文档文本内容
第13 讲 系统的动量守恒定律
【模型一 动量守恒定律的理解和应用 】
类型1 动量守恒定律判断
类型2 动量守恒定律简单应用
类型3 滑块—曲面体模型
【模型二 碰撞】
类型1 碰撞的可能性分析
类型2 碰撞规律的应用
类型3 子弹打木块模型
类型4 滑块—木板模型
类型5 滑块—弹簧模型
【模型三 反冲运动、爆炸】
类型1 爆炸现象
类型2 反冲运动
类型3 人船模型
动量守恒定律作为分析力学的三把“金钥匙”之一，高考物理的必考内容，命题贯穿力学、电磁学综
合题，体现学科交叉性。通过具体的物理过程和模型来考查，结合碰撞、火箭、人船模型等实际现象，考
查动量守恒在非理想条件下的应用。极少单独考查动量守恒，绝大多数题目会与牛顿运动定律、功能关系
规律综合运用。考查学生在新情境下识别物理模型、应用物理规律的能力。
通过本节复习，深刻理解动量守恒定律的内容、适用条件、矢量性、相对性。理解动量守恒的本质是
系统不受外力或合外力为零（或某方向分量和为零）。将碰撞、爆炸、反冲、人船模型进行对比归类，明
确每种模型的关键特征（如守恒条件、能量特点、典型结论）。提炼每种模型的解题思路和标准步骤，通
过科学训练提升综合分析能力和解题技能。
【模型一 动量守恒定律的理解和应用】
类型1 动量守恒定律判断
1.动量守恒定律的条件
（1）理想守恒：系统不受外力或系统所受外力的合力为零.
（2）近似守恒：系统所受的外力的合力虽不为零，但系统外力比内力小得多，如碰撞问题中的摩擦
力，爆炸过程中的重力等外力比起相互作用的内力来小得多，可以忽略不计.
（3）某一方向守恒：系统所受外力的合力虽不为零，但在某个方向上的分量为零，则在该方向上系
统的总动量的分量保持不变.
2.动量守恒定律的内容
（1）内容：一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变.
（2）表达式:
①系统相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量：p=p'或m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'
②相互作用的两个物体动量的变化量等大反向：Δp1=-Δp2
3.动量守恒定律的理解
矢量性
动量守恒定律的表达式为矢量方程，解题应选取统一的正方向
相对性
各物体的速度必须是相对同一参考系的速度(一般是相对于地面)
同时性
动量是一个瞬时量，表达式中的p1、p2…应是系统中各物体在相互作用前同一时刻的
动量，p1'、p2'…应是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量
系统性
研究的对象是相互作用的两个或多个物体组成的系统
普适性
动量守恒定律不仅适用于低速宏观物体组成的系统，还适用于接近光速运动的微观
粒子组成的系统
【典例1】（2021·全国乙卷·高考真题）如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢
的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去
推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧
和滑块组成的系统（ ）
A．动量守恒，机械能守恒 B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒 D．动量不守恒，机械能不守恒
【变式1-1】宇航员在远离任何星体的太空中，与他旁边的飞船相对静止。不计飞船与宇航员间的万
有引力，为使宇航员能朝着飞船运动，下列措施可行的是（ ）
A．沿靠近飞船方向扔出宇航员身上的小物体
B．沿远离飞船方向扔出宇航员身上的小物体
C．沿靠近飞船方向踢腿
D．沿远离飞船方向踢腿
【变式1-2】短道速滑比赛中“接棒”运动员（称为“甲”）在前面滑行，“交棒”运动员（称为
“乙”）从后面用力推前方“接棒”运动员完成接力过程，如图所示。假设甲的质量小于乙的质量、交接
棒过程中甲、乙速度方向均在同一直线上，忽略运动员与冰面之间的摩擦。在交接棒过程，下列说法中正
确的是（ ）
A．乙对甲的作用力大于甲对乙的作用力
B．甲的动量增加量大于乙的动量减少量
C．甲的速度增加量大于乙的速度减少量
D．甲、乙两运动员冲量之和不为零
【变式1-3】如图所示，一根光滑刚性杆OAB 固定在底座上，其中OA 段是四分之一圆弧，AB 段是与OA
段平滑连接的水平杆，底座置于光滑水平面上。现让内径比杆略大的小环套在杆上并以某一初速度沿杆由
点B 滑动到点O，则此过程（ ）
A．小环动量守恒
B．小环水平方向动量守恒
C．小环、杆OAB 及底座组成的系统动量守恒
D．小环、杆OAB 及底座组成的系统水平方向动量守恒
类型2 动量守恒定律简单应用
应用动量守恒定律解题的步骤
