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第3 课时 专题强化：牛顿第二定律的综合应用
目标要求 1.知道连接体的类型以及运动特点，会用整体法、隔离法解决连接体问题。2.
理解几种常见的临界极值条件，会用极限法、假设法、数学方法解决临界极值问题。
考点一 动力学中的连接体问题
多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系)在一起构成的物体系统
称为连接体。系统稳定时连接体一般具有相同的速度、加速度(或速度、加速度大小相等)。
1．共速连接体
两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和相同的加速度。
(1)绳的拉力(或物体间的弹力)相关类连接体
(2)叠加类连接体(一般与摩擦力相关)
例1 如图所示，水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1 和2，中间用一条轻绳连接，
两木块的材料相同，现用力F 向右拉木块2，当两木块一起向右做匀加速直线运动时，已知
重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．若水平面是光滑的，则m2越大，绳的拉力越大
B．若木块和地面间的动摩擦因数为μ，则绳的拉力为＋μm1g
C．绳的拉力大小与水平面是否粗糙无关
D．绳的拉力大小与水平面是否粗糙有关
答案 C
解析 若设木块和地面间的动摩擦因数为μ，以两木块整体为研究对象，根据牛顿第二定律
有F－μ(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a，
得a＝，以木块1 为研究对象，根据牛顿第二定律有FT－μm1g＝m1a，得a＝，系统加速度与
木块1 加速度相同，联立解得FT＝F，可知绳子拉力大小与动摩擦因数μ 无关，与两木块质
量大小有关，无论水平面是光滑的还是粗糙的，绳的拉力大小均为FT＝F，且m2越大，绳
的拉力越小，故选C。
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拓展 (1)两个质量分别为m1和m2的木块1 和2，中间用一条轻绳连接。
①如图甲所示，用力F 竖直向上拉木块时，绳的拉力FT＝__________；
②如图乙所示，用力F 沿光滑斜面向上拉木块时，绳的拉力为__________；斜面不光滑时
绳的拉力FT＝__________。
答案 ① ②
(2)若质量为m1和m2的木块A 和B 叠放在一起，放在光滑水平面上，B 在拉力F 的作用下，
A、B 一起(相对静止)做匀加速运动，则A 受到的摩擦力为______。
答案
1．整体法与隔离法在分析共速连接体中的应用
(1)整体法：若连接体内的物体具有共同加速度，可以把它们看成一个整体，分析整体受到
的外力，应用牛顿第二定律求出加速度；
(2)隔离法：求系统内两物体之间的作用力时，就需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿
第二定律列方程求解；
(3)整体法和隔离法交替使用：一般情况下，若连接体内各物体具有相同的加速度，且求物
体之间的作用力时，可以先用整体法求出加速度，然后再隔离某一物体，应用牛顿第二定律
求相互作用力；若求某一外力，可以先隔离某一物体求出加速度，再用整体法求合外力或某
一个力。
2．共速连接体对合力的“分配协议”
一起做加速运动的物体系统，若外力F 作用于m1上，则m1和m2之间的相互作用力FT＝，
若作用于m2上，则FT＝。此“协议”与有无摩擦无关(若有摩擦，两物体与接触面间的动摩
擦因数必须相同)，与两物体间有无连接物、何种连接物(轻绳、轻杆、轻弹簧)无关，而且无
论物体系统处于平面、斜面还是竖直方向，此“协议”都成立。
2．关联速度连接体
轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度总是相等。下面三图中A、B 两物体速度
和加速度大小相等，方向不同。
