2时间内汽车保持额定功率不变而做变加速直线运动，则发动机的额定功率
等于t1时刻的功率，即P 额＝v1，故B 正确；t2～t3时间内，电动汽车做匀速直线运动，牵引力等于阻力，即合外力
为零，合外力做功为零，故C 错误；从t1时刻开始，发动机保持额定功率不变，牵引力做的功W＝P(t3－t1)，故D 正
确。
03 动能定理的应用
4
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3.人们用滑道从高处向低处运送货物．如图所示，可看作质点的货物从1
4 圆弧滑道顶端P点静止释放，沿滑道
运动到圆弧末端Q点时速度大小为6 m/s。已知货物质量为20kg，滑道高度h为4 m，且过Q点的切线水平，重
力加速度取10 m/s
2。关于货物从P点运动到Q点的过程，下列说法正确的有（ ）
A．重力做的功为360J
B．克服阻力做的功为440J
C．经过Q点时向心加速度大小为9 m/s
2
D．经过Q点时对轨道的压力大小为380 N
【答案】BCD
【详解】重力做的功为W G=mgh=800J，A 错误；下滑过程据动能定理可得W G-W f= 1
2 mvQ
2 ，代入数据解得，
克服阻力做的功为W f= 440J，B 正确；经过Q点时向心加速度大小为a= vQ
2
h =9 m/s
2，C 正确；经过Q点时，据
牛顿第二定律可得F -mg=ma，解得货物受到的支持力大小为F =380 N，据牛顿第三定律可知，货物对轨道
的压力大小为380 N，D 正确。
04 功能关系及其应用
4.如图所示，质量为m0、长度为l 的小车静止在光滑的水平面上。质量为m 的小物块(可视为质点)放在小车的
最左端。现在一水平恒力F 作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力
为f。经过时间t，小车运动的位移为s，物块刚好滑到小车的最右端( )
A.此时物块的动能为F(s＋l)
B.这一过程中，物块对小车所做的功为f(s＋l)
C.这一过程中，物块和小车增加的机械能为Fs
D.这一过程中，物块和小车产生的内能为fl
【答案】D
【详解】对物块分析，物块的位移为s＋l，根据动能定理得，(F－f)(s＋l)＝Ek－0，所以物块到达小车最右端
时具有的动能为(F－f)(s＋l)，故A 错误；对小车分析，小车的位移为s，所以物块对小车所做的功为fs，故B
错误；物块和小车增加的内能Q＝fs 相对＝fl，故D 正确；根据功能关系得，外力F 做的功转化为小车和物块的
机械能和摩擦产生的内能，则有F(l＋s)＝ΔE＋Q，则ΔE＝F(l＋s)－fl，故C 错误。
05 机械能守恒定律的应用
5
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5.如图所示，固定光滑斜面倾角
，其底端与竖直面内半径为R 的固定光滑圆弧轨道相切，位置D 为圆弧
轨道的最低点。质量为2m 的小球A 和质量为m 的小环B（均可视为质点）用
的轻杆通过轻质铰链相连。
B 套在光滑的固定竖直长杆上，杆和圆轨道在同一竖直平面内，杆过轨道圆心O，初始轻杆与斜面垂直。在斜
面上由静止释放A，假设在运动过程中两杆不会碰撞，小球能滑过D 点且通过轨道连接处时无能量损失（速度
大小不变），重力加速度为g，从小球A 由静止释放到运动至最低点的过程中，下列判断正确的是（ ）
A．A 和B 组成的系统的机械能不守恒
B．刚释放时小球A 的加速度大小为
C．小环B 速度最大时轻杆弹力为
D．小球A 运动到最低点时的速度大小为
【答案】B
【详解】在小球A 下落到最低点的过程中，A 和B 组成的系统只有重力做功，故A 和B 组成的系统机械能守恒，
故A 错误；刚释放时小球A 时，由牛顿第二定律可知
，解得
，故B 正确；小环B 速度
最大时，小环B 在竖直方向上的合力为零，轻杆的弹力竖直分量为mg，而只有A 到达最低点，B 速度为零时，
轻杆的水平分量才为零，故小环B 速度最大时，轻杆弹力大于mg，故C 错误；几何关系如图所示
设A 初始时刻距离最低点的距离为h1，由几何关系可知
，解得
，设小环
B 初始时刻距离最低点的距离为h2，由几何关系可知
，由系统机械能守恒可知：
，解得
，故D 错误。
6
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一、单选题
1．（2024·青海海东·二模）如图所示，半径为r、质量不计的均匀圆盘竖直放置，可以绕过圆心O 且与盘面垂
直的水平光滑固定轴转动，在盘面的最右边边缘处固定了一个质量为m 的小球A，在圆心O 的正下方离O 点
处固定了一个质量为m 的小球B。现从静止开始释放圆盘让其自由转动，重力加速度大小为g，则小球B 上升的