【典例2】（2025·山东·高考真题）轨道舱与返回舱的组合体，绕质量为M 的行星做半径为r 的圆
周运动，轨道舱与返回舱的质量比为
。如图所示，轨道舱在P 点沿运动方向向前弹射返回舱，分开瞬
间返回舱相对行星的速度大小为
，G 为引力常量，此时轨道舱相对行星的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2014·福建·高考真题）一枚火箭搭载着卫星以速率v0进入太空预定位置，由控制系
统使箭体与卫星分离．已知前部分的卫星质量为m1，后部分的箭体质量为m2，分离后箭体以速率v2沿火箭
原方向飞行，若忽略空气阻力及分离前后系统质量的变化，则分离后卫星的速率v1为（ ）
A．v0-v2
B．v0+v2
C．
D．
【变式2-2】空间站内，甲乙两名航天员在准备出舱活动。甲相对空间站静止，乙拿着质量为 50kg 箱
子正以2m/s 的速度沿两人连线方向向左靠近甲。若乙将箱子向左推向甲，乙和箱子间作用时间为0.2s，
离手时箱子速度为4m/s，甲乙两人和装备的总质量分别为200kg 和250kg，求：
(1)乙对箱子的平均作用力大小。
(2)推出箱子后乙的速度。
(3)甲碰到箱子后立刻抓住不松开，要使甲乙航天员不碰撞，乙对箱子的平均作用力至少为多少？
类型3 滑块—曲面体模型
模型图例
模型规律
光滑的曲面体开始时静止在水平地面上，滑块以速度v0滑上曲面体
①系统水平方向动量守恒；
②系统的机械能守恒。
两个位置
（1）滑块到达最高点时，滑块与曲面体具有共同的水平速度v 共
①系统水平方向动量守恒：mv0＝（M＋m）v 共；
②系统机械能守恒：1
2mv0
2＝1
2（M＋m）v共
2＋mgh，其中h 为滑块上升的最大高度，不一
定等于圆弧轨道的高度。
（2）滑块返回最低点时，滑块与曲面体分离
①系统水平方向动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2；
②系统机械能守恒：1
2mv0
2＝1
2mv1
2＋1
2Mv2
2。
【典例3】光滑水平面上放置固定有竖直杆的小车，轻绳一端系有小球另一端系于杆顶，车右侧有固
定挡板。现将小球向右拉开至如图位置，释放小球小车，小球第一次向左摆动至最高点过程中（ ）
A．下摆过程，球车系统水平动量守恒
B．下摆过程，球车系统竖直动量守恒
C．上摆过程，球车系统水平动量守恒
D．上摆过程，球车系统竖直动量守恒
【变式3-1】（多选）如图所示，质量均为M 的物体A 和B 静止在光滑水平地面上并紧靠在一起（不粘
连），A 的ab 部分是四分之一光滑圆弧，bc 部分是粗糙的水平面。现让质量为m 的小物块C（可视为质
点）自a 点静止释放，最终刚好能到达c 点而不从A 上滑下。则下列说法中正确的是（ ）
A.小物块C 下滑到b 点时，A 的速度最大
B.小物块C 下滑到c 点时，A 的速度最大
C.小物块C 下滑到b 点时，C 的速度最大
D.小物块C 下滑到c 点时，A 的速率大于B 的速率
【变式3-2】如图，在光滑水平面上放置物体
，小球
从
的顶端沿光滑曲面由静止下滑，在小球
下滑过程中说法错误的是（ ）
A．小球
与物体
组成的系统水平方向动量守恒
B．小球
与物体
组成的系统机械能守恒
C．小球
对物体
的压力不做功
D．物体
对小球
的支持力的冲量不为零
【变式3-3】如图所示，水平光滑地面静止放置一光滑圆弧形滑块B，在滑块B 的右侧静止放置小球
A、C，两球之间夹着处于压缩状态的轻弹簧，弹簧不与两球栓接，用细线固定。某时刻烧断细线，弹簧恢
复原长时C 球的速度大小
，A 球以一定的速度冲上B。已知B 的质量M=2kg，半径R=0.5m，A 球质
量
，C 球质量
，A、C 两球均可看成质点，重力加速度g 取
，空气阻力不计。不研
究A、B 分离之后的运动，通过计算回答下列问题：
(1)求弹簧恢复原长时A 球的速度大小v1；
(2)烧断细线前弹簧存储的弹性势能Ep；
(3)A 球冲上B 后，在上升阶段是否会冲出圆弧。
【变式3-4】大型工厂的车间中有一种设备叫做天车如图甲所示，是运输材料的一种常用工具。此装
置可以简化为如图乙所示的模型，足够长的光滑水平杆上套有一个滑块，滑块M 正下方用不可伸长的轻绳
悬挂一小球m。开始时两者均静止；给小球一水平向右的初速度v0后，小球恰好能摆至与滑块等高的位置，
如图乙所示，之后小球再向下摆动，则（ ）
A．小球与滑块等高时，小球的速度为零
B．此过程中，小球与滑块组成的系统动量不守恒
C．小球与滑块等高时，滑块的速度达到最大值
D．小球向左摆到物块正下方时，其速度大小仍为v0
【模型二 碰撞】
类型1 碰撞的可能性分析
1.碰撞：碰撞是指物体间的相互作用持续时间很短，而物体间相互作用力很大的现象．
2.特点：在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力，可认为相互碰撞的系统动量守恒．
