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第 14 讲 功能关系 能量守恒定律
1.知道功是能量转化的量度，掌握重力的功、弹力的功、合力的功与对应的能量转化关系.
2.知道自然界中的能量转化，理解能量守恒定律，并能用来分析有关问题．
考点一 功能关系的应用力学中几种常见的功能关系
功 能量的变化
合外力做正功 动能增加
重力做正功 重力势能减少
弹簧弹力做正功 弹性势能减少
电场力做正功 电势能减少
其他力(除重力、弹力外)做正功 机械能增加[例题1] （多选）如图，在升降机内固定一光滑的斜面体，一轻弹簧的一端连在位于斜面
体上方的固定木板B上，另一端与质量为m的物块A相连，弹簧与斜面平行。整个系统由静
止开始加速上升高度h的过程中（ ）
A．物块A与斜面始终相对静止
B．物块A的重力势能增加量小于mgh
C．物块A的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和
D．物块A的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和
[例题2] 如图所示，物体A的质量为m，置于水平地面上，A的上端连一轻弹簧，原长为
L，劲度系数为k，现将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，使B点上移距离为L，此时物体A
也已经离开地面，则下列论述中正确的是（ ）
A．提弹簧的力对系统做功为mgL
B．物体A的重力势能增加mgL
C．系统增加的机械能小于mgL
D．以上说法都不正确
[例题3] （多选）如图所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以
一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于重力加速度的大小g。物块上升的最
大高度为H，则此过程中，物块的（ ）A．动能损失了 mgH B．动能损失了 2mgH
1
C．机械能损失了 mgH D．机械能损失了 mgH
2
考点二 摩擦力做功的特点及应用
1．静摩擦力做功的特点
(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．
(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能．
2．滑动摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：
①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．
(3)摩擦生热的计算：Q＝Fx 其中x 为相互摩擦的两个物体间的相对位移．
f 相对． 相对
深化拓展 从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量；从能量的角度看
其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量．
[例题4] 如图所示，在光滑的水平面上放置一个足够长木板 B，在B的左端放有一个可视
为质点的小滑块A，A、B间的动摩擦因数 ＝0.4，A的质量m＝1kg，B的质量M＝2kg，g＝
10m/s2。现对A施加F＝7N的水平向右的拉μ力，1s后撤去拉力F，求：
（1）撤去拉力F前小滑块A和长木板B的加速度a 和a ；
1 2
（2）A相对于B静止时的速度v；
（3）A相对于B静止的整个过程中由于摩擦生成的热量（结果可以用分数表示）。
[例题5] （2023秋•昌乐县期中）如图所示，水平传送带顺时针传送的速度 v＝2m/s，与
倾角为37°的斜面的底端P平滑连接，将一质量m＝1kg的小物块从斜面上A点由静止释放，
小物块第一次滑上传动带时恰好不会从传递带左端滑下。已知A、P间的距离x ＝9m，物块与
0斜面、传送带间的动摩擦因数分别为 ＝0.5、 ＝0.4，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝
1 2
0.6，cos37°＝0.8，求： μ μ
（1）传送带左端到传送带右端的距离L；
（2）小物块第n（n为整数且n≥2）次从斜面上运动到P时的速度大小；
（3）小物块在整个运动过程中与斜面间因摩擦而产生的总热量Q。
[例题6] （2023春•辽宁期中）如图所示，AB为光滑的水平轨道，与一倾角为 ＝37°的