例2 (2023·福建龙岩市九校联考)如图所示的装置叫作阿特伍德机，是阿特伍德创制的一
2
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种著名力学实验装置，用来研究匀变速直线运动的规律。已知物体A、B 的质量相等均为
M，物体C 的质量为m，轻绳与轻滑轮间的摩擦不计，绳子不可伸长，如果m＝M，重力加
速度为g。求：
(1)物体B 运动过程中的加速度大小；
(2)系统由静止释放后，运动过程中物体B、C 间作用力的大小。
答案 (1)g (2)mg 或Mg
解析 (1)设物体B 运动过程中的加速度大小为a，绳子的张力为FT，对物体A，FT－Mg＝
Ma
对B、C 整体，(M＋m)g－FT＝(M＋m)a
解得a＝g
因为m＝M，所以a＝g
(2)设B、C 间的拉力为F，
对物体C，mg－F＝ma
解得F＝mg－ma＝mg＝Mg
所以C、B 间的作用力为mg 或Mg。
关联速度连接体做加速运动时，由于加速度的方向不同，一般采用分别选取研究对象，对两
物体分别列牛顿第二定律方程，用隔离法求解加速度及相互作用力。
考点二 动力学中的临界和极值问题
1．临界、极值条件的标志
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，
这个极值点往往是临界点。
2．常见的临界条件
(1)两物体脱离的临界条件：FN＝0。
(2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。
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(3)绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张
力；绳子松弛的临界条件是FT＝0。
3．处理临界问题的三种方法
极限法
把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到
正确解决问题的目的
假设法
临界问题存在多种可能，特别是有非此即彼两种可能时，或变化过程中可
能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法
将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件
例3 (多选)如图甲所示，物块A、B 静止叠放在水平地面上，B 受到从零开始逐渐增大的
水平拉力F 的作用，A、B 间的摩擦力Ff1、B 与地面间的摩擦力Ff2随水平拉力F 变化的情
况如图乙所示。已知物块A 的质量m＝3 kg，取g＝10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦
力，则下列说法正确的是( )
A．两物块间的动摩擦因数为0.2
B．当0＜F＜4 N 时，A、B 保持静止
C．当4 N＜F＜12 N 时，A、B 发生相对滑动
D．当F＞12 N 时，A 的加速度随F 的增大而增大
答案 AB
解析 根据题图乙可知，发生相对滑动时，A、B 间的滑动摩擦力为6 N，所以A、B 之间
的动摩擦因数μ＝＝0.2，选项A 正确；当0＜F＜4 N 时，根据题图乙可知，Ff2还未达到B
与地面间的最大静摩擦力，此时A、B 保持静止，选项B 正确；当4 N＜F＜12 N 时，根据
题图乙可知，此时A、B 间的摩擦力还未达到最大静摩擦力，所以没有发生相对滑动，选项
C 错误；当F＞12 N 时，根据题图乙可知，此时A、B 发生相对滑动，对A 物块有a＝＝2
m/s2，加速度不变，选项D 错误。
例4 (2024·福建厦门市双十中学模拟)如图所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上
端叠放两个质量均为1 kg 的物体A、B(B 物体与弹簧拴接)，弹簧的劲度系数为k＝50 N/m，
初始时系统处于静止状态。现用一方向竖直向上的拉力F 作用在物体A 上，使物体A 开始
向上做加速度a＝4 m/s2的匀加速直线运动，重力加速度g 取10 m/s2，空气阻力忽略不计，
下列说法正确的是( )
