文档文本内容
第04 讲 基本不等式及其应用
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................2
探究核心考点.................................................................................................................3
考点一 利用基本不等式求最值..................................................................................................3
考点二 拼凑法求最值..................................................................................................................5
考点三 消元法求最值..................................................................................................................7
考点四 “1”的妙用....................................................................................................................9
考点五 给定条件求最值............................................................................................................11
考点六 不等式恒（能）成立问题求参....................................................................................13
考点七 不等式综合问题............................................................................................................16
三阶突破训练...............................................................................................................20
基础过关......................................................................................................................................20
能力提升......................................................................................................................................24
真题感知......................................................................................................................................31
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
20225 年北京卷，第6 题，4
分
不等式判断正误
无
2024 年新Ⅰ卷，第18 题第一
问,4 分
基本不等式求范围
导数综合
2023 年新Ⅰ卷，第22 题第二
问,8 分
基本不等式求最值
圆锥曲线大题综合
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易
上手学习，但高考常作为载体和其他版块结合考查，难度不定，分值为5 分左右
【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”
2.能正确处理常数“1”求最值
3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值
4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最
值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。
一、基本不等式
1．如果a>0，b>0，
，当且仅当
时，等号成立．
其中
叫做正数a，b 的算术平均数，
叫做正数a，b 的几何平均数．
2．变形：ab≤
，a，b∈R，当且仅当a＝b 时，等号成立．
a＋b≥2
，a，b 都是正数，当且仅当a＝b 时，等号成立．
3.不等式
2 ab 与不等式
≤
成立的条件一样吗？
不一样，
2ab 成立的条件时a，b∈R，
≤
成立的条件是a>0，b>0.
4. 不等式
2 ab 与不等式
≤
中“＝”成立的条件相同吗？
相同.都是当且仅当a＝b 时等号成立.
5.基本不等式成立的条件一正二定三相等.
二、基本不等式与最大值最小值
1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.
(1)已知x，y 都是正数，如果和x＋y 等于定值S，那么当
时，积xy 有最大值
.
(2)已知x，y 都是正数，如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值
.
考点一 利用基本不等式求最值
典例1．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】由余弦定理及基本不等式计算可得.
【详解】由余弦定理得
，
当且仅当
时等号成立，所以
的最小值为
．
故选：A.
典例2．（多选）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（ ）
A．
B．
，
C．
D．
，
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A 选项，因为
的正负未知，所以，不能用基本不等式直接求得最大（小）值；
对于B 选项，当
时，
，
则
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
所以，能用基本不等式直接求得最大（小）值；
对于C 选项，对于代数式
，
，
由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
所以，能用基本不等式直接求得最大（小）值；
对于D 选项，因为
，则
，
由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
所以，能用基本不等式直接求得最大（小）值.
故选：BCD.
跟踪训练1．已知实数
，则“
，
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用分离参数法求出
的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.
【详解】对
，则
，而
，
当且仅当
时取等号，因此
；
当
时,
，当且仅当
时取等号，
所以
是
的充要条件.
故选：C.
跟踪训练2．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知正数a，b 满足
，则ab 的最大值为
．
【答案】
【分析】利用基本不等式
，然后再解关于
的一元二次不等式即可.
【详解】因为
是正数，所以
，令
，
则不等式可化为
，
即
，所以
，取等条件为
，
.
故答案为：
考点二 拼凑法求最值
典例1．已知
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意得
，利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意，
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值是
．
故选：D.
典例2．已知
，求函数
的最大值．
【答案】
【分析】将函数两边取平方，通过凑项，利用三维的基本不等式即可求得函数的值域.
【详解】由题意知
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号．故
，
又
，所以
．
跟踪训练1．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】
，
当且仅当
或
时等号成立.
故选：B
跟踪训练2．（1）设
；求函数
的最大值；
（2）当
时，求函数
的最小值．
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）将
变形为
，利用均值不等式即可求出结果；
（2）将
变形为
，利用均值不等式即可求出结果.
