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专题51 动态圆、磁聚焦和磁发散
模型一 放缩圆法........................................................................................................................................ 1
模型二 旋转圆法........................................................................................................................................ 9
模型三 平移圆法...................................................................................................................................... 20
模型四 磁聚焦和磁发散问题..................................................................................................................26
模型一 放缩圆法
1. 适用条件： 粒子速度方向一定， 大小不同
粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子， 粒子垂直进入匀强磁场时， 这些带电粒
子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化，轨迹圆的圆心在同一条线上。
2. 轨迹特点： 轨迹圆圆心在同一条直线上
如图所示， 假设粒子带正电， 速度越大， 轨迹圆的半径也越大， 又出发位置相同， 这些
带电粒子射入磁场后， 运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线 P P
′ 上， 相当于将轨迹
圆的半径以入射点 P 为定点，P P
′为直径所在直线，进行放大或缩小得到轨迹圆，这些轨迹
圆就叫放缩圆。
3. 寻找临界条件
以入射点 P 为定点，将半径放大或缩小从而作出不同速率的粒子做圆周运动对应的轨迹，
从而找到临界圆。
【例题精讲】
1．如图所示，ab 边界以上，圆形边界以外的Ⅰ区域中存在匀强磁场，磁感应强度为B0，圆形边界以内Ⅱ
区域中匀强磁场的磁感应强度为2B0，圆形边界半径为R，ab 边界上c 点距圆形边界圆心O 的距离为
2R；一束质量为m、电荷量为q 的负电粒子，在纸面内从c 点沿垂直边界ab 方向以不同速率射入磁场。
不计粒子之间的相互作用。已知一定速率范围内的粒子可以经过圆形磁场边界，这其中速率为v 的粒子
到达圆周边界前在Ⅰ区域中运动的时间最短。只考虑一次进出Ⅰ、Ⅱ区域，则（ ）
A．可以经过圆形边界的粒子的速率最大值为3q B0 R
m
B．可以经过圆形边界的粒子的速率最小值为q B0 R
m
C．速率为v 的粒子在Ⅰ区域的运动时间为2πR
3 v
D．速率为v 的粒子在Ⅱ区域的运动时间为πm
4 q B0
【答案】C
【解答】解：AB、粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得qvB =m v
2
r ，可得r = mv
qB
可知，粒子的速度越大，其轨迹半径越大，当粒子从Ⅱ区域右侧经过圆形磁场边界时，轨迹半径最大，
此时粒子的速度最大，由几何关系得最大的轨迹半径rmax= 3
2R
代入数据解得最大速度为vmax = 3q B0 R
2m
当从Ⅱ区域左侧经过圆形磁场边界时，粒子轨迹对应的轨迹半径最小，此情况下粒子速度最小，由几何
关系得最小的轨迹半径rmin= R
2
代入数据解得最小速度为vmin= q B0 R
2m ，故AB 错误；
C、粒子在磁场Ⅰ中运动周期为T = 2πr
v
= 2πm
qB
设粒子经过圆形磁场边界时，在磁场Ⅰ中偏转的圆心角为θ，则粒子在磁场中运动的时间为
t = θ
2π T = θm
q B0
则粒子偏转的圆心角越小，到达圆周边界前在Ⅰ区域中运动的时间越短，由几何关系可得，速率为v 的
粒子到达圆周边界前在Ⅰ区域中运动的时间最短的运动轨迹如下图所示
由几何知识可知，粒子在Ⅰ区域中运动的时间最短时轨迹半径r＝R
对应的圆心角为θ＝120°
可得速率为v 的粒子在Ⅰ区域的运动时间为t1= 120°
360° ⋅2πR
v
= 2πR
3 v ，故C 正确；
D、当进入Ⅱ区域磁场后，粒子做匀速圆周运动的半径为r2= mv
2B0q = R
2 ，由r2＜R 与对称性可知，粒子
能在Ⅱ区域做半个圆周运动，则速率为v 的粒子在Ⅱ区域的运动时间为t2= T
2 = 2πm
2B0q × 1
2 = πm
2B0q ，故
D 错误。
故选：C。
2．如图所示，竖直平面内一半径为R 的圆形区域内存在磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直纸面向里。
一束质量为m、电荷量为﹣q 的带电粒子沿平行于直径MN 的方向以不同速率v0从P 点进入匀强磁场，
入射点P 到直径MN 的距离h= 1
2 R，不计粒子重力。下列说法正确的是（ ）
A．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，则其入射速度v0为qBR
m
B．若粒子恰好能从N 点射出，则粒子在磁场中运动的时间为πm
6qB
C．若粒子恰好能从K 点（OK⊥MN）射出，则其在磁场中运动半径大小为
❑√3
2 R
D．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向垂直，则其入射速度v0为qBR
3m
【答案】B
【解答】解：A、若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，粒子的轨迹如图所示，
由几何关系得：r1=h= R
2
由洛伦兹力提供向心力，则有：q v0 B =m v0
2
r1
联立得粒子的入射速度为：v0= qBR
2m ，故A 错误；
B、若粒子恰好能从N 点射出，画出符合条件的粒子轨迹如图所示，
由几何关系得：FO′2+FN2＝NO′2，F N＝R+Rsinα
即：(r2−h)
2+( R+
❑√3
2 R)
2
=r2
2
联立解得：r2=2 R+ ❑√3 R =2 F N
可知∠PO′N＝30°，则粒子在磁场中运动的时间为：t = θm
