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微点突破6 磁聚焦 磁发散
目标要求 1.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型。2.学会分析磁聚焦和磁发散问题。
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨
迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出。(会
聚)
证明：四边形OAO′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO′(即竖直方
向)，可知从A 点入射的带电粒子必然经过B 点。
2．带电粒子的发散
如图乙所示，圆形磁场圆心为O，从P 点有大量质量为m、电荷量为q 的正粒子，以大小相
等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形
磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散)
例1 (2023·广东清远市期末)如图所示，xOy 坐标系中，第三象限存在沿x 轴正方向的匀强
电场，第四象限与x 轴和y 轴相切的半径为R 的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向
垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ，其边界与x 轴的切点为P 点。x 轴上方存在垂直纸面向外、磁
感应强度大小为B 的匀强磁场Ⅱ。在第三象限(－2R，－R)处存在粒子源，带正电粒子由粒
子源无初速度释放后进入电场，在电场中加速后进入圆形磁场Ⅰ，又恰好以垂直于x 轴的方
向经P 点进入磁场Ⅱ，最后带电粒子都打到放置在x 轴上的收集板上。带电粒子的比荷均为，
不计粒子间的相互作用和粒子受到的重力。若粒子源在第三象限(－2R，－)处，带电粒子仍
能打到放置在x 轴上的收集板上，求收集板的最小长度L。
答案 (4－2)R
解析 设粒子在匀强磁场Ⅰ中做匀速圆周运动的半径为r1，根据几何关系有r1＝R，粒子在
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匀强磁场Ⅰ中做匀速圆周运动时，根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝m
根据题中条件可知，粒子源改变位置后带电粒子仍从P 点进入匀强磁场Ⅱ，设粒子进入匀
强磁场Ⅱ时与x 轴正方向的夹角为θ，
根据几何关系有r1cos θ＋＝r1
根据几何关系可知，此时带电粒子打在收集板上的落点到P 点的距离d＝2r2sin θ，且r2＝，
收集板的最小长度L＝2r2－d，解得L＝(4－2)R。
例2 (2023·江苏常州市期中)如图所示，O′PQ 是关于y 轴对称的四分之一圆，在PQNM
区域有均匀辐向电场，PQ 与MN 间的电压为U。一初速度为零的带正电的粒子从PQ 上的
任一位置经电场加速后都会从O′进入半径为R、中心位于坐标原点O 的圆形匀强磁场区域，
磁场方向垂直xOy 平面向外，磁感应强度大小为B，粒子经磁场偏转后都能平行于x 轴射出。
(1)求带电粒子的比荷；
(2)求沿y 轴正方向加速的带电粒子在磁场中运动的时间；
(3)求带电粒子离开磁场时的纵坐标范围。
答案 (1) (2) (3)－R～R
解析 (1)由动能定理可知qU＝mv2
由已知条件结合几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的半径R0＝R
洛伦兹力提供向心力qvB＝m，得＝
(2)沿y 轴正方向入射的带电粒子，设其在磁场中做圆周运动的圆心角为θ，由几何关系θ＝
90°，所以t＝T＝T，且T＝，解得t＝
(3)如图，沿QN 方向入射的带电粒子，离开磁场的出射点a 在y 轴上的投影与O′的距离为
Δy＝R＋R，故a 点的纵坐标ya＝R
同理可得，沿PM 方向入射的带电粒子离开磁场的出射点b 的纵坐标yb＝－R
带电粒子离开磁场时的纵坐标范围－R～R
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1.(多选)(2023·四川成都市一模)如图，坐标原点O 有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内
发射大量质量为m、电荷量为q 的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等，不计粒子间
的相互作用。圆心在(0，R)、半径为R 的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场
(未画出)，磁感应强度大小为B。磁场右侧有一长度为R、平行于y 轴的光屏，其中心位于
(2R，R)。已知初速度沿y 轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则( )
A．粒子速度大小为
B．所有粒子均能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子中，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x 轴夹角满足45°≤θ≤135°