3.碰撞遵守的三条原则
原则一：动量守恒，p1＋p2＝p1'＋p2'。
原则二：动能不增加，Ek1＋Ek2≥Ek1'＋Ek2'。
原则三：速度要合理
①碰前两物体同向运动，若要发生碰撞，则应有 v 后＞v 前，碰后原来在前的物体速度一定增大，
若碰后两物体仍同向运动，则应有v 前'≥v 后'。
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向至少有一个改变。
4.在判断碰撞过程中的可能性问题时，应从以下三方面进行分析：
(1)碰撞前后的状态要符合具体的物理情景；
(2)碰撞过程中要遵循动量守恒定律；
(3)碰撞前后符合能量关系，即总动能满足Ek 前≥Ek 后
【典例4】（2025·河南·高考真题）两小车P、Q 的质量分别为
和
，将它们分别与小车N 沿直
线做碰撞实验，碰撞前后的速度v 随时间t 的变化分别如图1 和图2 所示。小车N 的质量为
，碰撞时间
极短，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】2023 年斯诺克上海沃德大师赛于9 月16 日至22 日在上海体育馆举行．如图为丁俊晖正
在准备击球，设丁俊晖在这一杆中，白色球（主球）和花色球碰撞前后都在同一直线上运动，碰前白色球
的动量为
，花色球静止，白球A 与花色球B 发生碰撞后，花色球B 的动量变为
，
则两球质量mA与mB间的关系可能是（ ）
A．mB=mA
B．
C．
D．
【变式4-2】（2022·北京·高考真题）质量为
和
的两个物体在光滑水平面上正碰，其位置坐标
x 随时间t 变化的图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．碰撞前
的速率大于
的速率
B．碰撞后
的速率大于
的速率
C．碰撞后
的动量大于
的动量
D．碰撞后
的动能小于
的动能
类型2 碰撞规律的应用
类型
定义
动量是否守恒
机械能是否守恒
弹性碰撞
碰撞时,内力是弹性力,只发生机械能
的转移,系统内无机械能损失
守恒
守恒
非弹性碰撞
发生非弹性碰撞时,内力是非弹性力,
部分机械能转化为物体的内能
守恒
有损失
完全非弹性碰撞
发生完全非弹性碰撞时,机械能向内
能转化得最多,机械能损失最大.碰后
物体粘在一起,以共同速度运动
守恒
损失最大
1.静止物体被撞后的速度范围：物体A 与静止的物体B 发生碰撞：
当发生完全非弹性碰撞时损失的机械能最多，物体B 的速度最小，
vB=
mA
mA+mB
v0
，
当发生弹性碰撞时，物体B 速度最大，
vB=
2mA
mA+mB
v0
，
则碰后物体B 的速度范围为：
mA
mA+mB
v0≤vB≤
2mA
mA+mB
v0
.
2.弹性碰撞的特点：
动量守恒：m1v0＝m1v1＋m2v2
机械能守恒：1
2m1v0
2＝1
2m1v1
2＋1
2m2v2
2
联立解得v1＝
m1-m2
m1+m2
v0，v2＝
2m1
m1+m2
v0
情形一：若m1＝m2，则v1＝0，v2＝v0 ，（质量相等的两个物体发生弹性碰撞后交换速度）；
情形二：若m1＞m2，则v1＞0，v2＞0（碰后两小球沿同一方向运动）；
特例：当m1≫m2时，v1≈v0，v2≈2v0；
情形三：若m1＜m2，则v1＜0，v2＞0（碰后两小球沿相反方向运动）；
特例：当m1≪m2时，v1≈－v0，v2≈0。
3. 非弹性碰撞特点：
碰撞结束后，动能有部分损失。有
m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'
1
2m1v1
2+1
2m2v2
2=1
2m1v1'2+1
2m2v2'2+ΔEk 损
4. 完全非弹性碰撞
碰撞结束后，两物体合二为一，以同一速度运动，动能损失最大。有
m1v1+m2v2=(m1+m2)v
1
2m1v1
2+1
2m2v2
2=1
2(m1+m2)v2+ΔEk 损max
结果: v=m1v1+m2v2
m1+m2
ΔEk 损max=
m1m2
2(m1+m2)(v1－v2)2
【典例5】（2025·广东·高考真题）如图所示，光滑水平面上，小球M、N 分别在水平恒力
和
作
用下，由静止开始沿同一直线相向运动在
时刻发生正碰后各自反向运动。已知
和
始终大小相等，方
向相反。从开始运动到碰撞后第1 次速度减为0 的过程中，两小球速度v 随时间t 变化的图像，可能正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】37．（2024·广西·高考真题）如图，在光滑平台上有两个相同的弹性小球M 和N。M 水
平向右运动，速度大小为v。M 与静置于平台边缘的N 发生正碰，碰撞过程中总机械能守恒。若不计空气阻
力，则碰撞后，N 在（ ）
A．竖直墙面上的垂直投影的运动是匀速运动
B．竖直墙面上的垂直投影的运动是匀加速运动