传送带在B点平滑连接，传送带以v ＝4m/s沿顺时针方向匀速转动，一被压缩弹簧左θ 端固定
0
在A点，右端与小煤块接触（不栓接），现由静止释放煤块，小煤块被弹出运动到 B点前弹
簧恢复原长，煤块到B点的速度v＝2m/s，此后冲上传送带，煤块的质量m＝2kg，物块与传
7
送带的动摩擦因数 = ，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2。求：
8
μ
（1）弹簧被压缩时储存的弹性势能E 。
p
（2）小煤块冲上传送带到与传送带共速的过程中，传送带上的痕迹长d。
（3）当煤块与传送带共速后，传送带立即以a ＝1m/s2的加速度减速运动，结果煤块恰好运动到
0
传送带顶端，求整个过程中传送带电机因传送煤块多消耗的电能E（不包括传送带自身转动）
考点三 能量守恒定律及应用
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转
移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．2．表达式
ΔE ＝ Δ E
减 增．
3．基本思路
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加且减少量和增加量一定相等．
[例题7] 如图所示，长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由
于摩擦力作用，最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对板A静止的过程中，下述
说法中正确的是（ ）
A．物体B动能的减少量等于系统损失的机械能
B．物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量
C．物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和
D．摩擦力对物体B做的功和对木板A做的功的总和等于零
[例题8] 如图所示，有三个斜面a、b、c，底边长分别为L、L、2L，高度分别为2h、h、
h．某一物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑
到底端．三种情况相比较，下列说法正确的是（ ）
A．物体损失的机械能ΔE ＝2ΔE ＝4ΔE
c b a
B．因摩擦产生的热量2Q ＝2Q ＝Q
a b c
C．物体到达底端的动能E ＝2E ＝2E
ka kb kc
D．物体运动的时间4t ＝2t ＝t
a b c
[例题9] 如图所示长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于
摩擦力作用，最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对板A静止的过程中，下述说法中正确的是（ ）
A．物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和
B．物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量
C．物体B动能的减少量等于系统损失的机械能
D．摩擦力对物体B做的功和对木板A做的功的代数和的绝对值大于系统内能的增加量
[例题10]如图所示，一物体质量m＝2kg，在倾角为 ＝37°的斜面上的A点以初速度v ＝
0
3m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4m。当物体到θ达B后将弹簧压缩到C点，最大压
缩量BC＝0.2m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为 D点，D点距A点AD＝3m。
挡板及弹簧质量不计，g取10m/s2，sin37°＝0.6，求：
（1）物体与斜面间的动摩擦因数 。
（2）弹簧的最大弹性势能E pm 。 μ
考点四 传送带模型中的动力学和能量转化问题
1．传送带模型是高中物理中比较成熟的模型，典型的有水平和倾斜两种情况．一般设问的角度有
两个：
(1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第
二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系．