最大高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】取圆心所在处的水平面势能为零，小球B 上升到最大高度时如图
根据初始位置重力势能与B 球最大高度时的系统重力势能相等可得到
则
解得
，
（舍去）
所以
设B 球上升的最大高度为
7
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故选C。
2．（2024·浙江温州·二模）如图所示，薄板B 放在倾角为
的光滑斜面上，斜面固定且足够长，薄板的下端
位于斜面底端，上端通过轻绳与固定在地面上的电动机连接，轻绳跨过定滑轮，定滑轮质量与摩擦均不计，斜
面上方的细绳与斜面平行。
时刻，一小物块A 从薄板上端由静止释放的同时，薄板在电动机带动下由静止
开始沿斜面向上做加速度
的匀加速直线运动。已知薄板长
，小物块A 的质量
，薄板B
的质量
，A、B 间的动摩擦因数
。下列说法正确的是（ ）
A．从
到小物块A 离开薄板前，细绳对薄板B 的拉力为7N
B．小物块A 到达斜面底端时速度为
C．小物块A 将要离开薄板时电动机的瞬时输出功率为16W
D．小物块A 与薄板B 之间因摩擦产生的内能为2.5J
【答案】C
【详解】对薄板，根据牛顿第二定律
,代入数据得F=12N,故A 错误；对A，
根据动能定理
,当s=L 时,
.因为
,所以,
,故B 错误；A
在薄板上运动的加速度大小
,根据
得小物块A 在薄板B 上运动时间
,此时B 速度
,电动机的瞬时输出功率
故C 正确；
小物块A 与薄板B 之间因摩擦产生的内能
,故D 错误。
故选C。
3．（2024·广东·二模）某实验兴趣小组对新能源车的加速性能进行探究。他们根据自制的电动模型车模拟汽车
启动状态，并且通过传感器，绘制了模型车从开始运动到刚获得最大速度过程中速度的倒数
和牵引力F 之间
的关系图像
，如图所示。已知模型车的质量
，行驶过程中受到的阻力恒定，整个过程时间持续
5s，获得最大速度为4m/s，则下列说法正确的是（ ）
8
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A．模型车受到的阻力大小为1N
B．模型车匀加速运动的时间为2s
C．模型车牵引力的最大功率为6W
D．模型车运动的总位移为14m
【答案】D
【详解】根据
,可得
,结合图线的斜率可得
,即模型车的速度从2m/s 增加至4m/s 的过程中，
模型车以恒定的功率行驶，速度最大时合外力为零，即牵引力等于阻力，根据图像可知，在
时速度达到
最大值，因此有
,故A 错误；由图像可知小车初始牵引力为4N，且匀加速结束时模型车的速度大小
，根据牛顿第二定律有
,解得加速度
,根据匀变速直线运动，速度与时间的关系可得
匀加速运动的时间
,故B 错误；根据以上分析可知，模型车牵引力功率最大时即为匀加速结束时获得
的功率，可知最大功率为
，故C 错误；根据题意，模型车速度达到最大用时5s，而匀加速阶段用时1s，则
可知，模型车以恒定功率运动所需时间
，根据动能定理
,式中
，
解得
,匀加速阶段位移
,故总位移
故D 正确。
故选D。
4．（2024·山东淄博·一模）为了节能环保，地铁站的进出轨道通常设计成不是水平的，列车进站时就可以借助
上坡减速，而出站时借助下坡加速。如图所示，为某地铁两个站点之间节能坡的简化示意图（左右两边对称，
每小段坡面都是直线）。在一次模拟实验中，一滑块（可视为质点）以初速度
从A 站M 处出发沿着轨道运动，
恰能到达N 处。滑块在两段直线轨道交接处平稳过渡，能量损失忽略不计，滑块与各段轨道之间的动摩擦因数
均相同，不计空气阻力。重力加速度为g，则根据图中相关信息，若要使滑块恰能到达B 站P 处，该滑块初速
度的大小应调整为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】质量为m 的物体在长度为s、倾角为
的粗糙斜面上滑行时，克服摩擦力做功
是斜面底边的长度，则滑块从M 恰好到N 由动能定理得
解得
若要使滑块从M 恰能到达B 站P 处，设该滑块初速度的大小应调整为，由动能定理得
解得
故选B。
5．（2024·山东泰安·一模）如图所示，ABC 为一弹性轻绳，其弹力大小符合胡克定律。弹性轻绳一端固定于A
点，另一端连接质量为m 的小球，小球穿在竖直杆上。轻杆OB 一端固定在墙上，另一端为定滑轮。若弹性轻
绳自然长度等于AB，初始时ABC 在一条水平线上，小球从C 点由静止释放滑到E 点时速度恰好为零。已知C、
E 两点间距离为h，D 为CE 的中点，重力加速度为g，小球在C 点时弹性绳的拉力为