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A．外力F 刚施加的瞬间，F 的大小为4 N
B．当弹簧压缩量减小到0.3 m 时，A、B 间弹力大小为1.2 N
C．A、B 分离时，A 物体的位移大小为0.12 m
D．B 物体速度达到最大时，B 物体的位移为0.22 m
答案 C
解析 施加外力前，系统处于静止状态，对整体受力分析，由平衡条件得2mg＝kx0，代入
数据解得x0＝0.4 m，外力施加的瞬间，物体A 加速度为4 m/s2，对整体，由牛顿第二定律得
F－2mg＋kx0＝2ma，代入数据解得F＝8 N，故A 错误；当弹簧压缩量减小到0.3 m 时，设
A、B 间弹力大小为FAB，对A 受力分析，由牛顿第二定律得F′＋FAB－mg＝ma，对A、B
组成的系统受力分析，由牛顿第二定律得F′＋kx1－2mg＝2ma，代入数据联立解得FAB＝1
N，故B 错误；设A、B 分离时，弹簧的形变量为x2，对B 受力分析，由牛顿第二定律得kx2
－mg＝ma，代入数据解得x2＝0.28 m，所以A 物体的位移大小为x0－x2＝0.4 m－0.28 m＝
0.12 m，故C 正确；当B 物体的合力为零时速度达到最大，由C 可知A、B 分离时有向上的
加速度，所以速度最大时A、B 已经分离，当合力为零时，对B 受力分析，由平衡条件得
kx3＝mg，代入数据解得x3＝0.2 m，故B 物体的位移大小为x0－x3＝0.2 m，故D 错误。
例5 如图甲所示，一个质量m＝0.5 kg 的小物块(可看成质点)，以v0＝2 m/s 的初速度在平
行斜面向上的拉力F＝6 N 作用下沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s 的时间物块由A 点运
动到B 点，A、B 之间的距离L＝8 m，已知斜面倾角θ＝37°，重力加速度g 取10 m/s2，sin
37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)物块加速度a 的大小；
(2)物块与斜面之间的动摩擦因数μ；
(3)若拉力F 的大小和方向可调节，如图乙所示，为保持原加速度不变，F 的最小值是多少。
答案 (1)2 m/s2 (2)0.5 (3) N
解析 (1)根据L＝v0t＋at2，
代入数据解得a＝2 m/s2。
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(2)根据牛顿第二定律有F－mgsin θ－μmgcos θ＝ma，代入数据解得μ＝0.5。
(3)设F 与斜面夹角为α，
平行斜面方向有Fcos α－mgsin θ－μFN＝ma
垂直斜面方向有FN＋Fsin α＝mgcos θ
联立解得F＝
＝
当sin(φ＋α)＝1 时，F 有最小值Fmin，
代入数据解得Fmin＝ N。
课时精练
1．(2023·北京卷·6)如图所示，在光滑水平地面上，两相同物块用细线相连，两物块质量均
为1 kg，细线能承受的最大拉力为2 N。若在水平拉力F 作用下，两物块一起向右做匀加速
直线运动。则F 的最大值为( )
A．1 N B．2 N C．4 N D．5 N
答案 C
解析 对两物块整体受力分析有Fmax＝2ma，再对后面的物块受力分析有FTmax＝ma，又
FTmax＝2 N，联立解得Fmax＝4 N，故选C。
2．某列车由40 节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第
2 节对第3 节车厢的牵引力为F。若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第3 节
对倒数第2 节车厢的牵引力为( )
A．F B. C. D.
答案 C
解析 设列车的加速度为a，每节车厢的质量为m，每节车厢受到的阻力为Ff，对后38 节
车厢，由牛顿第二定律得F－38Ff＝38ma；设倒数第3 节车厢对倒数第2 节车厢的牵引力为
FT，对后2 节车厢，由牛顿第二定律得FT－2Ff＝2ma，联立解得FT＝，故选项C 正确。
