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专题36 机械波
题型一 机械波的传播与图像.......................................................................................................................... 3
题型二 波动图像与振动图像综合................................................................................................................ 12
题型三 波的多解问题....................................................................................................................................21
题型四 波的干涉、衍射、多普勒效应........................................................................................................29
课时精练..........................................................................................................................................................38
【基础回顾】
一、机械波
1．机械波的形成条件
(1)有发生机械振动的波源。
(2)有传播介质，如空气、水等。
2．传播特点
机械波传播的只是振动的形式 和能量 ，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，
并不随波迁移 。
3．机械波的分类
(1)横波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波，有波峰（凸部）和波谷（凹
部）。
(2)纵波：质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的波，有密部和疏部。
二、横波的图像
1．横波的图像
(1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移。
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移。
(3)图像
(4)应用
①直接读取振幅A 和波长λ，以及该时刻各质点的位移。
②确定某时刻各质点加速度方向，并能比较大小。
③结合波的传播方向可确定各质点的振动方向或由各质点的振动方向确定波的传播方向。
2．波长、波速、频率及其关系
(1)波长λ：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。
(2)波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定。
(3)频率f：由波源决定，等于波源的振动频率。
(4)波长、波速和频率的关系
①v＝λf；②v＝ 。
三、波特有的现象
1．波的叠加
观察两列波的叠加过程可知：几列波相遇时，每列波都能够保持各自的状态继续传播而
不互相干扰，只是在重叠的区域里，质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这
几列波单独传播时引起的位移的矢量和。
2．波的干涉和衍射
波的干涉
波的衍射
条件
两列波的频率必须相同_
明显条件：障碍物或孔的尺寸比
波长小或相差不多
现象
形成加强区和减弱区相互隔开的
稳定的干涉图样__
波能够绕过障碍物或孔继续向前
传播
3．多普勒效应
(1)定义：由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者感受到波的频率发生变化的现象。
(2)实质：波源频率不变，观察者接收到的频率发生变化。
(3)规律
①波源与观察者如果相互靠近，观察者接收到的频率变大；
②波源与观察者如果相互远离，观察者接收到的频率变小；
③波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率等于波源的频率。
题型一 机械波的传播与图像
1．波在传播过程中的特点
(1)波从一种介质进入另一种介质，频率不变，波速和波长改变。
(2)振源经过一个周期T 完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以有v＝
＝λf。
(3)波源质点的起振方向决定了它后面的质点的起振方向，各质点的起振方向与波源的起
振方向相同。
(4)后面质点的振动状态落后于先振动的质点，每隔一个波长，振动落后一个周期。
2．波的传播方向与质点的振动方向的判断方法
内容
图像
上下坡
法
沿波的传播方向，上坡时质点向下振动，下坡时质点向上振
动
同侧法
波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
微平移
法
将波形图沿传播方向进行微小平移，再由x 轴上某一位置的
两波形曲线上的点来判定
【例题精讲】
1．核潜艇是我国海军维护国家安全、捍卫海洋权益的国之重器。核潜艇在执行战备巡航任务时，利用声
呐对水下目标进行探测与识别。下列说法正确的是（ ）
A．声呐发射的声波在水中传播时，频率越高，传播速度越大
B．声呐信号在水中发生衰减，主要是因为频率不断减小
C．声呐信号在水中传播时，波长与频率成反比
D．声呐信号在水中传播时，质点振动方向与传播方向垂直，属于横波
【答案】C
【解答】解：A、声呐发射的声波是机械波，机械波的传播速度由介质的性质决定，与波的频率无关，
在水中，无论声波频率高低，传播速度均保持不变，故A 错误；
B、声呐信号在水中传播时发生衰减，主要原因是声波在传播过程中能量不断损失，而非频率减小，
频率是由波源决定的固有属性，在传播过程中不会因衰减而改变，故B 错误；
C、根据机械波的波速公式v＝fλ，在水中传播时，波速v 恒定，由公式变形可得λ= v
f
即波长λ 与频率f 成反比，故C 正确；
D、横波的质点振动方向与波的传播方向垂直，纵波的质点振动方向与波的传播方向在同一直线上，
声呐信号是声波，声波属于纵波，其质点振动方向与传播方向平行，故D 错误。
故选：C。
2．如图，停在水面上的甲、乙两条小船相距24m，一列水波正在水面上沿甲乙连线的方向匀速传播，每
条小船每分钟上下浮动15 次。当甲船位于波峰时，乙船在波谷，这时两船之间还有一个波峰。若将水
波视为横波，则这列水波的波长和波速分别为（ ）
A．12m，3m/s
B．16m，4m/s
C．16m，8m/s
D．8m，2m/s
【答案】B
【解答】解：由题知，每条小船每分钟上下浮动15 次，则这列水波的频率为：
f= 15
60 Hz =0.25 Hz，
因为当甲船位于波峰时，乙船在波谷，这时两船之间还有一个波峰，所以甲、乙两船之间的距离为
1.5λ，又因为甲、乙两条小船相距24m，则有：
1.5λ＝24m，
解得，这列水波的波长为：
λ＝16m，
由此可知，这列水波的波速为：
v＝λf＝16×0.25m/s＝4m/s，
故B 正确，ACD 错误。
故选：B。
3．地震勘测中利用横波传播速度的不同，可以推断地下不同介质的密度等信息，对地震活动预测具有重
要意义。如图所示，直角坐标系xOy 的y 轴为土层介质Ⅰ、岩石介质Ⅱ的分界面，位于x＝0 处的同一
震源发出简谐横波a、b 同时在Ⅰ、Ⅱ中传播。若横波a、b 的振幅均为10cm，t＝0 时刻震源开始振动，
t＝4s 时横波a 刚好传到x＝8m 处，则（ ）
A．横波b 的频率为0.25Hz
B．横波b 在介质Ⅱ的传播速度为8m/s
C．t＝1.5s 内，位于x＝2m 处质点的路程为60cm
D．t＝2.5s 时，位于x＝﹣4m 处质点沿y 轴正方向振动
【答案】B
【解答】解：A.t＝4s 时a 波传到 x＝8m 处，可得a 波速度va= 8m
4 s =2m/ s
由图得a 波波长λa＝2m，因此周期T a= λa
va
，频率f = 1
T
代入数据可得f＝1Hz，同一震源发出的波频率相同，因此b 波频率也为1Hz，故A 错误；
B.由图得b 波波长λ＝8m，根据v＝λf
可得vb＝8m×1Hz＝8m/s，故B 正确；
C.波传到x＝2m 的时间t1=
2m
2m/ s =1s，t＝1.5s 内，位于x＝2m 处质点振动总时间Δt＝1.5s﹣1s＝0.5s
＝0.5T
路程为2A＝2×10cm＝20cm，故C 错误；
D.波传到x＝﹣4m 的时间t＝ 4 m
8m/ s =0.5s
振动总时间Δt＝2.5s﹣0.5s＝2s＝2T，震源起振方向为y 轴负方向，经过2 个周期后，质点仍在平衡位
置沿y 轴负方向振动，故D 错误。
故选：B。
4．如图甲所示的海洋监测浮标被称为“海洋听诊器”，可搭载多种传感器监测海洋情况。图乙为监测浮
标中速度传感器绘制出的浮标的v﹣t 图像（规定速度的正方向沿y 轴正方向），图丙为浮标所在区域t
＝2s 时波浪的波形图。下列说法正确的是（ ）
A．波浪传播的速度大小为2m/s
B．3s 时浮标处在波浪的平衡位置向y 轴正方向运动
C．若波浪沿x 轴正方向传播，浮标的位置可能在x＝4m 处
D．若波浪沿x 轴正方向传播，浮标的位置可能在x＝3m 处
【答案】D
【解答】解：A、由图乙可知，浮标振动的周期T＝4s，由图丙可知，波长λ＝4m，则波浪传播的速度
大小为v= λ
T = 4
4 m/s＝1m/s，故A 错误；
B、由图乙可知，t＝2s 时浮标速度为负向最大，即通过平衡位置向下。t＝3s 时浮标速度为0，则3s 时
浮标处在波浪的波谷位置，故B 错误；
C、由图乙可知，t＝2s 时浮标正向下通过平衡位置，速度为负向最大。若波浪沿x 轴正方向传播，在
x＝4m 处质点的速度为零，与浮标的运动情况不符，所以浮标的位置不可能在x＝4m 处，故C 错误；
D、由图乙可知，t＝2s 时浮标正向下通过平衡位置，速度为负向最大。若波浪沿x 轴正方向传播，在
x＝3m 处质点正通过平衡位置向下，与浮标的运动情况相符，所以浮标的位置可能在x＝3m 处，故D
正确。
故选：D。
5．均匀介质中一列简谐横波沿x 轴传播，t＝0 时刻部分波形如图所示，已知质点P 比质点Q 先回到平衡
位置，且t＝4s 时质点P、Q 的位移相同，则（ ）
A．波沿x 轴负方向传播
B．该波的波长为12m
C．该波的波速可能为3m/s
D．图示时刻经1
4 周期，P、Q 两质点通过的路程相等
【答案】C
【解答】解：A、已知质点P 比质点Q 先回到平衡位置，则知t＝0 时刻质点P 向下运动，质点Q 向上