qB = πm
6qB ，故B 正确；
C、若粒子恰好能从K 点射出，画出该粒子的运行轨迹如图所示，
根据平面几何的知识，可知四边形POKO'是菱形，则粒子在磁场中运动的半径：r3＝R，故C 错误；
D、若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向垂直，画出符合条件的运动轨迹如图所示，
根据几何关系可知：∠OPQ＝60°﹣45°＝15°
因ΔPOQ 为等腰三角形，则根据数学知识有：PQ =2 Rcos15° = 2(2+ ❑√3)R
❑√2+ ❑√6
由于ΔPO′Q 为等腰直角三角形，可知：r4= PQ
❑√2 = (2+ ❑√3)R
1+ ❑√3
由洛伦兹力提供向心力，可得：q v0 B =m v0
2
r4
联立以上各式解得：v0= (1+ ❑√3)qBR
2m
，故D 错误。
故选：B。
3．如图所示，在理想的虚线边界内有范围足够大的匀强磁场，ab，cd 段水平，bc，de 段竖直，且ab＝cd
= 3
2bc。在纸面内大量质子从a 点垂直于ab 以不同速率射入磁场，不计质子间的相互作用力和重力，则
从边界de 垂直射出的质子与在磁场中运动时间最长的质子的速率之比为（ ）
A．3：2
B．36：13
C．9：4
D．36：17
【答案】B
【解答】解：画出质子的运动轨迹如下图所示：
设bc 长度为2L，则ab＝cd＝3L，从垂直边界de 射出的质子的运动半径为R1，由几何关系可得：
R1＝ab+cd＝3L+3L＝6L
当质子在c 点射出时，运动轨迹的圆心角最大，运动时间越长，设质子在c 点射出时运动半径为R2，由
几何关系得：
（3L﹣R2）2+（2L）2= R2
2
解得：R2= 13
6 L
由洛伦兹力提供向心力得：qvB＝mv
2
R ，解得：v= qBR
m
可知质子在磁场中运动速率之比等于半径之比，所以从边界de 垂直射出的质子与在磁场中运动时间最
长的质子的速率之比为：v1：v2＝R1：R2＝36：13，故ACD 错误，B 正确。
故选：B。
4．如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场
方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则它们在磁场
中运动的（ ）
A．轨迹半径之比为1：2
B．速度之比为2：1
C．时间之比为2：3
D．周期之比为2：1
【答案】A
【解答】解：A．设粒子的入射点到磁场下边界的磁场距离为d，粒子的轨迹半径分别为R1、R2，如图
所示。
根据几何关系可得：R1＝d
R2＝R2cos60°+d
解得：R2＝2d
则两粒子在磁场中运动的轨道半径之比为R1：R2＝1：2，故A 正确；
B、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力得：qvB＝mv
2
R
可得：v= qB
m ⋅R
则两粒子的速度之比为v1：v2＝R1：R2＝1：2，故B 错误；
CD、粒子在磁场中运动的周期为：T= 2πm
qB ，可知粒子的运动的周期与粒子的速度大小无关，所以粒子
在磁场中的周期相同；
由粒子的运动轨迹可知，两种速度的粒子轨迹的圆心角分别为90°、60°，粒子运动的时间为：t=
θ
360°
T
则两粒子在磁场中的运动时间之比为：t1：t2＝90°：60°＝3：2，故CD 错误。
故选：A。
5．一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其下边界如图中虚线所示，P、M、N、Q
四点共线，∠MON 为直角，OM＝ON＝MP＝d。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面
内从P 点以不同的速率垂直于PM 射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。则粒子在磁场中运动
时间最长时的速率是（ ）
A．dqB
2m
B．
❑√2dqB
2m
C．dqB
m
D．(2+ ❑√2)dqB
2m
【答案】C
【解答】解：粒子在磁场中运动时间最长时轨迹对应的圆心角最大，则粒子从O 点射出时运动时间最长，
如图所示：
根据几何关系可得圆心在M 点，轨迹半径为：R＝PM＝MO＝d
根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝mv
2
R
解得：v= dqB
m ，故C 正确、ABD 错误。
故选：C。
6．如图所示，在矩形GHIJ 区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P 点是GH 边的中点，四个完全相同
的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P 点射入匀强磁场，它们的轨迹在同一平面
（纸面）内，下列说法正确的是（ ）
A．④粒子的速率最大
B．③粒子的向心加速度最大
C．②粒子在矩形GHIJ 磁场区域运动的时间最长
D．①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ 磁场区域的运动周期不相同
【答案】A
【解答】解：CD、四个粒子在匀强磁场中均做匀速圆周运动，根据周期公式T= 2πm
qB 可知，四个完全
相同的粒子，其比荷相同，在同一匀强磁场中运动的周期相同，由图知③粒子在磁场中转过的圆心角
最大，由t= θ
2π T（θ 是轨迹的圆心角）可知，③粒子在矩形GHIJ 磁场区域经历的时间最长，故CD 错
误；
A、根据洛伦兹力提供向心力得qvB =m v
2
r
可得r = mv
qB
因④粒子的轨迹半径最大，则④粒子的速率最大，故A 正确；
B、粒子的向心加速度为a= v
2
r = qBv
m ，可知④粒子的向心加速度最大，故B 错误。
故选：A。
7．如图所示，等腰梯形ABCD 区域内，存在垂直该平面向里的匀强磁场，已知磁感应强度B＝4T，AB＝
0.4m，AD＝BC＝0.8m，θ＝30°。O 为DC 边上一点，AO⊥DC，O 点处有一粒子源，能沿垂直AD 边的
方向发射速度大小不等的同种带电粒子，带电粒子的质量为m＝5×10﹣8kg，电荷量为q＝﹣1.0×10﹣
9C，粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
A．从A 点飞出的粒子速度大小为32cm/s
B．AB 边与CD 边可飞出粒子的区域长度之比为1：2
C．粒子在磁场中运动的最长时间为5
3 π ×10
−2s
D．BC 边会有部分区域有粒子飞出
【答案】B
【解答】解：A、从A 点飞出的粒子，运动情况如图所示：