3.(多选)(2024·吉林通化市模拟)如图所示，用力F 拉着A、B、C 三个物体在光滑水平面上运
动，现在中间的B 物体上加一块橡皮泥，它和中间的物体一起运动，且原拉力F 不变，那
么加上橡皮泥以后，两段绳的拉力FTA和FTB的变化情况是( )
A．FTA增大
B．FTB增大
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C．FTA减小
D．FTB减小
答案 AD
解析 设最左边的物体质量为m，最右边的物体质量为m′，整体质量为M，整体的加速度
a＝，对最左边的物体分析FTB＝ma＝，对最右边的物体分析，有F－FTA＝m′a，解得FTA
＝F－，在中间物体上加上橡皮泥，则整体的质量M 增大，因为m、m′不变，所以FTB减
小，FTA增大。故选A、D。
4.(2021·海南卷·7)如图，两物块P、Q 用跨过光滑轻质定滑轮的轻绳相连，开始时P 静止在
水平桌面上。将一个水平向右的推力F 作用在P 上后，轻绳的张力变为原来的一半。已知
P、Q 两物块的质量分别为mP＝0.5 kg、mQ＝0.2 kg，P 与桌面间的动摩擦因数μ＝0.5，重力
加速度g＝10 m/s2。则推力F 的大小为( )
A．4.0 N
B．3.0 N
C．2.5 N
D．1.5 N
答案 A
解析 P 静止在水平桌面上时，由平衡条件有FT1＝mQg＝2 N，Ff＝FT1＝2 N<μmPg＝2.5 N，
推力F 作用在P 上后，轻绳的张力变为原来的一半，即FT2＝＝1 N，故Q 物体加速下降，有
mQg－FT2＝mQa，可得a＝5 m/s2，而P 物体将以相同大小的加速度向右加速运动，对P 由牛
顿第二定律有FT2＋F－μmPg＝mPa，解得F＝4.0 N，故选A。
5.(多选)如图，P、Q 两物体叠放在水平面上，已知两物体质量均为m＝2 kg，P 与Q 间的动
摩擦因数为μ1＝0.3，Q 与水平面间的动摩擦因数为μ2＝0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
重力加速度取g＝10 m/s2，当水平向右的外力F＝12 N 作用在Q 物体上时，下列说法正确的
是( )
A．Q 对P 的摩擦力方向水平向右
B．水平面对Q 的摩擦力大小为2 N
C．P 与Q 之间的摩擦力大小为4 N
D．P 与Q 发生相对滑动
答案 AC
解析 当水平向右的外力F＝12 N 作用在Q 物体上时，假设P 与Q 相对静止一起向右做匀
加速直线运动，以P 与Q 为整体，根据牛顿第二定律可得F－μ2(m＋m)g＝2ma，解得a＝2
m/s2，以P 为研究对象，根据牛顿第二定律可得Ff＝ma＝2×2 N＝4 N，由于Ff＝4 N<μ1mg
＝6 N，说明假设成立，C 正确，D 错误；P 的加速度方向水平向右，可知Q 对P 的摩擦力
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方向水平向右，A 正确；水平面对Q 的摩擦力大小为Ff 地＝μ2(m＋m)g＝4 N，B 错误。
6.(多选)(2023·陕西西安市期末)一辆货车运载着圆柱形的光滑空油桶。在车厢底，一层油桶
平整排列，相互紧贴并被牢牢固定，上一层只有桶C，自由地摆放在A、B 之间，没有用绳
索固定，桶C 受到桶A 和B 的支持力，和货车一起保持静止状态，如图所示，下列说法正
确的是(重力加速度为g)( )
A．当汽车向左做加速运动时，加速度变大，B 对C 的支持力变大
B．当汽车向左做加速运动，且加速度达到g 时，C 将脱离A
C．汽车向左匀速运动时，速度越大，B 对C 的支持力越大
D．当汽车向右做加速运动，且加速度达到g 时，C 将脱离B
答案 AD
解析 对桶C 受力分析如图所示，当车向左做匀加速直线运动时，根据牛顿第二定律有
FBsin θ－FAsin θ＝ma
竖直方向根据平衡条件可得FBcos θ＋FAcos θ＝mg，加速度变大，则B 对C 的支持力增大，
A 对C 的支持力减小，故A 正确；
当货车向左做加速运动，C 将要脱离A 时，A 对C 的支持力为零，此时有mgtan θ＝ma
其中θ＝30°，解得加速度为a＝g，故B 错误；
