文档文本内容
第04 讲 基本不等式及其应用
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................2
探究核心考点.................................................................................................................3
考点一 利用基本不等式求最值..................................................................................................3
考点二 拼凑法求最值..................................................................................................................4
考点三 消元法求最值..................................................................................................................4
考点四 “1”的妙用....................................................................................................................4
考点五 给定条件求最值..............................................................................................................5
考点六 不等式恒（能）成立问题求参......................................................................................6
考点七 不等式综合问题..............................................................................................................6
三阶突破训练.................................................................................................................7
基础过关........................................................................................................................................7
能力提升........................................................................................................................................8
真题感知........................................................................................................................................9
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
20225 年北京卷，第6 题，4
分
不等式判断正误
无
2024 年新Ⅰ卷，第18 题第一
问,4 分
基本不等式求范围
导数综合
2023 年新Ⅰ卷，第22 题第二
问,8 分
基本不等式求最值
圆锥曲线大题综合
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易
上手学习，但高考常作为载体和其他版块结合考查，难度不定，分值为5 分左右
【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”
2.能正确处理常数“1”求最值
3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值
4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最
值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。
一、基本不等式
1．如果a>0，b>0，
，当且仅当 时，等号成立．
其中
叫做正数a，b 的算术平均数，
叫做正数a，b 的几何平均数．
2．变形：ab≤
，a，b∈R，当且仅当a＝b 时，等号成立．
a＋b≥2
，a，b 都是正数，当且仅当a＝b 时，等号成立．
3.不等式
2 ab 与不等式
≤
成立的条件一样吗？
不一样，
2ab 成立的条件时a，b∈R，
≤
成立的条件是a>0，b>0.
4. 不等式
2 ab 与不等式
≤
中“＝”成立的条件相同吗？
相同.都是当且仅当a＝b 时等号成立.
5.基本不等式成立的条件一正二定三相等.
二、基本不等式与最大值最小值
1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.
(1)已知x，y 都是正数，如果和x＋y 等于定值S，那么当
时，积xy 有最大值 .
(2)已知x，y 都是正数，如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值 .
考点一 利用基本不等式求最值
典例1．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
典例2．（多选）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（ ）
A．
B．
，
C．
D．
，
跟踪训练1．已知实数
，则“
，
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
跟踪训练2．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知正数a，b 满足
，则ab 的最大值为
．
考点二 拼凑法求最值
典例1．已知
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．已知
，求函数
的最大值．
跟踪训练1．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（1）设
；求函数
的最大值；
（2）当
时，求函数
的最小值．
考点三 消元法求最值
典例1．设正实数
、
、
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．已知
都是正实数，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．已知
，满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．已知正实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 “1”的妙用
典例1．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．
C．
D．
典例2．（25-26 高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在
中，
，过点P 的直线分别交直线
AB，AC 于不同的两点M，N．设
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．4
跟踪训练1．已知正项等比数列
满足
，若存在两项
，
使得
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在
跟踪训练2．已知函数
，正数m，n 满足
，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
跟踪训练3．已知
，且
，则
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 给定条件求最值
典例1．已知实数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
典例2．已知x，y 为正实数，
，求
的最大值．
跟踪训练1．已知
（
），则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．若正数a，b 满足
，则
的最小值是（ ）
A．15
B．18
C．24
D．36
跟踪训练3．已知
，
且
，求
的最大值．
考点六 不等式恒（能）成立问题求参
典例1．已知
，若对任意正数
，不等式
恒成立，则实数
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
典例2．已知
，且
，若不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
，或
C．
D．
，或
跟踪训练1．已知
，
，若不等式
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．64
B．25
C．13
D．12
跟踪训练2．已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．（多选）已知
，
，且不等式
恒成立，则
（ ）
A．
的最小值为
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最大值为
考点七 不等式综合问题
典例1．（多选）若
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（多选）已知正数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（多选）已知正实数
、
满足
，则下列说法正确的有（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
跟踪训练2．（多选）若正实数a，b 满足
，则（ ）
A．
有最大值
B．
有最大值
C．
的最小值是
D．
的最小值是
跟踪训练3．（多选）已知
，
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
的最小值为
C．
的最小值为3
D．
1.已知
，则
取最大值时
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
2.设
，则“
”是“
”的（ ）条件
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3.已知实数
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.已知正数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（多选）下列结论正确的有（ ）
A．当
时，
B．当
时，
最小值为
C．当
时，
D．当
时，
6．（25-26 高三上·湖北·开学考试）（多选）已知
，则（ ）
A．
最小值为1
B．
最小值为2
C．
D．
最小值为4
7．已知
，且
，则
的最大值为 ．
8．已知
，
，且
，则
的最小值是 ．
9．某光伏板支架为三角形结构，已知其一个内角为
，且夹这个角的两边之和为8 米，则三角形面积
的最大值为 平方米．
10．已知
，则
的最大值是 ，
的最大值是 ．
1．已知
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．－1
C．
D．1
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）实数
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若实数
满足
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若关于
的不等式
在
上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．三角形
中，角
对的边分别为
，
，若
，则
边上的高
为（ ）.
A．
B．
C．
D．
6．（多选）已知a，b 均为正实数，且过点
的直线与抛物线
相切于点
，
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的最小值为
C．
的最小值为3
D．
的最小值为
7．已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是 .
8．已知
，则
的最小值为 ．
9．已知
，则
的最大值为 ．
10．若两个正实数
，
满足
，且存在这样的
，
使不等式
有解，则实数
的取值范围 .
11．已知抛物线
的准线与以
为直径两端点的圆相切，过抛物线
的焦点
的动直线与抛物线交于A，B 两点，则
的最小值为 .
1．（北京·高考真题）若实数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．18
B．6
C．
D．
2．（上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知
，
是椭圆
：
的两个焦点，点
在
上，则
的最大值为（ ）
A．13
B．12
C．9
D．6
4．（江西·高考真题）若不等式
对于一切
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．0
B．
C．
D．
5．（多选）（新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·上海·高考真题）设
，则
的最小值为 ．
7．（重庆·高考真题）已知
，则
的最小值是 ．
8．（上海·高考真题）已知函数
的最小值为，则
.
9．（天津·高考真题）已知
，且
，则
的最小值为 ．