运动，根据同侧法可知，波沿x 轴正方向传播，故A 错误；
B、相邻波峰间的距离为8m，则波长为8m，故B 错误；
C、已知t＝0 时刻质点P、Q 的位移相同，t＝4s 时质点P、Q 的位移也相同，从t＝0 到t＝4s，经过的
时间Δt＝4s，结合波的周期性可得Δt＝nT+ T
2
，（n＝0，1，2，…），得T=
8
2n+1
s，波速v
= λ
T =
8
8
2n+1
m/s＝（2n+1）m/s，当n＝1 时，v＝3m/s，故C 正确；
D、t＝0 时刻质点P 向下运动，速度增大，经1
4 周期，P 的路程大于一个振幅A。质点Q 向上运动，速
度减小，经1
4 周期，Q 的路程小于一个振幅A，所以P、Q 两质点通过的路程不相等，故D 错误。
故选：C。
6．一列振幅为A 的简谐横波向右传播，在其传播路径上每隔L＝0.2m 选取一个质点，如图甲所示，t＝0
时刻波恰传到质点1，质点1 立即开始向上振动，经过时间Δt＝0.6s，所选取的1～9 号质点间第一次
出现如图乙所示的波形，则下列判断正确的是（ ）
A．该波的周期为0.6s，波速为8
3 m/ s
B．t＝0.6s 时刻，质点9 向上运动
C．t＝0 到t＝0.6s 这段时间内，质点8 运动的时间为0.25s
D．t＝0 到t＝0.6s 这段时间内，质点5 运动的时间只有0.3s
【答案】C
【解答】解：AB.由图乙，根据“同侧法”可知，经过时间Δt＝0.6s，质点1 和9 均由平衡位置向下振
动，
因为所选取的1～9 号质点间第一次出现如图乙所示的波形，所以此时质点1 已经振动了一个半周期，
则有：
1.5T＝0.6s，
解得：
T＝0.4s，
由图乙可知，该波的波长为：
λ＝8L＝8×0.2m＝1.6m，
则该波的波速为：
v= λ
T = 1.6
0.4 m/ s=4m/s，故AB 错误；
CD.结合前面分析可知，波传到质点8 的时间为：
t81= x18
v = 7 L
v = 7×0.2
4
s=0.35 s，
则t＝0 到t＝0.6s 这段时间内，质点8 运动的时间为：
t82＝Δt﹣t81＝0.6s﹣0.35s＝0.25s；
结合前面分析可知，波传到质点5 的时间为：
t51= x15
v = 4 L
v = 4×0.2
4
s=0.2s，
则t＝0 到t＝0.6s 这段时间内，质点5 运动的时间为：
t52＝Δt﹣t51＝0.6s﹣0.2s＝0.4s，
故C 正确，D 错误。
故选：C。
7．一列简谐横波在t＝0 时的波形图如图所示，介质中P、Q 分别为平衡位置x＝2m 和x＝4.5m 的质点，
质点P 做简谐运动的表达式为y＝10sinωt（cm），其中ω＝5πrad/s。下列说法正确的是（ ）
A．这列波的波长为2m
B．这列波的波速为1m/s
C．这列波的传播方向沿x 轴负方向
D．t＝0.1s 时，质点Q 的加速度方向沿y 轴正方向
【答案】D
【解答】解：A.由题图可知，这列波的波长为：
λ＝4m，故A 错误；
B.结合题意可知，这列波的周期为：
T= 2π
ω = 2π
5 π s=0.4 s，
则这列波的波速为：
v= λ
T = 4
0.4 m/s＝10m/s，故B 错误；
C.因为质点P 做简谐运动的表达式为y＝10sinωt（cm），所以质点P 的起振方向沿y 轴正方向，
则由题图，根据“同侧法”可知，这列波的传播方向沿x 轴正方向，故C 错误；
D.因为这列波的传播方向沿x 轴正方向，则由题图根据“同侧法”可知，t＝0 时，质点Q 在平衡位置
上方向下振动，
又因为0.1s＝0.25T，则t＝0.1s 时，质点Q 已运动至平衡位置下方，
因为质点的加速度方向总是指向平衡位置，所以t＝0.1s 时，质点Q 的加速度方向沿y 轴正方向，故D
正确。
故选：D。
（多选）8．如图甲所示，树叶落在平静的水面上，由此产生的水面波可近似为简谐横波。以落叶所在位
置为原点O，某时刻波源垂直于xOy 平面振动所产生的波的示意图如图乙所示，实线圆、虚线圆分别
表示相邻的波峰和波谷，A 点为虚线圆与y 轴的交点，已知波源振动的周期为1.6×10﹣2s，振幅为
0.5cm，下列说法正确的是（ ）
A．该横波的波长为0.4cm
B．该横波在水面传播的速度大小为0.5m/s
C．A 点处的质点在1 个周期内沿y 轴移动0.8cm
D．A 点处的质点与波源处的质点速度大小始终相等
【答案】BD
【解答】解：A．相邻波峰与波谷的半径差为半个波长，即λ
2 =0.4 cm，解得λ＝0.8cm，故A 错误；
B．该横波在水面传播的速度大小v = λ
T =
0.8cm
1.6×10
−2s
=0.5m/s，故B 正确；
C．简谐横波中，质点的振动与波的传播方向垂直，即A 点处的质点只会在其平衡位置处垂直于xOy
平面振动，故C 错误；
D．A 点处的质点与波源处的质点的平衡位置间的距离为半个波长，这两处质点的振动始终相反，速
度大小始终相等，故D 正确。
故选：BD。
（多选）9．在某均匀介质中，将一波源置于xOy 平面直角坐标系的坐标原点O 处，t＝0 时刻开始，使该
波源沿y 轴方向做一个周期的简谐运动便立即停止，该波源的振动图像如图1 所示。t＝5s 时刻的波形
图如图2 所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该波源的起振方向为y 轴负方向
B．该波的波速为6m/s
C．质点P 的平衡位置的坐标为（16m，0）
D．0～5s 时间段内，质点P 经过的路程为30cm
【答案】BC
【解答】解：A、根据振动图像可知，该波源的起振方向为y 轴正方向，故A 错误；
B、由振动图像知周期T＝4s，从t＝4s 到t＝5s 经过的时间Δt＝1s= T
4 ，则N 到原点的距离为λ
4 ，可知
波长λ＝24m，则波速为v= λ
T = 24
4 m/s＝6m/s，故B 正确；
C、N 点的横坐标为xN= λ
4 = 24
4 m＝6m，质点P 的平衡位置的横坐标为xP＝xN+ 5
12λ＝（6+ 5
12 ×24）m
＝16m，故质点P 的平衡位置的坐标为（16m，0），故C 正确；
D、波从波源传到质点P 的时间为t1= xP
v = 16
6 s= 8
3s，0～5s 时间段内，质点P 振动的时间为t2＝t﹣t1＝
5s−8
3 s= 7
3 s= 7
12T≠3
4 T，则经过的路程为0～5s 时间段内，质点P 经过的路程为s≠3A＝3×10cm＝
30cm，故D 错误。
故选：BC。
（多选）10．中国京剧的特技水袖舞包容了戏曲和舞蹈的成分，别具美感。图甲是t＝0.2s 时刻京剧花旦
舞动水袖形成的一列沿x 轴正方向传播的简谐横波。P、Q 为该波沿水平传播方向上相距0.6m 的两个
质点（图中Q 点未画出），P 点振动领先Q 点，t＝0.2s 时刻Q 质点正处于平衡位置向下振动，图乙为
P 质点的振动图像。下列说法正确的是（ ）
A．t＝0 时刻，P 质点所受合力沿y 轴负方向
B．P 质点的振动方程为y＝0.3sin2.5πt（m）
C．该简谐横波的波长可能为0.48m
D．该简谐横波的传播速度可能为1m/s
【答案】BD
【解答】解：A.由图乙可知，t＝0 时刻，P 质点在平衡位置，因此P 质点所受合力为0，故A 错误；
B.由图乙可知，该波的振幅为：
A＝0.3m，
该波的周期为：
T＝0.8s，
质点P 的起振方向沿y 轴正方向，则P 质点的振动方程可设为：y＝Asinωt，
则结合前面分析，可得：
y＝Asinωt＝0.3sin2π
0.8 t(m)=0.3sin2.5πt（m），故B 正确；
CD.因为P、Q 为该波沿水平传播方向上相距0.6m 的两个质点，P 点振动领先Q 点，又因为t＝0.2s 时
刻Q 质点正处于平衡位置向下振动，而由图乙可知，t＝0.2s 时刻P 质点正处于波峰向下振动，则该波
的波长λ 应满足：
0.6m＝（n+ 3
4 ）λ，（n＝0，1，2，3…），
解得：
λ=
12
20n+15m，（n＝0，1，2，3…），
由此可知：
当n＝0 时，λ＝0.8m＞0.48m，
当n＝1 时，λ= 12
35m≈0.34m＜0.48m，
因此该简谐横波的波长不可能为0.48m。
则该简谐横波的波速为：
v= λ
T ，
联立可得：
v=
3
4 n+3m/s，（n＝0，1，2，3…），
由此可知：
当n＝0 时，v＝1m/s，
故C 错误，D 正确。
故选：BD。
题型二 波动图像与振动图像综合
两种图像的比较
图像类型
振动图像
波的图像
研究对象
某一振动质点
沿波传播方向上的所有质点
研究内容
某一质点的位移随时间变化规
律
某时刻所有质点的空间分布规
律
图像
物理意义
表示某质点各个时刻的位移
表示某时刻各质点的位移
图像信息
(1)质点振动周期
(2)质点振幅
(3)各时刻质点位移
(4)各时刻速度、加速度方向
(1)波长、振幅
(2)任意一质点在该时刻的位移
(3)任意一质点在该时刻加速度
方向
(4)传播方向、振动方向的互判
形象比喻
记录着一个人一段时间内活动
的录像带
记录着许多人某时刻动作、表
情的集体照片
图像变化
随时间推移，图像延续，但已
有形状不变
随时间推移，图像沿传播方向
平移
一完整曲
线占横坐
标距离
表示一个周期
表示一个波长
【例题精讲】
1．如图甲所示，一列简谐横波沿x 轴传播，t＝0 时刻和t＝0.6s 时刻的部分波形图分别如图甲中的实线和
虚线所示。已知波源的振动周期大于1.2s，t＝0 时刻质点N 偏离平衡位置的位移y =5 ❑√3cm，平衡位
置在x＝4m 处的质点M 振动的加速度a 随时间t 变化的a﹣t 图像如图乙所示。下列说法正确的是（
）
A．该波沿x 轴负方向传播
B．该波的波长为14m
C．该波的传播速度大小为5m/s
D．0～1.6s 内，质点M 运动的路程为30cm
【答案】C
【解答】解：A、由图像可知t＝0 时刻，质点M 处于平衡位置，加速度从0 逐渐变为负值，质点M 的
运动方向向上，根据“同侧法”，波沿x 轴正方向传播，故A 错误；
B、t＝0 时刻，质点N 偏离平衡位置的位移为y＝5❑√3cm，所以有：y＝Asin60°，
质点N 和M 平衡位置间的距离为xMN=( 1
4 × 1
3 + 1
4 )λ= 4 m
解得：λ＝12m，故B 错误；
C、由图甲可知：（n+ 1
4 ）T＝0.6s（n＝0、1、2、3……），波源的振动周期大于1.2s，则n＝0，T＝
2.4s
根据波速计算公式可得：v= λ
T = 12
2.4 m/s＝5m/s，故C 正确；
D、0～1.6s 内，即经过1.6
2.4 T = 2
3 T ＜3
4 T，质点M 运动的路程为：s＜3
4 ×4 A =3 A =3×10cm＝
30cm，故D 错误。
故选：C。
2．一列简谐横波在x 轴上传播，t＝0 时刻的波形如图甲所示，从此时刻起平衡位置位于x＝8m 的质点振
动图像如图乙所示，p、q 为介质中的两个质点，平衡位置分别在xp＝1m、xq＝11m 处，下列说法正确
的是（ ）
A．该波沿x 轴正方向传播
