文档文本内容
第04 讲 复数
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................5
考点一 复数的四则运算..............................................................................................................5
考点二 求复数的实部与虚部......................................................................................................7
考点三 复数相等..........................................................................................................................8
考点四 复数的分类及纯虚数概念考查......................................................................................9
考点五 复数的几何意义............................................................................................................11
考点六 复数的模长及与模相关的轨迹问题............................................................................12
考点七 复数的三角形式............................................................................................................14
考点八 欧拉公式........................................................................................................................14
考点九 复数多选题综合探究....................................................................................................16
三阶突破训练...............................................................................................................18
基础过关......................................................................................................................................18
能力提升......................................................................................................................................21
真题感知......................................................................................................................................25
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年全国一卷，第1 题,5 分
求复数的实部与虚部
复数代数形式的乘法运算
无
2025 年全国二卷，第2 题,5 分
复数的除法运算
无
2024 年新I 卷，第2 题，5 分
复数的四则运算
无
2024 年新Ⅱ卷，第1 题，5 分
复数的模
无
2023 年新I 卷，第2 题，5 分
复数的四则运算、共轭复数
无
2023 年新Ⅱ卷，第1 题，5 分
复数的四则运算、复数的几
何意义
无
2022 年新I 卷，第2 题，5 分
复数的四则运算、共轭复数
无
2022 年新Ⅱ卷，第2 题，5 分
复数的四则运算
无
2021 年新I 卷，第2 题，5 分
复数的四则运算、共轭复数
无
2021 年新Ⅱ卷，第1 题，5 分
复数的四则运算、复数的几
何意义
无
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5 分
【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、
及纯虚数
2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数
3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意
义，题型较为简单。
知识点1 复数的定义
复数：一般地，当a 与b 都是实数时，称a+bi为 复数 ，复数一般用小写字母z 表示，即
z =a+bi(a,b∈R)，其中a 称为z 的 实部 ，b 称为z 的 虚部 . 任意一个复数都由它的实部与
虚部唯一确定。
知识点2 虚数单位与周期
i 叫做虚数单位，规定i
2= -1 ；虚数单位可以与实数进行 四则运算
特别地，i
4 n+1= i ，i
4 n+2= −1 ，i
4 n+3= −i i
4 n= 1 ，其中
n∈Z．
知识点3 复数的分类
对于复数z =a+bi(a,b∈R)， 复数z =a+bi(a,b∈R)，z为实数⇔ b=0 ；z为虚数⇔
b≠0 ；z为纯虚数⇔ {
a=0
b≠0) ；z为非纯虚数数⇔ {
a≠0
b≠0) ．
即复数z =a+bi(a,b∈R) {
实数(b=0)
虚数(b≠0){
纯虚数(a=0)
非纯虚数(a≠0)))
知识点4 复数相等
如果a，b，c，d都是实数，那么a+bi=c +d i ⇔ a=c且b=d ．特别地，当a，b都是实数时，
a +bi=0的充要条件是a=0且b=0．
知识点5 共轭复数及其性质
如果两个复数的实部 相等 ，而虚部 互为相反数 时，则称这两个复数互为共轭复数．
复数z 的共轭复数用z表示，即如果z =a+bi,a,b∈R，那么z = a−bi ．
共轭复数的性质
设z的共轭复数为z，则
（1）z z = |z)
2 =| z|
2．
（2）z
2=( z)
2．
（3）z1 z2= z1 z2．
知识点6 复平面及复数的几何意义
复平面： 在平面上建立直角坐标系，以坐标为(a,b)的点Z表示复数z =a+bi (a,b∈R)，就可
在平面上的点的集合与复数集合之间建立一个一一对应，这样用来表示复数的平面 叫做复平面，
这里的x轴叫做 实轴 ，y轴叫做 虚轴 .
注意：（1）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0.
（2）每一个复数，在复平面内有唯一的点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，都有唯一的一个复
数和它对应，即复数集中的元素和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的.
复平面上两点P，Q 关于x轴对称⇔它们所对应的复数相互 共轭 ．
知识点7 复数的向量表示
复平面内的点Z(a,b)表示复数z =a+bi（a、b∈R），连接OZ，向量⃗OZ由点Z 唯一确定；反过来，点
Z 也可以由向量⃗OZ唯一确定.这样，复数集C中的元素和复平面上以原点为起始点的向量⃗OZ也是 一
一 对应的（实数0 与零向量对应）.
知识点8 复数的模
复数z =a+bi（a、b∈R）在复平面上所对应的点Z(a,b)到原点的距离 ❑√a
2+b
2 叫做复数
z 的模（或绝对值），记作| z|，由模的定义可知| z|=|a+bi|= ❑√a
2+b
2 .
复数的模与该复数所对应的向量的模是 一致 的，复数的模为该复数在复平面上所对应点到
原点 的距离.
知识点9 复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi，z2=c +d i (a,b,c ,d ∈R)，则
（1）加法：z1+ z2=(a+bi)+(c +d i)= (a+c)+(b+d)i ．
（2）减法：z1−z2=(a+bi)+(c +d i)= (a−c)+(b−d)i ．
（3）乘法：z1⋅z2=(a+bi)⋅(c +d i)= (ac−bd)+(ad +bc)i ．
（4）除法：z1
z2
= a+bi
c +d i = (a+bi)(c−d i)
(c +d i)(c−d i) = ac+bd
c
2+d
2 + bc−ad
c
2+d
2 i(c +d i≠0)．
知识点10 复数乘法的运算律
（1）对任意复数z1，z2，z3，有
交换律
z1 z2= z2 z1
结合律
(z1 z2)z3= z1(z2 z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2+ z3)= z1 z2+ z1 z3
（2）n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作z
n，即z
n= z× z×⋯× z
⏟
n个
．可以验
证，当m，n均为正整数时，z
m z
n= z
m+n ，(z
m)
n= z
mn ，(z1 z2)
n= z1
n z2
n ．
知识点11 复数的三角形式
定义：任何一个复数z =a+bi都可以表示成 r(cosθ+isinθ) 的形式．其中，r是复数z的模；θ
是以x轴的非负半轴为始边，向量⃗OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z =a+bi的 辐角
． r(cosθ+isinθ) 叫做复数z =a+bi的三角表示式，简称三角形式．
乘法运算法则
设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1 z2= r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)) ．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的 积 ，积的辐角等于各复数的辐角的
和 ．
除法运算法则
设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+)isinθ2)，且z2≠0，则
z1
z2
=
r1
r2 [cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)) ．
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的 商 ，商的辐角等于被除
数的辐角减去除数的辐角所得的 差 ．
知识点12 一元二次方程的根及韦达定理
实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0（a、b、c∈R，a≠0）中的Δ=b
2−4 ac为根的判别式，那么
（1）Δ>0⇔方程有两个不相等的实根−b± ❑√Δ
2a
；
（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实根（二重根）−b
2a；
（3）Δ<0⇔方程有一对共轭虚根−b± ❑√−Δi
2a
．
在（3）的情况下，方程的根与系数的关系（韦达定理）仍然成立，即 {
x1+ x2=−b
a ,
x1 x2= c
a )
．