C．水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v
D．水平地面上的垂直投影的运动速度大小大于v
【变式5-2】（2025·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一
直线放置。每列有n 个。在两列钢球之间，一质量为m 的玻璃球以初速度
向右运动，与钢球发生正碰。
所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。
(1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小；
(2)若钢球质量为
，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小
；
(3)若钢球质量为
，求玻璃球经历
次碰撞后的动能
。
【变式5-3】（2025·海南海口模拟预测）在动画电影《哪吒》中，哪吒与敖丙在冰封的海面上对决，
哪吒脚踩风火轮（总质量
），以速度
水平向右疾行，敖丙手持冰锤（总质量
）以速度
水平向左冲来，两人迎面相撞后紧紧抓住对方共同运动。假设冰面光滑，忽略空气阻力，
则相撞后两人的共同速度为（ ）
A．7.5m/s，水平向右 B．1m/s，水平向右
C．7.5m/s，水平向左 D．1m/s，水平向左
【变式5-4】（2024·天津·高考真题）如图所示，光滑半圆轨道直径沿竖直方向，最低点与水平面
相切。对静置于轨道最低点的小球A 施加水平向左的瞬时冲量I，A 沿轨道运动到最高点时，与用轻绳悬挂
的静止小球B 正碰并粘在一起。已知I = 1.8 N∙s，A、B 的质量分别为mA = 0.3 kg、mB = 0.1 kg，轨道半
径和绳长均为R = 0.5 m，两球均视为质点，轻绳不可伸长，重力加速度g 取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)与B 碰前瞬间A 的速度大小；
(2)A、B 碰后瞬间轻绳的拉力大小。
【变式5-5】（2024·甘肃·高考真题）如图，质量为2kg 的小球A（视为质点）在细绳
和OP 作
用下处于平衡状态，细绳
，与竖直方向的夹角均为60°。质量为6kg 的木板B 静止在光滑
水平面上，质量为2kg 的物块C 静止在B 的左端。剪断细绳
，小球A 开始运动。（重力加速度g 取
）
（1）求A 运动到最低点时细绳OP 所受的拉力。
（2）A 在最低点时，细绳OP 断裂。A 飞出后恰好与C 左侧碰撞（时间极短）、碰后A 竖直下落，C 水
平向右运动。求碰后C 的速度大小。
（3）A、C 碰后，C 相对B 滑行4m 后与B 共速。求C 和B 之间的动摩擦因数。
【变式5-6】（2022·福建·高考真题）如图，L 形滑板A 静置在粗糙水平面上，滑板右端固定一劲度
系数为
的轻质弹簧，弹簧左端与一小物块B 相连，弹簧处于原长状态。一小物块C 以初速度
从滑板最
左端滑入，滑行
后与B 发生完全非弹性碰撞（碰撞时间极短），然后一起向右运动；一段时间后，滑板
A 也开始运动．已知A、B、C 的质量均为
，滑板与小物块、滑板与地面之间的动摩擦因数均为
，重力
加速度大小为
；最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内。求：
（1）C 在碰撞前瞬间的速度大小；
（2）C 与B 碰撞过程中损失的机械能；
（3）从C 与B 相碰后到A 开始运动的过程中，C 和B 克服摩擦力所做的功。
【变式5-7】某次训练中使用的冰壶A 和冰壶B 的质量均为m＝20kg，两冰壶与冰面间的动摩擦因数均
为μ＝0.02，初始时两冰壶之间的距离s＝7.5m，冰壶A 被运动员以v0＝2m/s 的初速度水平掷出后，与静
止的冰壶B 碰撞，碰后冰壶A 的速度大小变为vA＝0.2m/s，方向不变，碰撞时间极短。已知重力加速度g
＝10m/s2。求：
(1)冰壶A 在与B 碰撞前瞬间的速度大小v1；
(2)两冰壶碰撞后瞬间B 的速度大小vB；
(3)两冰壶在碰撞过程中减少的机械能ΔE。
【变式5-7】（2022·广东·高考真题）某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理
模型。竖直放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态。当滑块从A 处以初速度
为
向上滑动时，受到滑杆的摩擦力f 为
，滑块滑到B 处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑
杆离开桌面一起竖直向上运动。已知滑块的质量
，滑杆的质量
，A、B 间的距离
，重力加速度g 取
，不计空气阻力。求：
（1）滑块在静止时和向上滑动的过程中，桌面对滑杆支持力的大小