由几何关系可知，从A 点飞出的粒子的运动轨迹半径为rA＝0.4m
由洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m v
2
r A
可得从A 点飞出的粒子速度大小为v＝0.032m/s＝3.2cm/s，故A 错误；
BD、由几何关系可知，若粒子速度较大，则粒子可能从AD 边靠近E 点处射出磁场，随着粒子速度减
小，射出点逐渐向A 点靠近，当粒子速度再减小，运动轨迹刚好与AB 边相切，若速度再减小，粒子将
在磁场中偏转从CD 边射出磁场，即BC 边不会有粒子飞出；当粒子运动轨迹恰好与AB 边相切时，轨
迹如图所示：
轨迹半径满足关系：2×（0.4m﹣r）＝r
解得：r= 4
15m
AB 边有粒子射出的区域长度为：L1 ＝rcos30°，解得：L1= 2❑√3
15 m
轨迹与AB 边相切从DC 边射出的粒子距O 点最远，粒子速度再变小则从最远距离至O 点均有粒子射出，
即CD 边有粒子射出的区域长度为：L2＝2L1
则AB 边与CD 边可飞出粒子的区域长度之比为1：2，故B 正确，D 错误；
C 、粒子从CD 边射入磁场再从CD 边射出磁场所用时间最长，则运动的最长时间为：tmax
= 240°
360° × 2πm
qB
解得：tmax= 50 π
3
s，故C 错误。
故选：B。
模型二 旋转圆法
1. 适用条件： 粒子出发地点相同，速度大小一定， 但方向不同。
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子， 粒子垂直进入匀强磁场时， 这些带电粒
子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等。
2. 轨迹特点： 轨迹圆的圆心在同一个圆上
如图所示， 假设粒子带正电， 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心均在以入射点 O
为圆心、半径 R = m v0
qB 的圆上，这个圆称为“轨迹圆心圆”， 相当于将最外侧的轨迹圆以
入射点 O 为定点进行顺时针旋转， 可得到粒子沿不同方向发射时的轨迹圆，所以这种模型
就是旋转圆模型。
3. 寻找临界圆
以入射点 O 为定点，把各粒子运动的轨迹圆绕该点进行旋转，从而得到沿不同方向发射的
粒子的轨迹，结合边界条件， 从而找到临界圆。
【例题精讲】
1．如图，在竖直平面内的Oxy 直角坐标系中，x 轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x 轴放置足够长的探测薄板MN，MN 到x 轴的距离为d，上、下
表面均能接收粒子。位于原点O 的粒子源，沿平面向x 轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已
知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为qBd
m 。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作
用，则（ ）
A．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为1
2 d
B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为(❑√3−1)d
C．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最长时间为πm
qB
D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为πm
2qB
【答案】B
【解答】解：粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力qvB =m v
2
r ，代入数据可得r＝d，粒子运动轨
迹如图所示：
AB、由几何关系可知薄板上表面接收到粒子的长度s1=
❑√(2r )
2−r
2−r，代入数据可得s1＝（❑√3−1）
d，下表面接收到粒子的长度s2＝d，故A 错误，B 正确；
CD、粒子圆周运动的周期T= 2πr
v ，代入数据可得T= 2πm
qB ，刚好打在薄板下表面N 点的粒子转过的圆
心角为π
3 ，运动时间最短tmin= 1
6 T = 1
6 × 2πm
qB = πm
3qB ，初速度沿x 轴正方向的粒子转过的圆心角为3 π
2 ，
运动时间最长tmax= 3
4 T = 3
4 × 2πm
qB = 3 πm
2qB ，故CD 错误。
故选：B。
2．如图所示，x 轴上方存在垂直xOy 平面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。坐标原点O 处存在一
离子源，能在xOy 平面内沿各方向发射速率为❑√2v0的质量为m、电荷量为q 的正离子，速度方向与y
轴夹角最大值为60°。一部分离子经磁场偏转后可以击中位于x 轴上的P 点，OP 距离为2mv0
qB
。若击中
P 点的离子在磁场中的运动的最长时间与最短时间之差为Δt，忽略离子间的相互作用，不计离子重力。
则Δt 为（ ）
A．πm
2qB
B．2πm
3qB
C．πm
qB
D．4 πm
3qB
【答案】C
【解答】解：带电粒子在磁场中做圆周运动，半径为R，洛伦兹力提供向心力❑√2q v0 B = 2mv0
2
R
，代入
数据可得R=
❑√2m v0
qB
，有OP= ❑√2R，
击中P 点的带电粒子运动轨迹如图所示：
由几何关系可知2Rcosθ1＝OP，转过的圆心角α＝2π﹣2θ1，运动的时间t1= αR
❑√2v0
，代入数据可得：θ1
＝45°，α= 3 π
2 ，t1= 3 πm
2qB ，
由几何关系可知2Rcosθ2＝OP，转过的圆心角β＝2（π
2 −θ2），运动的时间t2= βR
❑√2v0
，代入数据可得：
θ2＝45°，β= π
2 ，t2= πm
2qB ，
最长时间与最短时间之差Δt＝t1﹣t2，代入数据可得：Δt= πm
qB ，故ABD 错误，C 正确。
故选：C。
3．如图所示，空间中存在范围足够大，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN 为足够
长的离子接收板，到MN 垂直距离为h 的O 点有一离子源，连续不断地向平面内各方向均匀放出质量为
m、带电量为+q 的粒子，粒子速率均为v = hqB
m ，则（ ）
A．接收板接收到离子的区域长度为2h
B．能被接收的离子占总离子的1
2
C．被接收的粒子运动最短时间为πm
2qB