，小球与杆之间的动
摩擦因数为0.6，弹性轻绳始终处在弹性限度内，其弹性势能的表达式为
，其中k 为劲度系数、x 为伸
长量。则小球下滑经过D 点时的速度大小为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】小球在C 点时，杆对小球的弹力为
释放小球后，设弹性绳与竖直杆夹角为
，杆对小球的弹力等于弹性绳垂直于杆的分力，即
,又
故杆对小球的弹力保持
不变，则小球所受滑动摩擦力大小始终为
小球从C 到E 过程，由功能关系
得弹性绳劲度为
小球从C 到D 的过程，同理
得小球在D 点速度为
故选B。
6．（2024·河南南阳·一模）如图，倾角为
的足够长的光滑斜面体ABC 固定放置在水平地面上，在A 点的上
方再固定一光滑的细杆，细杆与竖直方向的夹角为
。质量均为m 的小球甲、乙（均视为质点）用长为L 的
轻质杆通过铰链连接（铰链的质量忽略不计），小球甲套在细杆上，小球乙放置在斜面上A 点，重力加速度大
小为g。现让小球甲、小球乙由静止释放，小球乙一直沿着斜面向下运动，当小球甲刚要到达A 点还未与斜面
接触时，小球甲的动能为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由几何关系可得小球甲、乙下降的高度分别为
当小球甲刚要到达A 点还未与斜面接触时，轻质杆与斜面平行，小球甲的速度沿着细杆，小球乙的速度沿着斜
面向下，把小球甲的速度
分别沿着斜面和垂直斜面分解，沿着斜面方向的分速度为
小球乙的速度为
由机械能守恒定律可得
小球乙的动能为
综合解得
故选B。
7．（2024·四川·一模）如图所示，一轻质杆长为R，一端可绕光滑转轴O 转动，另一端安装一质量为m 的小球
（可视为质点），轻质弹簧原长为
，一端系于A 点，另一端与小球相连，A、B、O、C 四点在同一水平
线上，
，从C 点现给小球一初速度，小球可在竖直平面内沿顺时针方向做完整的
圆周运动，途经C、D、P、B、Q 五点，测得小球经过P 点时的速度大小为v，重力加速度大小为g（整个过程
轻质弹簧始终处于弹性限度内），下列说法正确的是（ ）
A．小球在运动过程中的机械能守恒
B．小球经过Q 点时速度大小为
C．小球经过D 点和P 点时动能相同
D．小球经过P 点时所受的合力为零
12
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【答案】B
【详解】弹簧的弹性势能发生变化，则小球在运动过程中的机械能不守恒，A 错误；
B．小球和弹簧组成的系统机械能守恒，Q 点和P 点的弹性势能相同，根据机械能守恒
得
B 正确；小球和弹簧组成的系统机械能守恒，D 点和P 点高度相同，
但无法判断两点对应的弹性势能关系，小球经过D 点和P 点时动能关系不确定，C 错误；信息不全面，小球经
过P 点时所受的合力未知，D 错误。
故选B。
8．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图所示，质量为m 的小球甲穿过一竖直固定的光滑杆拴在轻弹簧上，质量
为4m 的物体乙用轻绳跨过光滑定滑轮与甲连接，开始用手托住乙，轻绳刚好伸直，滑轮左侧绳竖直，右侧绳
与水平方向夹角
，甲位于P 点，某时刻由静止释放乙（乙离地面足够高），经过一段时间小球甲运动到
Q 点（未与横杆相碰），O、Q 两点的连线水平，O、Q 的距离为d，且小球在P、Q 两点处时弹簧弹力的大小
相等。已知重力加速度为g，
，
，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．物体乙释放瞬间的加速度大小等于g
C．小球甲到达Q 点时的速度大小
D．小球甲和物体乙的机械能之和始终保持不变
【答案】C
【详解】小球在P、Q 两点处时弹簧弹力大小相等，所以弹簧在P 点和Q 点的弹簧伸长量相等，即弹簧原长在
PQ 的中间，由几何关系有
,初始时对小球受力分析，有
,解得
故A 错误；
物体乙释放瞬间。设轻绳中拉力大小为T，对物体甲有
,对物体乙有
,根据运动的
合成与分解可得
,解得
故B 错误；根据运动的合成与分解有
,小球甲到达Q 点
后期加速度为零，所以物体乙的速度为零，对小球甲从P 到Q 过程，小球甲、物体乙和弹簧组成的系统机械能
守恒。且弹簧在初、末状态的弹性势能相等，有
解得
故C 正确；弹簧对小球甲和物体乙组成的系统先做正功、后
做负功，所以小球甲和物体乙的机械能之和先增大后减小，故D 错误。
13
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故选C。
9．（23-24 高三上·四川成都·期末）如图所示，竖直放置有一半圆轨道，在其左侧连有一水平杆，现将光滑的小