和
；
（2）滑块碰撞前瞬间的速度大小v1；
（3）滑杆向上运动的最大高度h。
类型3 子弹打木块模型
模型图例
模型规律
（1）地面光滑，系统的动量守恒。
（2）系统的机械能有损失，一般应用能量守恒定律。
两种情况
（1）子弹未穿出木块：两者最终速度相等，机械能损失最多
①动量守恒：mv0＝（m＋M）v
②能量守恒：Q＝f·x＝1
2mv0
2－1
2（M＋m）v2
（2）子弹穿出木块：两者速度不相等，机械能有损失
①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2
②能量守恒：Q＝f·l＝1
2mv0
2－(
1
2 m v1
2+ 1
2 M v2
2)
三个角度求解子弹打木块过程中损失的机械能
（1）利用系统前、后的机械能之差求解；
（2）利用Q＝f·x 相对求解；
（3）利用打击过程中子弹克服阻力做的功与阻力对木块做的功的差值进行求解。
【典例6】（2024·湖北·高考真题）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L 的木块，
质量为m 的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f 与射入初速度大小
成正比，即
（k 为已知常数）。改变子弹的初速度大小
，若木块获得的速度最大，则（ ）
A．子弹的初速度大小为
B．子弹在木块中运动的时间为
C．木块和子弹损失的总动能为
D．木块在加速过程中运动的距离为
【变式6-1】现代的装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击。
通过对以下简化模型的计算可以粗略说明其原因。质量为2m、厚度为2d 的钢板静止在水平光滑的桌面上。
质量为m 的子弹以某一速度垂直射向该钢板，恰好能将钢板射穿。现把钢板分成厚度均为d、质量为m 的
相同的两块，间隔一段距离平行放置，如图所示。若子弹以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿出后再射
向第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深度。设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块钢板不会发生
碰撞。不计重力影响。
【变式6-2】如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为m 的光滑圆环，一轻绳一端系在环上，另一
端系着质量为M 的木块，现有一质量为m0的子弹以大小为v0的水平速度射入木块并留在木块中，重力加速
度为g，下列说法正确的是（ ）
A.子弹射入木块后的瞬间，速度大小为
m0v0
m0+m+ M
B.子弹射入木块后的瞬间，绳子拉力等于（M＋m0）g
C.子弹射入木块后的瞬间，环对轻杆的压力大于（M＋m＋m0）g
D.子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒
【变式6-3】（多选）如图所示，一子弹以初速度v0击中静止在光滑的水平面上的木块，最终子弹未
能射穿木块，射入的深度为d，木块加速运动的位移为s。则以下说法正确的是（ ）
A.子弹动能的亏损等于系统动能的亏损
B.子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C.摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D.子弹对木块做的功等于木块动能的增量
【变式6-4】（多选）如图所示，木块静止在光滑水平面上，子弹A、B 从两侧同时水平射入木木块始
终保持静止，子弹A 射入木块的深度是B 的3 倍。假设木块对子弹的阻力大小恒定，A、B 做直线运动且不
会相遇，则A、B 运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A.木块和子弹A、B 组成的系统动量守恒
B.子弹B 的初速度大小是子弹A 的初速度大小的3 倍
C.子弹B 的质量是子弹A 的质量的3 倍
D.若子弹A 向右射入木块，与木块相对静止后，子弹B 再向左射入木块，最终A 进入的深度仍是B 的3
倍
类型4 滑块—木板模型
模型图例
模型规律
木板M 放在光滑的水平地面上，滑块m 以速度v0滑上木板，两者间的摩擦力大小为f。
①系统的动量守恒；
②系统减少的机械能等于摩擦力与两者相对位移大小的乘积，即摩擦生成的热量。
两种情况
（1）若滑块未滑离木板，则类似于子弹打木块模型中子弹未穿出的情况。
①系统动量守恒：mv0＝（M＋m）v；
②系统能量守恒：Q＝f·x＝1
2mv0
2－1
2（M＋m）v2。
（2）若滑块滑离木板，则类似于子弹穿出的情况。