(2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而
使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解．
2．传送带模型问题中的功能关系分析
(1)功能关系分析：W＝ΔE＋ΔE＋Q.
k p
(2)对W和Q的理解：①传送带做的功：W＝Fx ；
传
②产生的内能Q＝Fx
f 相对．
传送带模型问题的分析流程
[例题11] 足够长的传送带倾斜放置，以大小为v＝2m/s的恒定速率顺时针转动，如图甲所
示。质量m＝2kg的小物块以初速度v ＝12m/s从A端冲上传送带又滑了下来，小物块的速度
0
随时间变化的图像如图乙所示，g＝10m/s2，小物块视为质点，求：
（1）小物块从冲上传送带到离开所用的时间；
（2）小物块与传送带间的动摩擦因数和传送带的倾角 ；
（3）0﹣2s内小物块与传送带间因摩擦所产生的热量。θ
[例题12]（2023春•辽宁期末）利用弹簧弹射和皮带传动装置可以将工件运送至高处。如
图所示，已知传送轨道平面与水平方向成37°角，倾角也是37°的光滑斜面轨道固定于地面且
与传送轨道良好对接，弹簧下端固定在斜面底端，工件与传送带间的动摩擦因数 ＝0.25。传
送带顺时针匀速转动的速度v＝4m/s，两轮轴心相距L＝5m，B、C分别是传送带μ与两轮的切
点，轮缘与传送带之间不打滑。现将质量m＝1kg的工件放在弹簧上，用力将弹簧压缩至A点
后由静止释放，工件离开斜面顶端滑到传送带上的B点时速度v ＝8m/s，A、B间的距离x＝
0
1m。工件可视为质点，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）弹簧的最大弹性势能；
（2）工件第一次沿传送带上滑至最高点的时间。
（3）第一次从B点上滑至最高点的过程中因摩擦产生的热能。[例题13]（2023春•宁波期末）如图所示，竖直平面内固定有半径为R＝1m的光滑四分之
一圆轨道AB、水平直轨道BC、DO以及以速度v＝3m/s逆时针转动的水平传送带CD，OD上
有一轻质弹簧，一端固定在O点另一端自然伸长于E点，各轨道平滑连接。现有一质量为m＝
2kg的滑块（可视为质点）从轨道AB上高为h处由静止下滑，已知L ＝0.2m，L ＝0.4m，
BC CD
L ＝0.3m，滑块与BC、DE间的动摩擦因数均为 ＝0.3，与传送带间的动摩擦因数为 ＝
DE 1 2
0.5，E点右侧平面光滑，整个过程不超过弹簧的弹性μ限度，重力加速度g取10m/s2。 μ
（1）若h＝0.2m，求滑块运动至B处时对轨道的作用力F ；
N
（2）若要使滑块能到达D点，且不再离开DE，求滑块下落高度满足的条件；
（3）若滑块第一次到达D点速度恰为0，求这一过程滑块通过传送带产生的内能。
题型1功能关系及能量守恒定律的应用
1. （2024•广东二模）2023年亚运会在杭州顺利举行，广东中山15岁小将陈烨夺得我国
在滑板男子碗池项目的首枚金牌，实现历史性突破，假如某次训练中陈烨以同一姿态沿轨道下
滑了一段距离，这过程中重力对他做功为800J，他克服阻力做功为200J，不计其他作用力的
功，则陈烨在此过程中（ ）A．动能可能不变 B．动能增加了600J
C．重力势能减少了600J D．机械能增加了200J
2. （2024春•洛阳期中）图甲为科技活动节学生自制小型抛石机。将石块放在长臂一端
的凹槽中，在短臂端固定重物，发射前将长臂端往下拉至地面，然后突然松开，凹槽中的石块
过最高点时就被抛出。现将其简化为如图乙所示的模型，将一质量m＝10g可视为质点的小石
块，装在长L＝10cm的长臂末端的凹槽中，初始时长臂与水平面的夹角为30°，松开后长臂转
至竖直位置时，石块被水平抛出，落在水平地面上，测得石块落地点与O点的水平距离为
30cm，以地面为零势能面，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是
（ ）
A．石块被水平抛出时的动能为1.5×10﹣1J
B．石块从A点到最高点机械能增加3.0×10﹣2J
C．石块着地时，重力做功的功率为√3W
D．石块从A点到最高点的过程中，其重力势能的增加量等于重物重力势能的减小量
3. （2024春•岳麓区校级月考）如图所示，在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端
O点与管口A的距离为2x ，一质量为m的小球从管口由静止下落，将弹簧压缩至最低点B，
0