球
、
分别套在水平杆与圆轨道上，
、
用一不可伸长的轻细绳相连，
、
质量相等，且可看做质点，
开始时细绳水平伸直，
、
静止。由静止释放
后，已知当
和圆心连线与竖直方向的夹角为30°时，滑块
下滑的速度为，则半圆的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将滑块B 下滑的速度分解为沿绳方向的分速度和垂直绳方向的分速度， A、B 两小球沿绳方向的速度
大小相等，如图所示，则有
可得
,A、B 两小球组成的系统机械能守恒，则有
,解得
。
故选B。
二、多选题
10．（2024·河南·二模）如图甲所示，距离水平面一定高度的桌边缘有一质量为
的小球，某时刻给小球一水
平冲量
，此后小球的动能与竖直方向的位移
图像如图乙所示，小球触地前、后，分别计算位移，并分别
取竖直向下和向上为位移的正方向，空气阻力不计，重力加速度为
．下列说法正确的是
A．
图像中
为桌边缘距离水平面高度，数值为
B．小球第一次落地点距桌边缘的水平距离为
C．小球触地弹起过程中，平行于地面的速度分量不变，垂直于地面的速度分量也不变
D．小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为
【答案】AD
【详解】小球下落过程由动能定理得
，所以
，图像斜率
，
解得
故A 正确；小球触地后上升过程由动能定理得
14
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，解得
，所以图像斜率
解得
，可知小球弹起上升的最大高度为
，故D 正确；在最高点动能为
，所以小球触地弹起过程
中，水平速度不变，竖直速度减小，故
错误；小球做平抛运动，由题意有
解得
，落地
时间满足
，解得
则落地点距桌面水平距离为
故B 错误。
故选AD。
11．（2024·湖南邵阳·二模）如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体P 和物体Q 用不可伸长的轻绳相连，悬挂
在定滑轮上，物体P 与物体Q 的质量之比为1 4∶，t=0 时刻将两物体由静止释放，物体Q 的加速度大小为a。T 时
刻轻绳突然断开，物体P 能够达到的最高点恰与物体Q 释放位置处于同一高度，取t=0 时刻物体P 所在水平面
为零势能面，此时物体Q 的机械能为E。重力加速度大小为g，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下
列说法正确的是（ ）
A．
B．2T 时刻物体P 的机械能为
C．2T 时刻物体P 重力的功率为
D．2T 时刻物体Q 的速度大小为
【答案】CD
【详解】设物体P 与物体Q 的质量为
、
，两物体释放后具有沿着绳相同的加速度
，由牛顿第二定律有
，
解得
故A 错误；设初始时刻P 与Q 的高度差为，则取t=0 时刻物体P 所在
水平面为零势能面，此时物体Q 的机械能为
，经过时间
，两者做匀加速直线运动的速度为
，P 上升和Q 下降的高度为
绳断后P 向上以重力加速度
做匀减速直线运动，P 上
升到最高点的时间为
，P 再上升的最大高度为
，物体P 能够达到的最高点恰与物体Q
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释放位置处于同一高度，则有
可解得
，
而2T 时刻物体P 正在向下加速运动，速度和位移为
，则2T 时刻物体P 的机械能为：
故B 错误；
故C 正确；Q 物理向下以重力加速度
做匀加速直线运动，2T 时刻物体Q 的速度大小为
故D 正确。
故选CD。
12．（2024·山东济宁·一模）如图所示，一轻质弹簧两端分别栓接甲、乙两木块，并竖直停放在水平桌面上。现
用一竖直向下的外力F 将木块乙缓慢压至某位置，然后撤去外力F，木块乙由静止向上运动，最终木块甲恰好
未离开桌面。已知木块甲质量为m，木块乙质量为2m，弹簧劲度系数为k，弹簧始终处于弹性限度内，重力加
速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．木块乙上升过程中机械能一直增加
B．弹簧的最大压缩量为
C．木块甲对桌面的最大压力大小为5mg
D．外力F 对木块乙做的功为
【答案】BD
【详解】木块乙上升过程中，开始时弹簧处于压缩状态，后来弹簧处于伸长状态，则弹簧的弹性势能先减小后
增大；而整个系统机械能守恒，弹簧的弹性势能与木块乙的机械能相互转化，所以木块乙的机械能先增大后减
小，A 错误；当木块乙静止时，弹簧处于压缩状态，其弹力等于木块乙的重力，即
解得
。当