①系统动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2；
②系统能量守恒：Q＝fl＝1
2mv0
2－(
1
2 m v1
2+ 1
2 M v2
2)。
【典例7】在高度为h 的光滑水平平台左侧竖直面内固定一光滑
圆弧轨道，轨道与平台相切于最低
点。平台右侧是一下挖深度为d 的光滑水平槽，在水平槽上放置一个厚度为d 的长木板，长木板质量
，长木板左端放置一个质量为m 的小物块（可视为质点），如图。一质量为
的小球从光滑
圆弧
轨道最高点由静止释放，小球运动到平台后与长木板上的小物块发生弹性碰撞，碰撞后小物块获得水平向
右的速度
，小球反弹后被立即拿走。当小物块在长木板上滑动到长木板最右端时，小物块与长木板恰好
达到共速，长木板右端到达平台边缘后立即被锁定，小物块水平飞出。已知重力加速度为g，小物块与长
木板间的动摩擦因数为
，空气阻力不计。求：
(1)光滑
圆弧轨道的半径R；
(2)长木板的长度；
(3)小物块落地点到平台边缘的水平距离。
【变式7-1】（2025·浙江·高考真题）如图所示，光滑水平地面上放置完全相同的两长板A 和B，滑
块C（可视为质点）置于B 的右端，三者质量均为
。A 以
的速度向右运动，B 和C 一起以
的
速度向左运动，A 和B 发生碰撞后粘在一起不再分开。已知A 和B 的长度均为0.75m，C 与A、B 间动摩擦因
数均为0.5，则（ ）
A．碰撞瞬间C 相对地面静止
B．碰撞后到三者相对静止，经历的时间为0.2s
C．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为
D．碰撞后到三者相对静止，C 相对长板滑动的距离为0.6m
【变式7-2】如图所示，有一个质量为M 的足够长的木板，正以水平向左大小为v 的速度在光滑水平
面上滑行，同时有一个质量为m 的滑块以大小为v 的速度向右滑上木板，滑块和木板间的动摩擦因数为
μ，且M>m，运动过程中滑块与木板始终不分离，以下分析正确的是（ ）
A．仅增大
，摩擦产生的热量不变
B．仅增大
，摩擦力对滑块的冲量大小增大
C．仅增大
，滑块相对木板滑行的距离变小
D．仅减小
，滑块相对木板滑行的时间变短
【变式7-3】（2022·河北高考）如图，光滑水平面上有两个等高的滑板A 和B，质量分别为1 kg 和2
kg，A 右端和B 左端分别放置物块C、D，物块质量均为1 kg，A 和C 以相同速度v0＝10 m/s 向右运动，B
和D 以相同速度kv0向左运动，在某时刻发生碰撞，作用时间极短，碰撞后C 与D 粘在一起形成一个新滑块，
A 与B 粘在一起形成一个新滑板，物块与滑板之间的动摩擦因数均为μ＝0.1。重力加速度大小取g＝10
m/s2。
（1）若0＜k＜0.5，求碰撞后瞬间新物块和新滑板各自速度的大小和方向；
（2）若k＝0.5，从碰撞后到新滑块与新滑板相对静止时，求两者相对位移的大小。
类型5 滑块—弹簧模型
模型图例
水平地面光滑，m1、m2与轻弹簧（开始处于原长）相连，m1以初速度v0运动。
模型规律
（1）系统的动量守恒。
（2）系统的机械能守恒。
两
个
状
态
（1）弹簧最短（或最长）时两物体瞬时速度相等，弹性势能最大
①系统动量守恒：m1v0＝（m1＋m2）v 共；
②系统机械能守恒：1
2m1v0
2＝1
2（m1＋m2）v共
2＋Epm。
（2）弹簧处于原长时弹性势能为零
①系统动量守恒：m1v0＝m1v1＋m2v2；
②系统机械能守恒：1
2m1v0
2＝1
2m1v1
2＋1
2m2v2
2。
规律方法
（1）由于弹簧的弹力是变力，所以弹簧的弹性势能通常利用机械能（或能量）守恒定律求解。
（2）对解出的结果还要判断是否满足“物理情境可行性原则”。
【典例8】（2025·福建·高考真题）传送带转动的速度大小恒为1m/s，顺时针转动。两个物块A、
B，A、B 用一根轻弹簧连接，开始弹簧处于原长，A 的质量为1kg，B 的质量为2kg，A 与传送带的动摩擦因
数为0.5，B 与传送带的动摩擦因数为0.25。t=0 时，将两物块放置在传送带上，给A 一个向右的初速度
v0=2m/s，B 的速度为零，弹簧自然伸长。在t=t0时，A 与传送带第一次共速，此时弹簧弹性势能
Ep=0.75J，传送带足够长，A 可在传送带上留下痕迹，重力加速度
，则（ ）
A．在t=
时，B 的加速度大小大于A 的加速度大小
B．t=t0时，B 的速度为0.5m/s
C．t=t0时，弹簧的压缩量为0.2m
D．0﹣t0过程中，A 与传送带的痕迹小于0.05m
【变式8-1】（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P 固定在水平面上，其上表面有半径为R 的
圆弧轨道。P 右端与薄板Q 连在一起，圆弧轨道与Q 上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q 上，另一端