【详解】（1）因为
，所以
，
因此
，当且仅当
，即
时，等号成立，故
函数
的最大值为
；
（2）因为
，所以
，
，当且仅当
时，即
时，等号成立，故函数
的最小值为
.
考点三 消元法求最值
典例1．设正实数
、
、
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得出
，利用基本不等式可求得
的最大值.
【详解】因为正实数
、
、
满足
，则
，
所以，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最大值为.
故选：D.
典例2．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将
代入
得
，由
构造
，利用基本不等式求解即可.
【详解】由
得
，即
，
因为
，所以
，
于是
，
又
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故选：B
跟踪训练1．已知
都是正实数，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由条件得
，通过配凑变形，利用基本不等式求
的最小值.
【详解】由
，得
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，此时
，
所以
的最小值为
.
故选：C.
跟踪训练2．已知
，满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
且
，进而
，结合基本不等式的应用即可求解.
【详解】由
，可得
，
由
，可得
且
，解得
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
．
故选：B
跟踪训练3．已知正实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意分析可知
，代入
化简后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为正实数
，
满足
，则
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以
的最小值为
.
故选：C.
考点四 “1”的妙用
典例1．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】化简式子
，然后使用基本不等式计算.
【详解】由
，且
，
所以
，
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
，所以
的最小值为
.
故选：D
典例2．（25-26 高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在
中，
，过点P 的直线分别交直线
AB，AC 于不同的两点M，N．设
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用向量基本定理得到
，由共线定理的推论得到方程，求出
，然
后根据“1”的代换结合均值不等式求解最小值即可.
【详解】
，
因为
，
，所以
，
又
，
，
三点共线，所以
.
由于
，
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立.
故
的最小值为
.
故选：B
跟踪训练1．已知正项等比数列
满足
，若存在两项
，
使得
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在
【答案】A
【分析】由条件先求出公比
，由等比数列通项公式得出
，
满足的关系，然后由基本不等式得最值．
【详解】设等比数列
的公比为
，由
得
，
解得
（
舍去），∴
，
由
得
，
∴
，所以
，
当且仅当
，即
时等号成立．所以
的最小值是
．
故选：A
跟踪训练2．已知函数
，正数m，n 满足
，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】C
【分析】先对等式进行化简得到
，然后利用基本不等式的性质将原式进行变形，即可求出最小
值.
【详解】由题意可得：
.
化简得
.
所以
，所以
，即
.
所以
，
当且仅当
，即
时，
取最小值为5.
故选：C.
跟踪训练3．已知
，且
，则
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合已知将
变形为
，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解最小值即
可.
【详解】
，又
，可得
，
且
，
当且仅当
，
时等号成立．
即
最小值为
.
故选：B．
考点五 给定条件求最值
典例1．已知实数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】由
进行换元求解．
【详解】令
，
所以
．
故选：B．
典例2．已知x，y 为正实数，
，求
的最大值．
【答案】
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】因为
，
为正实数，且
，
所以
，
当且仅当
，
，即
，
时，等号成立．
所以
，
故
的最大值为：
.
跟踪训练1．已知
（
），则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将
变形为
，再利用基本不等式
求解即可.
【详解】
，
，
，
当且仅当
即
时，等号成立，
此时
取到最小值
．
故选：B．
跟踪训练2．若正数a，b 满足
，则
的最小值是（ ）
A．15
B．18
C．24
D．36
【答案】B
【分析】由条件得
，还原利用基本不等式求
的最小值.
【详解】由
，得
，
则
，
∴
，
当且仅当
，即
时等号成立．
∴
的最小值是18.
故选：B
跟踪训练3．已知
，
且
，求
的最大值．
【答案】
【分析】将已知条件化为
，再将待求式拆配系数，利用柯西不等式求解.