D．被接收的粒子运动最长时间为πm
qB
【答案】B
【解答】解：A、离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有qvB =m v
2
r
，解得离
子的轨迹半径r＝h
画出离子的临界轨迹，如图所示：
则接收板接收到离子的区域长度为PQ = AP+ AQ =
❑√(2r )
2−h
2+r =(❑√3+1)h，故A 错误；
B、当粒子的运动轨迹与接收板两侧相切时，粒子恰好能被接收板接收，此时粒子在O 点的速度方向间
的夹角等于180°，所以能被接收的离子占总离子的1
2，故B 正确；
C、当粒子打到A 点时轨迹的弦最短，运动时间最短，其轨迹如图所示：
轨迹对应的圆心角为60°，则被接收的粒子运动最短时间为tmin= 1
6 T = 1
6 ⋅2πm
qB = πm
3qB ，故C 错误；
D 、粒子在右侧轨迹与MN 相切时运动时间最长，则被接收的粒子运动最长时间为
tmax= 3
4 T = 3
4 ⋅2πm
qB = 3 πm
2qB ，故D 错误。
故选：B。
4．如图所示，半径为R 的圆形区域内存在一垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，S 为磁场
边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率v 经过S 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，粒子
的出射点分布在四分之一圆周SP 上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。下列说法正确的是
（ ）
A．粒子带负电
B．粒子的比荷为2v
BR
C．从P 点射出的粒子在磁场中运动的时间为
❑√2πR
2v
D．若粒子的入射速率为2v，粒子的出射点分布在二分之一圆周上
【答案】C
【解答】解：A、粒子在磁场中做匀速圆周运动，出射点分布在四分之一圆周SP 上，根据左手定则可
知，粒子带正电，故A 错误；
B、根据题意可知，从P 点射出的粒子在磁场中的运动轨迹为半圆，其直径是最长的弦，轨迹半径为
r =
❑√2
2 R
根据洛伦兹力提供向心力有
qvB =m v
2
r
解得q
m =
❑√2v
BR ，故B 错误；
C、从P 点射出的粒子在磁场中运动的时间为t = πr
v =
❑√2πR
2v
，故C 正确；
D、若入射粒子的速率为2v，分析可知粒子在磁场中运动的轨迹半径为❑√2 R，大于磁场圆半径，故出
射点将分布在整个圆周上，故D 错误。
故选：C。
5．如图所示，半径为R 的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，在圆周上的P 点有一个粒子源，可
以在0≤θ≤60°的范围内垂直磁场方向发射速度大小相等的同种粒子。已知粒子质量为m、带电量为
+q，速度大小为v0，以θ＝30°角射入磁场的粒子恰好垂直于直径PQ 方向射出磁场区域。不计粒子的重
力及粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子轨迹不可能通过O 点
B．粒子在磁场中运动的最长时间为5 πR
6 v0
C．粒子射出磁场边界时的速度方向不可能相同
D．粒子在磁场边界的出射点分布在四分之一圆周上
【答案】B
【解答】解：AC、粒子在磁场中做匀速圆周运动，如下图所示，画出以θ＝30°角射入磁场的粒子恰好
垂直于直径PQ 方向射出磁场区域的轨迹。
由几何关系可得四边形POP′O′为菱形，△POO′为等边三角形，可知粒子的运动半径等于圆形磁场
区域的半径R，且运动轨迹恰好刚好经过O 点。
当θ 在0≤θ≤60°的范围内变化时，而粒子的运动半径总是等于圆形磁场区域的半径R，对应的四边形
POP′O′均为菱形，P'O'总是与OP 平行，故粒子射出磁场边界时速度方向均垂直于OP，可知粒子射
出磁场边界时的速度方向是相同的，故AC 错误；
D、如下图所示，当θ＝0 时，即沿PO 方向入射的粒子，其速度方向偏转了90°，出射点在M 处；当θ
＝60°时，射入磁场的粒子速度方向偏转了150°，且速度偏转角是最大的，出射点在N 处，可知粒子在
磁场边界的出射点分布在劣弧MN 之间，且小于四分之一圆周，故D 错误；
B、由D 选项的分析可知，当θ＝60°时，粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为150°，且最大，其在磁场中
运动的时间最长，且为：
tmax = 150°
360° × 2πR
v0
= 5 πR
6 v0
，故B 正确；
故选：B。
6．如图所示，边长为a 的正六边形abcdef 区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。正
六边形中心O 处有一粒子源，可在纸面内向各个方向发射不同速率带负电的粒子，已知粒子质量均为
m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．沿Oa 方向发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为qBa
2m
B．垂直ab 向上发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为(2❑√3−3)qBa
m
C．要想从d 点离开正六边形区域的粒子，速率至少为2❑√3qBa
m
D．所有要想离开正六边形区域的粒子，其速率至少为
❑√3qBa
2m
【答案】B
【解答】解：A、沿Oa 方向发射的粒子，其运动轨迹恰好与bc 边相切时，该粒子恰好能离开磁场，如
下图所示
则根据洛伦兹力提供向心力有qvB = mv
2
r
此时根据几何知识求得，轨迹半径为r =
❑√3
4 a
解得此时粒子的速度为v=
❑√3qBa
4 m
所以沿Oa 方向发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为
❑√3qBa
4 m
，故A 错误；
B、垂直ab 向上发射的粒子，当其轨迹与bc 边和cd 边恰好相切时，该粒子从bc 边离开磁场，如下图所
示
设轨迹半径为r，则根据几何知识有r+
r
cos30° =a，解得r=(2❑√3−3)a
根据洛伦兹力提供向心力有qvB = m v
2
r
解得粒子的速度为v= (2❑√3−3)qBa
m
所以垂直ab 向上发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为(2❑√3−3)qBa
m
，故B 正确；