B．该波在x 轴上传播的波速为4m/s
C．图中q 点再经1.5s 第一次回到负向最大位移处
D．图中p 点再经1.5s 第一次回到负向最大位移处
【答案】C
【解答】解：由图甲可知波长λ＝8m，由图乙可知周期T＝4s，根据波速公式v = λ
T ，解得：v＝2m/s。
由图乙可知t＝0 时x＝8m 处的质点沿y 轴正方向运动，结合图甲波形及质点带动法可知，该波沿x 轴
负方向传播。
AB、由于该波波速为2m/s 且传播方向为x 轴负方向，故AB 错误；
C、质点q 第一次回到负向最大位移处（波谷），对应t＝0 时其右侧最近的波谷传到xq＝11m 处，该
波谷位置为x＝14m，传播距离Δx＝14m﹣11m＝3m，所需时间t = Δx
v ，解得：t＝1.5s，故C 正确；
D、质点p 第一次回到负向最大位移处，对应t＝0 时其右侧最近的波谷传到xp＝1m 处，该波谷起始位
置为x＝6m，传播距离Δx＝6m﹣1m＝5m，所需时间t = Δx
v ，解得：t＝2.5s，故D 错误。
故选：C。
3．艺术体操带操是一项极具观赏性和艺术性的运动项目，它要求运动员手持彩带，在音乐的伴奏下完成
各种优美、流畅的动作。如果某段时间里彩带波形可视为简谐波，如图甲所示为运动员彩带表演过程
中t＝0 时刻的波形图，P 是平衡位置x＝4m 处的质点，图乙为质点P 的振动图像，则（ ）
A．该简谐波的传播速度为0.5m/s
B．该简谐波沿x 轴负方向传播
C．x＝3m 处的质点在t＝5s 时位于平衡位置
D．质点P 在0～5s 时间内运动的路程为200cm
【答案】D
【解答】解：分析波形图甲可知波长λ＝4m，振幅A＝20cm；分析振动图像乙可知周期T＝2s。
A、根据波速公式v = λ
T ，代入数据解得波速v＝2m/s，故A 错误；
B、由图乙可知，t＝0 时刻质点P 正通过平衡位置向y 轴负方向运动，结合图甲根据“上下坡法”可知，
波沿x 轴正方向传播，故B 错误；
C、在t＝0 时刻，x＝3m 处的质点位于波谷位置，从t＝0 到t＝5s 经历的时间Δt＝2.5T，质点振动两个
半周期后运动到波峰位置，位移为20cm，故C 错误；
D、质点在一个周期内运动的路程为4A，在0～5s 内经历的时间Δt＝2.5T，则质点P 运动的路程s＝
2.5×4A＝10×20cm＝200cm，故D 正确。
故选：D。
4．某横波在介质中沿x 轴传播，图甲为t＝0.25s 时的波形图，图乙为x＝1.5m 处的质点P 的振动图像。
下列说法正确的是（ ）
A．波速为1m/s
B．波沿x 轴正方向传播
C．波长6m
D．波上的质点L 与质点N 的振动方向总是相同
【答案】B
【解答】解：AC．由图甲可知波长为λ＝4m，由图乙可知周期为T＝2s，则波速为v = λ
T ，解得波速为
v＝2m/s，故AC 错误；
B．由图乙可知，t＝0.25s 时质点P 向上振动，根据同侧法可知，波沿x 轴正方向传播，故B 正确；
D．由图甲可知波上的质点L 与质点N 的平衡位置相距半个波长，所以振动方向总是相反，故D 错误。
故选：B。
5．“战绳”是一种备受青睐的高强度健身器材。使用时健身者双手各握一根绳，上下抖动产生沿绳传播
的波，可视为简谐横波。图甲是其中一根绳在t＝0.2s 时的波形图，绳上有一质点P，其平衡位置坐标
为x＝2m，图乙是质点P 的振动图像。则（ ）
A．该波的频率为0.8Hz
B．该波的波速为5m/s
C．该波沿x 轴正方向传播
D．t＝0.5s 时，质点P 的加速度方向沿y 轴负方向
【答案】B
【解答】解：由图甲可知该简谐横波的波长λ＝4m；由图乙可知质点的振动周期T＝0.8s。
A、该波的频率f = 1
T ，解得：f＝1.25Hz，故A 错误；
B、根据波速公式v = λ
T ，解得：v＝5m/s，故B 正确；
C、分析图乙可知t＝0.2s 时质点P 正在通过平衡位置向y 轴负方向运动，结合图甲及“微平移法”可
知，只有波沿x 轴负方向传播，x＝2m 右侧的波谷才能向左移动并引起质点P 向下运动，故C 错误；
D、在t＝0.5s 时，由图乙可知质点P 处于负位移处，由于质点加速度的方向始终指向平衡位置（即y
轴正方向），故D 错误。
故选：B。
6．战绳作为一项超燃脂的运动十分受人欢迎（如图甲）。一次战绳练习中，某运动达人晃动战绳一端使
其上下振动（可视为简谐运动）形成横波。图乙为一列沿x 轴传播的简谐横波在t＝3.5s 时刻的波形图，
a、b 为介质中的两个质点，a 质点此时在平衡位置，图丙为x＝5m 处的b 质点的振动图像。下列说法
正确的是（ ）
A．该波的传播速度为1m/s
B．从t＝3.5s 开始，质点b 比质点a 先第一次到达波峰
C．在3.5～5s 时间内，质点b 运动的路程为(10+5 ❑√2)cm
D．在t＝3s 时，质点a 的加速度最大
【答案】C
【解答】解：分析振动图象丙可知，质点b 在t＝3s 时处于波峰，在t＝5s 时处于波谷，可得周期T＝
4s；分析波形图乙可知，t＝3.5s 时质点a 处于平衡位置，质点b 处于正位移处。结合图丙可知，t＝
3.5s 时质点b 正向下运动。根据“上下坡法”判断，若质点位于平衡位置上方且向下振动，则波沿x
轴负方向传播。
A、由图丙可知，t＝3.5s 时质点b 离开波峰的时间间隔为0.5 s= 1
8 T，对应的波形位移Δx＝v•Δt。由
图乙中b 质点的位置可知，其距离左侧波峰为1
8 λ=1m，解得：λ＝8m。根据波速公式v = λ
T ，代入数
据解得：v＝2m/s，故A 错误；
B、由于波向左传播，t＝3.5s 时质点a 位于平衡位置且向下运动，需经过3
4 T =3 s到达波峰；质点b 此
时向下运动，根据图丙，其下一次到达波峰的时间为t＝7s，即还需Δt＝3.5s，故质点a 先到达波峰，
故B 错误；
C 、在3.5s 至5s 时间内，经历时间Δt ＝1.5s 。对于质点b ，t ＝3.5s 时其位移
y1=10cos( 2π
4 ×0.5)cm=5 ❑√2cm。在3.5s 至4s 内，其从该位置回到平衡位置，路程s1=5 ❑√2cm；
在4s 至5s 内，其从平衡位置运动到波谷，路程s2＝A＝10cm。总路程s=(10+5 ❑√2)cm，故C 正确；
D、在t＝3s 时，质点b 处于波峰，该波峰位于x＝5m 处。质点a 位于x＝2m 处，距离该波峰
Δx =3m= 3
8 λ，故此时质点a 不在最大位移处，加速度并非最大，故D 错误。
故选：C。
7．图甲是一列机械波在t＝0.1s 时刻的波形图，图乙是平衡位置在x＝4m 处质点的振动图像。则下列说
法正确的是（ ）
A．该列波向右传播，传播速度为20m/s
B．在x＝4m 处的质点经过0.4s 的时间将沿x 轴传播8m
C．在t＝0.15s 时，x＝2m 处的质点具有向上的最大加速度
D．由t＝0s 到t＝0.15s 时间内，x＝1.5m 处的质点经过的路程为12cm
【答案】A
【解答】解：由振动图像图乙可知，质点振动的周期T＝0.2s；由波形图图甲可知，该波的波长λ＝
4m，振幅A＝4cm。
A、根据波速公式v = λ
T ，解得：v＝20m/s。在t＝0.1s 时，由图乙可知，平衡位置在x＝4m 处的质点
正经过平衡位置向y 轴负方向运动，结合图甲波形，根据“上下坡法”或波形平移法判断，该列波向
右传播，故A 正确；
B、在机械波传播过程中，介质中的质点仅在各自平衡位置附近做受迫振动，并不随波迁移，故B 错
误；
C、在t＝0.1s 时，x＝2m 处的质点位于平衡位置且向上运动，经过Δt =0.05 s= 1
4 T，即t＝0.15s 时，
该质点运动到正向最大位移处（波峰），此时其加速度方向向下，大小达到最大值，故C 错误；
D、从t＝0 到t＝0.15s 经历的时间Δt =0.15 s= 3
4 T。由于x＝1.5m 处的质点在t＝0 时刻既不在平衡位
置，也不在波峰或波谷，因此它在3
4 T内运动的路程不等于3A＝12cm，故D 错误。
故选：A。
（多选）8．一列简谐横波沿x 轴传播，t＝0.1s 时的波形图如图甲，图乙为介质中点A 的振动图像。下列
说法正确的是（ ）
A．波速为0.5m/s
B．波沿x 轴负方向传播
C．t＝0.1s 时，质点A 的振动速度为零
D．每经过0.2s，质点A 沿波的传播方向移动10cm
【答案】AB
【解答】解：A．由题图甲可知波长λ＝10cm＝0.1m，由题图乙可知周期为T＝0.2s，根据λ＝vT 可得
波速为0.5m/s，故A 正确；
B．t＝0.1s 时的波形图如图甲，图乙为介质中点A 的振动图像，所以t＝0.1s 时介质中质点A 振动方向
沿y 轴负方向，根据“上下坡法”可得波沿x 轴负方向传播，故B 正确；
C．t＝0.1s 时，质点A 在平衡位置，可知质点A 的振动速度不为零，故C 错误；
D．质点A 沿y 轴上下振动，不随波移动，故D 错误。
故选：AB。
（多选）9．“地震预警”是指在地震发生后，抢在地震波传播到受灾地区前，向受灾地区提前几秒至数
十秒发出警报，通知目标区域从而实现预警。地震监测站监测到一列地震横波，t＝0 时刻的波形图如
图甲所示，已知P 点是平衡位置在x＝0 处的质点，Q 点是平衡位置在x＝15km 处的质点，质点Q 振动
的a﹣t 图像如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．t＝0 时，质点P 沿y 轴负方向运动
B．t＝0 时，质点P 沿y 轴正方向运动
C．地震横波传播的速度为3.6km/s
D．0﹣2.5s 的时间内，质点P 通过的路程大于20cm
【答案】AC
【解答】解：AB、根据质点Q 振动的a﹣t 图像可知，t＝0 时，质点Q 向上振动，根据同侧法可知波
沿﹣x 方向传播，t＝0 时，质点P 沿y 轴负方向运动，故A 正确，B 错误；
C、t＝0 时，质点P 的坐标为y＝﹣10cm=−A
2 =−Asin30°，则有：1
4 λ× 2
3 + 1
4 λ =15km，解得波长：λ
＝36km
根据图乙可知周期：T＝10s，则地震横波传播的速度为：v= λ
T = 36
10km/s＝3.6km/s，故C 正确；
D、t＝0 时质点P 向下振动，速度减小，0﹣2.5s 的时间内，即经过1
4 T，质点P 通过的路程：s＜A＝
20cm，故D 错误。
故选：AC。
（多选）10．如图所示，一列简谐横波沿x 轴传播，图甲为在t＝2s 时刻的波形图，P 是平衡位置在x＝
2m 处的质点，Q 是平衡位置在x＝10m 处的质点。图乙是质点Q 的加速度a 随时间t 变化的图像。下
列说法正确的是（ ）
A．该简谐横波的传播波速为5m/s
B．t＝2s 时，质点P 沿y 轴正方向运动
C．t＝5s 时，质点Q 振动到波谷
D．0～5s 的时间内，质点P 所走的路程为50cm
【答案】AB
【解答】解：由图乙可知，该简谐横波的周期T＝4s；由图甲可知，波长λ＝20m，根据波速公式
v = λ
T ，代入数据解得：v＝5m/s。
在t＝2s 时，由图乙可知质点Q 的加速度为0，且其值正在增大，由简谐运动的加速度公式a=−k