压缩量为x ，不计空气阻力，重力加速度为 g，弹簧的弹性势能E 与形变量x的关系为E
0 p p
1
= kx2，则（ ）
2A．弹簧的最大弹性势能为3mgx
0
B．小球运动的最大速度等于
2√gx
0
mg
C．弹簧的劲度系数为
x
0
D．小球运动中最大加速度为g
题型2摩擦力做功与能量转化
4. （2024•银川一模）质量为m的物体以某一初速度冲上倾角为30°足够长的固定斜面，
7
上升高度为h时速度减为初速度的一半，上滑阶段加速度为 g。g为重力加速度，最大静摩
8
擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（ ）
A．物体上升的最大高度2h
√3
B．物体与斜面间动摩擦因数为
4
C．从冲上斜面到返回斜面底端的过程中物体克服摩擦力做功为2mgh
D．物体上滑阶段和下滑阶段所用时间之比1：8
5. （2024春•鼓楼区校级期中）如图是“深穴打夯机”示意图，电动机带动两个滚轮匀
速转动将夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，两个滚轮彼此分开，将夯杆释放，夯
杆在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底。然后两个滚轮再次压紧，夯杆被提上来，如此周而复始（夯杆被滚轮提升过程中，经历匀加速和匀速运动过程）。已知两个滚轮边缘的线速度
恒为v ＝5m/s，每个滚轮对夯杆的正压力均为F＝2.5×104N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数 ＝
0
0.25，夯杆质量m＝1×103kg，坑深h＝6.5m，假定在打夯的过程中坑的深度变化很小，取μg＝
10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．夯杆被滚轮带动加速上升的过程中，加速度的大小为2m/s2
B．每个打夯周期中，电动机多消耗的电能为7.75×104J
C．每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量为6.25×104J
D．增加滚轮对夯杆的正压力，每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量将增加
6. （2024•海南）如图所示，一轻质弹簧一端固定在 O点，另一端与小球相连。小球套
在竖直固定、粗细均匀的粗糙杆上，OP与杆垂直，小球在P点时，弹簧处于自然伸长状态，
M、N两点与O点的距离相等，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。小球从 M点静止释放，在运
动过程中，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到P点时速度最大
B．小球运动到N点时的速度是运动到P点速度的√2倍
C．从M点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变大再变小
D．从M点到P点和从P点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力做功相同题型3传送带类的功能转化
7. （2023秋•越秀区期末）如图，工人用传送带运送货物，传送带倾角为 30°，顺时针
匀速转动，把货物从底端A点运送到顶端B点，其速度随时间变化关系如图所示。已知货物
质量为10kg，重力加速度取10m/s2。则下列说法中不正确的是（ ）
A．传送带匀速转动的速度大小为1m/s
√3
B．货物与传送带间的动摩擦因数为
2
C．运送货物的整个过程中摩擦力对货物做功795J
D．A、B两点的距离为16m
8. （2023•台州模拟）如图所示为处于竖直平面内的一实验探究装置的示意图，该装置
由长L ＝3m、速度可调的固定水平传送带，圆心分别在O 和O ，圆心角 ＝120°、半径R＝
1 1 2
0.4m的光滑圆弧轨道BCD和光滑细圆管EFG组成，其中B点和G点分别θ为两轨道的最高点
和最低点，B点在传送带右端转轴的正上方。在细圆管EFG的右侧足够长的光滑水平地面上
紧挨着一块与管口下端等高、长L ＝2.2m、质量M＝0.4kg木板（与轨道不粘连）。现将一块
2
质量m＝0.2kg的物块（可视为质点）轻轻放在传送带的最左端A点，物块由传送带自左向右
传动，在B处的开口和E、D处的开口正好可容物块通过。已知物块与传送带之间的动摩擦因