答案 AC
解析 由题意，初速度沿y 轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有qBv＝
m，r＝R，解得v＝，A 正确；由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且离开磁场区
域的出射点距离O 点的竖直高度最大值为2R，并不会全部垂直打在光屛上，B 错误；如图
甲，
由几何关系可得，能射在光屏上的粒子中，运动时间最长的对应轨迹的圆心角为π，
根据周期公式T＝，可得t＝T＝，C 正确；若能打在光屛下端，如图乙，
由几何关系可得θ1＝60°，即初速度与x 轴夹角为θ1＝60°，同理，粒子打在光屛上端时，初
速度与x 轴夹角为θ2＝120°，则60°≤θ≤120°，D 错误。
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2.(2023·山东淄博市一模)为了探测带电粒子，研究人员设计了如图所示的装置。纸面内存在
一个半径为R、圆心为O′的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小
为B，该磁场区域在垂直纸面的方向上足够长。以O′右边的O 点为中心放置一个足够大的
探测屏，探测屏与OO′连线垂直。纸面内圆形磁场区域正下方存在一个长度为R 且沿水平
方向的线状粒子源MN，O′在MN 的中垂线上，O′到MN 的垂直距离为1.5R。该粒子源各
处均能持续不断地发射质量为m、电荷量为＋q 的粒子，粒子发射时的速度大小均相同，方
向均竖直向上，从粒子源MN 中点发射的粒子离开磁场时速度恰好沿O′O 方向，不计粒子
重力和粒子间相互作用力。
(1)求粒子发射时的速度大小v0；
(2)求粒子源左端点M 与右端点N 发射的粒子从发射到打到屏上所经历的时间之差Δt。
答案 (1) (2)
解析 (1)分析可知粒子做圆周运动的半径为R，由qv0B＝m，得v0＝
(2)分析可知粒子源左端点M 与右端点N 发射的粒子均从磁场边界与OO′交点射出，且转
过的圆心角分别为：θM＝，θN＝
两粒子在磁场中运动的周期为T＝＝
两粒子在磁场中运动的时间分别为tM＝T，tN＝T，由于两个粒子在匀强磁场区域外部运动的
时间相等，所以Δt 即为在磁场中运动的时间差，
即Δt＝tM－tN，得Δt＝。
3.(2023·湖南常德市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 平面内存在两处匀强磁场，第一象限
内的匀强磁场分布在三角形OAC 之外的区域，磁感应强度大小为2B，方向垂直纸面向里，
A、C 两点分别位于x 轴和y 轴上，∠OAC＝30°，OC 的长度为2R，第二象限内的匀强磁场
分布在半径为R 的圆形区域内，磁感应强度大小为B，圆形区域的圆心坐标为(－R，R)，圆
形区域与x、y 轴的切点分别为P、Q，第三、四象限内均无磁场。置于P 点的离子发射器，
能持续地从P 点在xOy 平面内向x 轴上方180°范围内以恒定速率发射同种正离子，离子质量
均为m，电荷量均为q；在y 轴上的CG 之间放置一个长CG＝2R 的探测板，所有打到探测
板上的离子都被板吸收。已知从P 点垂直于x 轴发射的离子恰好经过Q 点进入第一象限，不
计离子的重力及离子间的相互作用，求：
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(1)圆形区域内磁场的方向及离子的发射速率v0；
(2)从P 点垂直于x 轴发射的离子，从发射到第二次经过边界AC 所用的时间t；
(3)探测板CG 上有离子打到的区域长度。
答案 (1)垂直于纸面向外
(2)(＋) (3)(＋)R
解析 (1)从P 点垂直于x 轴发射的正离子恰好经过Q 点进入第一象限，说明正离子在P 点
受到向右的洛伦兹力，由左手定则知磁场方向垂直于纸面向外。如图所示，
设离子在圆形区域内做圆周运动的轨迹半径为r，则r＝R
由洛伦兹力提供向心力有qv0B＝m
解得v0＝
(2)设离子在第二象限磁场中圆周运动的周期为T，则T＝＝，则在第一象限磁场中圆周运动
的周期为T′＝＝
离子在圆形区域磁场中运动圆心角为90°，则运动时间t1＝T＝
离子在两磁场之间匀速直线运动时间
t2＝＝
离子在AC 右侧区域磁场中运动轨迹对应的圆心角为300°，运动时间t3＝T′＝
则离子从发射到第二次经过边界AC 所用的时间
t＝t1＋t2＋t3，得t＝(＋)
(3)如图所示，因所有离子均以恒定速率发射，故离子在圆形磁场中的轨迹半径均为r，又已
知r＝R，易得所有离子经过圆形磁场后均水平向右飞出圆形磁场，然后穿过AC 进入右侧磁
场，离子在第一象限运动有qv0·2B＝m，得r′＝，从C 点进入右侧磁场的离子，经过半个
周期打到屏上E 点，则CE＝2r′＝R。
从M 点进入右侧磁场的离子，轨迹恰好与屏CG 相切于D 点，图中CF 垂直于O2M，则
CD＝r′－r′tan 30°，得CD＝(－)R
则探测板上有离子打到的区域为DE，其长度
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DE＝CE－CD＝(＋)R。
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