m y
可知，此时质点Q 位于平衡位置，且其速度方向沿y 轴负方向；结合图甲波形，应用“上下坡法”判
断，可确定该波沿x 轴正方向传播。
A、根据波速公式计算得波速为5m/s，故A 正确；
B、因波沿x 轴正方向传播，在t＝2s 时，质点P 位于波谷左侧的“下坡”段，依据“质点带动法”分
析，可知其正沿y 轴正方向运动，故B 正确；
C、在t＝2s 时，质点Q 位于平衡位置且向y 轴负方向运动，从t＝2s 到t＝5s 所经时间Δt =3 s= 3
4 T，
此时质点Q 恰好振动至波峰位置，故C 错误；
D、在0～5s 时间内，所经历时间为1.25T，由于质点P 在t＝0 时刻并非处于平衡位置或波峰、波谷等
特殊位置，其在1
4 T内的路程不等于振幅A，因此在5s 内的总路程不等于5A＝50cm，故D 错误。
故选：AB。
题型三 波的多解问题
1．波的周期性
(1)质点振动nT(n＝1,2,3，…)时，波形不变。
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ 时(n＝1,2,3，…)，它们的振动
步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0,1,2,3，…)时，它们的振动步调总相
反。
2．造成波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt 与周期T 的关系不明确。
②空间周期性：波传播距离Δx 与波长λ 的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
(3)波形的隐含性形成多解
在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐
含状态。这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。
【例题精讲】
1．如图所示，一列简谐横波向右传播，波速为v＝2m/s，介质中P、Q 两点平衡位置相距0.3m，当P 位
于波峰时，Q 刚好位于平衡位置，则这列波的周期可能是（ ）
A．0.2s
B．0.3s
C．0.4s
D．0.5s
【答案】A
【解答】解：简谐横波向右传播，波速v＝2m/s，P、Q 两点的平衡位置相距Δx＝0.3m。当P 点位于波
峰时，Q 点恰好在平衡位置，这表明P、Q 间的距离为四分之一波长的奇数倍，即满足Δx =(2n+1) λ
4 ，
式中n＝0，1，2，...。
结合波速公式v = λ
T ，可得波长λ＝vT，代入位移关系式整理，得到周期的通项表达式T =
4 Δx
(2n+1)v ，
代入数据得T = 0.6
2n+1 s。
当n＝1 时，解得：T＝0.2s。由于n 只能取非负整数，周期T 的可能取值包括0.6s、0.2s、0.12s 等，无
法取到0.3s、0.4s 或0.5s，故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
2．一列简谐横波沿x 轴传播，t1＝0 和t2＝0.45s 时刻的波形分别如图中的实线和虚线所示。已知在t1时刻
x＝2m 处的质点沿y 轴负方向运动。则该简谐波（ ）
A．波长为2m
B．沿x 轴正方向传播
C．周期可能为0.6s
D．波速可能为2.2m/s
【答案】C
【解答】解：A、根据图像可知，波长为4m，故A 错误；
B、已知在t1时刻x＝2m 处的质点沿y 轴负方向运动，根据“同侧法”可知，沿x 轴负方向传播，故B
错误；
C、0.45s 时刻的波形是虚线所示，则有：（n+ 3
4 ）T＝0.45s，解得：T=
1.8
4 n+3s（n＝0、1、2、
3……）
当n＝0 时，T＝0.6s，所以周期可能为0.6s，故C 正确；
D、根据波速计算公式可得：v= λ
T =
4
1.8
4 n+3
m/s= 20(4 n+3)
9
m/s（n＝0、1、2、3……），波速不可能
为2.2m/s，故D 错误。
故选：C。
3．一列简谐横波沿x 轴正方向传播，A、B 两点是传播方向上平衡位置相距5.6m 的两点。已知t＝0 时x
＝0 处质点开始向下起振，t＝4s 时，A、B 间出现如图所示的波形（A、B 外的波形未画出），且x＝0
处质点处于平衡位置向上振动，则该简谐横波的最小波速为（ ）
A．2.0m/s
B．2.2m/s
C．2.4m/s
D．2.6m/s
【答案】A
【解答】解：根据图示，A、B 两点间距为1.75 个波长，即7
4 λ=5.6m，解得：λ＝3.2m。该简谐横波
沿x 轴正向传播，且图示时刻A 点右侧为波峰，依据“上下坡法”可判断A 点位于平衡位置且向y 轴
负方向运动。
已知x＝0 处的质点在t＝0 时开始向下起振，至t＝4s 时该质点处于平衡位置并向上振动。设振动周期
为T，则有t =(n+ 1
2 )T = 4 s（其中n＝0，1，2，...），解得：T =
8
2n+1 s。由此可得波速表达式为
v = λ
T =
3.2
8
2n+1
=0.4(2n+1)m/ s
。
由于t＝4s 时A、B 之间已形成图示波形，波至少已传播到B 点，且A 点位于原点右侧（xA＞0），故
波传到B 点的时间需满足t B= xB
v ≤4s。考虑到xB＝xA+5.6＞5.6m，代入数据得v = xB
t B
＞5.6
4 =1.4 m/ s。
分别取n＝0 时，v＝0.4m/s＜1.4m/s，不符合要求；n＝1 时，v＝1.2m/s＜1.4m/s，亦不符合；n＝2 时，
v＝2.0m/s＞1.4m/s，满足条件。
此时T＝1.6s，若取xA＝0.5λ，即xA＝1.6m，则xB＝7.2m，波传到B 点所需时间为3.6s，B 点已振动
0.4s 即1
4 T，恰好处于波谷，与图示相符。
因此，该波的最小波速为2.0m/s。故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
4．一列沿着x 轴正方向传播的简谐横波，在t1＝0.3s 时的部分波形如图中的实线所示，在t2＝0.5s 时的部
分波形如图中的虚线所示，下列说法正确的是（ ）
A．此列波的波长为1.2m
B．波速的表达式为v＝（2+8n）m/s（n＝0、1、2、3…）
C．波动周期的表达式为T =
2
5+10n s(n=0、1、2、3⋯)
D．若波速为10m/s，则坐标原点处的质点从t2＝0.5s 开始再经过0.44s 运动的路程为33
40 m
【答案】C
【解答】解：A、由图像可知波长λ＝1.6m。故A 错误；
B、波向右传播，在Δt＝0.2s 内，波传播的距离为Δx = λ
2 +nλ（n＝0，1，2，3
）。波速
⋯
v = Δx
Δt ，综
合可得v＝（4+8n）m/s（n＝0，1，2，3
）。故
⋯
B 错误；
C、由v = λ
T ，解得T =
2
5+10n s（n＝0，1，2，3
）。故
⋯
C 正确；
D、由图像可知波的振幅为0.3m。当v＝10m/s 时，由v = λ
T ，解得T＝0.16s。坐标原点处的质点从t2＝
0.5s 开始再经过0.44s，发生的路程为s= 0.44
0.16 ×4×0.3m，解得：s＝3.3m。故D 错误。
故选：C。
5．2024 年国际体联艺术体操世界杯比赛中中国艺术体操队收获1 金1 银2 铜，中国队在3 带2 球项目的
成套《凤鸣凌霄》则以汉唐国风为主题，通过运用彩带模拟造型。某段比赛过程中彩带的运动可简化
成沿x 轴负方向传播的简谐横波，t＝0 时刻波形图如图所示，t＝3s 时Q 点恰好到达波谷。下列说法正
确的是（ ）
A．t＝0 时刻P 点沿y 轴负方向振动
B．该波的最小波速为10
3 m/ s
C．若周期T＝12s，质点P 再过4.5s 到达平衡位置
D．这列波9s 内传播的距离可能为5m
【答案】C
【解答】解：A、波沿x 轴负方向传播，依据波形平移法可知，t＝0 时刻质点P 沿y 轴正方向振动，故
A 错误；
B、由图像可知波长为λ＝8m，t＝0 时刻，质点Q 从平衡位置沿y 轴负方向振动，t＝3s 时质点Q 恰好
到达波谷，则有(n+ 1
4 )T =3 s（n＝0，1，2，3…），解得：T =
12
4 n+1 s（n＝0，1，2…）。波速为
v = λ
T ，代入得：v = 2(4 n+1)
3
m/ s（n＝0，1，2…），当n＝0 时波速最小，最小波速为2
3 m/ s，故
B 错误；
C、若周期T＝12s，则波速为v = λ
T ，解得：v = 2
3 m/ s。t＝0 时刻，Q 点处平衡位置的振动状态传播
到P 点所需时间为Δt = Δx
v ，其中Δx＝3m，代入解得：Δt＝4.5s，故C 正确；
D、波速为v = 2(4 n+1)
3
m/ s（n＝0，1，2…），这列波在9s 内传播的距离为x＝vt，代入得：x＝6
（4n+1）m（n＝0，1，2…），可知该距离不可能为5m，故D 错误。
故选：C。
6．为了加深对机械波形成的理解，师生在操场上做模拟机械波传播的活动，活动中形成的波浪可简化为
如图所示沿x 轴传播的简谐横波，实线是这列波在t＝0 时的波形图，经过3s 后，其波形如图中虚线所
示，已知该波的周期T 大于3s。则下列说法正确的是（ ）
A．此波沿x 轴正方向传播
B．t＝3s 时，x＝7.5m 处的人向上运动
C．该波的周期可能是12s
D．该波的传播速度可能是25
6 m/s
【答案】C
【解答】解：AC．若波沿x 轴正方向传播，可知由实线传播到虚线需要时间为：3 s=(n+ 1
4 )T，解得
T =
12
4 n+1（n＝0，1，2，……），
由题意可知，T＞3s，可知当n＝0 时，T＝12s；当n＝1 时，T = 12
5 s，可知该波的周期可能为12s；
若波沿x 轴负方向传播，可知由实线传播到虚线需要时间为3 s=(n+ 3
4 )T，解得T =
12
4 n+3（n＝0，
1，2，……），
由题意可知，T＞3s，可知当n＝0 时，T＝4s；当n＝1 时，T = 12
7 s，可知该波的周期可能为4s，故A
错误，C 正确；
B．若波沿x 轴正方向传播，根据“上下坡法”，可知在t＝3s 时，x＝7.5m 处的人向上运动；
若波沿x 轴负方向传播，根据“上下坡法”，可知在t＝3s 时，x＝7.5m 处的人向下运动，故B 错误；
D ．若波沿x 轴正方向传播，周期为T =
12
4 n+1（n ＝0 ，1 ，2 ，… … ），由波速公式可得
v = λ
T = 5
6 (4 n+1)（n＝0，1，2，……），
当n＝0 时，v = 5
6 m/ s；
若波沿x 轴负方向传播，周期为T =
12
4 n+3（n＝0，1，2，……），由波速公式可得v = λ
T = 5
6 (4 n+3)
（n＝0，1，2，……），
当n＝0 时，v＝2.5m/s；当n＝1 时，v = 35
6 m/ s，故D 错误。
故选：C。
7．一列简谐波在t＝0 时刻的波形如图中实线所示，经过0.5s 后的波形如图中的虚线所示，已知波的周期