C、当粒子的运动轨迹与cd 边相切于d 点时，该粒子恰好从点离开磁场，如下图所示
设轨迹半径为r，则根据几何知识有rsin60° = 1
2 a，解得r=
❑√3
3 a
根据洛伦兹力提供向心力有qvB = m v
2
r
解得粒子的速度为v=
❑√3qBa
3m
所以要想从d 点离开正六边形区域的粒子，速率只能为
❑√3qBa
3m
，故C 错误；
D、由上述分析可知，要想离开正六边形区域的粒子，其轨迹半径最小为
❑√3
4 a，则所有要想离开正六边
形区域的粒子，其速率至少为
❑√3qBa
4 m
，故D 错误。
故选：B。
（多选）7．如图所示，在xOy 坐标系第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在P
点有一粒子源，P 点坐标为（d，d）。打开粒子源发射装置，能够沿纸面以相同的速率向各个方向均匀
发射带正电的粒子，粒子质量为m，电荷量为q，速率v = qBd
m 。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，
M 点坐标为（0，d），则下列说法正确的是（ ）
A．从x 轴射出磁场的粒子数占总粒子数的1
2
B．从OM 之间射出磁场的粒子数占总粒子数的1
12
C．到达x 轴的粒子在磁场中运动的最短时间为πm
3qB
D．打在x 轴的长度为2d
【答案】AC
【解答】解：粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力qvB =m v
2
r ，圆周运动的周期T= 2πr
v
，代入数
据可得r＝d，T= 2πm
qB ，
A．轨迹如图所示：
从x 轴射出磁场的粒子速度间的夹角为180°，因此从x 轴射出磁场的粒子数占总粒子数的180°
360° = 1
2，故
A 正确；
B．轨迹如图所示：
从OM 之间射出磁场的粒子速度间的夹角为60°，因此从OM 之间射出磁场的粒子数占总粒子数的
60°
360° = 1
6
，故B 错误；
C．轨迹如图所示：
当射出点为N（PN 与x 轴垂直）时，在磁场中运动的时间最短，圆心角为60°，运动时间t= 60°
360° T，
代入数据可得t= πm
3qB ，故C 正确；
D．轨迹如图所示：
PN 为直径，ON 为打在x 轴的长度，由几何关系可知ON=d + ❑√3d，故D 错误。
故选：AC。
（多选）8．如图，在平面直角坐标系xOy 的第一象限内（包含x，y 坐标轴）存在垂直纸面向外的匀强磁
场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q（q＞0）的相同粒子从y 轴上的P(0，❑√3 L)点，
以相同的速率在纸面内均匀射入磁场，设入射速度方向与y 轴正方向的夹角为（0≤α≤180°），当α＝
150°时，粒子垂直x 轴离开磁场。不计粒子间相互作用及粒子的重力。则（ ）
A．粒子做圆周运动的半径为2L
B．粒子做圆周运动的半径为2❑√3 L
C．粒子在磁场中运动的最长时间为4 πm
3qB
D．粒子在磁场中运动的最长时间为7 πm
6qB
【答案】BD
【解答】解：AB、当a＝150°时，粒子运动轨迹如图所示：
由几何关系可知θ＝30°，轨迹半径r＝2❑√3 L，故A 错误，B 正确；
CD、粒子沿y 轴正方向射入时在磁场中运动时间最长，轨迹如图所示：
由几何关系可知γ＝30°，β＝210°= 7 π
6 ，洛伦兹力提供向心力qvB =m v
2
r
，运动周期T= 2πr
v ，代入数
据可得T= 2πm
qB ，运动时间t=
7 π
6
2π × 2πm
qB = 7 πm
6qB
，故C 错误，D 正确。
故选：BD。
（多选）9．如图所示，在半径为R 的半圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，CD 为圆的直径，O 为
圆心。某时刻从最低点S 向磁场内各个方向均匀发射速度大小为v，质量为m，电荷量为+q 的粒子。已
知磁感应强度大小为8mv
5qR ，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，sin53°＝0.8，下列说法正确的是（
）
A．粒子在该匀强磁场中运动轨迹的半径为R
B．在直径CD 上有粒子射出的区域长度为R
C．从S 射入磁场的粒子中可以从直径CD 上射出的粒子占比为53
180
D．从直径CD 上射出的粒子，在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为143
106
【答案】BC
【解答】解：A、粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力qvB=m v
2
r ，代入数据可得r = 5
8 R，故A 错
误；
B、水平向右射入的粒子射出CD 时离D 点最近，恰好与CD 边相切的粒子射出时离D 点最远，轨迹如
图所示：
由几何关系可知OA =
❑√r
2−( R−r )
2，代入数据可得OA = 1
2 R，同理可得OB = 1
2 R，在直径CD 上有粒
子射出的区域长度为AB＝R，故B 正确；
C、由几何关系得∠O1SO2＝53°，则θ＝53°，所以从S 射入磁场的粒子，可以从直径CD 上射出的粒子
占比为N = 53°
180° = 53
180，故C 正确；
D、粒子在磁场中运动时间越长，则运动对应的轨迹越长，弦长越长，由上图可知，
从A 或B 点射出时弦长最长，由几何关系可知对应圆心角θ1＝127°，从O 点射出时弦长最短，由几何
关系可知对应圆心角θ2＝106°，
则从直径CD 上射出的粒子，在磁场区域内运动的最长时间与最短时间之比为127
106 ，故D 错误。
故选：BC。
模型三 平移圆法
1. 适用条件： 速度大小一定， 方向一定，入射点不同，且为直线边界。
粒子入射点在同一直线边界上，粒子垂直该直线出发，初速度大小相等， 方向相同。但入射
点不同， 粒子进入匀强磁场时， 这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等，就像
把一个圆沿该直线边界平移一样，所以该模型叫平移圆模型。
2. 轨迹特点： 轨迹圆圆心在同一条直线上。
如图所示， 假设粒子带负电， 不同带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，
该直线与入射点的连线重合。
3. 寻找临界条件
将轨迹圆沿圆心所在的直线进行平移， 从而找到粒子运动的临界圆。
【例题精讲】
1．如图所示，在直角三角形abc 区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量