数 ＝0.2，物块与木板之间的动摩擦因数 ＝0.5，g取10m/s2。
1 2
（1）μ若物块进入圆弧轨道BCD后恰好不脱轨μ，求物块在传送带上运动的时间；
（2）若传送带的速度3m/s，求物块经过圆弧轨道BCD最低D点时，轨道对物块的作用力大小；
（3）若传送带的最大速度4m/s，在不脱轨的情况下，求滑块在木板上运动过程中产生的热量 Q
与传送带速度v之间的关系。题型4板块类的功能转化
9. （2023春•渝中区校级期中）中国的快递物流行业发展迅速。如图所示，某快递收发
站需将质量m＝50kg的快递（可视为质点）从高处运送至地面，为避免快递与地面发生撞击，
现利用粗糙倾斜轨道SP、竖直面内弧形光滑轨道PQ，使快递由倾斜轨道顶端距底端高度h＝
2m处无初速度滑下。两轨道相切于P，倾斜轨道与水平面夹角为 ＝60°，弧形轨道半径R＝
2m，末端切线水平。地面上紧靠轨道依次排放两块完全相同的木板θA、B，长度均为l＝4m，
质量均为M＝50kg，木板上表面与弧形轨道末端Q相切。快递与SP轨道之间的摩擦因数为
μ
√3
= ，快递与木板间的动摩擦因数为 ，地面光滑（不考虑快递与各轨道相接处能量损失，
1
2
μ
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10m/s2）。求：
（1）快递到达弧形轨道末端时对轨道的压力；
（2）若 ＝0.5，试判断快递能否滑上木板B？并计算快递滑上木板后与木板间产生的热能Q。
1
μ
10. （2023春•秦淮区校级期中）如图所示，木板 L＝5m，质量为M＝2kg的平板车在粗
糙水平面上向右滑行，当其速度为v＝9m/s时，在其右端轻轻放上一个质量为m＝1kg的滑块，
已知滑块与木板间的动摩擦因数为 ＝0.2，木板与地面间的动摩擦因数为 ＝0.4。求：
1 2
（1）滑块与木板取得相同的速度前各μ自的加速度大小； μ
（2）从开始至最终停止，滑块与木板间因摩擦产生的热量Q；
（3）从开始至木板刚停止时，滑块、木板和地面组成的系统增加的内能U。
题型5常见功能关系图像分析
11. （2024春•西安期中）从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总 等于动能E
k
与重力势能E
p
之和。取地面为重力势能零点，该物体的E总 和E
p
随它离开地面的高度h的变化如图所
示。由图中数据可知，下列说法错误的是（ ）
A．物体的质量为2kg
B．h＝0时，物体的速率为20m/s
C．h＝2m时，物体的动能E ＝50J
k
D．从地面至h＝4m处过程中，物体的动能减少100J
12. （2024•东湖区校级一模）如图所示，在倾角为37°的粗糙且足够长的斜面底端，一质
量为m＝2kg可视为质点的滑块压缩一轻弹簧并锁定，滑块与弹簧不拴连。t＝0时刻解除锁定，
计算机通过传感器描绘出滑块的v﹣t图像，其中Ob段为曲线，bc段为直线，已知物块在0﹣
0.2s内运动的位移为0.8m，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列说法正确的是（
）
A．滑块速度最大时，滑块与弹簧脱离
B．滑块在0.2s时机械能最大
C．滑块与斜面间的动摩擦因数为 ＝0.2
D．t＝0时刻弹簧的弹性势能为32μJ
13. （2024•榆林开学）如图所示，以恒定速率 v逆时针运行的传送带与水平面间的夹角
为 ，转轴间距L。工作人员将质量为m的小包裹轻放上传送带的顶端。已知小包裹与传送带
间的α动摩擦因数为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 g。设传送带顶端为零势
能面，则描述小包裹μ的机械能随其位移的变化关系可能正确的是（ ）A． B．
C． D．
14. （2024•正定县校级三模）如图甲所示，水平桌面上有一算盘。中心带孔的相同算珠
（可视为质点）可穿在固定的杆上滑动，算珠与杆之间的动摩擦因数恒定，使用时发现某一根
杆上有A、B两颗算珠未在归零位。A、B相隔s ＝3.5cm，B与上边框相隔s ＝2cm，现用手
1 2
指将A以某一初速度拨出，在方格纸中作出A、B运动的v﹣t图像如图乙所示（实线代表A，
虚线代表B）。忽略A、B碰撞的时间，g取10m/s2，则下列说法中正确的是（ ）
A．算珠A、B均能回到自己的归零位
B．算珠A在碰撞前运动了0.2s
C．算珠与杆之间的动摩擦因数为0.1
D．算珠A与算珠B在碰撞过程中机械能守恒