【详解】由题意知
，故
，
则
．
【评注】对于有条件定值的齐次型函数，宜先考虑柯西不等式，这样更简单、快速，而解题关键在于系数
的拆配．
考点六 不等式恒（能）成立问题求参
典例1．已知
，若对任意正数
，不等式
恒成立，则实数
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】已知，
，
，
恒成立等价于
恒成立.
又
，则
，
.
，即
，
解得
（舍去）或
，
的最小值为
，
故选：B.
典例2．已知
，且
，若不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
，或
C．
D．
，或
【答案】A
【分析】根据
，由基本不等式得出
的最小值8， 然后根据这个最小值确定m 的取值范围.
【详解】
，
，当且仅当
时等号成立，
恒成立，
，
解得
.
故选：A.
跟踪训练1．已知
，
，若不等式
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．64
B．25
C．13
D．12
【答案】B
【分析】将不等式变形为
，利用基本不等式即可得出答案．
【详解】
，
，则
，
不等式
恒成立，即
恒成立，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，即实数m 的最大值为
.
故选：B.
跟踪训练2．已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由已知条件得出
，将代数式
与
相乘，展开后利用
基本不等式求出
的最小值，根据题意可得出关于
的不等式，解之即可.
【详解】因为
，
，且
，则
，
则
，
所以
，
当且仅当
时，
即当
，
时，所以
的最小值为
，
因为
恒成立，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
跟踪训练3．（多选）已知
，
，且不等式
恒成立，则
（ ）
A．
的最小值为
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最大值为
【答案】AB
【分析】由
，令
，利用基本不等式求的最小值，即可求得
的取值范围.
【详解】由
，
，则不等式
，
令
，
则
，
又
，当且仅当
时，等号成立；
，当且仅当
时，等号成立；
，当且仅当
时，等号成立；
则
，当且仅当
时，等号成立；
又
，当且仅当
，即
时，等号成立；
故
，当且仅当
时，等号成立；
所以
，解得
，
因此可得
的最小值为
，
的最大值为
，
故选：AB.
考点七 不等式综合问题
典例1．（多选）若
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】令
，代入已知条件，再由判别式可求得的范围，从而可判断A、B 选项，将已知条件变
形为
，再由均值不等式可得
的范围，再利用代入法化简即可判断C、D 选项.
【详解】令
，即
，代入
可得：
，
所以
，解得
，所以A 正确，B 正确；
由
可变形为
，
因为
，将
代入上式可得：
解得
，
所以C 不正确，D 正确.
故选：ABD.
典例2．（多选）已知正数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用基本不等式判断AB；利用三元基本不等式判断CD.
【详解】对于A,B，由题得
，则
，
故
，
当且仅当
时等号成立，A 正确，B 错误；
对于C,D，因为
，所以
，所以
，
所以
，故
，
当且仅当
，
时等号成立，C 正确，D 错误．
故选：AC.
跟踪训练1．（多选）已知正实数
、
满足
，则下列说法正确的有（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式，结合等式
求最值可判断A，B；令
，
换元后再利
用均值不等式求最小值，即可判断C，D.
【详解】对于A，
，∴
，
则
，当且仅当
，
时取等，即
的最小值为
，故A 错误；
对于B，由选项A 知
，所以
，故
的最小值为
，则B 正确；
对于C，
，
由
得
，故
，
令
，则
，
，所以
，
则
，
当且仅当
，
，即
，
时取等号，
即
的最小值为
，故C 正确；
对于D，由选项C,得
，当且仅当
，
，即
，
时取等号，
即
的最小值为
，故D 正确.
故选：BCD.
跟踪训练2．（多选）若正实数a，b 满足
，则（ ）
A．
有最大值
B．
有最大值
C．
的最小值是
D．
的最小值是
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式可对A 项判断求解；利用
再结合A 项即可对B 项判断求
解；利用单位“1”可对C 项求解判断；D 项通过化简可得
，再结合单位“1”的
应用可得
，即可对D 项判断求解.