为T，且0.25s＜T＜0.5s，则（ ）
A．当波沿+x 方向传播时，x＝1m 处的质点M 和x＝2.5m 处的质点N 在这0.5s 内通过的路程相等
B．当波向+x 方向传播时，波速等于10m/s
C．当波沿﹣x 方向传播时，经过0.1s 时，质点M 的位移一定为零
D．若波沿﹣x 方向传播，x＝2.5m 处的质点N 的振动方程为y＝2sin（7πt+ 1
4 π）cm
【答案】B
【解答】解：A、当波沿+x 方向传播时，根据图像可知：（n+ 1
4 ）T＝0.5s（n＝0、1、2、3……），
由于0.25s＜T＜0.5s，则n＝1，T＝0.4s
由于0.5s＝11
4 T，x＝1m 处的质点M 通过的路程为5A，x＝2.5m 处的质点N 通过的路程大于5A，故
A 错误；
B、当波沿+x 方向传播时，T＝0.4s，波速为：v= λ
T = 4
0.4 m/s＝10m/s，故B 正确；
C、当波沿﹣x 方向传播时，根据图像可知：（n+ 3
4 ）T＝0.5s（n＝0、1、2、3……），由于0.25s＜T
＜0.5s，则n＝1，T= 2
7 s
经过0.1s= 7
20T＝（1
4 + 1
10）T 时，质点M 的位移一定不为零，故C 错误；
D、根据图像可知x＝2.5m 处的质点N 的位移为：y=−
❑√2 A
2
若波沿﹣x 方向传播，T= 2
7 s，x＝2.5m 处的质点N 的振动方程为：y＝Asin（ωt+φ）＝Asin（2π
T t +φ
）
t＝0 时，y=−
❑√2 A
2
，且质点N 沿﹣y 方向运动，则φ= 5 π
4 。可得x＝2.5m 处的质点N 的振动方程为y
＝2sin（7πt+ 5 π
4 ）cm，故D 错误。
故选：B。
（多选）8．两位钓鱼爱好者在湖边钓鱼，他们所用鱼竿的浮漂a、b 在水平方向上的距离为3m，有一列
水波从a 向b 传播，从某时刻开始计时，以竖直向上为正方向，a、b 两浮漂的振动图像分别如图中实
线和虚线所示，水波可视为沿水平湖面传播的简谐横波，已知该水波波长λ＞3m。下列说法正确的是
（ ）
A．该水波的波长为4m
B．该水波的波速为20m/s
C．t＝0.85s 时，浮漂a 的加速度方向竖直向上
D．t＝1.05s 时，浮漂a 和浮漂b 的速度方向相反
【答案】AD
【解答】解：AB、t＝0 时刻浮漂a 处于平衡位置向上振动，而浮漂b 处于波峰位置，因λ＞3m，故
a、b 之间的距离小于一个波长，结合水波从a 向b 传播，可得a、b 间距与波长的关系为：x = 3
4 λ，已
知：x＝3m，解得：λ＝4m；
由题图可得周期为T＝0.4s，波速为：v = λ
T = 4
0.4 m/ s=10m/ s，故A 正确，B 错误。
C、因t＝0.85s＝2T+0.05s，故此时a 的振动状态与t＝0.05s 时一致，由题图可知a 处于平衡位置上方，
位移为正，加速度方向与位移方向相反，为竖直向下，故C 错误。
D、有t＝1.05s＝2T+0.25s，同理可知此时a 处于平衡位置与波谷之间某处且向下运动；b 处于波谷与
平衡位置之间的某处且向上运动，故此时浮漂a 和浮漂b 的速度方向相反，故D 正确。
故选：AD。
（多选）9．如图甲所示，一列简谐横波沿水平直线传播，a、b 为介质中相距30m 的两个质点，某时刻
a、b 两质点正好都经过平衡位置，且a、b 间只有一个波峰。已知这列波波源做简谐运动的图像如图乙
所示，则下列说法正确的是（ ）
A．波源的振动方程为x＝2sinπt（cm）
B．40s 内位于波源的质点运动的路程为80cm
C．该简谐横波传播速度的大小可能为7.5m/s
D．该简谐横波传播速度的大小有四个可能值
【答案】BC
【解答】解：由波源振动图像（图乙）可知，振幅A＝2cm，周期T＝4s。
A、波源振动的角频率为ω= 2π
T ，代入数据解得ω＝0.5πrad/s。由于t＝0 时波源处于平衡位置且向正
方向运动，其振动方程为x＝Asinωt，即x＝2sin0.5πt（cm），故A 错误；
B、在t＝40s 内，波源经历的周期数n= t
T ，即n＝10。质点在一个周期内运动的路程为4A＝8cm，则
40s 内运动的总路程s＝10×8cm＝80cm，故B 正确；
CD、由于某时刻a、b 两质点正好都经过平衡位置，说明两质点间的距离xab＝30m 必须是半波长的整
数倍，即30=n⋅λ
2（n＝1，2，3，…）。
根据“a、b 间只有一个波峰”的条件进行讨论：当n＝1 时，λ1＝60m，此时a、b 间为半个波形，若为
波峰部分则恰好含有一个波峰；
当n＝2 时，λ2＝30m，此时a、b 间为一个全波，包含一个波峰和一个波谷，恰有一个波峰；
当n＝3 时，λ3＝20m，此时a、b 间为1.5 个波长，若其波形分布为“波谷+波峰+波谷”则恰有一个波
峰。
若n≥4，则λ≤15m，此时xab≥2λ，两质点间至少会出现两个波峰，不符合题意。因此，可能的波长
λ 只有60m、30m、20m 三个值。
根据波速公式v = λ
T ，解得：v＝15m/s、7.5m/s、5m/s。由此可见，波速大小共有三个可能值，且
7.5m/s 是其中之一，故C 正确，D 错误。
故选：BC。
（多选）10．一列简谐横波在0 时刻的波形如图中实线所示，0.5s 时刻的波形如图中虚线所示。下列说法
正确的是（ ）
A．该横波的周期可能为0.4s
B．t＝0 时刻，平衡位置坐标为1m 处的质点速度沿y 轴正方向
C．若该横波沿x 轴负方向传播，则横波的传播速度大小可能为6m/s
D．若该横波沿x 轴正方向传播，则横波的传播速度大小可能为25m/s
【答案】AC
【解答】解：由图可知，该波波长λ＝4m。
A、若波沿x 轴正方向传播，时间Δt =(n+ 1
4 )T，解得：T =
2
4 n+1，当n＝1 时T＝0.4s，故A 正确；
B、由于波的传播方向不确定，在t＝0 时刻，平衡位置x＝1m 处的质点振动方向可能向y 轴正方向，
也可能向y 轴负方向，故B 错误；
C、若波沿x 轴负方向传播，在Δt＝0.5s 内传播距离Δx =(n+ 3
4 )λ，波速v = Δx
Δt ，解得：v＝
8n+6m/s，当n＝0 时v＝6m/s，故C 正确；
D、若波沿x 轴正方向传播，传播距离Δx =(n+ 1
4 )λ，波速v = Δx
Δt ，解得：v＝8n+2m/s，代入数据可
知波速不可能为25m/s，故D 错误。
故选：AC。
题型四 波的干涉、衍射、多普勒效应
1．波的干涉中振动加强点和减弱点的判断
(1)根据干涉图样判断
①波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点；
②波峰与波谷的交点一定是减弱点。
(2)根据路程差判断
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的路程差Δr。
①当两波源振动步调一致时：若Δr＝nλ(n＝0,1,2…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2…)，则振动减弱。
②当两波源振动步调相反时：
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2…)，则振动减弱。
2．对波的衍射的理解
(1)衍射是否明显，要看孔、缝的宽度或障碍物的尺寸与波长的比值，比值越小，衍射现
象相对越明显。
(2)任何时候都会产生衍射现象，只有明显和不明显的差异。当衍射现象弱时，可认为波
沿直线传播。
3．多普勒效应的成因与判断
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。当
波以速度v 通过观察者时，时间t 内通过的完全波的个数为N＝。
(2)判断方法：当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大，相互远离时，接收
到的频率变小。
【例题精讲】
1．生活中有很多情景都属于振动和波的现象，下列关于四种情景中的说法正确的是（ ）
A．甲图中火车鸣笛通过站台边站着的工作人员时，工作人员听到的笛声音调不变
B．乙图中如果孔的大小不变，使波源的频率增大，能观察到更明显的衍射现象
C．丙图中手掌摩擦龙洗盆盆耳使得水花飞溅，是因为摩擦力较大
D．丁图为干涉型消声器的结构示意图，同一声波通过上下两通道后相遇的路程差应为该声波半波长
的奇数倍
【答案】D
【解答】解：A．甲图中，火车鸣笛靠近工作人员时，声源与观察者间距减小，根据多普勒效应，观
察者接收到的频率升高，音调变高；火车远离时，接收到的频率降低，音调变低，因此音调会发生变
化，故A 错误。
B．乙图中如果孔的大小不变，使波源的频率增大，波长变小，则不能观察到更明显的衍射现象，故B
错误；
C．丙图中用手掌摩擦盆耳，起初频率非常低，逐渐提高摩擦的频率，当摩擦的频率等于水的固有频
率时，会发生共振现象，此时振幅最大，使水花飞溅，故C 错误；
D．丁图为干涉型消声器的结构示意图，根据波的干涉原理，波长为λ 的同一声波通过上下两通道后
相遇的路程差应该为半波长的奇数倍，叠加后振动减弱，起到消声的目的，故D 正确。
故选：D。
2．如图甲所示，水滴滴在平静的水面上，会形成水波向四周传播（可视为简谐波）。可利用两个能够等
间隔滴水的装置S1、S2来研究波的叠加现象，图乙所示为以S1、S2为波源的两水波在某时刻叠加的简
化示意图，已知S1、S2的振幅均为A，该时刻它们形成的波峰和波谷分别由实线和虚线表示。则下列
说法正确的是（ ）
A．a 处质点做简谐运动，振幅为0
B．b 处质点此刻的位移大小为2A
C．若想观察到稳定的干涉现象，可将S1滴水间隔调大
D．只要将S1的滴水间隔调至和S2的相等，c 处质点就做振幅为2A 的简谐运动
【答案】B
【解答】解：A、由图可以看出两个波的波长不同，即S1的波长大于S2的波长，它们在水中的传播速
度是相等的，所以根据v＝λf 可知，S1的振动频率小于S2的振动频率，所以这两个波源不是相干波源，
它们不能发生干涉，所以a 处的质点做的不是振动减弱点，做的不是简谐运动，振幅不是零，故A 错
误；
B、b 处质点此时是波谷和波谷的交点，根据波的叠加原理知道此时b 处质点的位移大小为2A，故B
正确；
C、若想观察到稳定的干涉现象，根据前面A 的分析知道可以可将S1滴水间隔调小，故C 错误；
D、将S1的滴水间隔调至和S2的相等，此时两个波源是相干波源了，但不知道c 点到两个波源的距离
差，所以无法判断c 点是振动加强点还是振动减弱点，c 处质点就做振幅不一定为2A，故D 错误。
故选：B。
3．S1、S2为同一均匀介质中相距8m 的两个波源，在t＝0 时刻，同时由各自平衡位置沿y 轴方向开始做
简谐振动，发出两列频率相等、相向传播的简谐横波，P 为介质中两波源连线上的质点，与波源S1、
S2的距离分别是x1＝2m 和x2＝6m，如图甲所示，绘得质点P 的振动图像如图乙所示，则（ ）
A．t＝0 时刻，波源S2沿y 轴正方向开始做简谐振动