自由。质量为m 的小球自圆弧顶端A 点上方的B 点自由下落，落到A 点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接
触后，当速度减小至刚接触时的
时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P 和Q 的连接，Q 从静止开始向右
滑动。g 为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q 的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在
弹性限度内。
(1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功；
(2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A 两点间的距离；
(3)欲使P 和Q 断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q 的质量应为多大？
(4)欲使P 和Q 断开后，Q 的最终动能最大，Q 的质量应为多大？
【变式8-2】（2017·海南·高考真题）光滑水平桌面上有P、Q 两个物块，Q 的质量是P 的n 倍。将
一轻弹簧置于P、Q 之间，用外力缓慢压P、Q。撤去外力后，P、Q 开始运动，P 和Q 的动量大小的比值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【变式8-3】（2007·天津·高考真题）如图所示，物体A 静止在光滑的水平面上，A 的左边固定有轻
质弹簧，与A 质量相等的物体B 以速度v 向A 运动并与弹簧发生碰撞，A、B 始终沿同一直线运动，则A、B
组成的系统动能损失最大的时刻是（ ）
A．A 开始运动时 B．A 的速度等于v 时
C．A 和B 的速度相等时 D．B 的速度等于零时
【模型三 反冲运动、爆炸】
类型1 爆炸现象
1.爆炸：爆炸与碰撞类似，物体间的相互作用时间很短，作用力很大，且远大于系统所受的外力，所
以系统动量守恒。如爆竹爆炸。
2.爆炸特点：
动量
守恒
由于爆炸是在极短的时间内完成的，爆炸物体间的相互作用力远远大于其受到的外力，所以在爆
炸过程中，系统的总动量守恒
动能
增加
在爆炸过程中，由于有其他形式的能量（如化学能）转化为动能，所以爆炸后系统的总动能增加
位置
不变
爆炸的时间极短，因而作用过程中，物体产生的位移很小，一般可忽略不计，可以认为爆炸后仍
然从爆炸前的位置以新的动量开始运动
【典例9】（2021·浙江1 月选考）在爆炸实验基地有一发射塔，发射塔正下方的水平地面上安装有
声音记录仪。爆炸物自发射塔竖直向上发射，上升到空中最高点时炸裂成质量之比为2∶1、初速度均沿水
平方向的两个碎块。遥控器引爆瞬间开始计时，在5 s 末和6 s 末先后记录到从空气中传来的碎块撞击地
面的响声。已知声音在空气中的传播速度为340 m/s，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A.两碎块的位移大小之比为1∶2
B.爆炸物的爆炸点离地面高度为80 m
C.爆炸后质量大的碎块的初速度为68 m/s
D.爆炸后两碎块落地点之间的水平距离为340 m
【变式9-1】在一次投掷手榴弹的演习中，某个士兵在战壕里将一颗质量
kg 的手榴弹从水平
地面上以
m/s 的初速度朝目标方向斜向上抛出，当手榴弹上升到最高点时恰好爆炸成两块弹片，
其中质量
kg 的一块弹片在爆炸后做自由落体运动且落地时动能为5J。已知手榴弹内部火药的质量
kg，且爆炸瞬间火药充分燃烧，重力加速度g 取10
，火药爆炸后生成气体的动量不计，空
气阻力不计，求：
（1）手榴弹爆炸前瞬间的速度大小；
（2）两块弹片落地点间的距离。
【变式9-2】已知某花炮发射器能在t1=0.2s 内将花炮竖直向上发射出去，花炮的质量为m=1kg、射出
的最大高度h=180m，且花炮刚好在最高点爆炸为两块物块。假设爆炸前后花炮的总质量不变，爆炸后两物
块的速度均沿水平方向，落地时两落地点之间的距离s=900m，且两物块落地的水平位移比为1：4，忽略一
切阻力及发射器大小，重力加速度g=10m/s2。求：
(1)求花炮发射器发射花炮时，对花炮产生的平均作用力F 的大小；
(2)爆炸后两物块的质量m1、m2的大小；
(3)若花炮在最高点爆炸时有80%的化学能转化成物块的动能，求花炮在空中释放的化学能E。
类型2 反冲运动
（1）定义：反冲现象：反冲现象是指在系统内力作用下，系统内一部分物体向某方向发生动量变化
时，系统内其余部分物体向相反的方向发生动量变化的现象.喷气式飞机、火箭等都是利用反冲运动的实
例.显然，在反冲现象里，系统的动量是守恒的.