为m、电荷量为+q 的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab 边射入场区，结果在bc 边仅有一半的区域
内有粒子射出。已知bc 边的长度为L，bc 和ac 的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。
下列说法正确的是（ ）
A．粒子的入射速度为BqL
4 m
B．粒子的入射速度为
❑√3 BqL
6m
C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为πL
2
D．从bc 边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为πm
2Bq
【答案】B
【解答】解：AB．由左手定则可知，粒子进入磁场时受向上的洛伦兹力做匀速圆周运动，在bc 边中点
射出的粒子轨迹如图所示：
由几何关系可知沿ac 边进入磁场的粒子运动轨迹恰好与bc 边相切，r= L
2 tan30°，由牛顿第二定律可知
Bqv = m v
2
r
，代入数据可得粒子的入射速度v =
❑√3 BqL
6m
，故B 正确，A 错误；
C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为s＝πr，代入数据可得s=
❑√3 πL
6
，故C 错误；
D．与bc 边相切恰从bc 边射出粒子的对应的圆心角最大，为2π
3 ，在磁场中运动的周期T= 2πr
v ，代入
数据可得T= 2πm
Bq ，从bc 边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为t =
2π
3
2π ⋅2πm
Bq = 2πm
3 Bq
，故D 错误。
故选：B。
2．如图所示，在直角三角形ABC 内存在垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB 边长度为d；
∠C = π
6 ，现垂直于AB 边射入一群质量均为m，电荷量均为q，速度相同的带正电粒子（不计重力），
已知垂直于AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为
5
3 t0，下列判断正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为2.4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为2πm
qt0
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为2❑√3
7
d
D．粒子进入磁场时的速度大小为2❑√3 πd
7t0
【答案】C
【解答】解：A、垂直于AC 边射出，可知速度偏转角为π
2 ，则对应的圆心角也等于π
2 ，依题意有
t0：T = π
2 ：(2π )
解得：T＝4t0，故A 错误；
B、根据带电粒子在匀强磁场中的周期公式有：T = 4t0= 2πm
qB
变形后可得：B = πm
2qt0
，故B 错误；
C、在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为5
3 t0，依题意其运动轨迹如图所示，
因磁场中运动的时间为5
3 t0时，对应的圆心角为5 π
6 ，即：∠EOF = 5
6 π
根据几何关系有：rcos∠FOA +
r
cos∠BOM =d
代入三角函数的值上式即：
❑√3
2 r + 2
❑√3 r =d
变形后解得：r = 2❑√3
7
d，故C 正确；
D、根据带电粒子在匀强磁场中圆周运动的轨道半径公式，依题意有：r = 2❑√3
7
d = mv
qB
解得：v = 2❑√3dqB
7m
=
❑√3 πd
7t0
，故D 错误。
故选：C。
3．如图所示，在等腰三角形ABC 内充满垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），AB 边长度为l，∠A＝∠C
＝30°。一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v 的带正电粒子垂直BC 边射入磁场，已知从
AB 边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而在AB 边射出的粒子，在磁场中运动最长的时间为
5
4 t0（不计粒子重力和粒子间相互作用）。下列判断正确的是（ ）
A．粒子可以从CB 边射出
B．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为12
5 t0
C．粒子从AB 和AC 边出射的范围其长度之比为2：3
D．粒子进入磁场速度大小为
2πl
(6+ ❑√3)t0
【答案】D
【解答】解：AC．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，根据周期公式可得：
θ
2π T = 5t0
4 ，解得：θ = 5 π
6 ；
画出该粒子的运动轨迹如图所示：
设轨道半径为R，由几何知识得：
R
sin30° +
R
2
cos30° =l
解得：R =
❑√3l
2❑√3+1
则射出点距B 的距离为：x =
R
2
cos30°
故粒子在AB 边出射的范围为：x1=
R
cos30° −x=
❑√3
3 R
轨迹与AC 切点距离C 点的距离为：x2= ❑√3R
故粒子从AB 和AC 边出射的范围其长度之比为1：3，根据图像可知，粒子不可以从CB 边射出，故AC
错误；
B．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AB 边射出的粒子在磁场中运动的时间是T
3 ，即T
3 =t0，得
周期T＝3t0，故B 错误；
D．根据周期公式可得：5t0
4 = θR
v
，解得：v =
2πl
(6+ ❑√3)t0
，故D 正确。
故选：D。
4．如图所示，在直角三角形ABC 内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AB 边长度为d，∠C = π
6 ，现垂直
AB 边以相同的速度射入一群质量均为m、电荷量均为q 的带正电粒子（粒子不计重力、不考虑电荷间
的相互作用），已知垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，则下列判断中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小是πm