B．两列波的波长均为2m
C．0～7s 内，质点P 运动的路程为44cm
D．波源S2振动的振幅为6cm
【答案】D
【解答】解：A.在t2＝3s 时波源S2产生的波到达P 点，由图乙可知，此时两列波引起的振动方向相反，
波源S1沿y 轴正方向振动，波源S2沿y 轴负方向振动，则t＝0 时刻，波源S2沿y 轴负方向开始做简
谐振动，故A 错误；
B.经过t1＝1s 波源S1的振动传播到P 点，波速大小为v = x1
t1
解得
v＝2m/s
波长λ＝vT
解得
λ＝4m
故B 错误；
C.0～7s 内，质点P 运动的路程s＝4×2cm+8×4cm＝40cm，故C 错误；
D.两列波引起的振动方向相反，波源S1振动的振幅为2cm，波源S2振动的振幅为4cm+2cm＝6cm，故
D 正确。
故选：D。
4．如图甲所示，在浅水槽的上方安装两个相同的振子S1、S2，振子下端浸入水中。当两个振子以相同的
频率和相位上下振动时，在水面上形成了稳定的干涉图样，图乙为该干涉图样的示意图，P 点为水面
上的振动加强点。下列说法正确的是（ ）
A．P 点一直位于最大位移处
B．若仅将其中一个振子振动的相位改变π，则P 点变为振动减弱点
C．若仅将两个振子的振动频率同时增大为原来的2 倍，则P 点变为振动减弱点
D．若仅将其中一个振子的振动频率增大为原来的2 倍，仍能观察到稳定的干涉图样
【答案】B
【解答】解：A、振动加强点的位移随时间周期性变化，并非一直位于最大位移处，故A 错误；
B、两振子初始相位相同，P 点为振动加强点，若仅将其中一个振子振动的相位改变π，两振子相位差
变为π，此时P 点两列波的振动方向相反，变为振动减弱点，故B 正确；
C、两振子频率相同，P 点为振动加强点，若仅将两个振子的振动频率同时增大为原来的2 倍，两振子
频率仍相同，相位差不变，P 点仍为振动加强点，故C 错误；
D、稳定干涉图样的条件是两列波的频率相同，若仅将其中一个振子的振动频率增大为原来的2 倍，
两列波频率不同，无法形成稳定的干涉图样，故D 错误。
故选：B。
5．如图所示是观察水面波衍射的实验装置，AC 和BD 是两块挡板，AB 是一个孔，O 是波源，图中已画
出波源所在区域波的传播情况，每两条相邻波纹（图中曲线）之间距离表示一个波长。关于波经过孔
之后的传播情况，下列描述正确的是（ ）
A．如果将孔AB 扩大，有可能不能发生衍射现象
B．挡板前后波纹间距离不等
C．此时能明显观察到波的衍射现象
D．如果孔的大小不变，使波源频率增大，能更明显地观察到衍射现象
【答案】C
【解答】解：A、衍射一切波都会发生，孔扩大只是衍射现象不明显，不会完全消失，故A 错误；
B、波通过孔后，波速、频率、波长不变，则挡板前后波纹间的距离相等，故B 错误；
C、因为波长与孔的尺寸差不多，所以能够观察到明显的衍射现象，故C 正确；
D、如果孔的大小不变，使波源频率增大，因为波速不变，根据λ = v
f 知，波长减小，可能观察不到明
显的衍射现象，故D 错误。
故选：C。
6．如图所示，甲图是一列沿x 轴正方向传播的简谐横波在t＝2s 时的波形，乙图是该波传播方向上介质
中x1＝6m 处的质点从t＝0 时刻起的振动图像，a、b 是介质中平衡位置为x2＝3m 和x3＝5m 的两个质
点。下列说法正确的是（ ）
A．该波的波速是4m/s
B．从t＝2s 开始，质点b 比质点a 先回到平衡位置
C．x＝200m 处的观察者沿x 轴负方向运动时，接收到该波的频率一定为0.25Hz
D．若该波在传播过程中遇到尺寸为7m 的障碍物，会发生明显的衍射现象
【答案】D
【解答】解：A、由图可知，该波波长为8m，周期为4s，根据公式v = λ
T
代入数据可得v＝2m/s，故A 错误；
B、x＝6m 处的质点在2s 时向下振动，该波沿x 轴正方向传播，a 向上振动，b 向下振动，质点a 先回
到平衡位置，故B 错误；
C、根据周期可知该波频率为0.25Hz，观察者沿x 轴负方向运动时，靠近波源，接收到该波的频率一
定大于0.25Hz，故C 错误；
D、因为该波波长为8m，大于障碍物尺寸，会发生明显的衍射现象，故D 正确。
故选：D。
7．如图甲，两波源S1和S2分别位于x＝0 与x＝12m 处，以x＝6m 为边界，两侧为不同的均匀介质。t＝
0 时两波源同时开始振动，其振动图像相同，如图乙所示。t＝0.1s 时x＝4m 与x＝6m 两处的质点开始
振动，不考虑反射波的影响，下列说法正确的是（ ）
A．t＝0.15s 时两列波开始相遇
B．在6m＜x≤12m 间S1波的波长为0.8m
C．两列波在6m＜x≤12m 间遇到1m 的障碍物不能发生明显衍射
D．两列波叠加稳定后，x＝8.4m 处的质点振动减弱
【答案】D
【解答】解：A．以x＝6m 为边界，两侧为不同的均匀介质，波传播速度由介质决定，所以边界左侧
介质波的传播速度v1= x1
t = 4
0.1 m/ s= 40m/ s
边界右侧介质波的传播速度v2= Δ x2
t
= 12−6
0.1 m/ s=60m/ s
设再经历时间t1两列波相遇，则v1t1+v1t1＝6m﹣4m＝2m
即两列波开始相遇的时间为t′＝t+t1
代入数据得t′＝0.125s，故A 错误；
BC．根据图乙，周期T＝0.02s
对边界左侧的波有λ1＝v1T
代入数据得λ1＝0.8m
对边界右侧的波有λ2＝v2T
代入数据得λ2＝1.2m
则在6m＜x≤12m 间S1波的波长为1.2m，两列波在6m＜x≤12m，间遇到1m 的障碍物，波长大于障
碍物尺寸，可以发生明显衍射，故BC 错误；
D．波源S1的波形传播到x＝8.4m 处质点的时间t3= Δx
v = 6
60 s=0.1s=5T
右侧波在该点已经振动的时间Δt =0.19 s−12−8.4
60
s=6T + 1
2 T
左侧波在点的振动位于平衡位置向上运动，右侧波在该点的振动位于平衡位置向下运动，可知，两列
波叠加稳定后，x＝8.4m 处的质点振动减弱，故D 正确；
故选：D。
（多选）8．蟾蜍在水塘边平静的水面上鸣叫，形成如图所示的水波。已知水波的传播速度v 与水的深度
h 关系为v= ❑√gh，蟾蜍的鸣叫频率为1451Hz。下列说法正确的是（ ）
A．在深水区，水波更容易发生衍射现象
B．水波从浅水区传入深水区，频率变大
C．水面上飘落的树叶会被水波推向岸边
D．测得图中蟾蜍左上位置水波两个相邻波峰间距离为0.5cm，则此处水波的波速约为7.3m/s
【答案】AD
【解答】解：A、已知水波的传播速度与水的深度正相关，水波的波长与水深有关，深水区的波长大，
更容易发生衍射现象，故A 正确；
B、蟾蜍声带的振动产生了在空气中传播的声波和池塘中传播的水波，声波和水波，都是由声带振动
产生，其频率都应该等于声带的振动频率，故B 错误；
C、水面上飘落的树叶只会上下振动，不会随波向前运动，故C 错误；
D、蟾蜍的鸣叫频率f＝1451Hz，且水波波长λ＝0.5cm＝0.005m，则波速v＝λf
代入数据可得v＝7.3m/s，故D 正确；
故选：AD。
（多选）9．我们常用以下实验装置观察水波的干涉现象。在水槽中，波源是固定在同一个振动片上的两
根细杆，当振动片振动时，固连在振动片上的两根完全相同的细杆周期性的击打水面，并且两细杆击
打的深度和频率完全相同，可看作两个波源。这两列波相遇后，在它们的重叠区域会形成如图甲所示
的稳定干涉图样。如图乙所示，振动片以周期T 做简谐运动时，两细杆同步周期性地击打水面上的
A、B 两点，两波源发出的水波在水面上形成稳定的干涉图样。若以线段AB 为直径在水面上画一个半
圆，半径OC 与AB 垂直。除C 点外，圆周上还有其他振幅最大的点，其中在C 点左侧距C 点最近的
加强点为D 点。已知半圆的直径为d，∠DBA＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（ ）
A．沿着圆弧A 到C 应有振动减弱点5 处
B．水波的波长为d
4
C．水波的传播速度为d
5T
D．若减小振动片振动的周期，C 点可能变为振动减弱
【答案】AC
【解答】解：B 、根据题意可知，DB 与AD 的长度差等于波长，则λ ＝DB﹣AD
=dcos37°−dsin37° =0.2d = d
5 ，故B 错误。
A、A 到C 的圆弧上，任一点到A、B 的路程差Δs 的范围，在A 点，路程差Δs＝AB＝d，在C 点，路
程差Δs＝0 干涉减弱条件，路程差为半波长的奇数倍，即：Δs=(2n+1) λ
2（n＝0，1，2，…）代入
λ = d
5 则λ
2 = d
10，减弱条件为：Δs= (2n+1)d
10
在0＜Δs＜d 范围内，n 可取0，1，2，3，4，对应
Δs= d
10 ，3d
10 ，5d
10 ，7d
10 ，9d
10 ，共5 个减弱点，故A 正确。
C、水的波速为v = λ
T = d
5T ，故C 正确；
D、若减小振动片振动的周期，C 点与两波源的距离相等，距离差为零，一定仍为振幅最大点，故D
错误。
故选：AC。
（多选）10．如图（a）所示，P、Q 为x 轴上相距为20m 的两个波源，P 在坐标原点，t＝0 时两波源同时
开始振动，图（b）所示为波源P 的振动图像，图（c）所示为波源Q 的振动图像。已知两列波的传播
速度均为v＝2m/s，下列说法正确的是（ ）
A．t＝4.5s 时，x＝8m 处质点的位移为5cm
B．t＝8.5s 时，x＝8m 处质点的位移为8cm
C．经过足够长时间，x＝10m 处为振动极小值点
D．经过足够长时间，x 轴上P、Q 两质点间共有10 处振动极大值点
【答案】ACD
【解答】解：A、由振动图像可知，波源P 的振幅AP＝5cm，波源Q 的振幅AQ＝3cm，两波源的周期
均为T＝2s，则波长λ＝vT，计算得λ＝4m。
波源P 位于x＝0 处，波源Q 位于x＝20m 处。
对于x＝8m 处的质点，其到波源P 的距离x1＝8m，波从P 传至此点的时间t1= x1
v ，解得：t1＝4s。
其到波源Q 的距离x2＝12m，波从Q 传至此点的时间t2= x2
v ，解得：t2＝6s。
当t＝4.5s 时，波源Q 的振动尚未传至此点，该质点仅参与波源P 引起的振动，振动时间Δt＝t﹣t1，解
得：Δt＝0.5s，此时质点恰好到达正向最大位移处，其位移y＝AP，解得：y＝5cm，故A 正确；
B、当t＝8.5s 时，两列波均已传至此点，由于该点到两波源的波程差Δx＝x2﹣x1，解得：Δx＝4m，满
足Δx＝λ，且两波源起振方向相反，因此该点为振动减弱点，两列波在此处引起的振动方向始终相反，
叠加后的最大位移大小A＝AP﹣AQ，解得：A＝2cm，其位移不可能为8cm，故B 错误；
C、经过足够长时间，两列波在整个区域完全叠加。
在x＝10m 处，该点到两波源的距离相等，波程差为零，由于两波源的起振方向相反，两列波到达该
点时引起的振动方向总是相反，相互削弱，因此该点为振动极小值点，故C 正确；
D、经过足够长时间，两列波在两波源之间相遇并叠加。
由于两波源振动方向相反，两列波在空间发生相长干涉的条件为波程差满足| x2−x1|=(2k +1) λ