货车向左匀速运动时，C 受力平衡，无论速度多大，都有FB＝FA，且满足FBcos θ＋FAcos θ
＝mg，则B 对C 的支持力不变，故C 错误；
当货车向右做加速运动，C 将要脱离B 时，B 对C 的支持力为零，此时有mgtan θ＝ma
其中θ＝30°，解得加速度a＝g，故D 正确。
7.(多选)(2023·河北唐山市检测)光滑水平面上放有相互接触但不粘连的两个物体A、B，物体
A 质量m1＝1 kg，物体B 质量m2＝2 kg。如图所示，作用在两物体A、B 上的力随时间变化
的规律分别为FA＝3＋2t(N)、FB＝8－3t(N)。下列说法正确的是( )
A．t＝0 时，物体A 的加速度大小为3 m/s2
B．t＝1 s 时，物体B 的加速度大小为2.5 m/s2
C．t＝1 s 时，两物体A、B 恰好分离
D．t＝ s 时，两物体A、B 恰好分离
答案 BD
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解析 t＝0 时，FA0＝3 N，FB0＝8 N，设A 和B 的共同加速度大小为a，根据牛顿第二定律
有FA0＋FB0＝(m1＋m2)a，代入数据解得a＝ m/s2，A 错误；由分析知，A 和B 开始分离时，
A 和B 速度相等，无相互作用力，且加速度相同，根据牛顿第二定律有FA＝m1a′、FB＝
m2a′，联立解得t＝ s，当t＝1 s 时，A、B 已分离，FB1＝5 N，对B 由牛顿第二定律有aB
＝＝2.5 m/s2，C 错误，B、D 正确。
8.(2023·山东师范大学附中模拟)如图所示，足够长的倾角θ＝37°的光滑斜面体固定在水平地
面上，一根轻绳跨过定滑轮，一端与质量为m1＝1 kg 的物块A 连接，另一端与质量为m2＝
3 kg 的物块B 连接，绳与斜面保持平行。开始时，用手按住A，使B 悬于空中，释放后，在
B 落地之前，下列说法正确的是(所有摩擦均忽略不计，不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8，g 取10 m/s2)( )
A．绳的拉力大小为30 N
B．绳的拉力大小为6 N
C．物块B 的加速度大小为6 m/s2
D．如果将B 物块换成一个竖直向下大小为30 N 的力，则物块A 的加速度与换前相同
答案 C
解析 对B 隔离分析，由牛顿第二定律得m2g－FT＝m2a，对A 隔离分析，由牛顿第二定律
得FT－m1gsin θ＝m1a，联立解得a＝6 m/s2，FT＝12 N，故A、B 错误，C 正确；如果将B
物块换成一个竖直向下大小为30 N 的力，对A 分析，由牛顿第二定律得F－m1gsin θ＝
m1a′，解得a′＝24 m/s2，则物块A 的加速度与换前不同，故D 错误。
9．(多选)如图甲所示，足够长的木板B 静置于光滑水平面上，其上放置小滑块A，滑块A
受到随时间t 变化的水平拉力F 作用时，用传感器测出滑块A 的加速度a，得到如图乙所示
的a－F 图像，A、B 之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g 取10 m/s2，则(
)
A．滑块A 的质量为4 kg
B．木板B 的质量为2 kg
C．当F＝10 N 时滑块A 加速度为6 m/s2
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D．滑块A 与木板B 间的动摩擦因数为0.2
答案 BC
解析 设滑块A 的质量为m，木板B 的质量为M，滑块A 与木板B 间的动摩擦因数为μ。
由题图乙可知，当F＝Fm＝6 N 时，滑块A 与木板B 达到最大共同加速度为am＝2 m/s2，根
据牛顿第二定律有Fm＝(M＋m)am，解得M＋m＝3 kg；当F＞6 N 时，A 与B 将发生相对滑
动，对A 单独应用牛顿第二定律有F－μmg＝ma，整理得a＝－μg；根据题图乙知＝ kg
－1，解得m＝1 kg，μ＝0.4，则M＝2 kg，A、D 错误，B 正确。当F＝10 N 时，滑块A 的加
速度为aA＝＝6 m/s2，C 正确。
10.(2023·江苏扬州市期中)如图所示，用足够长的轻质细绳绕过两个光滑轻质滑轮将木箱与