（2）特点：系统内各物体间的相互作用的内力远大于系统受到的外力。如发射炮弹、发射火箭等。
（3）规律：
作用原理
反冲运动是系统内物体之间的作用力和反作用力产生的效果
动量守恒
反冲运动中系统不受外力或内力远大于外力，所以反冲运动遵循动量守恒定律
机械能增加
反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的总机械能增加
【典例10】中国某新型连续旋转爆震发动机(CRDE)测试中，飞行器总质量(含燃料)为
，设每次爆
震瞬间喷出气体质量均为
，喷气速度均为(相对地面)，喷气方向始终与飞行器运动方向相反。假设
飞行器最初在空中静止，相继进行
次爆震(喷气时间极短,忽略重力与阻力)。下列说法正确的是（ ）
A．每次喷气过程中，飞行器动量变化量方向与喷气方向相同
B．每次喷气后，飞行器(含剩余燃料)速度增量大小相同
C．经过
次喷气后，飞行器速度为
D．由于在太空中没有空气提供反作用力，所以该飞行器无法在太空环境中爆震加速
【变式10-1】（2024·江苏·高考真题）“嫦娥六号”探测器由着陆器、上升器、轨道器和返回器四
个部分组成，沿环月轨道以速度
运动。某时刻，着陆器和上升器（组合体
）、轨道器和返回器（组合
体
）分离，分离时间为
。分离后
的速度大小为，方向与
相同。已知组合体
、
的质量分别为
、
。求：
（1）分离后
的速度大小
；
（2）分离过程中，
对
的平均
推力大小。
【变式10-2】（2022·山东高考）我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭。
如图所示，发射仓内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭速度接近零时再点火飞向太空。从火箭开始
运动到点火的过程中（ ）
A.火箭的加速度为零时，动能最大
B.高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C.高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D.高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
【变式10-3】宇航员在远离任何星体的太空中，与他旁边的飞船相对静止。不计飞船与宇航员间的万
有引力，为使宇航员能朝着飞船运动，下列措施可行的是（ ）
A．沿靠近飞船方向扔出宇航员身上的小物体
B．沿远离飞船方向扔出宇航员身上的小物体
C．沿靠近飞船方向踢腿
D．沿远离飞船方向踢腿
【变式10-4】（2024·浙江·选考）如图所示，2023 年12 月9 日“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿
鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约
的轨道。取地球质量
，地球半径
，引力
常量
。下列说法正确的是（ ）
A．火箭的推力是空气施加的
B．卫星的向心加速度大小约
C．卫星运行的周期约
D．发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态
类型3 人船模型
1.模型图例：长为L、质量为m 船的小船停在静水中，质量为m 人的人由静止开始从船的一端走到船的
另一端，不计水的阻力。
2.模型探究：以人和船组成的系统为研究对象，在人由船的一端走到船的另一端的过程中，系统水平
方向不受外力作用，所以整个系统动量守恒，可得m 船v 船＝m 人v 人，因人和船组成的系统动量始终守恒，
故有m 船x 船＝m 人x 人，由图可看出x 船＋x 人＝L，可解得x 人＝
m船
m人+m船
L，x 船＝
m人
m人+m船
L。
3.运动特点
（1）人动则船动，人静则船静，人快船快，人慢船慢，人左船右。
（2）人船位移比等于它们质量的反比；人船平均速度（瞬时速度）比等于它们质量的反比，即x人
x船
＝
v人
v船
＝M
m 。
【典例11】赤水独竹漂是贵州赤水河流域的民间传统技艺，2021 年5 月24 日被正式列入第五批国家
级非物质文化遗产代表性项目名录。如图所示，在平静的湖面上，质量为m 的表演者静立于长为L 的竹竿
最左端，表演者从竹竿最左端走至最右端，竹竿的位移大小为
。不计湖水的阻力，则竹竿的质量为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式11-1】如图所示，光滑水平面上有质量为
、长度为
的木板。质量为
的某同学站在木板左
端，木板和人处于静止状态。该同学在木板上跳跃三次，每次跳跃的方向和消耗的能量均相同，第三次落
点恰好是木板右端。假设人落到木板瞬间与木板相对静止。忽略空气阻力。则完成第一次跳跃时该同学相
对水平面的位移为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-2】如图所示，一半圆槽滑块的质量为M，半圆槽半径为R，滑块置于光滑水平桌面上，一
质量为m 的小智能机器人（可视为质点）置于半圆槽的A 端，在无线遥控器控制下，机器人从半圆槽A 端
移动到B 端。下面说法正确的是（ ）
A．只有小机器人运动，滑块不运动
B．滑块运动的距离是
C．滑块与小机器人运动的水平距离之和为2R
D．小机器人运动的位移是滑块的
倍
【变式11-3】如图，质量是M（包括绳）的气球下方有一段绳长为L，一质量为m 的人悬挂在绳的末
端B 点，气球和人均处于静止状态。现人沿绳慢慢地爬到绳的上端A 点处，空气阻力不计，人可视为质点，
则人实际上爬的高度是（ ）
A．
L B．
L
C．
L
D．
L
【变式11-4】（2024·河北·高考真题）如图，三块厚度相同、质量相等的木板A、B、C（上表面均
粗糙）并排静止在光滑水平面上，尺寸不计的智能机器人静止于A 木板左端。已知三块木板质量均为
A 木板长度为
，机器人质量为
，重力加速度g 取
，忽略空气阻力。
（1）机器人从A 木板左端走到A 木板右端时，求A、B 木板间的水平距离。
（2）机器人走到A 木板右端相对木板静止后，以做功最少的方式从A 木板右端跳到B 木板左端，求起
跳过程机器人做的功，及跳离瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值。
（3）若机器人以做功最少的方式跳到B 木板左端后立刻与B 木板相对静止，随即相对B 木板连续不停
地3 次等间距跳到B 木板右端，此时B 木板恰好追上A 木板。求该时刻A、C 两木板间距与B 木板长度的关
系。