木块甲恰好未离开桌面，此时弹簧处于伸长状态，弹力等于木块甲重力，即
解得
，则木块乙上
升的最高位置距开始静止点的距离为
，根据对称性可知弹簧的最大压缩量为
B
正确；木块甲对桌面的最大压力大
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C 错误；选弹簧的最大压缩时为零势能面，根据能量守恒可知
解得
D 正确。
故选BD。
13．（2024·河南郑州·模拟预测）如图所示，固定斜面的倾角
，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于
原长时上端位于C 点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A 和B，滑轮左侧绳子与斜面平
行，A 的质量是B 的质量2 倍，初始时物体A 到C 点的距离
，现给A、B 一初速度
，使A 开始
沿斜面向下运动，B 向上运动，物体A 向下运动刚到C 点时的速度大小
，物体A 将弹簧压缩到最短后，
物体A 又恰好能弹回到C 点。已知弹簧的最大弹性势能为6J，重力加速度
，不计空气阻力，整个过
程中轻绳始终处于伸直状态。则（ ）
A．物体A 与斜面之间的动摩擦因数
B．物体A 向下运动到C 点的过程中，A 的重力势能转化为B 的重力势能
C．弹簧的最大压缩量
D．B 的质量为2kg
【答案】ACD
【详解】设
的质量为
，在物体
向下运动刚到
点的过程中，对
组成的系统应用能量守恒定律可得
得
A 正确；物体
向下运动到
点的过程中，
的重力势能及
的动能都减小，转化为
的重力势能和
摩擦生热，B 错误；对
组成的系统分析，在物体
从
点压缩弹簧至将弹簧压缩到最大压缩量，又恰好返
回到
点的过程中，系统动能的减少量等于因摩擦产生的热量，即
其中为弹簧
的最大压缩量，得
C 正确；从
点到弹簧最大压缩量过程中由能量守恒定律可得
得
的质量为
D 正确。
故选ACD。
14．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图甲所示，某建筑工地正用吊车将装混凝土的料斗竖直向上起吊到高处，料
斗从静止开始向上运动的加速度随上升高度变化的规律如图乙所示，若装有混凝土的料斗总质量为0.5 吨，重
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力加速度为
，下列说法正确的是（ ）
A．从静止开始到
运动过程，料斗做匀加速运动
B．从静止开始上升到高度
时，料斗的速度大小为
C．从静止开始上升
过程中，吊车对料斗做功为
D．从静止开始上升
过程中，料斗运动的时间为
【答案】BC
【详解】从静止开始到
运动过程，料斗做加速度增大的加速运动，故A 错误；
由于料斗初速度为零，根据
，
图像与坐标轴围成的面积表示速度平方的一半，则
故从静止开始上升到高度
时，料斗的速度大小为
故B 正确；根据能量
守恒，从静止开始上升
过程中，吊车对料斗做功为
故C 正确；从静止开始上升
过程中，料斗
先做加速度增大的加速运动，后做匀加速直线运动，
图像如图所示
则从静止开始上升
过程中，料斗的平均速度满足
则从静止开始上升
过程中，料斗运动的时间为
，故D 错误。
故选BC。
15．（2024·宁夏银川·一模）某实验研究小组为探究物体冲上粗糙斜面能达到的最大位移x 与斜面倾角θ 的关系，
使某一物体每次以不变的初速率v0沿足够长的斜面向上运动，如图甲所示，调节斜面与水平面的夹角θ，实验
测得x 与θ 的关系如图乙所示，取g=10m/s2。则由图可知（ ）
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A．物体的初速率v0=5m/s
B．物体与斜面间的动摩擦因数µ=0.75
C．图乙中xmin=0.36m
D．取初始位置所在水平面为重力势能参考平面，当θ=37°，物体上滑过程中动能与重力势能相等时，物体上滑
的位移为0.1875m
【答案】BC
【详解】由图乙可知，当
时，物体做竖直上抛运动，摩擦力是零，由竖直上抛运动的速度位移关系公式
可得
，解得
A 错误；当
时，物体沿水平面做匀减速直线运动，由动能
定理可得
解得
B 正确；物体沿斜面向上运动时，由动能定理可得
代入数据整理可得
C 正确；
设动能与重力势能相等时，物体上滑的位移为
，则有
代入数据整理解得
D 错误。
故选BC。
16．（2024·山东聊城·一模）如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮
，一端和质量为m 的小
球连接，另一端与套在光滑固定直杆上质量也为m 的小物块连接，直杆与两定滑轮在同一竖直面内，与水平面