【详解】A：由题意得
，则
，当且仅当
时取等号，故A 项错误；
B：由
，则
，当且仅当
时取等号，故B 项正
确；
C：由
，当且仅当
，即
时取等
号，故C 项正确；
D：由
，则
，
则
，
当且仅当
时，即
时取等号，此时
，故D 项正确.
故选：BCD.
跟踪训练3．（多选）已知
，
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
的最小值为
C．
的最小值为3
D．
【答案】BD
【分析】利用基本不等式即可判断AB；C 利用基本不等式判断，但取等条件不成立；D 构造函数
，通过求导研究其单调性.
【详解】对于A，
，则
，等号成立时
，
因
，则
，故A 错误；
对于B，
，
当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为
，故B 正确；
对于C，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，这与已知
不符合，故等号不成立，故C 错误；
对于D，
，
设
，求导得
，
则
在
上单调递减，则
，即
，
所以
，所以
，故D 正确．
故选：BD．
1.已知
，则
取最大值时
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
应用基本不等式求最大值，进而确定取值条件即可得.
【详解】因为
，所以
，
当且仅当
，
，即
时等号成立.
故选：C
2.设
，则“
”是“
”的（ ）条件
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合基本不等式进行判定.
【详解】显然当
时，
，即
成立；
因为
，
当且仅当
，即
时等号成立，不一定
；
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
3.已知实数
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求出最小值，再建立不等式求解.
【详解】实数
，则
，
当且仅当
时等号成立，
由
恒成立，得
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：C
4.已知正数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据基本不等式化简可得最值.
【详解】由
，得
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取得等号．
故选：B.
5.（多选）下列结论正确的有（ ）
A．当
时，
B．当
时，
最小值为
C．当
时，
D．当
时，
【答案】AD
【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误.
【详解】对于A，当
时，
，所以
，
当且仅当
，即
时取等号，故A 正确；
对于B，
，当且仅当
，即
时取等号，又因为
，故等号取不到，故B 错误；
对于C，当
时，
，所以
，当且仅当
，即
时等号成立，故C 错
误；
对于D，当
时，
，当且仅当
，即
时取等号．故D 正确.
故选：AD
6．（25-26 高三上·湖北·开学考试）（多选）已知
，则（ ）
A．
最小值为1
B．
最小值为2
C．
D．
最小值为4
【答案】BD
【分析】根据给定条件，结合基本不等式逐项判断即可.
【详解】对于A，由
，得
，当且仅当
时取等号，A 错误；
对于B，
，当且仅当
时取等号，B 正确；
对于C，取
，则
，C 错误；
对于D，
，当且仅当
时取等号，D 正确.
故选：BD
7．已知
，且
，则
的最大值为 ．
【答案】25
【分析】方法1，由基本不等式可得最大值；方法2，由
，可得
，代入
可得
，然后由二次函数性质可得答案.
【详解】方法1，由
，得
，则
，
当且仅当
，即
时，取等号，所以
的最大值为25；
方法2，因为
，所以
，则
，
又因为
，则结合二次函数图象可知当
时，
取到最大值25，
即
的最大值为25．
故答案为：25
8．已知
，
，且
，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当
时，
的最小值为
.
【详解】由
可得：
；
当且仅当
，即当
时，等号成立.
即
的最小值为
.
故答案为：
.
9．某光伏板支架为三角形结构，已知其一个内角为
，且夹这个角的两边之和为8 米，则三角形面积
的最大值为 平方米．
【答案】
【分析】利用三角形的面积公式和基本不等式即可得到三角形的面积的最大值．
【详解】不妨设
，夹这个角的两边分别为
，则
．
由基本不等式：
，即
（当且仅当
时等号成立）．
所以△
的面积
，
即三角形面积的最大值为
．
故答案为：
10．已知
，则
的最大值是 ，
的最大值是 ．
【答案】 1
【分析】利用基本不等式结合配凑法计算即可得.