2，
其中k 为整数。
代入x1＝x，x2＝20﹣x 以及λ＝4m，可得|20﹣2x|＝2（2k+1），化简得|10﹣x|＝2k+1。
因为质点位于两波源之间，满足0＜x＜20，解得k 可取0、1、2、3，在x10m 区域也有5 个解，该区
域内共有10 处振动极大值点，故D 正确。
故选：ACD。
课时精练
一．选择题
1．下列关于机械波的一些说法正确的是（ ）
A．我们能够听到墙外的声音是声波发生干涉的结果
B．声音从海水传播到空气中，频率增大
C．“彩超”通过测量反射波的频率变化进而计算出血流的速度，主要利用了波的多普勒效应
D．能够观察到明显的衍射现象的条件是波长比障碍物的尺寸小或差不多
【答案】C
【解答】解：A、听到墙外的声音是声波绕过障碍物发生衍射的结果，故A 错误；
B、波的频率由波源决定，声音从海水传播到空气中，波源不变则频率不变，故B 错误；
C、“彩超”是利用多普勒效应，声波遇到不同密度的组织（如器官、血管、液体）时发生反射或散
射。探头接收这些回波后，根据声波传播时间和强度差异，生成 灰度图像（B 超模式），显示组织形
态和结构，故C 正确；
D、发生明显衍射现象的条件是障碍物的尺寸比波长小或与波长相差不多，波长比障碍物尺寸大或差
不多，故D 错误。
故选：C。
2．手抓紧绳的一端上下振动，产生沿绳传播的机械波，随着手的振动频率改变，某时刻的波形图如图所
示，下列说法正确的是（ ）
A．绳波的波长在逐渐增大
B．绳波的波速在逐渐增大
C．绳波的波速在逐渐减小
D．手的振动频率逐渐增大
【答案】D
【解答】解：A、从波形图可以看出，靠近振源S 的波形波长较短，远离振源的波形波长较长，由于
波是持续向右传播的，越早发出的波，波长越长，则绳波的波长在逐渐减小，故A 错误；
BC、机械波的传播速度由介质决定，在同一根绳子（均匀介质）中，波速v 是恒定不变的，与振源的
振动频率无关，故BC 错误；
D、由v＝λf，可知v 不变，而波长λ 逐渐减小，所以振动频率f 逐渐增大，即手的振动频率逐渐增大，
故D 正确。
故选：D。
3．艺术体操的主要项目有绳操、球操、圈操、带操和棒操五项。如图为某运动员进行的带操比赛的照片。
某段过程中彩带的运动可简化为沿x 轴方向传播的简谐横波t＝1.0s 时的波形图如图甲所示，质点Q 的
振动图像如图乙所示。下列判断正确的是（ ）
A．简谐波沿x 轴负方向传播
B．该时刻P 点的位移为5 ❑√3cm
C．再经过0.75s，P 点到达波谷位置
D．质点Q 的振动方程为y＝10sin（πt）cm
【答案】C
【解答】解：A．由乙图可知，t＝1.0s 时，质点Q 向上运动，根据同侧法，波沿x 轴正方向传播，故
A 错误；
B．由图甲可知，波长λ＝2×（7m﹣3m）＝8m，由P 点和Q 点平衡位置相距3m 可知，t＝1.0s 时P 点
的位移为：y =10sin 3 π
4 cm=5 ❑√2cm，故B 错误；
C．波沿x 轴正方向传播，根据同侧法可知t＝1.0s 时刻P 向下振动，t＝1.0s 时P 点的位移为5 ❑√2cm，
再经过0.75s= 0.75
2
T = 3
8 T = 1
8 T + 1
4 T，P 点到达波谷位置，故C 正确；
D．t＝0 时Q 点向下振动，故质点Q 的振动方程为y＝10sin（πt+π）cm，故D 错误。
故选：C。
4．2025 年某科研团队借助“极化保护”机制，首次在单固体谐振器中实现机械波近乎无泄漏的完美束缚。
如图所示为实验中一列在同一均匀介质中沿x 轴正方向传播的机械波某时刻的波形图，A、B 是其波形
图上两点，下列关于机械波的说法正确的是（ ）
A．波的频率越大，传播速度越快
B．波的频率越高，波长越短
C．波的振幅越大，波在介质中传播的速度越大
D．一个周期后位于A 处的质点将运动到位置B 处
【答案】B
【解答】解：AC、机械波的传播速度由介质的性质和波的类型（横波或纵波）共同决定，与波的频率、
振幅无关，振幅只反映振动的强弱，不影响波速故AC 错误；
B、机械波的波长满足λ = v
f ，可知波的频率越高，波长越短，故B 正确；
D、机械波在传播的过程中，质点只是在自己平衡位置上下做简谐振动，并不会“随波逐流”，故D
错误。
故选：B。
5．战绳（Battle Rope）是健身房常见的高强度训练器材，通过甩动绳子既能锻炼全身力量与心肺功能，
又能直观演示机械波的传播规律。某次训练中甩动战绳形成的波浪可简化为简谐横波，图乙为该简谐
横波在t＝0 时刻的波形图，图丙为图乙中P 点的振动图像。绳子足够长且忽略传播时振幅的衰减，下
列说法正确的是（ ）
A．该简谐波波速为1.5m/s，波沿x 轴负方向传播，经t＝1.2s 质点P 运动的路程为0.6m
B．该简谐波波速为0.75m/s，波沿x 轴正方向传播，经t＝1.2s 质点P 运动的路程为1.2m
C．该简谐波波速为0.75m/s，波沿x 轴正方向传播，经t＝1.2s 质点P 运动的路程为1.0m
D．该简谐波波速为1.5m/s，波沿x 轴正方向传播，经t＝1.2s 质点P 运动的路程为0.6m
【答案】B
【解答】解：分析图乙可知波长λ＝0.6m，分析图丙可知周期T＝0.8s，振幅A＝0.2m。
根据波速公式v = λ
T 可得波速v＝0.75m/s；由于t＝0 时质点P 向y 轴正方向振动，结合图乙波形根据
“上下坡法”可知，该波沿x 轴正方向传播；在Δt＝1.2s 时间内经历的时间为1.5T，质点运动的路程s
＝1.5×4A，解得：s＝1.2m，故ACD 错误，B 正确。
故选：B。
6．如图1 所示为一列简谐横波在t＝0 时的波形图，图2 为x＝4m 处质点的振动图像，以下说法正确的是
（ ）
A．波的周期为2s
B．波速大小为1m/s
C．波的传播方向沿x 轴正方向
D．x＝4m 处的质点经1s 到达坐标（5m，2m）处
【答案】B
【解答】解：AB、由图像可知，该波的波长λ＝4m，周期T＝4s，则波速v = λ
T ，解得：v＝1m/s，故
A 错误，B 正确；
C、由图2 可知，t＝0 时，x＝4m 处的质点正由平衡位置向y 轴正方向振动，根据“上下坡”法判断，
该波的传播方向沿x 轴负方向，故C 错误；
D、质点不会随波迁移，t＝0 时，x＝4m 处的质点正沿y 轴正方向运动，经过1s（即T
4 ）后，该质点
将运动至正向最大位移处，其坐标为（4m，2m），故D 错误。
故选：B。
7．某非遗舞龙表演中，龙身的波动可视为沿x 轴传播的简谐横波，图甲为该简谐横波在t＝0 时刻的波形
图，图乙为平衡位置在x＝6m 处的质点a 的振动图像。已知质点M 的平衡位置在x＝1.5m 处，质点N
的平衡位置在x＝10m 处，下列说法正确的是（ ）
A．该波沿x 轴正方向传播，波速大小为3m/s
B．t＝2.5s 时，质点M 处于波峰位置
C．质点N 的振动方程y =10sin( π
2 t + π
3 )cm
D．t＝3s 时，质点N 恰好位于波谷位置
【答案】B
【解答】解：由图甲可知波长λ＝12m，由图乙可知周期T＝4s，则波速v = λ
T ，解得：v＝3m/s；由图
乙可知t＝0 时刻x＝6m 处的质点沿y 轴正方向运动，结合图甲波形可知波沿x 轴负方向传播。
A、该波沿x 轴负方向传播，速度为3m/s，故A 错误；
B、在t＝2.5s 时，波传播距离Δx＝vt，解得：Δx＝7.5m，由于波向左传，此时x＝1.5m 处质点的状态
与t＝0 时x＝1.5m+7.5m＝9m 处相同，由图甲可知该处为波峰，故B 正确；
C、根据ω= 2π
T ，解得：ω= π
2 rad / s，波向左传播的特性，由t＝0 时x＝6m 处的振动状态可知质点
N 的振动方程为y =10sin( π
2 t + 2π
3 )cm，故C 错误；
D、将t＝3s 代入质点N 的振动方程解得位移y＝5cm，此时质点不在波谷位置，故D 错误。
故选：B。
二．多选题
（多选）8．一款具有振动功能的弹力绳被用于模拟人体运动时的力学响应。一端固定的弹力绳被电机驱
动，产生了一列沿x 轴传播的简谐横波。利用高速摄像机拍摄可以得到弹力绳上某一时刻各点的瞬时
位置，横坐标表示弹力绳上各点的平衡位置，纵坐标为位移，t＝1s 时刻的波形如图甲所示，Q 是平衡
位置为x＝4m 处的质点，图乙为质点Q 的振动图像。下列说法正确的是（ ）
A．该波沿x 轴负方向传播
B．该波的波速大小为2m/s
C．质点P 在一个周期内运动的路程为20cm
D．当质点Q 第一次经过最大负位移时，质点P 向下振动且位移为−5 ❑√3
2
cm
【答案】BCD
【解答】解：A、由图乙可知，t＝1s 时质点Q 沿y 轴负方向振动，根据图甲并结合同侧法可判断，该
波沿x 轴正方向传播，故A 错误；
B、由图甲可知波长λ＝4m，由图乙可知周期T＝2s，根据波长、波速与周期的关系v = λ
T ，解得：v＝
2m/s，故B 正确；
C、该波振幅A＝5cm，质点P 在一个周期内通过的路程s＝4A，解得：s＝20cm，故C 正确；
D、以t＝0 时刻开始计时，设质点P 的位移随时间变化表达式为y＝Asin（ωt+φ）。由图可知A＝
5cm，T＝2s，则ω= 2π
T ，解得：ω＝πrad/s。由图甲可知，t＝1s 时刻，质点P 的位移为5
2 cm，且向y
轴负方向运动，代入y ＝Asin （ωt+φ ），解得：φ =−π
6 。因此质点P 的位移表达式为
y =5sin(πt −π
6 )。当质点Q 第一次经过最大负位移时，对应t ＝1.5s ，此时质点P 的位移
y =5sin(π × 3
2 −π
6 )，解得：y =−5 ❑√3
2
cm，故D 正确。
故选：BCD。
（多选）9．图甲为一列简谐横波在t＝0 时的波形图，图乙为平衡位置在x＝2m 处质点P 的振动图像。质
点Q 的平衡位置在x＝0.5m 处，对该列波下列说法正确的是（ ）
A．波沿x 轴正方向传播
B．在t＝0 时刻，质点Q 偏离平衡位置的位移为y＝﹣0.1m
C．从t＝0 到t＝0.1s 时间内，质点P 与质点Q 路程相等
D．在t＝0.35s 时，质点Q 距平衡位置的距离小于质点P 距平衡位置的距离
【答案】ACD
【解答】解：A、在t＝0 时刻，质点P 正向下振动，依据“同侧法”可判断该波沿x 轴正方向传播，
故A 正确；
B、该波形为正弦曲线，其波动方程可表示为y =−Asin( 2πx
λ )=−0.2sin( πx
2 )m，将质点Q 的坐标x
＝0.5m 代入，可得y =−0.2sin π
4 m，计算得y =−0.1❑√2m，其数值约为﹣0.14m，故B 错误；
C、已知t＝0.1s，该时间恰为半个周期，即t = T
2 。在简谐运动中，任意质点经过半个周期的路程恒为
2A，与初始位置无关，且同一列波中所有质点的振幅相同，因此质点P 与Q 的路程均为s＝2A，代入
数据得s＝2×0.2m，解得：s＝0.4m，故C 正确；
D、已知t＝0.35s，该时间等于1 3
4 T。质点P 在t＝0 时自平衡位置向下运动，经过3
4 T后，质点P 将