的夹角θ=53°，直杆上O 点与两定滑轮均在同一高度，O 点到定滑轮
的距离为L，直杆上D 点到
点的距离
也为L，重力加速度为g，直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰。现将小物块从O 点由静止释放，
下列说法正确的是（ ）
A．小物块刚释放时，轻绳中的张力大小为mg
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B．小球运动到最低点时，小物块加速度的大小为
C．小物块下滑至D 点时，小物块与小球的速度大小之比为5：3
D．小物块下滑至D 点时，小物块的速度大小为
【答案】BCD
【详解】小物块刚释放时，小物块将加速下滑，加速度向下，小球处于失重状态，则轻绳对小球的拉力小于球
的重力mg，故A 错误；当拉物块的绳子与直杆垂直时，小球下降的距离最大，对小物块受力分析，由牛顿第二
定律
解得此时小物块加速度的大小为
故B 正确；设小物块在D 处的速度大小为v，此时小
球的速度大小为
，将小物块的速度分解为沿绳子方向和垂直绳子方向，如图所示
沿绳子方向的分速度等于小球的速度，即
故小物块在D 处的速度与小球的速度之比为
故
C 正确；对小物块和小球组成的系统根据机械能守恒定律，有
其中
解得此时小物块的速度大小为
故D 正确。
故选BCD。
17．（2024·甘肃·一模）如图所示，固定在地面的OAB 为半径为R 的四分之一圆环，圆心O 的正上方
处有
一定滑轮C，定滑轮C 右侧有另一个定滑轮D，小球1 套在圆环上并通过轻绳绕过两个定滑轮连接物体2，物体
2 又与一轻质弹簧连接在一起，轻质弹簧另一端固定在地面上。现有两种情况，情况1：小球1 可在AB 圆弧任
意位置保持静止；情况2：小球1 在A 点时，轻绳刚好伸直但无张力，此时弹簧压缩量为
，现给小球1 轻微
的扰动，小球1 沿AB 圆弧运动到B 点时速度为零，此时左边的绳沿着BC 方向绷紧，物体2 不会碰到滑轮。已
知小球1 质量为m1，物体2 质量为m2，弹簧劲度系数为k，重力加速度为g，不计滑轮质量、大小和一切摩擦。
下列说法中正确的是（ ）
A．情况1 中
B．情况1 中
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C．情况2 中
D．情况2 中
【答案】BC
【详解】AB．情况1 中，对小球1 和物体2 进行受力分析如图所示
轻绳张力为T，弹簧弹力为F，设过定滑轮C 连接小球1 的轻绳长度为x，根据相似三角形有
若连接小
球1 的轻绳长度伸长∆x，弹簧长度也会变长∆x，则有
，
小球1 可在AB 圆弧任意位置保持静止，则需满足，
解得
故A 错误，
B 正确；情况2 中，小球1、物体2 和弹簧组成的系统机械能守恒，且初末状态弹簧形变量均为
，弹簧的弹
性势能相同，有
解得
故C 正确，D 错误。
故选BC。
18．（2024·山西·二模）运动员为了练习腰部力量，在腰部拴上轻绳然后沿着斜面下滑，运动的简化模型如图所
示，倾角为
的光滑斜面固定放置，质量为m 运动员与质量为m 的重物通过轻质细绳连接，细绳跨过天花板
上的两个定滑轮，运动员从斜面上的某点由静止开始下滑，当运动到A 点时速度大小为
，且此时细
绳与斜面垂直，当运动到B 点时，细绳与斜面的夹角为
，已知A、B 两点之间的距离为L，重力加速度为
g，运动员在运动的过程中一直未离开斜面，细绳一直处于伸直状态，不计细绳与滑轮之间的摩擦，运动员与重
物（均视为质点）总在同一竖直面内运动，下列说法正确的是（ ）
A．运动员在A 点时，重物的速度大小为
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B．运动员从A 点运动到B 点，重物重力势能的增加量为
C．运动员从A 点运动到B 点，系统总重力势能的增加量为
D．运动员在B 点时，其速度大小为
【答案】BD
【详解】设运动员的速度为
，绳与斜面夹角为α，则沿绳方向的分速度即重物的速度为
垂直绳方
向的分速度为
可知到A 点时，细绳与斜面垂直，所以运动员在A 点时，重物的速度大小为零，故A
错误；运动员从A 点运动到B 点，重物重力势能的增加量为
故B 正确；运
动员从A 点运动到B 点，运动员的重力势能减少
所以系统总重力势能的增加量为
即减少了
，故C 错误；根据系统机械能守恒可知，系统减少的重力势能等于系统
增加的动能，有
可得运动员在B 点时，其速度大小为
故D 正确。
故选BD。
19．（2024·湖南长沙·一模）图甲所示为电梯的结构示意图，配重和轿厢质量均为
，A 与电机（未画