【详解】由
，则
，
，
当且仅当
，即
时取等号，即
的最大值是1；
，
当且仅当
，即
时取等号，
即
的最大值是
．
故答案为：1；
.
1．已知
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．－1
C．
D．1
【答案】A
【分析】方程
可变形为
，由
，
，知
，
，令
，
，根据基本不等式
构造
关系求解.
【详解】方程
可变形为
，
由
，
，知
，
，
令
，
，则
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值是0．
故选：A．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）实数
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由条件可得点
为圆
上的一点，点
是曲线
上的一点，
，结合关系
和基本不等式求
的最小值，由此可得结论.
【详解】因为
，所以点
为圆
上的一点，
因为
，所以点
是曲线
上的一点，
所以
，
如图：
因为
，
为原点，
，
所以
，当且仅当
为线段
与圆
的交点时取等号，
又
，故
，当且仅当
或
时等号成立，
所以
，当且仅当
或
时等号成立，
所以
，当且仅当
或
时等号成立，
所以当
或
时，
取最小值，最小值为
，
所以当
或
时，
取最小值，最小值为
，
故选：B.
3．若实数
满足
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解法1：由题意得
，利用基本不等式得
，进而解二次不等式即
可求解；
解法2：令
得
代入
得
，由
即可求解.
【详解】解法1：因为实数
满足
，所以
．
再由
，可得
（当且仅当
时等号成立），
解得
，所以
，
故
的最大值为
．
故选：A.
解法2：令
，则
，代入
可得，
，
整理得
，得
，
故
．
故选：A.
4．若关于
的不等式
在
上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解法一：先将原不等式的右式进行化简，然后利用基本不等式的性质求出其最小值，然后解关于
的不等式解集即可；
解法二：先将原不等式的右式进行化简，然后利用柯西不等式的性质求出其最小值，然后解关于的不等
式解集即可；
【详解】关于
的不等式
在
上恒成立，
即
，
因为
，所以
．
解法一：（基本不等式）
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，解得
．
解法二 ：（柯西不等式）
，
当且仅当
，即
时等号成立．
（柯西不等式：
，当且仅当
时等号成立）
所以
，解得
.
故选：D．
5．三角形
中，角
对的边分别为
，
，若
，则
边上的高
为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理和已知条件得到
，再利用辅助角公式及基本不等式可得到
，此时
且
，结合余弦定理可求出
，最后利用等面积
法即可求解.
【详解】由余弦定理得，
，代入
，
可得
，
化简得
，
两边同时除以
得，
，
一方面，
，
其中
，
，当
时等号成立；
另一方面，由均值不等式，有
，当且仅当
时等号成立，
依题可得：
，此时
且
，
，
，
，
，
，
，
由余弦定理，
，又
，
，
联立解得
，
，
设
边上的高为，则
，
故
，即
边上的高为
.
故选：B.
6．（多选）已知a，b 均为正实数，且过点
的直线与抛物线
相切于点
，
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的最小值为
C．
的最小值为3
D．
的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据切点在抛物线上可求解抛物线方程
，利用导数求解切线方程，进而得
，
利用基本不等式即可求解ACD，利用二次函数的性质即可求解B.
【详解】由
在抛物线上，可得
，得
，由抛物线方程
，
当
时，
，求导得
，
当
时，可得以点
为切点的切线斜率为
切线方程为
，即
．
又切线过点
，故
选项A 正确．
，又a，b 均为正实数，
，当
时，
取得最小值，最小值为
选项B 错误．
，当且仅当
，即
时取等号，
选项C 正
确．
，
，当且仅当
，即
时取等号，
选项D 正确．
故选：ACD．
7．已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由条件，利用基本不等式求
的最小值，再结合关系
恒成立，求
的取值范围.
【详解】因为
，
，
所以
，
当且仅当
，
时，等号成立，即当且仅当
，
时，等号成立，
所以
的最小值为，
因为
恒成立，所以
，
所以
所以
的取值范围是
，
故答案为：
.