运动至正的最大位移处，此时它距平衡位置的距离即为振幅0.2m。对于质点Q，将其坐标代入振动方
程，计算t＝0.35s 时的位移绝对值| yQ|=0.1❑√2m，其值约为0.14m，比较可知0.14m＜0.2m，因此在
该时刻，质点Q 距平衡位置的距离小于质点P，故D 正确。
故选：ACD。
（多选）10．如图所示，两列简谐横波分别沿x 轴正方向和负方向传播，波源M、N 分别位于x 轴﹣0.2m
和1.2m 处，波速均为0.8m/s。则下列说法中正确的是（ ）
A．M 波频率为2Hz
B．两列波的波源振动步调相同
C．稳定后x＝0.3m 处质点位移一直最大
D．稳定后PQ 之间有2 个振动减弱点（P、Q 除外）
【答案】ABD
【解答】解：A.由图可知λ＝0.4m 又T = λ
v ，得T＝0.5s，f= 1
T = 1
0.5 Hz =2Hz，故A 正确；
B.波源M 的起振方向，波向右传播，用“上下坡法”，M 点（x＝−0.2 m）处于上坡，振动方向向下；
波源N 的起振方向，波向左传播，N 点（x＝1.2 m）处于上坡，振动方向向下，两波源起振方向相同，
因此振动步调相同，故B 正确；
C.两列波到x＝0.3m 的波程差Δx＝|（1.2−0.3）（
−
0.3 （
−
−0.2））|m＝|0.9m−0.5m|＝0.4m＝λ 两波源
振动步调相同，当波程差为整数倍波长时，两列波在该点的振动同相叠加，是加强点，发生振动加强，
振幅为两列波振幅之和，但位移不会一直最大，故C 错误；
D.两波源同步调，振动减弱点条件为Δx = λ
2 (2n+1)（n＝0，±1，±2，…），又﹣0.6m＜Δx＜0.6m，
得n＝0、﹣1，即稳定后PQ 之间有2 个振动减弱点（P、Q 除外），故D 正确。
故选：ABD。
三．解答题
11．一列简谐横波在两个不同时刻的波形如图所示，虚线为实线所示的横波在Δt＝0.5s 后的波形图线。
（1）若波沿x 轴负方向传播，求波速v 的大小；
（2）若波速大小为v＝30m/s，计算说明波向哪个方向传播？
【答案】（1）若波沿x 轴负方向传播，波速v 的大小为（8n+2）m/s（n＝0，1，2，…）。
（2）若波速大小为v＝30m/s，波向x 轴正方向传播。
【解答】解：（1）根据波形图可知，该简谐横波的波长λ＝4m。若波沿x 轴负方向传播，则在Δt＝
0.5s 内传播的距离s=(n+ 1
4 )λ（n＝0，1，2，…），根据公式v = s
Δt ，代入数据解得：波速v＝
（8n+2）m/s（n＝0，1，2，…）。
（2）当波速v＝30m/s 时，在Δt＝0.5s 内波传播的位移s＝vΔt，代入数据得s＝15m。由于
s
λ = 15
4 =3.75，即s=(3+ 3
4 )λ。
由图可知，将实线波形沿x 轴正方向平移3
4 λ后可与虚线波形重合，故波向x 轴正方向传播。
答：（1）若波沿x 轴负方向传播，波速v 的大小为（8n+2）m/s（n＝0，1，2，…）。
（2）若波速大小为v＝30m/s，波向x 轴正方向传播。
12．两列简谐横波分别沿x 轴正方向和负方向传播，两波源分别位于x＝0 和x＝14m 处，波源的振幅均
为4cm，传播速度相同。如图所示为t＝0 时刻两列波的图像，此刻平衡位置在x＝4m 和x＝10m 的
P、Q 两质点刚开始振动，且t1＝0.5s 时刻，质点P 第一次到达波峰处，质点M 的平衡位置处于x＝8m
处。求：
（1）简谐波的传播速度v；
（2）写出从O 时刻开始质点P 的振动方程；
（3）从t＝0 到t2＝5s 内，质点M 运动的路程。
【答案】（1）简谐波的传播速度为2m/s；
（2）0≤t≤3s 内，P 的振动方程为y＝4sinπt（cm）；t＝3s 后，质点P 处于静止状态；
（3）从t＝0 到t2＝5s 内，质点M 运动的路程为8cm。
【解答】解：（1）由题图可知此时质点P 向上振动，t1＝0.5s 时刻，质点P 第一次到达波峰处，则有
Δt =0.5 s= 1
4 T
解得周期为T＝2s
由题图可知波长为λ＝4m，则简谐波的传播速度为v = λ
T = 4
2 m/s＝2m/s；
（2）x＝14m 处的波源的振动从t＝0 时刻传到质点P 处所用时间为t ′ = 10−4
2
s=3 s
则在0～3s 内质点P 的振动方程为y = Asin 2π
T t = 4 sinπt(cm)（0≤t≤3s）
当t＝3s 时，x＝14m 处的波源的振动刚好传到质点P 处，此时位于x＝0 处波源的振动使质点P 从平衡
位置向下振动，位于x＝14m 处波源的振动使质点P 从平衡位置向上振动，则质点P 处为振动减弱点，
且两波的振幅相等，所以t＝3s 后，质点P 一直处于静止状态。
（3）从t＝0 到t2＝5s 内，左侧波传到M 点时间为t1= Δ x1
v
= 8−4
2
s=2s
右侧波传到M 点时间为t2= Δ x2
v
= 10−8
2
s=1s
在0∼1s 内，质点M 不动，1s～2s 内，质点M 运动半个周期，则有s1＝2A＝8cm
在t＝2s 时，左侧波使质点M 从平衡位置向上振动，右侧波使质点M 从平衡位置向下振动，则质点M
为振动减弱点，2s～5s 内，质点M 一直处于静止状态；故0～5s 内，质点M 运动的路程为s＝s1＝
8cm。
答：（1）简谐波的传播速度为2m/s；
（2）0≤t≤3s 内，P 的振动方程为y＝4sinπt（cm）；t＝3s 后，质点P 处于静止状态；
（3）从t＝0 到t2＝5s 内，质点M 运动的路程为8cm。
13．如图为亚运会艺术体操比赛中运动员进行带操比赛的画面，某段过程中彩带的运动可简化为沿x 轴
正向传播的简谐横波，图甲为这列波在t＝0 时刻的波形图，此时x＝5m 处的质点M 刚开始振动，图
乙为某质点的振动图像。求：
（1）波传播速度的大小；
（2）写出x＝5m 处M 质点的振动方程；
（3）从0 时刻开始，经过5s，x＝10m 处质点Q 运动的路程。
【答案】（1）波传播速度的大小为2m/s；
（2）x＝5m 处M 质点的振动方程为y＝﹣10sin（πt）cm；
（3）从0 时刻开始，经过5s，x＝10m 处质点Q 运动的路程为50cm。
【解答】解：（1）由图甲可知，波长λ＝4m，由图乙可知，周期T＝2s
则波传播速度的大小为v= λ
T = 4
2 m/s＝2m/s
（2）简谐横波沿x 轴正向传播，由同侧法知t＝0 时刻质点M 沿y 轴负方向运动，初相位为π，振幅A
＝10cm
则M 质点的振动方程为y＝Asin（2π
T t+π）＝﹣10sin（2π
2 t）cm＝﹣10sin（πt）cm
（3）波从M 点传到Q 点的时间t1= xMQ
v = 10−5
2
s＝2.5s
从0 时刻开始，经过5s，质点Q 振动的时间为t2＝t﹣t1＝5s﹣2.5s＝2.5s＝1.25T
故从0 时刻开始，经过5s，x＝10m 处质点Q 运动的路程为s＝1.25×4A＝5A＝5×10cm＝50cm
答：（1）波传播速度的大小为2m/s；
（2）x＝5m 处M 质点的振动方程为y＝﹣10sin（πt）cm；
（3）从0 时刻开始，经过5s，x＝10m 处质点Q 运动的路程为50cm。
14．如图甲所示是一列简谐横波在t＝0.1s 时刻的波形图（未画完），P 是平衡位置在x＝1.5m 处的质点，
Q 是平衡位置在x＝12m 处的质点，图乙为质点Q 的振动图像，R 是平衡位置在x＝27m 处的质点（图
中未画出且已稳定振动），求：
（1）该列波的传播方向和速度；
（2）P 在t＝0.1s 到t＝0.2s 的过程中通过的路程；
（3）Q、R 位移相同的时刻。
【答案】（1）该列波的传播方向沿x 轴正方向传播，波速为60m/s；
（2）P 在t＝0.1s 到t＝0.2s 的过程中通过的路程为20cm；
（3）Q、R 位移相同的时刻t＝（0.175+0.2n）s，n＝0、1、2、3…或t＝（0.275+0.2n）s，n＝0、1、
2、3
。
⋯
【解答】解：（1）根据图乙，可知在t＝0.1s 时，质点Q 的振动方向是沿y 轴负方向，由波形图甲，
根据“同侧法”，可知这列波沿x 轴正方向传播。由振动图像可知，波的周期为T＝0.2s，由波形图可
知，该波的波长λ＝12m，由v = λ
T ，解得波速v＝60m/s；
（2）从t＝0.1s 到t＝0.2s 的过程中，质点P 振动了T
2 ，其路程为s＝2A＝2×10cm＝20cm；
（3）R 是平衡位置在x＝27m 处的质点，t＝0.1s 时位于波峰，它与平衡位置在x＝15m 处的质点振动
总是相同，设x＝15m 处的质点为R1，Q 位于x＝12m，t＝0.1s 时位于平衡位置，故当Q 与R1 之间
x = 15+12
2
m=13.5m处的质点位于波谷或波峰时，Q、R 位移相同，故Q、R 位移相同的时刻，当x
＝13.5m 处的质点位于波谷时有t =0.1+ 13.5−9
60
+nT =(0.175+0.2n)s，n=0、1、2、3⋯
当x＝13.5m 处的质点位于波峰时有t =0.1+ 13.5−3
60
+nT =(0.275+0.2n)s，n=0、1、2、3⋯。
答：（1）该列波的传播方向沿x 轴正方向传播，波速为60m/s；
（2）P 在t＝0.1s 到t＝0.2s 的过程中通过的路程为20cm；
（3）Q、R 位移相同的时刻t＝（0.175+0.2n）s，n＝0、1、2、3…或t＝（0.275+0.2n）s，n＝0、1、
2、3
。
⋯
15．在某次大型庆典活动中，技术人员采用数百架无人机编队表演模拟水波纹扩散的壮观效果。通过精
确控制无人机模拟水面上质点的振动，形成以O 点为波源向外传播的圆形波。以某一方向建立x 轴，
该传播方向上有a、b 两架水平方向相距0.5m 的无人机，如图甲所示。从计时开始a、b 两无人机的振
动图像分别如图乙、丙所示。
（1）请写出无人机b 的振动方程；
（2）若该波的波长大于0.2m，求波速的大小。
【答案】（1）无人机b 的振动方程为y＝5sin（2.5πt）m；
（2）该波的波长大于0.2m 时，波速的大小为2.5m/s 或0.5m/s 或5
18 m/ s。
【解答】解：（1）由图像可知，振幅A＝5m，周期T＝0.8s，根据角频率公式ω= 2π
T ，解得ω＝
2.5πrad/s。
由此可得无人机b 的振动方程为y＝Asinωt，代入数据得y＝5sin（2.5πt）m。
（2）分析图像可知，无人机b 的相位比a 落后Δφ= π
2 ，则两机间距满足xab=(n+ 1
4 )λ（其中n＝0，
1，2，...）。
代入xab＝0.5m 可得波长表达式λ=
2
4 n+1 m，根据波速公式v = λ
T 分别计算：当n＝0 时，λ1＝2m，解
得v1＝2.5m/s；
当n＝1 时，λ2＝0.4m，解得v2＝0.5m/s；当n＝2 时，λ3= 2
9 m，解得v3= 5
18 m/ s。
由于题设要求波长λ＞0.2m，上述三个波速结果均符合物理过程。
答：（1）无人机b 的振动方程为y＝5sin（2.5πt）m；
（2）该波的波长大于0.2m 时，波速的大小为2.5m/s 或0.5m/s 或5
18 m/ s。