4 qt0
C．如果粒子带的是负电，不可能有粒子垂直BC 边射出磁场
D．若有粒子能再次回到AB 边，则该粒子在磁场中运动的速度最大为π(2❑√3−3)d
2t0
【答案】D
【解答】解：AB、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间是t0
= 1
4 T，则得周期T＝4t0
则粒子又回到AB 边处磁场时，其运动时间最长，在磁场中运动的最长时间为2t0；结合周期公式
T = 2πm
qB 可得磁感应强度B = 2πm
qT = πm
2qt0
，故AB 错误；
C、如果粒子带的是负电，粒子向上偏转，以B 点为圆心，转过的圆心角为π
3 的粒子垂直BC 边射出磁
场，故C 错误；
D、若有粒子能再次回到AB 边，转过的圆心角为π，最长半径如图所示
由几何关系可得最大半径为rmax = mvmax
qB
= ❑√3d ⋅tan π
12
解得：vmax = qBrmax
m
= π(2❑√3−3)d
2t0
，故D 正确。
故选：D。
5．如图所示，在直角三角形abc 区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量均匀分
布在ab 边的同种带电粒子（质量为m，电荷量为+q）以相同的速度沿纸面垂直于ab 边射入场区，结果
有一半的粒子从bc 边射出。已知bc 边长为L，bc 与ac 的夹角为60°，不计粒子的重力及粒子之间的相
互作用。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的入射速度为BqL
4 m
B．粒子的入射速度为
❑√3 BqL
12m
C．从bc 边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为πm
3qB
D．若射入的粒子为负电荷，要使一半的粒子射出bc，则粒子的入射速度至少为
❑√3 BqL
6m
【答案】B
【解答】解：AB、粒子在磁场中做匀速圆周运动，取ab 的中点d，满足条件的临界情况为从d 点射入
的粒子的圆周运动轨迹与bc 边相切，如图1 所示，
设轨道半径为r1，粒子的入射速度为v1，由几何关系得：
bd= 1
2ab= 1
2 ×Lsin60°=
❑√3 L
4
r1+
r1
sin30° =bd
联立解得：r1=
❑√3 L
12
由洛伦兹力提供向心力得：
qv1B＝mv1
2
r1
联立解得：v1=
❑√3 BqL
12m
，故A 错误，B 正确；
C、从bc 边射出的粒子在磁场中运动时间最长的临界轨迹如图1 所示，临界出射的位置为切点e，对应
的轨迹圆心角∠eOd＝120°，故粒子在磁场中运动最长时间为1
3 T，则有：
tmax= 1
3 T = 1
3 × 2πm
qB = 2πm
3qB ，故C 错误；
D、带负电粒子在磁场中顺时针偏转，从d 点射入磁场临界情况的轨迹如图2 所示，
由几何关系得：
r2＝ac•sin60°= L
2 ×sin 60° =
❑√3 L
4
由洛伦兹力提供向心力得：
qv2B＝mv2
2
r2
联立解得：v2=
❑√3 BqL
4 m
，故D 错误。
故选：B。
模型四 磁聚焦和磁发散问题
1.磁感应强度为B 的有界圆形磁场区域的圆心为O，从圆形磁场区域的边界P 点有若干电
荷量为+q、质量为m 的带电粒子（不计重力），它们均以相等大小的速度v 朝各个方向进入
磁场区域，若圆形磁场区域的半径等于带电粒子在磁场中运动的轨道半径，那么这些粒子射
出磁场时速度的方向平行，如图1 所示。
图1
2.磁聚焦模型
若干速度大小相同的同种带正电的粒子，如果平行进入圆形磁场区域，并且圆形磁场区
域的半径等于带电粒子在磁场中运动的轨道半径，那么这些带电粒子将从磁场圆的最低点B
点射出，如图2 所示。
图2
【例题精讲】
1．如图所示，一半径为R 圆心为O 的圆形区域内部存在磁感应强度大小为B 垂直于纸面向外的匀强磁场。
一群单个质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子从图中磁场边界O′点以初速度v 从不同方向沿纸面射
入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．若v = qBR
m ，则所有粒子出射方向平行
B．若v = qBR
m ，则所有粒子偏转角度相同
C．若v =
❑√3qBR
2m
，则所有粒子均从某段圆弧边界射出，其圆弧长度为3 πR
2
D．若v =
❑√3qBR
2m
，则粒子在磁场中运动的最长时间是t = πm
qB
【答案】A
【解答】解：AB、若粒子的入射速度为：v = qBR
m
由半径公式可以得到，粒子在磁场中做圆周运动的半径：r = mv
qB = R
根据磁聚焦和发散原理，所有粒子出射方向平行，但是粒子在磁场中的轨迹不同，即圆心角不同，转过
的角度不同，故A 正确，B 错误；
C、若入射速度：v =
❑√3qBR
2m
由半径公式可得到粒子在磁场中运动的轨道半径：r = mv
qB =
❑√3
2 R
则入射点与最远出射点连线应是轨迹圆的直径，其长度为：l =2r = ❑√3 R
画出最长轨迹如下图所示，
由几何关系可知，图中：θ＝120°
则θ 对应的弧的长度是整个圆周长的三分之一，即圆弧长度为2πR
3
，故C 错误；
D、若：v =
❑√3qBR
2m
同理可知，粒子在磁场中运动的轨道半径：r =
❑√3
2 R
则粒子沿某一方向射入磁场时，可在磁场中完成一个完整的圆周运动，最后回到出发点，可知粒子在磁
场中运动的最长时间是一个周期：t =T = 2πm
qB ，故D 错误。
故选：A。
（多选）2．如图所示，在半径为2R 的半圆形区域内存在磁感应强度大小为B 的匀强磁场；方向垂直纸面
向内，圆弧PQ 上覆盖有一层厚度不计的收集板（未画出）。另有一半径为R 的圆形磁场区域与直径
PQ 相切于圆心O 点，磁感应强度大小未知，方向垂直纸面向内。一束宽度为2R，均匀分布的电子束，
以速度v= 2eBR
m
沿着与直径PQ 平行的方向，射向圆形磁场区域。电子的电荷量为e，质量为m，最终
所有电子均从圆心O 进入半圆形磁场区域。不计电子间的相互作用以及重力影响，则下列说法中正确的
是（ ）
A．圆形区域内磁场的磁感应强度大小为2B
B．收集板上有电子接收的范围占整个收集板的5
6
C．收集板接收到的电子数占所有电子的80%
D．沿QP 方向向左移动圆形磁场区域，可以增大收集板上有电子接收的范围
【答案】AC
【解答】解：电子速度v = 2eBR
m
，半圆形磁场半径2R、磁感应强度B，圆形磁场半径R，电子电荷量
e、质量m。
电子在圆形磁场中偏转后均指向O 点，说明其轨迹半径r1＝R.