8．已知
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】法一：化
，再应用基本不等式求最小值；法二：化
，再
应用“1”的代换及基本不等式求最小值.
【详解】法一：
，当且仅当
，即
，时等号成立，
故
的最小值为
；
法二：因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立，
故
的最小值为
.
故答案为：
9．已知
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据已知需
，令
，结合基本不等式得
，求出参数值确定最大值，注意等号成立条件.
【详解】要求目标式的最大值，则
，即
同号，
令
，得
，
所以
，
由于
的系数与题设比例相同，故
，解得
，则
，
当且仅当
，即
且
同号时等号成立.
故答案为：
.
10．若两个正实数
，
满足
，且存在这样的
，
使不等式
有解，则实数
的取值范围 .
【答案】
．
【分析】由基本不等式求得
的最小值，然后解相应不等式可得．
【详解】因为
，则
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，
所以不等式
有解，即
，解得
或
，
故答案为：
．
11．已知抛物线
的准线与以
为直径两端点的圆相切，过抛物线
的焦点
的动直线与抛物线交于A，B 两点，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据圆与准线相切可得
，进而联立直线与抛物线方程得韦达定定理，根据焦半径公式，结
合基本不等式即可求解.
【详解】抛物线
的准线方程为
，由
知
，
以
的中点
为圆心，DE 为直径的圆的方程为
.
由题意得
，解得
，故
，且
.
设直线的方程为
，
当
时，直线方程为
，则
，则
；
当
时，将
与抛物线方程联立并消去
可得
.
设
，则
，
所以
.
从而
，
故
，当且仅当
时取等号.
综上，
的最小值为
，
故答案为：
1．（北京·高考真题）若实数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．18
B．6
C．
D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式进行求解最小值
【详解】由基本不等式得：
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值是6
故选：B
2．（上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据基本不等式即可判断选项A 是否正确，对选项B 化简可得
，由此即可判断B 是否
正确；对选项C、D 通过举例即可判断是否正确.
【详解】A.由基本不等式可知
，故A 不正确；
B.
，即
恒成立，故B 正确；
C.当
时，不等式不成立，故C 不正确；
D.当
时，不等式不成立，故D 不正确.
故选：B.
3．（新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知
，
是椭圆
：
的两个焦点，点
在
上，则
的最大值为（ ）
A．13
B．12
C．9
D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到
，借助基本不等式
即
可得到答案．
【详解】由题，
，则
，
所以
（当且仅当
时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
4．（江西·高考真题）若不等式
对于一切
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】采用分离参数将问题转化为“
对一切
恒成立”，再利用基本不等式求解出
的最小值，由此求解出
的取值范围.
【详解】因为不等式
对于一切
恒成立，
所以
对一切
恒成立，
所以
，
又因为
在
上单调递减，所以
，
所以
，所以
的最小值为
，
故选：C.
【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在
给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法.
5．（多选）（新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为
（
R），由
可变形为，
，
解得
，当且仅当
时，
，当且仅当
时，
，所以A 错误，B
正确；
由
可变形为
，解得
，当且仅当
时取等号，所
以C 正确；
因为
变形可得
，设
，所以
，因此
，所以当
时满足等式，但是
不成立，所以D 错误．
故选：BC．
6．（2025·上海·高考真题）设
，则
的最小值为 ．
【答案】4
【分析】灵活利用“1”将
展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知
，
当且仅当
，即
时取得最小值.
故答案为：4
7．（重庆·高考真题）已知
，则
的最小值是 ．
【答案】15.
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】因为
，
所以
（当且仅当
，即
时等号成立）.
所以
.
即
的最小值是15.
故答案为：15.
8．（上海·高考真题）已知函数
的最小值为，则
.
【答案】
【分析】配方得
，结合基本不等式即可求解
【详解】
，当且仅当
时等号满足，
故答案为：9
9．（天津·高考真题）已知
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为
，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
,
，当且仅当
=4 时取等号，
结合
,解得
，或
时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