出）相连，缆绳质量以及其与滑轮B 间的摩擦均可忽略。家住21 楼的小明要爸爸送他上幼儿园，电梯下行过程
经加速、匀速、减速三个阶段，最后停在一楼。已知小明质量为
，爸爸的质量为
，小明对
轿厢底的压力随时间变化的关系图像如图乙所示，重力加速度
。则下列说法正确的是（ ）
A．小明家所在楼栋楼层的平均高度为
B．加速阶段，缆绳对配重的拉力大小为
C．整个过程，电动机的最大功率为
D．整个过程，电动机对外做的功大小为
19．（23-24 高三上·江西·期末）如图所示，在倾角为30°底端具有挡板的固定斜面上，滑块b 的一端通过一劲度
系数为k=200N/m 的轻质弹簧与另一滑块a 连接后置于斜面上，滑块b 的另一端通过一不可伸长的轻绳跨过光滑
的定滑轮与带孔的小球c 连接，小球c 穿在光滑的固定轻杆上，轻杆与水平方向的夹角为37°，初始用手托住小
球c 置于M 点，此时MO 水平，弹簧被拉伸且弹力大小为8N，释放小球c，小球恰好能滑至N 点，滑块a 始终
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未离开挡板，已知MO=NO=20cm，
，
，若整个运动过程中，绳子一直绷紧，
sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2。则下列说法正确的是（ ）
A．滑块b 与斜面间的动摩擦因数为0.5
B．小球c 滑至MN 的中点处的速度
C．小球c 从M 点滑至N 点的过程中，经过MN 中点处时重力的功率最大
D．小球c 从M 点滑至N 点的过程中，弹簧的弹性势能经历了先减小再增大再减小再增大的过程
【答案】BD
【详解】A．小球c 从M 到N，滑块b 先下滑再回到原来的位置，则由能量关系
解得滑块b 与斜面间的动摩擦因数为
选项A
错误；小球在M 点时弹簧被拉伸，弹力为8N，此时弹簧被拉长
小球c 滑至
的中点处时，b
下滑的距离为
则此时弹簧被压缩4cm，此时的弹性势能等于在M 点的弹性势能，设此时c 的速度为v，则b 的速度为0，则由
能量关系
解得
选项B 正确；小球c 从M 点滑至N 点的过程中，经过
中点处时，小球c 沿斜面方向的合力
为mcgsin37°，则加速度不为零，速度不是最大，即此时重力的功率不是最大，选项C 错误；小球c 从M 点滑至
MN 中点的过程中，弹簧由伸长4cm 到被压缩4cm，即弹簧的弹性势能先减小再增大；同样小球c 从MN 中点滑
至N 点的过程中，弹簧由压缩4cm 到被拉长4cm，即弹簧的弹性势能仍先减小再增大，所以小球c 从M 点滑至
N 点的过程中，弹簧的弹性势能经历了先减小再增大再减小再增大的过程，故D 正确。
故选BD。
20．（2024·湖南岳阳·一模）如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上的光滑转轴O 上，另一端与套在粗糙固
定直杆N 处质量为0.2kg 的小球（可视为质点）相连。直杆与水平面的夹角为30°，N 点距水平面的高度为
0.4m，NP=PM，ON=OM，OP 等于弹簧原长。小球从N 处由静止开始下滑，经过P 处的速度为2m/s，并恰能停
止在M 处。已知重力加速度取10m/s2，小球与直杆的动摩擦因数为
，则下列说法正确的是（ ）
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A．小球通过P 点时的加速度大小为3m/s2
B．弹簧具有的最大弹性势能为0.5J
C．小球通过NP 段与PM 段摩擦力做功相等
D．N 到P 过程中，球和弹簧组成的系统损失的机械能为0.4J
【答案】CD
【详解】因在P 点时弹簧在原长，则到达P 点时的加速度
故A 错误；因NP 段与
PM 段关于P 点对称，则在两段上弹力的平均值相等，则摩擦力平均值相等，摩擦力做功相等，故C 正确；设小
球从N 运动到P 的过程克服摩擦力做功为Wf，弹簧具有的最大弹性势能为Ep，根据能量守恒定律得，对于小球
N 到P 的过程有
N 到M 的过程有
得
故B 错误；N 到P 过程中，球和弹簧组成的系统损失的机械能
故D 正确。
故选CD。
21．（2024·湖南株洲·一模）如图，质量为m 的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v 运动，
已知圆轨道的半径为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k 倍，重力加速度为g， P、Q 为圆轨道
上同一竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（ ）