重物连接，木箱质量M＝8 kg，重物质量m＝2 kg，木箱与地面间最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)要使装置能静止，木箱与地面间的动摩擦因数需满足什么条件？
(2)若木箱与地面间的动摩擦因数μ＝0.4，用F＝80 N 的水平拉力将木箱由静止向左拉动位
移x＝0.5 m 时，求重物的速度大小v。
答案 (1)μ≥0.5 (2) m/s
解析 (1)对重物受力分析，根据受力平衡可得
FT＝mg＝20 N
对木箱受力分析，可得Ff＝2FT，又Ff＝μMg
联立解得μ＝0.5，要使装置能静止，木箱与地面间的动摩擦因数需满足μ≥0.5。
(2)设木箱加速度大小为a，则重物加速度大小为2a，对重物受力分析，根据牛顿第二定律
可得
FT－mg＝2ma
对木箱受力分析，有F－μMg－2FT＝Ma
解得a＝0.5 m/s2
当拉动木箱向左匀加速运动的位移为x＝0.5 m 时，重物向上的位移为h＝2x＝1 m，由
2×2a·h＝v2
可得此时重物的速度大小为v＝ m/s。
11．如图甲所示，木板与水平地面间的夹角θ 在0～90°之间改变，当θ＝30°时，可视为质
点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑。如图乙所示，若让该小物块从木板的底端每次均以
大小相同的初速度v0＝10 m/s 沿木板向上运动，随着θ 的改变，小物块沿木板向上滑行的距
离x 将发生变化，重力加速度g 取10 m/s2。
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(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；
(2)当θ 角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值。
答案 (1) (2)60° m
解析 (1)当θ＝30°时，小物块恰好能沿着木板匀速下滑，则沿木板方向有mgsin θ＝Ff，
其中Ff＝μmgcos θ，解得μ＝。
(2)当θ 变化时，设沿斜面向上为正方向，物块的加速度为a，则－mgsin θ－μmgcos θ＝
ma，
由0－v0
2＝2ax 得x＝，
令cos α＝，sin α＝，
即tan α＝μ＝，故α＝30°，
又因x＝
当α＋θ＝90°时x 最小，即θ＝60°，
所以x 最小值为xmin＝＝ m。
12.(多选)(2024·河南南阳市第一中学月考)如图所示，一弹簧一端固定在倾角为θ＝37°的光滑
固定斜面的底端，另一端拴住质量为mP＝6 kg 的物体P，Q 为一质量为mQ＝10 kg 的物体，
弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静止状态。现给物体Q 施加一个方向沿
斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 时间内，F 为变
力，0.2 s 以后F 为恒力，sin 37°＝0.6，g 取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．开始运动时拉力最大，分离时拉力最小
B．0.2 s 时刻两物体分离，此时P、Q 之间的弹力为零且加速度大小相等
C．0.2 s 时刻两物体分离时，弹簧的压缩量为x1＝ m
D．物体Q 从静止开始沿斜面向上做匀加速运动的加速度大小a＝ m/s2
答案 BCD
解析 对两物体受力分析知，开始运动时拉力最小，分离时拉力最大，故A 错误；前0.2 s
时间内F 为变力，之后为恒力，则0.2 s 时刻两物体分离，此时P、Q 之间的弹力为零且加
速度大小相等，设此时弹簧的压缩量为x1，对物体P，由牛顿第二定律得kx1－mPgsin θ
＝mPa，前0.2 s 时间内两物体的位移x0－x1＝at2，由未加拉力时受力平衡得kx0＝(mP＋
mQ)gsin θ，联立解得a＝ m/s2，x1＝ m，故B、C、D 正确。
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