由洛伦兹力提供向心力：ev B1=m v
2
r1
，代入v = 2eBR
m
和r1＝R 解得B1＝2B.
电子进入半圆形磁场时，轨迹半径r2= mv
eB =2 R。
从O 点正上方进入的电子，轨迹圆心在P 点，打在收集板最右端。
从O 点正下方进入的电子，轨迹圆心在Q 点，打在收集板最左端。
由几何关系，收集板上电子接收的弧长对应的圆心角为120°，占整个半圆的2
3
电子束宽度为2R，能进入圆形磁场的电子高度范围为2R，其中能进入半圆形磁场并打在收集板上的电
子
高度范围为1.6R，占比80%。故AC 正确，BD 错误。
故选：AC。
（多选）3．如图所示，平面直角坐标系x＞0 区域存在一个圆形有界匀强磁场，磁场圆心位于x 轴上、磁
场方向垂直于纸面，一个带正电的粒子从O 点沿x 轴正方向进入磁场，最后平行于y 轴正方向射出，不
计粒子重力，则（ ）
A．磁场方向垂直于纸面向里
B．磁场方向垂直于纸面向外
C．粒子的轨迹半径小于圆形有界磁场半径
D．粒子的轨迹半径与圆形有界磁场半径相等
【答案】AD
【解答】解：AB、粒子平行于y 轴正方向射出，粒子刚进入磁场时所受洛伦兹力方向竖直向上，由左
手定则可知，磁场方向垂直于纸面向里，故A 正确，B 错误；
CD、粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示
根据几何关系可知，粒子的轨迹半径与圆形有界磁场半径相等，故C 错误，D 正确。
故选：AD。
4．带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流（每个粒子的质量为m、
电荷量为+q）以初速度v 垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在xOy 平面内的粒
子，求解以下问题。
（1）如图（a），宽度为2r1的带电粒子流沿x 轴正方向射入圆心为A（0，r1）、半径为r1的圆形匀强
磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小；
（2）如图（a），虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C（0，﹣r2）。在虚线框内设计一
个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O 点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿x 轴正方向
射出。求该磁场磁感应强度B2 的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过
程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形。在
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x 轴正方向射
入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x 轴正方向射出，从而实现带电粒
子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面
积最小的证明过程）。
【答案】（1）该磁场磁感应强度B1的大小为mv
qr1
；
（2）该磁场磁感应强度B2的大小为mv
qr2
，方向为垂直xOy 平面向里，以及该磁场区域的面积为π r2
2；
（3）Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小分别为mv
qr3
和mv
qr4
，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积分别为
1
2 (π −2)r3
2和1
2 (π −2)r4
2。
【解答】解：（1）利用圆形区域匀强磁场实现对带电粒子流的磁聚焦，需要满足：粒子匀速圆周运动
半径与圆形磁场区域的半径相等，设粒子做匀速圆周运动的半径为R1，则有R1＝r1，
粒子匀速圆周运动所需向心力等于洛伦兹力，则有：qvB1＝m v
2
R1
解得：B1= mv
qr1
（2）在磁场B1中汇聚到O 点的带电粒子进入磁场B2后，射出后变为宽度为2r2平行粒子束，此为磁聚
焦的逆过程（磁控束），粒子运动轨迹如右图中红色轨迹，则可知需要的区域面积最小的匀强磁场应为
以出射的粒子流的宽度为直径的圆形区域磁场，如右图中蓝色圆形区域，设粒子匀速圆周运动半径为
R2，需要的最小圆形磁场区域半径为r2′，则有R2＝r2′＝r2，
粒子做匀速圆周运动所需向心力等于洛伦兹力，则有：qvB2＝m v
2
R2
，
解得：B2= mv
qr2
，
带正电粒子在磁场B2中做逆时针匀速圆周运动，由左手定则判断，磁感应强度B2的方向为垂直xOy 平
面向里，
该磁场区域的面积S= π r2
′ 2= π r2
2
（3）进入区域Ⅰ的粒子经磁聚焦由O 点进入区域Ⅳ经磁控束后离开磁场；同理，进入区域Ⅱ的粒子经
磁聚焦由O 点进入区域Ⅲ经磁控束后离开磁场，则可知在区域Ⅰ和区域Ⅱ中的圆形磁场区域半径为r3，
粒子匀速圆周运动半径也为r3，同理，在区域Ⅲ和区域Ⅳ中的圆形磁场区域半径为r4，粒子匀速圆周运
动半径也为r4，如右图所示，各区域中的蓝色1
4 圆弧为最小区域磁场边界，红色1
4 圆弧为入射或出射时
离x 轴距离最远的粒子运动轨迹，则各区域需要的磁场区域最小面积为蓝色1
4 圆弧与红色1
4 圆弧围成的
区域面积。
设区域Ⅰ中磁场的磁感应强度为B3，则有：qvB3＝mv
2
r3
解得：B3= mv
qr3
设区域Ⅲ中磁场的磁感应强度为B4，则有：qvB4=m v
2
r4
解得：B4= mv
qr4
区域Ⅱ中匀强磁场区域的面积S2＝2（1
4 π r3
2−1
2 r3
2）= 1
2 (π −2)r3
2
区域Ⅳ中匀强磁场区域的面积S4＝2（1
4 π r4
2−1
2 r4
2）= 1
2 (π −2)r4
2
答：（1）该磁场磁感应强度B1的大小为mv
qr1
；
（2）该磁场磁感应强度B2的大小为mv
qr2
，方向为垂直xOy 平面向里，以及该磁场区域的面积为π r2
2；
（3）Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小分别为mv
qr3
和mv
qr4
，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积分别为
1
2 (π −2)r3
2和1
2 (π −2)r4
2。