A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg
B．通过 P、Q 两点时对轨道的压力大小之和为
C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv²
D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR
【答案】BC
【详解】A．在最低点，玩具车在半径方向受到向下的重力和向上的支持力，由向心力公式得
在
最高点，玩具车在半径方向受到向下的重力和向下的支持力，由向心力公式得
两式相减可得
A 错误；在PQ 两点的受力如图所示
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在Q 点，由向心力公式有
在P 点，由向心力公式有
两式相加可得
因摩托车在不同位置与圆轨道间的压力不同，所以摩擦力是一
个变力，将圆轨道分成N 段，在轨道上下关于水平直径对称的位置上取两小段A、B，每段的长度为
，
则在A、B 两小段的压力可视为恒力，摩擦力做功之和为
解得
所以摩托车从最低点到最高点克服摩擦力做功为
BC 正确；玩具车在竖直面内沿圆周轨道内
壁以恒定速率v 运动,由最低点到最高点由动能定理可知
解得
D 错误。
故选BC。
三、解答题
22．（2024·湖南长沙·一模）可利用如图所示装置测量滑块与某些材料间的动摩擦因数。将原长为L 的轻质弹簧
放置在光滑水平面AB 上，一端固定在A 点，另一端与滑块P（可视为质点，质量为m）接触但不连接，AB 的
长度为
（
），B 端与半径为L 的光滑半圆轨道BCD 相切，C 点与圆心O 等高，D 点在O 点的正上方，
是半圆轨道的最高点，用滑块P 将弹簧压缩至E 点（图中未画出），AE 的长度为R，静止释放后，滑块P 刚好
能到达半圆轨道的最高点D；在水平面AB 上铺被测材料薄膜，滑块P 仍从E 点由静止释放，恰能运动到半圆轨
道上的F 点，O、F 连线与OC 的夹角为
，重力加速度为g，
。
（1）求滑块P 与被测材料间的动摩擦因数；
（2）在不撤去被测材料的基础上仅将滑块P 换为质量
的同种材质的滑块Q，滑块Q 最终不与弹簧接触，试
判断滑块Q 由静止释放后能否压缩弹簧2 次。
【答案】（1）
；（2）滑块Q 可以压缩弹簧两次
【详解】（1）滑块P 到达半圆轨道最高点D 点时，只有滑块P 的重力提供向心力，有
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滑块P 从E 点运动到D 点的过程，由机械能守恒定律有
水平面AB 上铺上被测材料薄膜后，滑块P 到达F 点时，只有滑块P 重力沿半径方向的分力提供向心力有
由能量守恒定律可得
又
联立解得
（2）当换成滑块Q 后，假设滑块Q 滑不到C 处，由能量守恒定律得
解得
则假设成立，滑块Q 第一次释放后没有脱离半圆轨道，由能量守恒定律可得
解得
若滑块Q 下滑后都运动到E 点，可知释放后滑块Q 可以再运动到E 点两次，而实际上，滑块下滑后都只能运动
到E 点左侧，故释放后滑块Q 可以压缩弹簧两次。
23．（2024·安徽·一模）为激发学生参与体育活动的兴趣，某学校计划修建用于滑板训练的场地。老师和同学们
围绕物体在起伏地面上的运动问题，讨论并设计了如图所示的路面，其中
是倾角为
的斜面，凹圆弧
和凸圆弧
的半径均为R，且D、F 两点处于同一高度，B、E 两点处于另一高度，整个路面无摩擦且
各段之间平滑连接。在斜面
上距离水平面
高度为h（未知量）的地方放置一个质量为m 的小球（可视为
质点），让它由静止开始运动。已知重力加速度为g，取
。
（1）当
时，求小球经过最低点C 时，路面受到的压力；
（2）若小球一定能沿路面运动到F 点，求h 的取值范围；
（3）在某次试验中，小球运动到
段的G 点时，重力功率出现了极大值，已知该点路面倾角
，求h 的
值。
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【答案】（1）
，方向竖直向下；（2）
；（3）
【详解】（1）从静止释放到C 点过程中，根据机械能守恒
在C 点由牛顿第二定律
联立解得
由牛顿第三定律得路面受到的压力为
方向竖直向下；
（2）分析可知小球能沿路面到达F 点即可通过E 点，刚好到达F 点时有
根据机械能守恒有
联立解得
故可知h 的范围为
（3）设在G 点时速度为，根据机械能守恒
该处重力的瞬时功率为
联立解得
设
，
讨论
函数的极值，即
展开得
对y 求导得
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根据题意
时取极大值，可知此时
，将
代入得
28
